2018版高中数学全一册学案（打包24套）新人教B版必修1

2.1.2　函数的表示方法
1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．
2．会求一些简单函数的解析式．(重点)
3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)
4．会作一些简单函数的图象．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　函数的表示方法
阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．
1．列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
2．图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
3．解析法(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　)
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　)
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
2．下列图形可表示函数y＝f(x)图象的只可能是(　　)
A　　　B　　　C　　D
【解析】　借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x有唯一的y与之对应，故选D.
【答案】　D
教材整理2　分段函数
阅读教材P42“分段函数”～P43“例5”以上的内容，完成下列问题．
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
函数f(x)＝则f的值是(　　)
A.　　
B．－　　　
C.　　
D．－
【解析】　∵f＝－，∴f＝f＝－＋1＝.
【答案】　A
[小组合作型]
函数的表示法
　(1)函数f(x)＝x＋的图象是(　　)
(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【精彩点拨】　(1)对x进行讨论将函数f(x)＝x＋转化为所熟知的基本初等函数即可作图．
(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3
000，6
000，9
000，…，30
000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y与x关系的解析式，注意定义域．
【自主解答】　(1)当x＞0时，f(x)＝x＋1，故图象为直线f(x)＝x＋1(x＞0的部分)；
当x＜0时，f(x)＝x－1，故图象为直线f(x)＝x－1(x＜0的部分)；
当x＝0时，f(x)无意义即无图象．
综上，f(x)＝的图象为直线y＝x＋1(x＞0的部分)和y＝x－1(x＜0的部分)，即两条射线，故选C.
【答案】　C
(2)①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.
[再练一题]
1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.
【导学号：60210035】
【解】　解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．
列表法：
x/听
1
2
3
4
y/元
2
4
6
8
图象法：
求函数的解析式
　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
【精彩点拨】　(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．
【自主解答】　(1)法一　换元法：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二　配凑法：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b＝4x2－10x＋4，
所以
解得k＝－2，b＝4，或k＝2，b＝－1，
故f(x)＝－2x＋4，或f(x)＝2x－1.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.
【答案】　(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－2x＋4或2x－1　(3)x－1
求函数解析式的四种常用方法
1．待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
2．换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
3．配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
[再练一题]
2．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.
【解析】　在f(x)＝2f·－1中，用代替x，
得f＝2f(x)·－1，
由
得f(x)＝＋.
【答案】　＋
分段函数
　已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围．
【精彩点拨】　分段求解，再求并集．
【解】　当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.
∴x的取值范围是{x|x>0或x<－4}．
求解分段函数问题的注意点
(1)求f[f(a)]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．
(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．
(3)已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．
[再练一题]
3．本题中解析式不变求f(－3)，f(f(－3))，f(f(f(－3)))的值．
【解】　f(－3)＝－(－3)－2＝1，
f(f(－3))＝f(1)＝1＋2＝3，
f(f(f(－3)))＝f(3)＝3＋2＝5.
[探究共研型]
作函数的图象
探究1　作函数的图象通常分为哪几步？
【提示】　列表，描点，连线．
探究2　作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？
【提示】　作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
　作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
【精彩点拨】　解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．
【自主解答】　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．
1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．
2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
3．要掌握常见函数的特征．
4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
[再练一题]
4．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
【解】　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．
1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝(　　)
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】　由表可知f(11)＝4.
【答案】　C
2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x
B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3
D．f(x)＝x2＋6x－10
【解析】　法一　设t＝x－1，则x＝t＋1，
∵f(x－1)＝x2＋4x－5，
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x.
∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x，故选A.
【答案】　A
3．f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
【导学号：60210036】
【解析】　∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.
【答案】　B
4．如图2 1 4，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝________.
图2 1 4
【解析】　由题意f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，
所以f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.
【答案】　2
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
【解】　(1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，
即f(x)的值域是[－1,3]．3．3　幂函数
1．掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)
3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　幂函数的概念
阅读教材P108前6自然段，完成下列问题．
一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
【解析】　(1)√.函数y＝符合幂函数的定义，所以是幂函数；
(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
教材整理2　幂函数的概念
阅读教材P108第7自然段至P109“例1”以上部分，完成下列问题．
1．幂函数的图象
图3 3 1
2．幂函数的性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上是增函数
在[0，＋∞)
上是增函数，在(－∞，0]上是减函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数
公共点
(1,1)
幂函数的图象过点(3,
)，则它的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞)　　　　　　
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
【解析】　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3,
)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x＝，
所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.
【答案】　B
[小组合作型]
幂函数的概念
　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　　
B．1　　　
C．2　　　
D．3
(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,
)，则f(9)＝________.
【精彩点拨】　(1)由幂函数y＝xα的定义，从“底数只有x，且xα的系数必须为1，指数α只能是常数”这三个方面判断．
(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值．
(3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可．
【自主解答】　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，)，得＝2α，α＝，
∴y=f(x)=x,∴f(9)=3.
数，∴
∴m＝－1.
【答案】　(1)B　(2)3　(3)－1
1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
[再练一题]
1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.
【解析】　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，
∴4α＝3×2α，
【答案】　
幂函数的图象和性质
　(1)如图3 3 2所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
图3 3 2
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
【精彩点拨】　(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．
【自主解答】　(1)考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n>0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n<0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
【答案】　B
(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N
，所以m＝1,2.
＋3>5－2a>0或5－2a幂函数的性质如下：
1 在区间 0，＋∞ 上都有定义，并且图象都通过点 1，1 .
2 若α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞ 上是增函数.当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上., 3 若α<0，则幂函数在区间 0，＋∞ 上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴.
[再练一题]
2．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【解】　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)[探究共研型]
幂值的大小比较
探究1　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
【提示】　当a>1时，函数y＝ax单调递增；当00时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
探究2　23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
【提示】　23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
探究3　2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
【提示】　2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
　比较下列各组中幂值的大小．
【精彩点拨】　比较幂的大小关键要看是底数相同还是指数相同，若底数相同则利用指数函数的单调性，若指数相同，则利用幂函数的单调性，若底数和指数都不相同，则利用中间数比较大小．
【自主解答】　(1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3 3 中的
[再练一题]
3．比较下列各组数的大小．
【解】　
1．给出四个说法：
①当α＝0时，y＝xα的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝xα在第一象限为减函数，则α<0.
其中，正确的说法个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【解析】　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；③④正确．
【答案】　B
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
【解析】　A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．
【答案】　D
3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
【解析】　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
【答案】　A
4．函数y＝x的图象是(　　)
【解析】　显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.
【答案】　B
5．比较下列各组数的大小：
【解】　2．1.1　第1课时　变量与函数的概念
1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)
2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)
3．能正确使用区间表示数集．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　变量与函数的概念
阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．
1．函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．
2．函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．
3．函数的值域
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　)
(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.(　　)
(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　区间的概念及表示
阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半闭半开区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
填空：
(1)集合{x|1(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；
(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．
【答案】　(1)(1,3]　(2)(－2，＋∞)　(3)(－∞，2]
[小组合作型]
函数的概念及应用
　(1)下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)
(2)下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①②　　
B．①③　　
C．③④　　
D．①④
(3)判断下列对应是否为函数：
①x→y，y＝，x≠0，x∈R，y∈R；
②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；
③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
④x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．
【精彩点拨】　(1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
(3)利用函数的定义判定．
【自主解答】　(1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.
(2)①f(x)＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.
【答案】　(1)B　(2)C
(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．
②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．
③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．
④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，x∈{y|0≤y≤1} {y|0≤y≤3}．
1．判断一个对应关系是否为函数的步骤
(1)判断A，B是否是非空数集；
(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；
(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．
2．判断函数是否相同的步骤
(1)看定义域是否相同；
(2)看对应关系是否相同；
(3)下结论．
[再练一题]
1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
(1)f：把x对应到3x＋1；
(2)g：把x对应到|x|＋1；
(3)h：把x对应到；
(4)r：把x对应到.
【解】　(1)是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应．
同理，(2)也是实数集R上的一个函数．
(3)不是实数集R上的一个函数．因为当x＝0时，的值不存在．
(4)不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
求函数值
　已知函数f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值．
【精彩点拨】　求f(m)的值，直接把m代入解析式即可．注意第(2)小题求f[g(2)]，可以看成是求以g(2)为自变量的f(x)的函数值．
【自主解答】　(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝.
1．f(x)表示自变量为x的函数，如f(x)＝2x－3，而f(a)表示的是当x＝a时的函数值，如f(x)＝2x－3中f(2)＝2×2－3＝1.
2．求f[g(a)]时，一般要遵循由里到外的原则．
[再练一题]
2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f[f(－1)]的值．
【解】　f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f[f(－1)]＝f[(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f(0)＝3.
求函数的定义域
　函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
【精彩点拨】　根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．
【自主解答】　要使函数有意义，则
即即x＜且x≠－，
故函数的定义域为，故选B.
【答案】　B
求函数的定义域应关注四点
1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．
3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
[再练一题]
3．函数y＝的定义域为________．
【解析】　要使函数有意义，必须解得x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．
函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．
【答案】　[－1,0)∪(0，＋∞)．
[探究共研型]
求抽象函数的定义域
探究1　函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f而言，有什么作用？
【提示】　这里的[0，＋∞)是自变量x的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x的取值范围．对于函数的对应关系f而言，当自变量x在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．
探究2　(1)设函数f(x)＝，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？
【提示】　(1)f(x＋1)＝.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝的定义域为[－1，＋∞)．
(2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．
探究3　若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？
【提示】　这里的“[1,2]”是自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．
　(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域．
【精彩点拨】　(1)由函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x－3≤3即可．
(2)由函数y＝f(2x－3)的定义域，先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x＋2)的定义域．
【自主解答】　(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为.
(2)因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]，
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]．
若已知函数y＝f x 的定义域为[a，b]，则函数y＝f g x 的定义域可由a≤g x ≤b解得；若已知函数y＝f g x 的定义域为[a，b]，则函数y＝f x 的定义域为函数y＝g x 在x∈[a，b]的值域.
[再练一题]
4．已知函数f(x)的定义域为[2,6]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋的定义域为________.
【解析】　由题意可得解得3≤x≤5，所以g(x)的定义域为[3,5]．
【答案】　[3,5]
1．下列各式中，函数的个数是(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4　　　
B．3　　　
C．2　　　
D．1
【解析】　根据函数的定义，①②③是函数．④中满足，即的实数x不存在．
【答案】　B
2．下列函数中，与函数y＝x相等的是(　　)
A．y＝()2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
【解析】　函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.
【答案】　D
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
【解析】　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．
【答案】　A
4．函数f(x)＝＋的定义域是________．
【解析】　∵函数f(x)＝＋，
∴解得x≥4，且x≠5，
∴函数f(x)的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．
【答案】　[4,5)∪(5，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
【解】　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
第2课时　映射与函数
1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点)
2．了解象与原象的概念．(重点)
3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　映射与一一映射
阅读教材P34“映射与函数”以下～P35“第10行”以上部分，完成下列问题．
名称
定义
映射及有关概念
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)，其中A叫做映射f的定义域，(函数定义域的推广)由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).
一一映射
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
在从集合A到集合B的映射中，
(1)集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个．(　　)
(2)集合A中的某一个元素a的象可能不止一个．(　　)
(3)集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同．(　　)
(4)集合B中的两个不同元素的原象可能相同．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．下图2 1 1表示的对应法则：
图2 1 1
其中是映射的个数为(　　)
A．4　　　　　　　　
B．3
C．2
D．1
【解析】　由映射的定义可知(3)为映射．
【答案】　D
教材整理2　映射与函数的关系
阅读教材P35“第11行”以下～P35“例7”以上的内容，完成下列问题．
1．区别
对于映射f：A→B来说，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．
2．联系
映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．
1．下列集合A，B及其对应法则不能构成函数的是(　　)
A．A＝B＝R，f(x)＝|x＋1|
B．A＝B＝R，f(x)＝
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3
D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0
【解析】　易知B项中集合A中的0在集合B中没有元素与之对应，故不能构成映射．
【答案】　B
2．已知集合A和集合B的元素都属于N，映射f：A→B，若把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2＋n，则在映射f下，
象20的原象是(　　)
A．4　　　　　　
B．5
C．4或－5
D．－4或5
【解析】　由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．
【答案】　A
[小组合作型]
映射的判断
　(1)如图2 1 2，下列对应法则：
图2 1 2
其中是映射的个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　　
B．4
C．5
D．6
(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？
①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；
②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；
③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.
【解析】　(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．
对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．
对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
综上可知，
能构成映射的个数为3.
【答案】　A
(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0| B，∴不是映射．
②对任意x∈A，依法则f，有
－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，
所以此对应是映射，且是一一映射．
③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，
∴是映射．
而0,1∈B，但在A中无原象，
∴不是一一映射．
1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：
(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；
(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
这两个条件缺一不可．
2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可．
[再练一题]
1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.
【解】　(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0 N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．
(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．
求映射中的象与原象
　已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的象；
(2)求B中元素(1,2)的原象．
【精彩点拨】　(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．
【解】　(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．
(2)令
得
∴原象为.
