2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲二极坐标+Word版含解析

第一讲
坐标系
二、极坐标
A级　基础巩固
一、选择题
1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：ρ＝2，tan
θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，
故取θ＝－，所以点P的极坐标为.
答案：C
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(　　)
A．(π，0)
B．(π，2π)
C．(－π，0)
D．(－2π，0)
解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
答案：A
3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.
答案：A
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
答案：B
5．在极坐标系中，已知点P1，P2，则|P1P2|等于(　　)
A．9
B．10
C．14
D．2
解析：∠P1OP2＝－＝，所以△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
答案：B
二、填空题
6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．
解析：因为A，B两点的极坐标为，，
所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，
所以线段AB中点的直角坐标是.
答案：
7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．
解析：点B的极坐标可表示为，
则∠AOB＝－＝，
故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin
＝3.
答案：3
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案：3
三、解答题
9．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r，0)，因为A，
所以
＝5，
即r2－8r＋7＝0，
解得r＝1或r＝7，
所以点M的坐标为(1，0)或(7，0)．
10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，
F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600
m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．
解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.
又|OA|＝600×cos
＝300，
|OD|＝600×sin
＝300，
|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.
故A(300，0)，D，E，
F(300，π)，G.
B级　能力提升
1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因为ρ＝－2<0，
所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案：B
2．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P的极坐标为________．
解析：因为点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，
所以x＝－2，且y＝－2，
所以ρ＝＝2，
又tan
θ＝＝1，且θ∈[0，2π)，所以θ＝.
因此点P的极坐标为.
答案：
3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图所示，由A，B(2，π)，C.
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形．
(2)由
(1)可知，
|AC|＝2|OA|sin＝2×2×＝2.
所以S△ABC＝×(2)2＝3.