2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲一平面直角坐标系+Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲一平面直角坐标系+Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 156.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-09-16 20:58:31 | ||
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文档简介
第一讲
坐标系
一、平面直角坐标系
A级 基础巩固
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，
所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
答案：A
2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：C
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos
x′
B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′
D．y′＝cos
3x′
解析：由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′，
所以y′＝cos
x′.
答案：A
5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．2x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x＋y＝1
D．4x＋3y＝1
解析：将代入曲线＋＝1.
得x2＋y2＝1.
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.
答案：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x＋1＝0
7．若点P(－2
016，2
017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________．
解析：因为P(－2
016，2
017)经过伸缩变换
得
代入x′y′＝k，得k＝－1.
答案：－1
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．
解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
答案：
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为
M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，
得＋＝1，
所以x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．
B级 能力提升
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D.x2＋y2＝1
解析：将代入2x′2＋8y′2＝2中，
得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.
答案：A
2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，由题意可知＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
由||·||＋·＝0，
可知4＋4(x－2)＝0，
化简，得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．已知A，B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸的轨迹方程．
解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2
s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680
m.
因为|AB|>680
m，
所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上．
以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
所以2a＝680，a＝340，
因为|AB|＝800，
所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44
400，
因为800>|PA|－|PB|＝680>0，
所以x>0，
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
－＝1(x>0)．
坐标系
一、平面直角坐标系
A级 基础巩固
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，
所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
答案：A
2．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设伸缩变换为
则解得所以
答案：C
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos
x′
B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′
D．y′＝cos
3x′
解析：由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′，
所以y′＝cos
x′.
答案：A
5．在同一坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．2x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x＋y＝1
D．4x＋3y＝1
解析：将代入曲线＋＝1.
得x2＋y2＝1.
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1.
答案：B
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：设P(x，y)，则＝，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x＋1＝0
7．若点P(－2
016，2
017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________．
解析：因为P(－2
016，2
017)经过伸缩变换
得
代入x′y′＝k，得k＝－1.
答案：－1
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．
解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
答案：
三、解答题
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4y′2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
解：设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为
M′(x′，y′)．
由且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上，
得＋＝1，
所以x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．
B级 能力提升
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D.x2＋y2＝1
解析：将代入2x′2＋8y′2＝2中，
得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.
答案：A
2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．
解析：设P(x，y)，由题意可知＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
由||·||＋·＝0，
可知4＋4(x－2)＝0，
化简，得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
3．已知A，B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸的轨迹方程．
解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2
s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680
m.
因为|AB|>680
m，
所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上．
以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×2＝680，
所以2a＝680，a＝340，
因为|AB|＝800，
所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44
400，
因为800>|PA|－|PB|＝680>0，
所以x>0，
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
－＝1(x>0)．