1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．
2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．
[再练一题]
2．若本例的条件不变，问集合A中是否存在元素(a，b)使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．
【解】　设存在这样的元素(a，b)，
则∴a＝0，b＝，即为所求元素．
[探究共研型]
映射个数问题
探究1　集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，求这样的映射共有多少个？
【提示】　由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．
探究2　集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，求这样的映射f：A→B的个数．
【提示】　由已知，当f(a)＝0，f(b)＝0时，得f(a)＋f(b)＝0；当f(a)＝－1，f(b)＝1时，得f(a)＋f(b)＝0；当f(a)＝1，f(b)＝－1时，得f(a)＋f(b)＝0.所以符合条件的映射共3个．
　已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求满足条件的映射的个数．
【精彩点拨】　对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．
【自主解答】　(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件的映射共有7个．
1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有nm个不同的映射．
2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．
[再练一题]
3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？
【解】　①多对一(3个)
②一对一(6个)
所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．
1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是(　　)
A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|
B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2
C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点
D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝
【解析】　在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C中的对应法则能构成从集合P到S的映射．
【答案】　C
2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应法则中，其中A到B的映射是(　　)
(1)　　　　　(2)　　　　(3)　　　　　(4)
图2 1 3
A．(1)(2)　　　　　　
B．(1)(3)
C．(1)(4)
D．(2)(4)
【解析】　根据映射定义．
【答案】　A
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则A到B的一一映射的个数有________个．
【解析】　A→B的一一映射有2个，如图．
【答案】　2
4．已知映射f：R＋→R，x→2x－1，则x＝5时的象为________，f(x)＝10时的原象为________．
【解析】　∵f：R＋→R，x→2x－1.
∴x＝5的象为2×5－1＝9.
又∵f(x)＝10，∴2x－1＝10，∴x＝.
【答案】　9　
5．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是集合A到集合B的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．
(1)f：x→y＝x；
(2)f：x→y＝(x－2)2；
(3)f：x→y＝(x－1)2.
【解】　(1)因为0≤x≤3，所以0≤x≤1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的象，所以对应f：A→B是集合A到集合B的映射．
由于集合A与集合B都为数集，所以是函数．
对于集合B中的每一个元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3x≤3,0≤x≤3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f：A→B是一一映射．
(2)因为0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中没有象，因此对应f：A→B不是映射，也不是函数，更不是一一映射．
(3)因为0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤(x－1)2≤1，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的象，所以对应f：A→B是映射．
由于集合A与集合B都为数集，所以是函数．对于集合A中的元素x＝0和x＝2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射．第一章
集合
[自我校对]
①确定性
②互异性
③描述法
④交集
⑤补集
集合元素的特征
确定性、互异性是集合中元素的两个特性．这两个特性在解与集合相关的问题中经常用到，一定要正确认识，牢固把握，并加以灵活运用．
在解决集合问题时，首先要从已知条件与所求结论找到解题的切入点，得出结论前，再检验所求集合中的元素是否满足这两个特性，其中元素的互异性往往是检验的依据．
　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．
【精彩点拨】　根据集合中的元素对应相等，分情况讨论．
【规范解答】　∵A＝B，须分情况讨论．
①若a＋b＝ac，则a＋2b＝ac2，
解得a＋ac2－2ac＝0.
a＝0时，集合B中的三个元素均为零，和元素互异性矛盾，故a≠0.
∴c2－2c＋1＝0，即c＝1.
但c＝1时，B中的三个元素又相同，故无解．
②若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，
消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，
即(c－1)(2c＋1)＝0，即c＝1或c＝－.
经验证c＝－符合题意，
由①②可知，c＝－.
[再练一题]
1．(1)若m，m，n，n，m2，n2构成集合M，则M中的元素最多有(　　)
A．6个　　
B．5个　　
C．4个　　
D．3个
(2)若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是________．
【解析】　(1)由集合中的元素满足互异性，知集合M中的元素最多为m，n，m2，n2，且4个元素互不相同．
(2)由元素的互异性可知x≠2，且x2－x≠2，且x2－x≠x，
即
【答案】　(1)C　(2)x≠2，且x≠－1，且x≠0
两个集合的关系
判断集合之间的关系的三种方法：
(1)给出的n个集合都可用列举法表示，且元素个数比较少时，可使用具体化原则将集合中的元素一一列举出来，然后观察集合之间的关系．
(2)根据集合关系的定义来判断，关键是看集合A中的任一元素是否都是集合B中的元素．若集合A中的任一元素都是集合B中的元素，即为A B，若还满足集合B中至少存在一个元素不在集合A中，则AB.
(3)数形结合，利用数轴或维恩图判断集合之间的关系．
注意：(1)当A B与AB同时成立时，AB最能准确表示A与B之间的关系．
(2)对于两集合A，B，与A B，不要忽略A＝ 的情况．
　已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}且B A，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】　首先求出集合A，再结合B A，利用分类讨论求出a的取值范围．
【规范解答】　∵集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，且B A，
∴B＝ ，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，
若B＝ ，则Δ＝a2－24＜0，解得a∈(－2，2)，
若B＝{2}，B中方程的常数项为4≠6，故不存在满足条件的a值；
若B＝{3}，B中方程的常数项为9≠6，故不存在满足条件的a值；
若B＝{2,3}，则a＝－5，
综上，实数a的取值范围为{－5}∪(－2，2)．
[再练一题]
2．若集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}，则必有(　　)
A．P Q　　　　
B．PQ
C．P＝Q
D．QP
【解析】　集合P是二次函数y＝x2中x的取值集合，集合Q是二次函数y＝x2的函数值y的取值集合，因此集合P＝R，集合Q＝{y|y≥0}，所以QP.
【答案】　D
集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算．若集合中的元素是离散的，集合的运算一般运用定义或韦恩图；若集合中的元素是连续的(如用不等式表示的)，则用数轴法；若集合中含有参数，有时需要对参数进行讨论．
　已知全集为U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，M＝{x|2x－a＜0}．
(1)求A∩ UB；
(2)若(A∪B) M，求实数a的取值范围.
【精彩点拨】　(1)利用数轴，根据集合的基本运算即可求A∩ UB；
(2)根据(A∪B) M，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【规范解答】　(1)因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，所以 UB＝{x|x≥3或x≤0}，
则A∩ UB＝{x|－1＜x≤0}．
(2)A∪B＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|2x－a＜0}＝，若(A∪B) M，则≥3，解得a≥6，
则实数a的取值范围[6，＋∞)．
[再练一题]
3．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
【解】　∵B (A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5
解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}；
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
分类讨论思想在集合中的应用
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴进行帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．
　设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．
(1)若A∩B＝B，求a的值；
(2)若A∪B＝B,
求a的值．
【精彩点拨】　本题主要考查集合中的运算．明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义，根据问题的需要．将A∩B＝B和A∪B＝B分别转化为等价的关系式B A和A B是解决本题的关键，注意在分析包含关系式B A时，不要漏掉B＝ 的情形．
【规范解答】　首先化简集合A，得A＝{－4,0}．
(1)由于A∩B＝B，则有B A，可知集合B为空集，或只含元素0或－4，或B＝A.
①若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a＜－1.
②若B＝{0}，则∴a＝－1.
③若B＝{－4}，则∴无解．
④当B＝A时，
∴a＝1.
由①②③④，得a＝1或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
又A＝{－4,0}，而B
至多只有两个元素，因此应有A＝B，故应有a＝1.
[再练一题]
4．若A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，B∩A＝{9}，求A∪B.
【解】　因为B∩A＝{9}，所以9∈A，得到x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.
①当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，由集合中元素的互异性，不合题意舍去；
②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}满足题意；
③当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与条件矛盾，舍去．
综上所述，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1}　　　　　　　
B．{4}
C．{1,3}
D．{1,4}
【解析】　因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
【答案】　D
2．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝(　　)
A．{0,1}
B．{0,1,2}
C．{－1,0,1)
D．{－1,0,1,2}
【解析】　集合A＝{x|－2【答案】　C
3．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】　∵A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩Z中元素的个数为5.
【答案】　C
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则( UP)∪Q＝(　　)
A．{1}
B．{3,5}
C．{1,2,4,6}
D．{1,2,3,4,5}
【解析】　∵ UP＝{2,4,6}，又Q＝{1,2,4}，∴( UP)∪Q＝{1,2,4,6}，故选C.
【答案】　C
5．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2【解析】　在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．
【答案】　{－1,2}2.2.3　待定系数法
1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)
2．掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理　待定系数法
阅读教材P61～P62“例1”以上部分内容，完成下列问题．
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．(　　)
(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y＝－.(　　)
(3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y＝x＋.(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为(　　)
A．y＝x－1　　　　　　
B．y＝x＋1
C．y＝－x－1
D．y＝－x＋1
【解析】　把点P(3，－2)和Q(－1,2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得
所以y＝－x＋1，故选D.
【答案】　D
[小组合作型]
求一次函数的解析式
　(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.
(2)已知一次函数的图象与x轴交点的横坐标为－，并且当x＝1时，y＝5，则这个一次函数的解析式为______.
【导学号：60210052】
【解析】　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋3，所以解得或
所以函数的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(2)设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点和(1,5)，
则有解得
所以y＝2x＋3.
【答案】　(1)2x＋1或－2x－3　(2)y＝2x＋3
用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤：
(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
(2)根据题意列出关于k和b的方程组；
(3)求出k，b的值，代入即可．
[再练一题]
1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________．
【解析】　设函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，
得
解得
所以函数的解析式为y＝－x＋.
【答案】　y＝－x＋
求二次函数的解析式
　根据下列条件，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
【精彩点拨】　→→→
【解】　(1)设二次函数的解析式为
y＝a(x－2)(x－4)，
整理，得y＝ax2－6ax＋8a.
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)．
(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理，得y＝ax2－2ax＋a＋2.
∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2(x－1)2＋2.
(3)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题设知
即
∴函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.
1 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0.
2 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大 小 值，则设所求二次函数为顶点式y＝a x－h 2＋k，其中顶点为 h，k ，a为常数，a≠0.
3 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为 x1，0 ， x2，0 ，则设所求二次函数为两根式y＝a x－x1 x－x2 ，a为常数，且a≠0.
[再练一题]
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝时，二次函数有最大值为25，函数的图象与x轴交于两点，这两点的横坐标的平方和为13.求此二次函数的解析式．
【解】　由题意知二次函数图象的顶点为，且开口向下，设f(x)＝a2＋25(a<0)，
即f(x)＝ax2－ax＋＋25.
令ax2－ax＋＋25＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝1，
x1x2＝.
由题意知，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝13，解得a＝－4.
因此所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋24.
[探究共研型]
已知函数图象求函数的解析式
探究1　根据函数图象求函数解析式的关键是什么？
【提示】　观察函数图象的形状．
图2 2 5
探究2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2 2 5所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．
【提示】　设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1，(a＞0)．
又函数过点(0,0)，故a＝1，
所以所求函数的解析式为y＝(x－1)2－1(0≤x＜3)．
由图可知该函数的取值满足－1＝f(1)≤f(x)＜f(3)＝3，
即该函数的值域为[－1,3)．
图2 2 6
　如图2 2 6所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2,0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
【精彩点拨】　通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB＝OA＝2，所以点B的坐标为(0，－2)，再结合A点坐标，即可求出一次函数的解析式．
【解】　设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．
∵OA＝OB，点A的坐标为(2,0)，
∴点B的坐标为(0，－2)．
∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y＝kx＋b，
∴
∴
∴一次函数的解析式为y＝x－2.
1．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．
2．分段函数的表达式要注意端点值．
[再练一题]
图2 2 7
3．如图2 2 7，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式.
【导学号：60210053】
【解】　设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(k≠0，x≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，
故
解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)，
同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)；
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．
法一：设抛物线的方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
法二：设抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c(a<0,1≤x≤3)．
因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，
所以有
解得
所以抛物线对应的解析式为
y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数的解析式为
y＝
1．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为(　　)
A．2,3　　　　　
B．3,2
C．－2,3
D．－3,2
【解析】　2x2＋x－3＝ax2＋(b－a)x－b，
根据恒等式∴
【答案】　A
2．已知函数f(x)＝ax2＋k的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝3x2＋4
B．f(x)＝2x2＋5
C．f(x)＝3x2＋2
D．f(x)＝5x2＋4
【解析】　将(1,7)与(0,4)代入函数f(x)＝ax2＋k可得a＝3，k＝4.
【答案】　A
3．已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，则(　　)
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝－3x－4
C．f(x)＝3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
【解析】　∵f(x)＝ax＋b，af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝9x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝9x＋8，
∴所以或
∴f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
【答案】　D
4．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________．
【解析】　由题意设函数的解析式为y＝a(x－2)2＋3，
则－1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－4.
【答案】　y＝－4x2＋16x－13
5．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．
【解】　法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．
将三个点的坐标代入，得
解得
∴所求二次函数解析式为
y＝x2－x＋.
法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)．
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－7)，
把顶点(4，－3)代入得－3＝a(4－1)×(4－7)，
解得a＝.
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，
即y＝x2－x＋.3．1.2　指数函数
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　指数函数的定义
阅读教材P90～P91“第12行”以上内容，完成下列问题．
指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．(　　)
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．(　　)
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．(　　)
【解析】　(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　指数函数的图象和性质
阅读教材P91～P92，完成下列问题．
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)
(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有ax>1.(　　)
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．(　　)
【解析】　(1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x轴的上方．
(2)×.当x≤0时，ax≤1.
(3)×.因为f(x)＝2－x＝，所以函数f(x)＝2－x在R上是减函数．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
指数函数的概念
　(1)下列一定是指数函数的是(　　)
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝
D．y＝(a－2)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0且a≠1
【精彩点拨】　根据指数函数的定义判断、求解．
【自主解答】　(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝显然是指数函数；D中只有a－2＝1即a＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知
所以解得a＝3.
【答案】　(1)C　(2)C
1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1；
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
[再练一题]
1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________.
【解析】　(1)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
(2)由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
【答案】　(1)3x　(2)∪(1，＋∞)
指数函数的定义域和值域
　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
【精彩点拨】　―→
【自主解答】　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域和值域．
【解】　(1)函数的定义域为{x|x∈R且x≠3}．
令t＝，则t≠0，∴y＝2t>0且2t≠1，故函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)函数的定义域为R，令t＝2x－x2，则t＝－(x－1)2＋1≤1，
[探究共研型]
指数函数的图象
探究1　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？
【提示】　法一(平移法)　∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数y＝ax图象过定点(1,3)
法二(解方程法)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．
探究2　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象可能在第三或四象限吗？为什么？
【提示】　不可能．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限．
探究3　从左向右，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？
【提示】　当00且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势．指数函数的图象下凸．
　(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是(　　)
(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是(　　)
【精彩点拨】　(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断．
【自主解答】　(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
A中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；
B中，从图象上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；
C中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，
∴只有选项D的图象符合以上两条，故选D.
(2)y＝a－|x|＝，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.
【答案】　(1)D　(2)A
1．可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．
2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．
(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如图3 1 1所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d＜c＜1＜b＜a.
图3 1 1
[再练一题]
3．定义一种运算：g⊙h＝已知函数f(x)＝2x⊙1，那么函数y＝f(x－1)的大致图象是(　　)
【解析】　f(x)＝
∴f(x－1)＝
∴其图象为B，
故选B.
【答案】　B
1．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　)
A．()x　　　　　
B．2x
C.
D.
【解析】　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
【答案】　A
2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　y＝3－x－1，x∈[－2,2)是减函数，
∴3－2－1即－【答案】　A
3．已知f(x)＝ax＋b的图象如图3 1 2所示，则f(3)等于(　　)
图3 1 2
A．2－2
B.－3
C．3－3
D．3－3或－3－3
【解析】　由图象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝(负值舍去)，故f(x)＝3－3，f(3)＝3－3.
【答案】　C
4．已知函数f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m＋n＝________.
【解析】　令2x－4＝0，即x＝2，f(x)＝1＋n.
∴∴∴m＋n＝3.
【答案】　3
5．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
【解】　(1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，
且≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.3．2.1　对数与对数函数
第1课时　对数概念与常用对数
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)
2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点)
3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　对数的概念
阅读教材P95～P96，完成下列问题．
1．在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数．
2．一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．
其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数．
3．对数恒等式alogaN＝N.
4．对数与指数间的关系
ab＝N b＝logaN(a>0，a≠1)．
5．常用对数
以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　)
(2)对数式log32与log23的意义一样．(　　)
(3)对数的运算实质是求幂指数．(　　)
【解析】　(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；
(3)√.由对数的定义可知(3)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　对数的性质
阅读教材P96“第6行”～P96“例1”以上内容，完成下列问题．
1．负数和零没有对数．
2．loga1＝0(a＞0，a≠1)．
3．logaa＝1(a＞0，a≠1)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为1a＝1，所以log11＝a.(　　)
(2)log(－2)(－2)＝1.(　　)
(3)任何一个指数式都可化为对数式．(　　)
【解析】　(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(2)错；
(3)×.只有满足底数大于0且不等于1的指数式才能化为对数式，如(－2)4＝16就不能化为对数式，故(3)错．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[小组合作型]
对数的概念
　(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；
(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．
【精彩点拨】　根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．
【自主解答】　(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是.
(2)由题意可得解之得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．
【答案】　(1)　(2)(2,3)∪(3，＋∞)
根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式 组 ，可求得对数式中字母的取值范围.
[再练一题]
1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是______.
【导学号：60210079】
【解析】　由题意可得解之得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．
【答案】　∪(2，＋∞)
指数式与对数式的互化
　(1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：
【精彩点拨】　(1)根据ax＝N logaN＝x(a>0且a≠1，N
>0)求解；
(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．
【自主解答】　(1)①因为43＝64，
所以log464＝3.
②因为logx3＝2，所以x2＝3.
④因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
(2)∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，
∴3a－b＝＝.
1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用ax＝N logaN＝x(a>0且a≠1，N
>0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
[再练一题]
2．已知logax＝logac＋b，求x的值．
【解】　
[探究共研型]
对数的基本性质
探究1　是不是所有的实数都有对数？
【提示】　负数和0没有对数．
探究2　根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？
【提示】　因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1.
探究3　你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N
>0)吗？
【提示】　因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.
A．10　
B．13　
C．100　
D．±100
(2)求x的值：
【精彩点拨】　(1)利用对数恒等式a＝N求解；
(2)利用“底数”的对数为1，“1”的对数为0，由外到内逐层求解．
【自主解答】　(1)由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.
【答案】　B
得
解得x＝2.
②∵logeq
\s\do5((－1))＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点： 1 它们是同底的； 2 指数中含有对数的形式； 3 其值为对数的真数.)
[再练一题]
3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
【解】　∵log2(log3(log4x))＝0，
∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3.
∴x＝43＝64.
同理求得y＝16.
∴x＋y＝80.
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．e0＝1与loge1＝0
B．8eq
\s\up8(－)＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
【解析】　由指数、对数互化的关系：ax＝N x＝logaN可知A，B，D都正确；C中log39＝2 9＝32.
【答案】　C
2．已知logx8＝3，则x的值为(　　)
A.　　　　　
B．2
C．3
D．4
【解析】　由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.
【答案】　B
3．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　　)
A.≤x＜2
B.＜x＜2
C.＜x＜2或x＞2
D．2≤x≤3
【解析】　x应满足
∴x>，且x≠2.
【答案】　C
4．计算＝________.
【解析】　＝22·＝4×5＝20.
【答案】　20
5．求下列各式中的x.
【导学号：97512045】
(1)log2x＝－；
(2)log5(log2x)＝0.
【解】　(1)x＝2eq
\s\up12(－)＝eq
\s\up12().
(2)log2x＝1，x＝2.
第2课时　对数的运算
1．理解对数的运算性质．(重点)
2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．
[基础·初探]
教材整理1　对数的运算性质
阅读教材P98至P98“例4”以上部分，完成下列问题．
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…k)
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)
(2)logaxy＝logax·logay.(　　)
(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．(　　)
【解析】　(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay；
(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
教材整理2　换底公式与自然对数
阅读教材P100至P101“例6”以上部分，完成下列问题．
1．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
2．自然对数：ln
N＝ ln
N≈2.3026_lg_N.
计算：log29·log34＝________.
【解析】　由换底公式可得log29·log34＝·＝4.
【答案】　4
[小组合作型]
对数运算性质的应用
　求下列各式的值：
(1)lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18；
(2)；
(3)log3＋lg
25＋lg
4＋7；
(4)2log32－log3＋log38－5.
【精彩点拨】　当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．
【自主解答】　(1)原式＝lg(2×7)－2(lg
7－lg
3)＋lg
7－lg(32×2)＝lg
2＋lg
7－2lg
7＋2lg
3＋lg
7－2lg
3－lg
2＝0.
(2)原式＝＝＝＝.
(3)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg
102＋2＝－＋2＋2＝.
(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[再练一题]
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2·lg
50；
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25.
【解】　(1)原式＝lg25＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25＝2lg
2＋lg25＋lg
2(1＋lg
5)＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg2
5＋lg
2＋lg
2·lg
5＝2＋lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
对数运算的实际应用
　抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg
2≈0.301
0)
【精彩点拨】　根据题中的已知条件建立不等关系式，然后利用对数来解不等式．
【自主解答】　设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a.
则a(1－60%)n<0.1%a，即0.4n<0.001，两边取常用对数，得n·lg
0.40.001，
∴n>＝≈7.5.
故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
解对数应用题的步骤
[再练一题]
2．地震的震级R与震释放的能量E的关系为R＝(lg
E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．
【解析】　设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lg
E1－11.4)，
得lg
E1＝×9.0＋11.4＝24.9.
同理可得lg
E2＝×5.0＋11.4＝18.9，
从而lg
E1－lg
E2＝24.9－18.9＝6.
故lg
E1－lg
E2＝lg
＝6，则＝106＝1
000
000，
即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1
000
000倍．
【答案】　1000
000
[探究共研型]
对数换底公式的应用
探究1　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？
【提示】　进一步可以得到x＝log35，即log35＝.
探究2　由探究1，你能猜测与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？
【提示】　＝logab.假设＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以＝logab.
　(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．
【精彩点拨】　(1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．
【自主解答】　(1)由log1227＝a，得＝a，
∴lg
2＝lg
3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一　原式＝·log52＋＋
＝log52＋＋＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二　原式＝＋＋＝
＝＝13.
法三　原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13.
1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．
2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝logab，logaan＝n，lg
2＋lg
5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
[再练一题]
3．求值：log225·log3·log5＝________.
【解析】　原式＝log252·log32－4·log53－2＝··＝16.
【答案】　16
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【解析】　利用对数的换底公式进行验证，
logab·logca＝·logca＝logcb，则B正确．
【答案】　B
2．lg
－2lg
＋lg
等于(　　)
A．lg
2　　　　　　　　　
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
【解析】　法一：lg
－2lg
＋lg
＝(lg
25－lg
16)－2(lg
5－lg
9)＋(lg
32－lg
81)＝2lg
5－4lg
2－2lg
5＋4lg
3＋5lg
2－4lg
3＝lg
2
法二：lg
－2lg
＋lg
＝lg＝lg
2.故选A.
【答案】　A
3．下列结论正确的是(　　)
A．loga(x－y)＝logax－logay
B.＝logax－logay
C．loga＝logax－logay
D．loga＝
【解析】　由对数的运算性质，知A，B，D错误，C正确．
【答案】　C
4．计算(lg
2)2＋lg
2·lg
50＋lg
25＝________.
【解析】　原式＝(lg
2)2＋lg
2·(1＋lg
5)＋2lg
5
＝lg
2(1＋lg
5＋lg
2)＋2lg
5＝2lg
2＋2lg
5＝2.
【答案】　2
5．已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
【解】　∵log189＝a,18b＝5，即log185＝b，
于是log3645＝＝＝＝＝.第二章
函数
[自我校对]
①定义域
②图象法
③解析法
④奇偶性
⑤二次函数的图象与性质
函数的概念
函数有三要素：定义域、值域和对应关系，其中定义域是研究函数问题的前提条件，研究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．
　(1)函数y＝＋(2x＋1)0的定义域是________．
(2)定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，
规定：函数h(x)＝
若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，x∈R，则函数h(x)的解析式为________，函数h(x)的最大值为________．
【精彩点拨】　(1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．
(2)根据函数h(x)的定义，对x进行分类讨论，可得出h(x)的解析式，求出分段函数每一段的最大值，最大者即为所求．
【规范解答】　(1)∵函数y＝＋(2x＋1)0，∴
解得x＜，且x≠－，
∴函数的定义域是.
(2)①由于函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，根据题意得：
当x≥1时，h(x)＝f(x)g(x)＝(－2x＋3)(x－2)＝－2x2＋7x－6；
当x＜1时，h(x)＝g(x)＝x－2.
所以h(x)＝
②当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－2＋，因此，当x＝时，h(x)最大，h(x)的最大值为.若x＜1时，h(x)＝x－2＜1－2＝－1.
∴函数h(x)的最大值为.
【答案】　(1)
(2)h(x)＝　
[再练一题]
1．已知二次函数y＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)＝________.
【导学号：60210067】
【解析】　因为f(3)＝f(－1)＝5，所以函数y＝f(x)的对称轴为x＝1，又y＝f(x)的最大值为13，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋13，且a<0，由f(3)＝a(3－1)2＋13＝5，解得a＝－2，所以f(x)＝－2(x－1)2＋13，即f(x)＝－2x2＋4x＋11.
【答案】　－2x2＋4x＋11
函数的性质
本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质，其中函数的单调性是研究函数的有力工具，利用单调性可以比较函数值的大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况．函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．
　已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝，
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并证明．
【精彩点拨】　(1)由函数是奇函数得到c＝0，再利用题中的2个等式求出a，b的值．
(2)在区间上任取2个自变量x1，x2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．
【规范解答】　(1)∵f(－x)＝－f(x)，∴c＝0.
∵∴∴
(2)由(1)可得f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝2x＋在区间上是单调递减的．
证明：设任意的两个实数0∵f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋－＝2(x1－x2)＋＝，
又∵0∴x2－x1＞0,0∴f(x)＝2x＋在区间上是单调递减的．
[再练一题]
2．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，解析式为f(x)＝.
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
【导学号：97512035】
【解】　(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝，
又∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝，∴f(x)＝，
又∵奇函数在0点有意义，∴f(0)＝0，
∴函数的解析式为f(x)＝
(2)证明：设 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，
∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象的思维和形象思维相结合，把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形．
　已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x，
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(－1，a－2)上单调递增，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】　(1)根据函数奇偶性，即可求函数f(x)在R上的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，利用数形结合的思想即可求出a的取值范围．
【规范解答】　(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0.
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x.
所以f(x)＝
(2)作出函数f(x)＝的图象如图：
则由图象可知要使f(x)在(－1，a－2)上单调递增，
则所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
[再练一题]
3．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图2 1所示，则不等式<0的解集是________．
图2 1
【解析】　将不等式<0转化为f(x)g(x)＜0，如图所示：当x＞0时，其解集为(0,1)∪(2,3)，∵y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，∴f(x)g(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)g(x)＜0，∴其解集为(－2，－1)．
综上，不等式<0的解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}．
【答案】　{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}
二次函数的有关问题
对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，在区间[m，n]上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论：
(1)当－(2)当m≤－≤n时，最小值为f＝，
最大值为f(m)或f(n)m，n离－较远的一处对应的函数值为最大值；
(3)当－>n时，f(x)在[m，n]上是减函数，最小值为f(n)，最大值为f(m)．
当a<0时，可仿此讨论．
　设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的最值．
【精彩点拨】　解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．
【规范解答】　(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，
所以f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．
函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．
(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.
综上，f(x)的最大值为2，最小值为－2.
[再练一题]
4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)．它们与投入资金x(万元)的关系为：P＝x，Q＝，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？能获得多少利润？
【解】　设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
∵经营销售甲、乙两种商品所获利润P、Q与投入的资金x的关系为：P＝x，Q＝.
∴y＝x＋(0≤x≤3)．
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.
∴y＝(3－t2)＋t＝－2＋.
当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)；
当t＝时，x＝＝0.75(万元)．
∴3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润1.05万元.
函数与方程思想
函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的．在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想．
　已知函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围.
【导学号：60210068】
【精彩点拨】　法一：将函数零点问题转化成方程根的问题求解．法二：借助函数f(x)的图象利用数形结合的思想求解．
【规范解答】　法一：函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．
函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a<0，
∴a>.
设A＝，
则 RA＝，
即满足题意的实数a的取值范围是.
法二：函数f(x)的图象如图所示，f(x)至少有一个零点为非负实数，必有f＝－＋a≤0
∴a≤，a的取值范围是.
[再练一题]
5．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根，分别为x1＝3，x2＝4，求函数f(x)的解析式．
【解】　将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得解得
∴f(x)＝(x≠2)．
1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0　　　　　　　　
B．m
C．2m
D．4m
【解析】　∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.
【答案】　B
2．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
【解析】　由题意知当x>时，f＝f，
则当x>0时，f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.
【答案】　D
3．设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
【解析】　∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
【答案】　－2　1
4．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【解析】　
作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m20.又m>0，解得m>3.
【答案】　(3，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为实数．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．
【解】　(1)当a＝0时，f(x)＝，显然是奇函数；
当a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x2)，
因为1≤x1所以20，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)在[1,2]上单调递增．第三章
基本初等函数（Ⅰ）
[自我校对]
①分数指数幂
②互为反函数
③对数函数
④解析式y＝logax(a>0，a≠1)
⑤logaN
⑥解析式y＝xα
⑦越来越慢
⑧越来越快爆炸式增长
指数、对数的运算
解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N
>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．
【精彩点拨】　(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出；
(2)利用指数幂的运算法则即可得出．
【规范解答】　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
－1＋＋＋＝.
[再练一题]
1．计算：
【解】　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.
指数、对数型函数的定义域、值域
求指数型与对数型函数的定义主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性．
涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y＝af(x)和y＝logaf(x)的函数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y＝f(ax)和y＝f(logax)的函数，则要根据ax和logax的范围，利用函数y＝f(x)的性质求解．
(2)已知－3≤logx≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
【精彩点拨】　
(2)由f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2，结合二次函数的性质即可求解．
【规范解答】　
故所求函数的值域为.
(2)∵－3≤logx≤－，∴≤log2x≤3，
∴f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－.
当log2x＝3时，f(x)max＝2，当log2x＝时，f(x)min＝－.
[再练一题]
【导学号：60210098】
【解】　令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4，则y＝22x－1－3·2x＋5＝k2－3k＋5.
又y＝(k－3)2＋，k∈[1,4]，
∴y＝(k－3)2＋在k∈[1,3]上是减函数，
在k∈[3,4]上是增函数，∴当k＝3时，ymin＝；当k＝1时，ymax＝.
即函数的最大值为，最小值为.
幂、指数、对数函数的图象和性质
解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．
对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．
　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　
B.
C．(1，)
D．(，2)
【精彩点拨】　由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．
【规范解答】　当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，∴即对0＜x≤时恒成立，∴解得＜a＜1，故选B.
【答案】　B
[再练一题]
3．若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(　　)
【解析】　由loga2＜0(a＞0，且a≠1)，可得0＜a＜1，函数f(x)＝ax＋1＝a·ax，
故函数f(x)在R上是减函数，且经过点(0，a)，故选A.
【答案】　A
比较大小问题
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
　比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；
(2)log53，log63，log73.
【精彩点拨】　利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．
【规范解答】　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.
(2)∵0∴log53>log63>log73.
[再练一题]
4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c　　　　　
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
【解析】　∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.
【答案】　C
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
【解析】　
【答案】　D
分类讨论思想
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．
(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】　(1)结合f(3)(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．
【规范解答】　
∵m∈N，∴m＝0或1.
综上，m＝1，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)．
①当00.
∴无解；
②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0.
∴
解得a<2.
∴实数a的取值范围为1[再练一题]
6．设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P、Q的大小．
【解】　当0又当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q；
当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.
又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
综上可得P>Q.
1．函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)
【解析】　∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
【答案】　D
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　
B.∪
C.
D.
【解析】　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.
【答案】　C
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)(　　)
【导学号：97512060】
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
【解析】　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
【答案】　B
4．已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图象上，则f(x)的反函数f－1(x)＝________.
【解析】　∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图象上，
∴1＋a3＝9，解得a＝2，∴f(x)＝1＋2x
∴f－1(x)＝log2(x－1)
【答案】　log2(x－1)
5．已知a∈R，函数f(x)＝log2.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素，求a的值；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【解析】　(1)由log2>1，得＋1>2，解得{x|0(2)log2＋log2(x2)＝0有且仅有一解，
等价于x2＝1有且仅有一解，等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一解．
当a＝0时，x＝1，符合题意；
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上，a＝0或－.
(3)当0＋a，
log2>log2，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1)＝log2－log2≤1即at2＋(a＋1)t－1≥0，
对任意t∈成立．
因为a>0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，所以t＝时，y有最小值a－，由a－≥0，得a≥.故a的取值范围为.2．1.3　函数的单调性
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点)
2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)
3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)
[基础·初探]
教材整理　增函数与减函数的定义
阅读教材P44～P45“例1”以上部分，完成下列问题．
1．增函数与减函数的定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图2 1 6(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图2 1 6(2)．
(1)　　　　　(2)
图2 1 6
2．函数的单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知f(x)＝，因为f(－1)(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”．(　　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)
【解析】　(1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．
(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．
(3)×.反例：f(x)＝
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
2．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．
【答案】　(－∞，1)
[小组合作型]
求函数的单调区间
　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【精彩点拨】　(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．
【自主解答】　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
1．求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
[再练一题]
1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.
【解析】　因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．
【答案】　(a，＋∞)
函数单调性的判定与证明
　(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝
D．f(x)＝x2＋2x
(2)用定义法证明函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数．
【精彩点拨】　(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．
(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．
【自主解答】　(1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．
【答案】　D
(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以，函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数．
判断函数的单调性除用定义判断外，还可用图象法、直接法等．
1．图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性．
2．直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性．
[再练一题]
2．已知函数f(x)＝－，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
【证明】　设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
[探究共研型]
函数单调性的应用
探究1　根据函数单调性的定义，若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值是越大还是越小？如果函数f(x)是减函数呢？
【提示】　若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值就越大；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当自变量x越大，函数值就越小．
探究2　若函数f(x)＝ax2－4ax＋3，显然其图象的对称轴为x＝2，那么f(4)>f(3)一定成立吗？
【提示】　不一定．如果函数f(x)是图象开口向上的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则f(4)>f(3)；如果函数f(x)是图象开口向下的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f(4)探究3　若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？
【提示】　因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞) (a，＋∞)，所以a≤2.
　(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　)
A．f(a)＜f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋1)＜f(a)
D．f(a2＋a)＜f(a)
(2)如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3
B．b≥3
C．b≤3
D．b≠3
【精彩点拨】　(1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．
(2)分析函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．
【自主解答】　(1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，没法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝2＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C.
(2)函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口朝上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.
【答案】　(1)C　(2)C
1．已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．
(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围________．
【解析】　设x2>x1>－2，f(x2)－f(x1)＝－＝，
因为f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，所以<0，因为(x2＋2)(x1＋2)>0，x2－x1>0，所以2a－1<0，所以a<.
【答案】　
1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
【解析】　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1【答案】　C
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　
B．(1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
【答案】　B
3．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)C．f(x1)＝f(x2)
D．以上都有可能
【解析】　∵函数f(x)＝－在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1【答案】　B
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)【导学号：97512015】
【解析】　∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<，
即x的取值范围是.
【答案】　
5．证明函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．
【证明】　设－1＜x1＜x2＜0，则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数在(－1,0)上为减函数．1.2.2　集合的运算
第1课时　交集、并集
1．理解两个集合交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　交集
阅读教材P15内容，完成下列问题．
1．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
【解析】　集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.
【答案】　B
2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－3≤x≤5}
B．{x|－2≤x＜4}
C．{x|－2≤x≤5}
D．{x|－3≤x＜4}
【解析】　∵集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，∴A∩B＝{x|－2≤x＜4}，故选B.
【答案】　B
教材整理2　并集
阅读教材P16“并集”以下～P17“图1－4”以上部分，完成下列问题．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合中元素个数之和．(　　)
(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．(　　)
(3)若A∪B＝A，则A B.(　　)
【解析】　(1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．
(2)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．
(3)×.若A∪B＝A，则应有B A.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理3　交集与并集的运算性质
阅读教材P17“图1－4”以下～P17“例5”以上部分，完成下列问题.
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩ ＝
A∪ ＝A
A B A∩B＝A
A B A∪B＝B
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合M＝{直线}与集合N＝{圆}无交集．(　　)
(2)两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数．(　　)
(3)若A∩B＝C∩B，则A＝C.(　　)
【解析】　(1)∵M∩N＝ ，
∴(1)对．
(2)∵A∪A＝A∩A，∴(2)错．
(3)设A＝{0,1}，B＝{1}，C＝{1,2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故(3)错．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
求并集
　(1)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝(　　)
A．{x|－1≤x<3}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}
D．{x|x≥－1}
【精彩点拨】　(1)集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．
(2)欲求P∪Q，只需将P，Q用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得P∪Q.
【自主解答】　(1)因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，
所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．
(2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}．
【答案】　(1)D　(2)C
1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍．
[再练一题]
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为______．
【解析】　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∪B中元素个数为5.
【答案】　5
求交集
　(1)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(　　)
A．{x|2＜x＜5}　　　　　
B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2或x＞5}
(2)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
【精彩点拨】　(1)欲求A∩B，只需将A，B用数轴表示出来，找出它们的公共元素，即得A∩B.
(2)用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可．
【自主解答】　(1)A＝{x|25}，
如图A∩B＝{x|2(2)∵A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集．
∴A∩Z＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．
【答案】　(1)C　(2)B
求两个集合的交集时，要注意：
1 求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
2 若集合中元素个数无限，常借助数轴，把集合表示在数轴上，利用交集的定义求解，这样处理比较形象直观.
[再练一题]
2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.
【解析】　∵A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，∴A∩B＝{－1}．
【答案】　{－1}
[探究共研型]
并集、交集的运算性质及应用
探究1　设A、B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有什么关系？
【提示】　A∩B＝A A∪B＝B A B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A B三者为等价关系．
探究2　若A B，那么集合A是否可能为空集？
【提示】　因为空集是任何集合的子集，所以集合A有可能为空集．
探究3　集合{x|x2＋2x－a＝0}是否可能为空集，如果可能是空集，求出实数a的取值范围，若不可能，说明理由？
【提示】　集合{x|x2＋2x－a＝0}可能为空集．当方程x2＋2x－a＝0的判别式Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，方程x2＋2x－a＝0无解，则集合{x|x2＋2x－a＝0}为空集．
　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】　(1)根据条件A∩B＝{2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．
(2)A∪B＝A等价为B A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【自主解答】　(1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将2带入集合B中，得4＋4(a－1)＋a2－5＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述：a＝－5，或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，∵A＝{1,2}，∴B＝ 或B＝{1}或{2}或{1,2}．
①若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a＜0，解得a＞3，
②若B＝{1}，则
即不成立．
③若B＝{2}，则
即不成立，
④若B＝{1,2}，
则
即此时不成立，
综上a＞3.
1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况．
2．集合运算常用的性质
(1)A∪B＝B A B；
(2)A∩B＝A A B；
(3)A∩B＝A∪B A＝B等．
3．利用集合的并、交求参数的值或范围时，要注意检验集合元素的互异性．
[再练一题]
3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合．
【解】　A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B A，故分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
(1)B＝ 时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
则Δ＝16－4a<0，解得a>4.
(2)B≠ 时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2} A满足条件；
当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a＝4.
综上，a的取值集合为{a|a≥4}．
1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝(　　)
A．{2,3}
B．{0,1}
C．{0,1,4}
D．{0,1,2,3,4}
【解析】　因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.
【答案】　A
2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝(　　)
A．(2,3)
B．[－1,5]
C．(－1,5)
D．(－1,5]
【解析】　∵集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，∴A∪B＝{－1≤x≤5}．故选B.
【答案】　B
3．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】　由M∪N＝{－1,0,1}，得到集合M M∪N，且集合N M∪N，
又M＝{－1,0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C.
【答案】　C
4．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则(　　)
A．a＝3，b＝2
B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2
D．a＝－2，b＝－3
【解析】　∵A∩B＝{(2,5)}，∴
解得故选B.
【答案】　B
5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求：
(1)A∪B；
(2)C∩B.
【解】　(1)由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．
(2)由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，
则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
第2课时　补集及其综合应用
1．了解全集的含义及其符号表示．(易错点)
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　全集与补集
阅读教材P18“补集”以下部分，完成下列问题．
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定集合为全集，通常用符号U表示．
2．补集
自然语言
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 UA，读作A在U中的补集．
符号语言
UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素．(　　)
(2)集合 ZN与集合 ZN＋相等．(　　)
(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素．(　　)
【解析】　(1)∵ UU＝ ，∴(1)错；
(2)∵0 ZN，而0∈ ZN＋，∴(2)错；
(3)由补集定义知(3)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞2}，则 MN＝________.
【解析】　由补集定义可得
MN＝{x|1＜x≤2}．
【答案】　{x|1＜x≤2}
3．已知全集为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则 RA＝
________.
【解析】　如图所示，集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是 RA＝{x|1≤x<5}．
【答案】　{x|1≤x<5}
教材整理2　补集的性质
阅读教材P19“例6”以上部分，完成下列问题．
1．A∪ U
A＝U，A∩ U
A＝ ， U( U
A)＝A.
2． U
A∩ UB＝ U(A∪B)， U
A∪ UB＝ U(A∩B)．
设全集为U，A＝{1,2,4,5}， UA＝{3}，则U等于(　　)
A． 　　　　　　　　
B．{1,2,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．{3}
【解析】　因为A∪ UA＝U，所以U＝{1,2,3,4,5}．
【答案】　C
[小组合作型]
求补集
　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则 UA＝(　　)
A．
B．{1,3,6,7}
C．{2,4,6}
D．{1,3,5,7}
(2)已知全集U＝{x|x>0}， UA＝{x|1【精彩点拨】　(1)根据补集的定义求解；
(2)利用补集的性质求解．
【自主解答】　(1)∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则由集合的补集的定义可得 UA＝{1,3,6,7}，故选B.
(2)A＝ U( UA)＝{x|02}．
【答案】　(1)B　(2){x|02}
如果全集及其子集是用列举法表示的，可根据补集的定义求解，如果较为复杂，还可借助于Venn图求解；如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助于数轴求解.
[再练一题]
1．(1)设全集U＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若 UM＝{2,3}，则实数p的值为(　　)
A．－4
B．4
C．－6
D．6
(2)已知A＝{x||x|<4，x∈Z}，B＝{－2,1,3}，则 AB＝________.
【解析】　(1)由全集U＝{1,2,3,4}， UM＝{2,3}，得到集合M＝{1,4}，即1和4是方程x2－5x＋p＝0的两个解，则实数p＝1×4＝4.
(2)易知A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，
所以 AB＝{－3，－1,0,2}．
【答案】　(1)B　(2){－3，－1,0,2}
集合并、交、补集的综合运算
　(1)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥3}，则图1 2 1中阴影部分所表示的集合为(　　)
图1 2 1
A．{0,1,2}
B．{0,1}
C．{1,2}
D．{1}
(2)已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合 RB∩A＝________.
【精彩点拨】　(1)由图观察阴影部分所代表的集合，然后求解．
(2)先求 RB，借助于数轴求解；
【自主解答】　(1)由题意，阴影部分表示A∩ UB.
因为 UB＝{x|x<3}，所以A∩ UB＝{1,2}．
(2)因为B＝{x|－2≤x≤2}，所以 RB＝{x|x<－2，或x>2}， RB∩A＝{x|x>2}．
【答案】　(1)C　(2){x|x>2}
1．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．
2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．
[再练一题]
2．已知全集U＝{x|1≤x≤8且x∈N
}，集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，求A∩B， UA∪B，A∩ UB.
【解】　因为集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，所以A∩B＝{2,7}，
因为全集U＝{x|1≤x≤8且x∈N
}，
则 UA＝{3,4,6,8}， UB＝{1,3,5,8}，
所以 UA∪B＝{2,3,4,6,7,8}，A∩ UB＝{1,5}．
[探究共研型]
根据补集的运算求参数的值或范围
探究1　如果“a∈ UB”，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈A∩ UB”意味着什么？
【提示】　如果“a∈ UB”，那么a B.“a∈A∩ UB”意味着a∈A且a B.
探究2　是否存在元素a，使得a∈A且a∈ UA？若集合A＝{x|－2【提示】　不存在．若集合A＝{x|－23}．
　(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩ UA＝{2}，A∩ UB＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
(2)已知集合A＝{x|2a－2【精彩点拨】　(1)由条件可判断元素2和4所在的集合，代入到对应的方程中，解方程组可以解出实数a，b的值．
(2)求出 RB，根据A RB，列出不等式组，可求a的取值范围．
【自主解答】　(1)∵B∩ UA＝{2}，∴2∈B，但2 A.∵A∩ UB＝{4}，∴4∈A，但4 B.
∴解得
∴a，b的值分别为，－.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .
∵A RB，∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
①若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠ ，则有或
∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
1．已知元素与已知集合补集的关系，一般要转化为元素与该集合的关系求解．
2．已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的取舍．
[再练一题]
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A UB，求实数a的取值范围．
【解】　若B＝ ，此时 UB＝R，且A UB；则a＋1>2a－1，所以a<2，
若B≠ ，则a＋1≤2a－1，
即a≥2，
此时 UB＝{x|x2a－1}，
由于A UB，
如图，
则a＋1>5，∴a>4，
所以实数a的取值范围为{a|a<2，或a>4}.
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则 UA＝(　　)
　　　　　　
　　　　　
A．{1,2}
B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．
【解析】　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴ UA＝{3,4,5}．
【答案】　B
2．设全集U＝R，集合A＝{x|1A．{x|1≤x<2}
B．{x|x<2}
C．{x|x≥5}
D．{x|1【解析】　 UB＝{x|x<2，或x≥5}，A∩ UB＝{x|1【答案】　D
3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则 RA∩B＝(　　)
A．{－2，－1}
B．{－2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
【解析】　因为集合A＝{x|x>－1}，所以 RA＝{x|x≤－1}，则 RA∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
【答案】　A
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
【解析】　∵A＝{x|1≤x＜a}， UA＝{x|2≤x≤5}，
∴A∪ UA＝U＝{x|1≤x≤5}，
且A∩ UA＝ ，因此a＝2.
【答案】　2
5．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B， UA∩ UB，A∩ UB， UA∪B.
【解】　法一　由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．
UA＝{1,2,6,7,8}， UB＝{1,2,3,5,6}，
∴ UA∩ UB＝{1,2,6}，A∩ UB＝{3,5}，
UA∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
法二　画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}， UA∩ UB＝{1,2,6}，
A∩ UB＝{3,5}， UA∪B＝{1,2,4,6,7,8}．2．2.2
二次函数的性质与图象
1．会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．(重点)
2．通过图象研究二次函数的性质．(重点)
3．掌握研究二次函数常用的方法——配方法．(重点)
4．会求二次函数在闭区间上的最值(值域)．(难点)
[基础·初探]
教材整理　二次函数的性质与图象
阅读教材P57～P60“例3”以上部分，完成下列问题．
1．二次函数的概念
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.
2．二次函数的性质与图象
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
性质
抛物线开口向上，并向上无限延伸
抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴是x＝－，顶点坐标是－，
对称轴是x＝－，顶点坐标是
在区间上是减函数，在区间上是增函数
在区间上是增函数，在区间上是减函数
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
性质
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，ymin＝
抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，ymax＝
b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋c在y轴的左侧是减函数．(　　)
(2)函数y＝2x2＋3是偶函数，对称轴为x＝－.(　　)
(3)二次项系数|a|的大小决定着二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口大小．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则(　　)
A．m＝－2　　　　　　　　
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】　∵y＝f(x)关于x＝1对称，
∴－＝－＝1，∴m＝－2.
【答案】　A
[小组合作型]
二次函数的图象
　(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　C　　　D
(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.
(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？
【解析】　A图，a＜0，c＜0，－＜0，
∴b＜0，
∴abc＜0，不合题意．
B图，a＜0，c＞0，－＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，不合题意．
C图，a＞0，c＜0，－＜0，∴b＞0，
∴abc＜0，不合题意．
D图，a＞0，c＜0，－＞0，∴b＜0，此时abc＞0满足题意，故选D.
(2)y＝x2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.
【答案】　(1)D　(2)1
(3)由二次函数的定义知
即解得
所以m＝－3.
所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数．
观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号 值 ，对称轴的位置决定－\f(b,2a)的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.
[再练一题]
1．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)
A　
　B　　　C　　　D
【解析】　由y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限可知a＜0，b＜0，所以y＝ax2＋bx的图象开口向下、对称轴方程x＝－＜0，结合图选项可知，选C.
【答案】　C
二次函数的性质
　已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小.
【精彩点拨】　→→
→→
【解】　f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
(1)顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)∵f＝1，又＝，
＝，
所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝f＝1.
(3)由f(x)＝32＋知二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝－，所以离对称轴越近，函数值越小．
又<，
∴f1．求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法，掌握抛物线的顶点坐标公式.
2．比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．
[再练一题]
2．已知函数f(x)＝－x2－3x－.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝，不计算函数值求f；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
【解】　f(x)＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5)
＝－(x＋3)2＋2.
(1)顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x＝－3.
(2)f＝f(－3.5)＝f(－3－0.5)＝f(－3＋0.5)＝f＝.
(3)f＝f＝f(－3＋)＝f.
∵－，－∈[－3，＋∞)，而f(x)在[－3，＋∞)上是减函数，
∴f即f[探究共研型]
二次函数的最值
探究1　如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？
【提示】　函数在对称轴处取得最值．
探究2　已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．
【提示】　∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.
　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．
【精彩点拨】　首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．
【自主解答】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴抛物线的对称轴为x＝1.
(1)∵x＝1∈[0,4]，
∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.
∵f(0)＝2∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.
(2)∵x＝1 [2,3]．
∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，
当x＝3时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(3)＝5.
求二次函数f x ＝ax2＋bx＋c a>0 在[m，n]上的最值的步骤：
1 配方，找对称轴；
2 判断对称轴与区间的关系；
3 求最值.若对称轴在区间[m，n]外，则f x 在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m，n]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.
[再练一题]
3．本题中解析式不变求“当x∈[t，t＋1]时，f(x)的最小值g(t)．”
【解】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝
1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上(　　)
A．单调递减　　　　　
B．单调递增
C．先增后减
D．先减后增
【解析】　当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．
【答案】　C
2．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2,0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　由抛物线y＝ax2－6x经过点(2,0)得a＝3，∴y＝3x2－6x＝3(x－1)2－3，此抛物线顶点为(1，－3)，到原点距离为＝.
【答案】　B
3．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则(　　)
A．f(4)＜f(1)＜f(2)
B．f(2)＜f(1)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)
D．f(4)＜f(2)＜f(1)
【解析】　f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【答案】　B
4．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的递减区间是(－∞，1－a]．
又∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
【答案】　(－∞，－3]
5．求函数f(x)＝x2＋2x在[t,1]上的值域．
【解】　函数f(x)＝x2＋2x的对称轴为x＝－1，则
(1)当－1值域为[f(t)，f(1)]，即[t2＋2t,3]．
(2)当－3≤t≤－1时，函数在x＝－1处取最小值，
在x＝1处取最大值，值域为[f(－1)，f(1)]，即[－1,3]．
(3)当t<－3时，函数在x＝－1处取最小值，在x＝t处取最大值，值域为[f(－1)，f(t)]，即[－1，t2＋2t]．3.2.3　指数函数与对数函数的关系
1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系．(重点)
2．利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异．
3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　指数函数与对数函数的关系
阅读教材P104～P105内容，完成下列问题．
1．反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．称这两个函数互为反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　)
(3)函数y＝ex的图象与y＝lg
x的图象关于y＝x对称．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
【解析】　所以g(x)的图象一定过点(1,0)．
【答案】　(1,0)
[小组合作型]
指数函数与对数函数图象之间的关系
　(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象只能是(　　)
A　　　B　　　C　　　D
(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是图中的(　　)
A．　　　　　　　　B.
C．　　　　　　　　D.
(3)将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象(　　)
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
【解析】　(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．
(2)因为a>1时，y＝a－x＝,0<<1是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A.
(3)将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图象即可得到．故选D.
【答案】　(1)C　(2)A　(3)D
互为反函数的图象特点
1．互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
2．互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．
3．若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．
[再练一题]
1．若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值为________.
【解析】　由y＝可得x＝，则原函数的反函数是y＝，所以＝，得a＝－1.
【答案】　－1
求反函数
　求下列函数的反函数．
(1)y＝；(2)y＝5x＋1.
【精彩点拨】　按照求反函数的基本步骤求解即可．
【解】　
且y>0，
(2)由y＝5x＋1，得x＝，
∴f－1(x)＝(x∈R)．
求函数的反函数的主要步骤
1．从y＝f(x)中解出x＝φ(y)．
2．将x，y互换．
3．标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”．
[再练一题]
2．求下列函数的反函数．
(2)y＝2x＋1.
【解】　
(2)由y＝2x＋1，得x＝(y－1)，
对换x，y得y＝x－，
又x∈R时，y∈R，
∴y＝2x＋1的反函数是y＝x－(x∈R).
反函数性质的应用
　已知x1是方程x＋lg
x＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，则x1＋x2的值是(　　)
A．6　　　　　　　　
B．3
C．2
D．1
【精彩点拨】　两方程分别化为：lg
x＝3－x,10x＝3－x.令f(x)＝lg
x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x.把三个函数图象画在同一坐标系中，则x1、x2分别是直线h(x)与f(x)、g(x)图象交点的横坐标，注意f(x)与g(x)互为反函数．
【解析】　将已知的两个方程变形得
lg
x＝3－x,10x＝3－x.
令f(x)＝lg
x，g(x)＝10x，
h(x)＝3－x.
如图所示．
记g(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，
f(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A、B两点关于直线y＝x对称，
便有x1＝y2，x2＝y1的结论．
将A点坐标代入直线方程，得y1＝3－x1，
再将y1＝x2代入上式，得x2＝3－x1，
即x1＋x2＝3.故选B.
【答案】　B
解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决.
[再练一题]
3．若把方程中的“lg
x”改为“log2x”，“10x”改为“2x”，再求x1＋x2的值．
【解】　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A点坐标代入)或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3，即x1＋x2＝3.
[探究共研型]
对数函数单调性的综合应用
探究1　对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域是什么？其单调性如何？
【提示】　定义域为(0，＋∞)．当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，当0【提示】　
(2)函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的范围是(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
【精彩点拨】　(1)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解；
(2)结合二次函数的性质及对数函数的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
【自主解答】　(1)f(x)＝
(x2＋2x＋3)＝[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以[(x＋1)2＋2]≤2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
(2)若函数f(x)＝在x∈R内单调递减，
则解得≤a≤，故选B.
【答案】　(1)(－∞，－1]　(2)B
1．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
2．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解，若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
[再练一题]
4．已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
【解析】　∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，
∴f(0)＞f(1)，
即loga2＞loga(2－a)．∴∴1＜a＜2.
【答案】　B
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　
B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】　y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
【答案】　C
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)
A．log2x　　　　　　
B.
C．
D．2x－2
【解析】　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
【答案】　A
3．已知函数f(x)＝2x＋1，则f－1(4)＝________.
【解析】　由2x＋1＝4，得x＝1，∴f－1(4)＝1.
【答案】　1
4．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
【解析】　∵x≥1，∴log2x≥0，
∴log2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
【答案】　[3，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过(1,7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4,0)，求f(x)的表达式．
【解】　∵y＝f－1(x)过(4,0)点，
∴y＝f(x)过点(0,4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，
又∵f(x)＝ax＋b过点(1,7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.2．3　函数的应用(Ⅰ)
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理　几类函数模型
阅读教材P65～P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题．
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图2 3 1所示，判断下列说法的对错．
图2 3 1
(1)甲比乙先出发．(　　)
(2)乙比甲跑的路程多．(　　)
(3)甲、乙两人的速度相同．(　　)
(4)甲先到达终点．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(　　)
A．52　　　　　　　
B．52.5
C．53
D．52或53
【解析】　因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，
所以f(x)＝105x－x2＝－2＋，
所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
【答案】　D
[小组合作型]
一次函数模型的应用
　(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
A．2
000套　　　　
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
(2)如图2 3 2所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
图2 3 2
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
【解析】　(1)因利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0，解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．
(2)①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得y＝1.2t(t≥3)．
【答案】　(1)D　(2)①3.6　②6　③y＝1.2t(t≥3)
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
[再练一题]
1．某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？
【导学号：60210056】
【解】　设每天从报社买进x份报纸，易知250≤x≤400，设每月赚y元，则
y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1
050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1
050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1
050＝1
170(元)．
故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1
170元.
二次函数模型的应用
　商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【精彩点拨】　(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
【自主解答】　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，
∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10
000k(x∈(100,300])，
∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10
000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10
000k·75%，
即x2－400x＋37
500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
[再练一题]
2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求供水开始几小时后，水池中的存水量最少．
【解】　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)，设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
[探究共研型]
分段函数模型的应用
探究1　分段函数f(x)＝的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？
【提示】　分段函数f(x)是各段自变量取值范围的并集，即D1∪D2∪…∪Dn，分段函数的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值．
探究2　解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？
【提示】　根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是．
　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【精彩点拨】　(1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【自主解答】　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1
200＝－(t－5)2＋1
225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝1
200(当t＝0或10时取得)．
②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2
000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，ymax＝1
200(t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)，
由①②知ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．
[再练一题]
3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15
000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【解】　(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1
200－10x；
即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15
000；
当30＜x≤75，S＝x(1
200－10x)－15
000＝－10x2＋1
200x－15
000；
即S＝
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15
000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12
000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1
200x－15
000＝－10(x－60)2＋21
000，
即x＝60时，Smax＝21
000＞12
000.
所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．
1．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5【解析】　依题意，得2x＋y＝20，
∴y＝20－2x.
又y>0，∴20－2x>0，∴x<10.
又2x>y，∴2x>20－2x，
∴x>5，∴5【答案】　D
2．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
【解析】　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000＝－Q2＋30Q－2
000＝－(Q－300)2＋2
500，
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2
500万元．
【答案】　2
500
3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
【解析】　设彩电的原价为a，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2
250.∴每台彩电的原价为2
250元．
【答案】　2
250
4．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元.
【导学号：60210057】
【解析】　设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
【答案】　60
5．某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的关系如图2 3 3所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
图2 3 3
【解】　根据题意，得每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的函数关系式是：
y＝.
①当0≤x≤400时，由3.75x＝750，
得x＝200.
②当400≤x≤600时，
由1.25x＋1
000＝750，
得x＝－200(舍去)．
综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张．2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点)
2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　变号零点与不变号零点
阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．
1．零点存在的判定
条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.
结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.
2．变号零点
如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．
3．不变号零点
如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．
函数f(x)的图象如图2 4 1所示，则函数f(x)的变号零点的个数为(　　)
图2 4 1
A．0　　　　　　
B．1　　　　
C．2
D．3
【解析】　函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．
【答案】　D
教材整理2　二分法
阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．
1．定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．
2．求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：
①在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．
②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝.
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．
b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0.
c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝.
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．
b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.
c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间[an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)
【解析】　(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．
(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．
(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[小组合作型]
二分法的概念
　(1)
图2 4 2
已知函数f(x)的图象如图2 4 2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　　　　　　
B．3,4
C．5,4
D．4,3
(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
【导学号：60210063】
【精彩点拨】　(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．
【自主解答】　(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．
【答案】　(1)D　(2)(2,3)
二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
[再练一题]
1．下面关于二分法的叙述，正确的是(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
【解析】　只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
【答案】　B
变号零点与不变号零点的判断
　分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点．
(1)f(x)＝3x－6；
(2)f(x)＝x2－x－12；
(3)f(x)＝x2－2x＋1；
(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.
【精彩点拨】　(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．
【解】　(1)零点是2，是变号零点．
(2)零点是－3和4，都是变号零点．
(3)零点是1，是不变号零点．
(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.
图象连续不间断的函数f x 在[a，b]上，若f a ·f b <0，则函数f x 在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.
[再练一题]
2．判断下列函数是否有变号零点．
(1)y＝x2－5x－14；
(2)y＝x2＋x＋1；
(3)y＝x4－18x2＋81.
【解】　(1)零点是－2,7，是变号零点．
(2)无零点．
(3)零点是－3,3，都不是变号零点．
[探究共研型]
用二分法求方程的近似解
探究1　函数y＝f(x)的零点与方程f(x)＝0的解有何关系？
【提示】　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．
探究2　如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？
【提示】　设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．
　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
【精彩点拨】　构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论．
【自主解答】　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687
5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687
5)<0
由于|0.687
5－0.75|＝0.062
5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687
5.
1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
[再练一题]
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
【解析】　由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
【答案】　A
1．下列函数中能用二分法求零点的是(　　)
【解析】　在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．
【答案】　C
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1　　　　　
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
【解析】　据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
【答案】　B
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
【解析】　由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
【答案】　B
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.406
25)＝－0.054
f(1.437
5)＝0.162
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________．(精确到0.1)
【导学号：97512033】
【解析】　根据题意知函数的零点在1.406
25至1.437
5之间，因为此时|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.
【答案】　1.4
5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
【证明】　∵f(1)>0，
∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，
∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，
从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．1．1.1　集合的概念
1．通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3．体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1　元素与集合的相关概念
阅读教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列问题．
1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．
2．元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．
3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作 .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)本班的“帅哥”组成集合．(　　)
(2)漂亮的花组成集合．(　　)
(3)联合国常任理事国组成集合．(　　)
【解析】　(1)不正确．因为“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合．
(2)不正确．因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．
(3)正确．因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　元素与集合的关系
阅读教材P3“最后一行”～P4“第6行”以上的内容，完成下列问题．
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
用符号“∈”或“ ”填空：
0__________ ，－________Z，π
__________Q，________Q，|－4|________N
.
【解析】　根据常见数集及其记法进行判断．
【答案】　 　 　 　∈　∈
教材整理3　集合的特性及分类
阅读教材P4“思考与讨论”以下～P4“练习A”以上的内容，完成下列问题．
1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2．集合的分类
(1)有限集：含有有限个元素的集合．
(2)无限集：含有无限个元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
已知集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　
B．1
C．－1
D．1或－1
【解析】　当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
【答案】　C
[小组合作型]
集合的概念
　下列所给的对象能构成集合的是________．
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2016年里约热内卢奥运会的年轻运动员；
⑥的近似值的全体.
【导学号：60210000】
【精彩点拨】　判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．
【自主解答】　①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；
⑥不能构成集合，因为“的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
【答案】　①③④
判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.
[再练一题]
1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　)
A．佛冈中学高一班的全体男生
B．佛冈中学全校学生家长的全体
C．李明的所有家人
D．王明的所有好朋友
【解析】　A中，佛冈中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；B中，佛冈中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D.
【答案】　D
元素与集合的关系
　给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0 N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2| Z.
其中正确命题的个数为(　　)
A．4　　
B．3　　　
C．2　　　
D．1
【精彩点拨】　首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．
【自主解答】　R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．
【答案】　C
1．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．
2．解决本例及类似问题要准确记忆数集Q，N，R及Z的含义，防止因混淆其含义而出现失误．
[再练一题]
2．用符号“∈”或“ ”填空．
若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.
【解析】　第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)、(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)
A.
【答案】　∈　∈　
[探究共研型]
集合中元素的特性
探究1　“北京市的高楼”能否组成一个集合？“北京市高于100米的楼能否组成一个集合？集合的定义中“某些确定的”含义是什么？
【提示】　“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼能组成一个集合，因为标准是确定的．集合的定义中“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
探究2　“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？
【提示】　两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．
探究3　若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？
【提示】　因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
　若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．
【精彩点拨】　按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．
【自主解答】　(1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；
(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；
(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.
当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．
2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.
[再练一题]
3．若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．
【解】　∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，
解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3，符合题意．
故所求a的值为1.
1．下列对象不能构成集合的是(　　)
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
【解析】　研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.
【答案】　D
2．下列三个关系式：①∈R；② Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】　①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．
【答案】　B
3．已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于(　　)
【导学号：60210001】
A．1
B．－1
C．±1
D．0
【解析】　由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.
【答案】　C
4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
【解析】　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.
【答案】　D
5．关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解集，当a，b满足什么条件时，方程的解集含有一个元素？含有两个元素？
【解】　当a2－4b＝0时，方程的解集含一个元素；
当a2－4b>0时，方程的解集含两个元素．1．1.2　集合的表示方法
1．掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　列举法
阅读教材P5“列举法”～P6“描述法”以上部分，完成下列问题．
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为________．
【解析】　由题意知集合中的元素为5,7,9，故用列举法可表示为：{5,7,9}．
【答案】　{5,7,9}
教材整理2　描述法
阅读教材P6“描述法”至P7“例1”以上部分，完成下列问题．
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合0∈{x|x>1}．(　　)
(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．(　　)
(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．(　　)
【解析】　(1)×.{x|x>1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．
(2)√.集合{x|x<5，x∈N}表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．
(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x|x2－3x＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
[小组合作型]
用列举法表示集合
　用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．
【精彩点拨】　(1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示．
(3)→→→.
【自主解答】　(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{4,2}．
(3)方程组的解是所求集合为.
使用列举法表示集合时，需要注意以下几点
1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x，y)}，而非数集{x，y}．集合的所有元素用“{　}”括起来，元素间用分隔号“，”．
2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．
3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．
4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．
[再练一题]
1．用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【解】　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是
{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}.
用描述法表示集合
　用描述法表示下列集合：
(1)被3除余数等于1的整数的集合；
(2)比1大又比10小的实数的集合；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【精彩点拨】　先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．
【自主解答】　(1){x|x＝3n＋1，n∈Z}．
(2){x∈R|1(3)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
利用描述法表示集合应关注五点
1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
3．不能出现未被说明的字母．
4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
[再练一题]
2．用另一种方法表示下列集合：
(1){能被3整除且小于10的正数}；
(2){(x，y)|x＋y＝6，x∈N
，y∈N
}；
(3){－3，－1,1,3,5}；
(4){自然数中六个最小数的平方}；
(5){y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}.
【导学号：60210004】
【解】　(1){3,6,9}．
(2){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(3){x|x＝2k＋1，－2≤k≤2，k∈Z}．
(4){0,1,4,9,16,25}．
(5)∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
∴x＝0,1,2，y＝6,5,2.∴集合为{6,5,2}．
[探究共研型]
列举法与描述法的灵活应用
探究1　集合{x||x|<2，x∈Z}用列举法如何表示？
【提示】　{－1,0,1}．
探究2　集合{(x，y)|y＝x＋1}与集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．
【提示】　集合{(x，y)|y＝x＋1}中的元素是直线y＝x＋1上所有的点；集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素是直线y＝2x＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由解得即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．
探究3　设集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}，集合A中的元素是什么？
【提示】　集合A中的元素是方程ax2＋x＋1＝0的解．
　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，只有这样，才能清楚集合中的元素是什么，才能正确地解题.如例3中集合A的代表元素为x，x满足kx2－8x＋16＝0，则A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
[再练一题]
3．若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．
【解】　集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.
故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．
1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为(　　)
A．{3,4}
B．A＝{2,3,4,5}
C．{2D．{x|2【解析】　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．
【答案】　A
2．如果A＝{x|x>－1}，那么(　　)
A．－2∈A
B．{0}∈A
C．－3∈A
D．0∈A
【解析】　A．∵－2<－1，∴A错误．B.{0}为集合，不是元素，∴B错误．C.∵－3<－1，∴C错误．D.∵0>－1，∴0∈A成立．故选D.
【答案】　D
3．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.
【解析】　由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．
【答案】　{4,9,16}
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.
【导学号：60210005】
【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
【答案】　{－1,4}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)所有的正方形；
(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
【解】　(1)解方程组得故解集为{(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．3.2.2　对数函数
1．理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)
2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)
3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　对数函数的概念
阅读教材P102“对数函数”前两个自然段，完成下列问题．
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝logx是对数函数．(　　)
(2)函数y＝2log3x是对数函数．(　　)
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．(　　)
【解析】　(1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　对数函数的图象和性质
阅读教材P103“表2”以下至P103“例1”以上部分，完成下列问题．
对数函数y＝logax在底数a>1及0a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】　由题意可得0<3a－1<1，
解得所以实数a的取值范围是.
【答案】　
[小组合作型]
对数函数的概念
　(1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；
⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　　　　　
B．2个
C．3个　　　　　　
D．4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
【精彩点拨】　(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f(8)的值．
【自主解答】　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．
(2)由题意设f(x)＝logax，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，
【答案】　(1)B　(2)－3
1．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)底数a>0且a≠1；
(2)自变量x在真数的位置上，且x>0；
(3)在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，真数必须是x.
2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．
[再练一题]
1．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
【解析】　由题意可知解得a＝4.
【答案】　4
对数函数的定义域
　(1)函数f(x)＝log3(2x－1)的定义域为______．
(2)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为______．
A．(2，＋∞)　　　　　
B．(0,2)
C．(－∞，2)
D.
【精彩点拨】　(1)结合对数函数的定义2x－1>0.
(2)(3)不仅要符合对数的定义，而且还要保证二次根式开方有意义，分母不为0等条件的限制．
【自主解答】　(1)∵2x－1＞0，∴x＞，∴函数的定义域是.
(2)函数式若有意义，需满足条件： 取交集可得：x∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．
【答案】　(1)　(2)(－1,2)　(3)B
求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为：, 1 要保证根式有意义；, 2 要保证分母不为0；, 3 要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
[再练一题]
2．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为(　　)
A．[－1,3)
B．(－1,3)
C．(－1,3]
D．[－1,3]
【解析】　根据题意，得解得－1＜x≤3，
∴f(x)的定义域为(－1,3]．
【答案】　C
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C.
D.
【解析】　要使函数y＝有意义，有
解得x≥1，所以函数f(x)的定义域是[1，＋∞)，故选A.
【答案】　A
[探究共研型]
对数函数的图象及性质
探究1　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？
【提示】　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(x)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2)．
探究2　从左向右，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？
【提示】　当00且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．
图3 2 1
【提示】　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
　(1)已知a＞0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
(2)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
【精彩点拨】　(1)根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，从而对选项进行判断即得．
(2)作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后对其进行适当变换，分步骤进行．
【自主解答】　(1)∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称．
再由函数y＝ax的图象过(0,1)，y＝logax的图象过(1,0)，排除选项A、B，从C、D选项看，y＝logax递减，即0＜a＜1，故C正确．
【答案】　C
(2)第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　　(2)　
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　(4)　
1．根据所给的函数解析式选择函数的对数函数的图象时，如果所给的函数的底数不确定，就要对其进行分类讨论，并结合排除法得出选项．
2．函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
[再练一题]
4．函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
【解析】　∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A、D；当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝a－x＝是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.
【答案】　C
1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>－1}
B．{x|x<1}
C．{x|－1D．
【解析】　由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1【答案】　C
2．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
【解析】　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(2)＝
【答案】　
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【解析】　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
【答案】　D
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域是________.
【导学号：97512051】
【解析】　∵3x＋1>1，且y＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域是(0，＋∞)．
【答案】　(0，＋∞)
5．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0f(2)的a值．
【解】　(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0f(2)的a值．1.2.1　集合之间的关系
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
3．在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　子集与真子集
阅读教材P10～P11“例1”以上部分内容，完成下列问题．
1．子集与真子集
定义
符号语言
图形语言(Venn图)
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集
A B(或B A)
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集
AB(或BA)
2.子集的性质
(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
(3)如果A B，B C，，则A C.
(4)如果AB，BC，则AC.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){0}是 .(　　)
(2)正整数集是自然数集的子集．(　　)
(3)空集是任何集合的子集．(　　)
【解析】　(1)集合{0}是以0为元素的集合，是非空集合，故(1)错；
(2)∵对任意x∈N＋，都有x∈N，
∴N＋ N，故(2)正确；
(3)∵空集不是空集的真子集，但是空集的子集，
∴(3)对．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
教材整理2　集合的相等
阅读教材P11“集合的相等”～P13“思考与讨论”以上的内容，完成下列问题．
1．集合相等
定义
符号语言
图形语言(Venn图)
集合相等
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B
A＝B
2.集合相等的性质
如果A B，B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B，且B A.
设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　)
A．0　　　　
B．1　　　　
C．2　　　　
D．－1
【解析】　由元素的互异性知x≠0，
∴
∴2x＋y＝2.
【答案】　C
教材整理3　集合关系与其特征性质之间的关系
阅读教材P12“思考与讨论”以下～P13“第一行”内容，完成下列问题．
1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A B，则x∈A x∈B.于是x具有性质p(x) x具有性质q(x)，即p(x) q(x)．
反之，如果p(x) q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“ ”是“推出”的意思．
2．如果命题“p(x) q(x)”和命题“q(x) p(x)”都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“ ”表示．于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x) q(x)．显然，如果p(x) q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x) q(x)．
已知集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,5}，则有(　　)
A．N＜M
B．NM
C．N∈M
D．N＝M
【解析】　由题意知N中任意元素都是M中的元素，且M中存在不属于N的元素，所以NM.
【答案】　B
[小组合作型]
子集、真子集问题
　(1)下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).
①{2,4,6} {2,3,4,5,6}；②{菱形} {矩形}；③{x|x2＝0} {0}；④{(0,1)} {0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}{x|x≥2}．
(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　　)
A．A B　
B．A B　
C．AB　
D．AB
【精彩点拨】　利用子集、真子集的定义进行判断．
【自主解答】　(1)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1}{x|x≥2}．
因此正确的是①、③，错误的是②、④、⑤、⑥.
(2)因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集，故选D.
【答案】　(1)①③　(2)D
1．判断集合间关系的方法
(1)用定义判断．判断一个集合A中的元素是否全部属于另一个集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集．
(2)数形结合判断．利用数轴或Venn图判断．
2．写有限集合的子集时，要注意两个特殊的子集 和自身，按照元素个数分类写出，避免重复或遗漏．
[再练一题]
1．写出满足条件 M{0,1,2}的所有集合M.
【解】　∵ M{0,1,2}，∴M中元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；
当M中只有2个元素时，可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}．
∴所求集合M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共有6个.
集合的相等及应用
　集合＝{0，a2，a＋b}，则a2
016＋b2
015的值为(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．±1
【精彩点拨】　根据集合相等的定义求出字母a与b的值，注意集合中元素互异性的应用．
【自主解答】　∵＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，
∴＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.
又a≠1，∴a＝－1，∴a2
016＋b2
015＝(－1)2
016＋02
015＝1.
【答案】　B
1．若两集合相等，则集合中的元素完全相同．
2．本题以“0”为着眼点，中a不为0为突破口进行解题．
3．解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a＝1舍去)．
[再练一题]
2．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝________.
【解析】　因为A＝{4，a}，B＝{2，ab}，A＝B，所以解得a＝2，b＝2，所以a＋b＝4.
【答案】　4
[探究共研型]
由集合间的关系求参数
探究1　设集合A＝{1,2}，若B A，则集合B可能是什么？设集合A＝{1,2,3}，若B A，则集合B共有几个？设集合A＝{1,2,3，…，n}，若B A，则集合B共有几个？
【提示】　 ，{1}，{2}，{1,2}；8个；2n个．
探究2　“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？
【提示】　正确．
探究3　设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1【提示】　集合A，B，C可能是空集．当a＝0时，集合A是空集，当a>时，集合B是空集，当a≤1时，集合C是空集．
　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【精彩点拨】　→→
【自主解答】　∵B A，
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
1．解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴表示所给集合，然后列出不等式(组)，解端点之间的大小关系，求出参数的取值范围．
2．列不等式(组)时要根据具体的题目条件确定不等号中是否含有“等号”．
3．对集合B分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对B＝ 的讨论．
[再练一题]
3．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q P，那么a的取值集合是________.
【导学号：60210009】
【解析】　由题意得P＝{－1,1}，
又因为Q P，
若Q＝ ，则a＝0，此时满足Q P，
若Q≠ ，则Q＝，由题意知，＝1或＝－1，解得a＝±1.综上可知，a的取值是0，±1.
【答案】　{－1,0,1}
1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有(　　)
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
【解析】　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.
【答案】　B
2．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤，x∈N}
【解析】　集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3 M，集合Q中的元素2 M，集合R中的元素－3 M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.
【答案】　D
3．①0∈{0}，② {0}，③{0,1} {(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　①正确，0是集合{0}的元素；②正确， 是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.
【答案】　B
4．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≥2}
【解析】　由A＝{x|1【答案】　D
5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
【解】　因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．2．4.1　函数的零点
1．理解函数零点的概念．(重点)
2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)
3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　函数的零点
阅读教材P70～P71“例”以上部分内容，完成下列问题．
1．定义
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．
(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．(　　)
(3)f(x)＝x－只有一个零点．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　二次函数零点与一元二次方程
实根个数的关系
阅读教材P70“倒数第2行”～P71“例”以上的内容，完成下列问题．
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
有两个零点x1，x2
有一个二重零点x1＝x2
没有零点
已知函数f(x)＝x2－2x＋a的图象全部在x轴的上方，则实数a的取值范围是________.
【导学号：97512030】
【解析】　函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a<0，a>1.
【答案】　(1，＋∞)
[小组合作型]
求函数的零点
　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)
　　　　　　
　　　　　
A．(－1,0)
B．x＝－1
C．x＝1
D．x＝0
(2)求下列函数的零点．
①f(x)＝－x2－2x＋3；
②f(x)＝x4－1.
【精彩点拨】　求函数对应方程的根，即为函数的零点．
【自主解答】　(1)令1＋＝0，解得x＝－1，
故选B.
(2)①由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.
故函数的零点是－3,1.
②由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.
【答案】　(1)B　(2)①－3,1　②－1,1
求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.
[再练一题]
1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
【导学号：60210059】
【解析】　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，即b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
∵－ax(2x＋1)＝0，即x＝0，x＝－，
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
【答案】　0，－
函数零点个数的判断
　判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－.
【精彩点拨】　(1)中f(x)为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．
【自主解答】　(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．
(2)法一　由x2－＝0，得x2＝.
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二　令f(x)＝0，即x2－＝0.
∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.
∴x＝1或x2＋x＋1＝0.
∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，
∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．
确定函数零点个数的方法
1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．
2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．
3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．
4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．
[再练一题]
2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．
【解】　y＝x3－3x2－2x＋6
＝x2(x－3)－2(x－3)
＝(x2－2)(x－3)，
令y＝0，则x＝±或x＝3，
显然有三个零点．
[探究共研型]
函数零点的应用
探究1　设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？
【提示】　F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
探究2　若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？
【提示】　若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.
　若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
【精彩点拨】　把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y＝|2x－2|与y＝b图象的交点问题．
【自主解答】　由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0【答案】　(0,2)
已知函数有零点 方程有根 求参数取值范围常用的方法：
1 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
2 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
3 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
[再练一题]
3.若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A．a>　　　
B．a>或a<－1
C．－1D．a<－1
【解析】　根据函数零点的性质，f(1)，f(－1)一正一负，f(1)＝a＋1，f(－1)＝－5a＋1
所以或，
解得a>或a<－1.
【答案】　B
1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数fi(x)(i＝1,2,3,4)中有零点的是(　　)
A．　　
B．　　C．　　D.
【解析】　由函数图象可知，f2(x)在(－∞，0)上与x轴有交点，故f2(x)在(－∞，0)上有零点．
【答案】　B
2．函数y＝2x－4的零点是(　　)
A．2　　　　　　　　
B．(2,0)
C.
D.
【解析】　由2x－4＝0，得x＝2，即函数y＝2x－4的零点是2.
【答案】　A
3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝________.
【解析】　由奇函数的对称性知：若f(x1)＝0，
则f(－x1)＝0，即零点关于原点对称，且f(0)＝0，
故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝0.
【答案】　0
4．若函数f(x)＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝________.
【解析】　(1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．
因为y＝ax2－x－1只有一个零点，所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－.
【答案】　0或－
5．已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．
【解】　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.
∴f(x)的大致图象如图所示：
则a应满足或
即
或
解得0∴a的取值范围为(0,5)．2．2.1　一次函数的性质与图象
1．理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质．(重点)
2．会用一次函数的图象和性质解题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　一次函数的图象与性质
阅读教材P55～P56“练习”以上部分，完成下列问题.
一次函数
定义
函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数
图象
k>0
k<0
定义域
R
单调性
增函数
减函数
奇偶性
若b＝0，奇函数，若b≠0，非奇非偶函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝是一次函数．(　　)
(2)函数y＝2x＋3是单调递增函数．(　　)
(3)一次函数y＝x－1的图象过第一、二、三象限．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则有(　　)
A．a≥　　　　
B．a≤
C．a>－
D．a>
【解析】　∵y＝f(x)为R上的增函数，∴2a－1>0，∴a>.
【答案】　D
[小组合作型]
一次函数的概念
　(1)已知y＝(α＋1)
xα－1＋2是一次函数，则α＝______.
(2)已知函数y＝3mx＋2m＋1，试求m为何值时，
①这个函数为正比例函数；
②这个函数为一次函数；
③函数值y随x的增大而减小．
【解析】　(1)由题意得解得即α＝2.
【答案】　2
(2)①若y＝3mx＋2m＋1是正比例函数，则m应满足
解得m＝－.
∴当m＝－时，这个函数是正比例函数．
②当m≠0时，这个函数为一次函数．
③根据一次函数性质可知，当m＜0时，y随x的增大而减小．
对于函数y＝kxa＋b，当a＝1，k≠0时，为一次函数；当a＝1，k≠0，b＝0时，为正比例函数.
[再练一题]
1．下列函数：①y＝－2x，②y＝15－6x，③c＝7t－35，④y＝＋2，⑤y＝x，⑥y＝，其中正比例函数是________，一次函数是________．(填序号)
【答案】　①⑤　①②③⑤
一次函数的图象
　画出函数y＝3x＋12的图象，利用图象求：
(1)方程3x＋12＝0的解；
(2)不等式3x＋12>0的解集；
(3)当y≤12时，x的取值范围．
【精彩点拨】　求出函数图象与x，y轴的交点坐标，画出函数图象，然后根据函数图象，数形结合，就可以解决上述问题．
【解】　由函数y＝3x＋12可知．当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝－4，所以直线y＝3x＋12与x轴、y轴的交点坐标分别为(－4,0)，(0,12)．
函数图象如图所示：
(1)图象与x轴交点的横坐标是方程3x＋12＝0的解，即x＝－4.
(2)当x>－4时，函数图象位于x轴的上方，所以不等式3x＋12>0的解集为{x|x>－4}．
(3)由图象可知，直线与y轴交点的坐标是(0,12)，所以y≤12时x的取值范围为{x|x≤0}．
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值确定了直线在y轴上的截距，同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．
2．(1)作一次函数图象时，常取直线与坐标轴的交点连线．
(2)若图象在x轴的上方，则对应的函数值大于0；反之，则函数值小于0.
[再练一题]
2．本题中解析式不变分别求“图象与坐标轴的两交点的距离”及“与坐标轴围成的三角形的面积”．
【解】　令x＝0，得|OB|＝12，令y＝0，得|OA|＝4.
由勾股定理得|AB|＝＝4，
由三角形面积公式得S＝×|OA|×|OB|＝×4×12＝24.
[探究共研型]
一次函数的性质
已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1，
图2 2 1
探究1　上述函数的图象有何特点？
【提示】　图象都为直线．
探究2　观察以上图象，试说明函数的单调性．
【提示】　函数y＝x＋1，y＝2x为增函数，函数y＝－x＋1为减函数．
　已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：
(1)这个函数为一次函数；
(2)函数值y随x的增大而减小；
(3)此函数为奇函数；
(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上．
【精彩点拨】　本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于第(4)问要重视方程组的作用．
【解】　(1)当2m－1≠0，即m≠时，此函数为一次函数．
(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1<0，即m<时，函数值y随x的增大而减小．
(3)当2m－1≠0，且1－3m＝0，即m＝时，此函数为奇函数．
(4)在y＝x＋1中，令x＝0，y＝1，
∴(0,1)是在y＝(2m－1)x＋1－3m的图象上，
∴m＝0，∴当m＝0时，两直线的交点在y轴上．
一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解.求一次函数的解析式时，待定系数法是常用的方法.
[再练一题]
3．已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2
015)和f(2
016)的大小.
【导学号：60210046】
【解】　设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
由已知可得
4[k(1－x)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝3x＋18.
整理，得－6kx＋6k＋2b＝3x＋18.
∴解得
∴f(x)＝－x＋，易得f(x)在[－1,1]上为减函数(在R上也是减函数)．
∴函数f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝11且f(2
015)>f(2
016)．
1．一次函数y＝kx＋b(k＞0，b＜0)的图象不经过(　　)
A．第一象限　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　直线y＝kx＋b(k＞0，b＜0)经过点(0，b)，在y轴的负半轴上，且y是x的增函数．
【答案】　B
2．函数y＝kx＋k2－k过点(0,2)且是减函数，则k的值为(　　)
A．－2
B．－1
C．－1,2
D．1，－2
【解析】　将点的坐标代入函数关系式，得k2－k＝2，即k2－k－2＝0，所以k＝－1或k＝2，由于一次函数为减函数，即k<0，所以k＝－1，故选B.
【答案】　B
3．关于x的一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________.
【导学号：60210047】
【解析】　由题意得
∴∴2＜a＜.
【答案】　
4．若一次函数y＝(3a－8)x＋a－2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意，得，
解之，得2【答案】　
5．已知y＝(m－1)xm2－3m＋3＋2是一次函数，且为增函数，求m的值．
【解】　∵函数为一次函数且单调递增，
∴
∴
∴m＝2.3．4　函数的应用(Ⅱ)
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　几类不同增长的函数模型
阅读教材P112～P113，完成下列问题．
1．三种函数模型的性质
　　函数性质　　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐与y轴平行
随x的增大逐渐与x轴平行
随n值的不同而不同
2.三种函数增长速度的比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　　)
【解析】　(1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．
(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
[小组合作型]
函数模型的增长差异
　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
　　　　
A．y＝2
016x
B．y＝x2
016
C．y＝log2
016x
D．y＝2
016x
(2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【精彩点拨】　(1)由题意，指数函数增长速度最快．
(2)→→
【自主解答】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
【答案】　(1)A　(2)y2
1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．
2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．
3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[再练一题]
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)
A．y＝ex
B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
【解析】　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
【答案】　A
根据函数图象确定函数模型
　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图3 4 1所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
图3 4 1
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2
016)，g(2
016)的大小．
【精彩点拨】　根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．
【自主解答】　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2,2
016＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2
016)＞g(2
016)．
又g(2
016)＞g(6)，
∴f(2
016)＞g(2
016)＞g(6)＞f(6)．
根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
[再练一题]
图3 4 2
2．函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图象如图3 4 2所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[探究共研型]
函数模型的选择
探究1　在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
【提示】　一次函数、指数函数、对数函数．
探究2　在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？
【提示】　前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
　某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2
L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5
L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
【精彩点拨】　(1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；
(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．
【自主解答】　(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，
得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x.(x∈[0.5,8])
∵y＝－x2＋x＝－＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是
L.
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律
1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
[再练一题]
3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N
)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N
)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
【解】　根据题意可列方程组：
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①与②式得：
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
1.如图3 4 3给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好(　　)
图3 4 3
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
【解析】　根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好．
【答案】　A
2．某人2013年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2018年1月1日可取款(不计利息税)(　　)
A．a(1＋x)5元　　　　　
B．a(1＋x)6元
C．a(1＋x5)元
D．a(1＋x6)元
【解析】　2014年1月1日可取款a(1＋x)元，2015年1月1日可取款a(1＋x)2元，同理可得2018年1月1日可取款a(1＋x)5元．
【答案】　A
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
【解析】　结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】　D
4．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
图3 4 4
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________.
【解析】　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误．
【答案】　①②③
5．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln
x＋1，h(x)＝x的图象如图3 4 5所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
图3 4 5
【解】　由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln
x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．2.1.4　函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的含义．(难点)
2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　奇函数
阅读教材P47内容，完成下列问题．
1．定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
2．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　)
【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．
(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．
(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理2　偶函数
阅读教材P47～P48“例1”以上的内容，完成下列问题．
1．定义：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
2．图象特征：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图2 1 7所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．
图2 1 7
【解】　由题意做出函数图象如下：
据图可知，单调增区间为：(－1,0)，(1，＋∞)．
[小组合作型]
函数奇偶性的判断
　给出以下结论：
①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；
③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；
④h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________．
【精彩点拨】　先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．
【自主解答】　对于①，∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数，①正确；
对于②，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝，满足g(－x)＝－g(x)，故y＝g(x)是奇函数，②错误；
对于③，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，③正确；
对于④，由解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确．
【答案】　①③④
定义法判断函数奇偶性的步骤
[再练一题]
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
(1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]；
(6)f(x)＝.
【解析】　对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；
对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数；
对于(6)，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是(2)(3)(6)．
【答案】　(2)(3)(6)
利用函数的奇偶性求函数值或参数值
　(1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A.
　　　
B.
　　　
C.
　　
D．1
(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
【导学号：60210043】
【精彩点拨】　(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；
(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．
【自主解答】　(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴＝，
∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.
(2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
【答案】　(1)A　(2)－26
1．由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．
[再练一题]
2．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝(　　)
A．0
B．1
C.
D．5
【解析】　由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．
又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.
【答案】　C
利用奇偶性求函数的解析式
　函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，求f(x)的解析式．
【精彩点拨】　要求函数的解析式，根据题意，只要求当x≤0的函数解析式，由x＞0时，f(x)＝，可先设x＜0，则－x＞0，结合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)．
【自主解答】　设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝＋1，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1，
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．
2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．
3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．
[再练一题]
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝x(x－2)
B．f(x)＝x(x＋2)
C．f(x)＝－x(x－2)
D．f(x)＝－x(x＋2)
【解析】　∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，
∴当x＜0时，即－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D.
【答案】　D
[探究共研型]
函数奇偶性与单调性的综合应用
探究1　如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
【提示】　如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
探究2　你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？
【提示】　奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
探究3　若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
【提示】　f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
　(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则当n∈N
时，有(　　)
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
C．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f(1－a)＋f(1－2a)＜0，则a的取值范围是________．
【精彩点拨】　(1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．
(2)由于y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f(x)是奇函数．再利用单调性即可得出．
【自主解答】　(1)∵对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，
∴若x2－x1＞0，则f(x2)－f(x1)＞0，即x2＞x1，则f(x2)＞f(x1)，
若x2－x1＜0，则f(x2)－f(x1)＜0，即x2＜x1，则f(x2)＜f(x1)，则函数在(－∞，0]上为单调递增函数．
∵f(x)在(－∞，0]上是偶函数，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，则f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)，故选B.
(2)∵y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数．∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)＝f(2a－1)，
又y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a＞2a－1＞－1，解得0∴a的取值范围是0【答案】　(1)B　(2)
1．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．
2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．
[再练一题]
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】　由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.
【答案】　A
1．下列函数是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
【解析】　对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B.
【答案】　B
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－
B.
C．－
D.
【解析】　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.
【答案】　B
3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是(　　)
A．增函数且最小值是－1
B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1
D．减函数且最小值是－1
【解析】　∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1.
【答案】　C
4．如图2 1 8，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________.
【导学号：97512017】
图2 1 8
【解析】　由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R上的简图：
数形结合可得不等式f(x)＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)．
【答案】　(－3,0)∪(0,3)
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)画出f(x)的图象．
【解】　(1)当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；当x<0时，即－x>0，函数f(x)是奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)2－(－x)]＝－(2x2＋x)＝－2x2－x.
综上所述，f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：3．1.1　实数指数幂及其运算
1．理解n次方根及根式的概念．(重点)
2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)
3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)
4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
[基础·初探]
教材整理1　整数指数
阅读教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列问题．
1．an＝.an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a.
2．零指数幂与负整数指数幂
规定：a0＝1(a≠0)，
a－n＝(a≠0，n∈N＋)．
3．整数指数幂的运算法则
正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
下列运算中，正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6　　　　　
B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0
D．(－a2)5＝－a10
【解析】　a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(－1)0无意义；当a≠1时，(－1)0＝－1.
【答案】　D
教材整理2　根式
阅读教材P86～P87“第6行”以上内容，完成下列问题．
1．a的n次方根的意义
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．
2．根式的意义和性质
当有意义时，叫做根式，n叫做根指数．
根式的性质：
(1)()n＝a(n>1，且n∈N＋)；
(2)＝
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．(　　)
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．(　　)
(3)＝a.(　　)
【解析】　(1)×.当n是偶数时，()n没有意义．
(2)×.负数没有偶次方根．
(3)×.当n为偶数，a<0时，＝－a.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
教材整理3　实数指数幂
阅读教材P87“第7行”～P88“例1”以上部分内容，完成下列问题．
1．分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义：a＝()m＝；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
2．有理指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；
(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；
(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝π－3.(　　)
(2)分数指数幂a可能理解为个a相乘．(　　)
(3)0的任何指数幂都等于0.(　　)
【解析】　∵＝|3－π|＝π－3.
∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
[小组合作型]
利用根式的性质化简或求值
　求下列各式的值.
【导学号：60210072】
(1)；
(2)；
(3)；
(4)－(－3【精彩点拨】　根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．
【自主解答】　(1)＝－2.
(2)∵3－π<0，∴＝.
(3)＝|x－y|＝
(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3当－4当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
∴－
＝
1．正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，据n的奇偶性不同可知a的范围；
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[再练一题]
1．求值：＋3＝________.
【解析】　＋3＝＋＝－1＋1－＝0.
【答案】　0
根式与分数指数幂的互化
　将下列根式化成分数指数幂的形式：
【精彩点拨】　对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．
【自主解答】　
1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
2．关于式子＝a的两点说明：
(1)根指数n 分数指数的分母；
(2)被开方数(式)的指数m 分数指数的分子．
3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但像(－a)＝中的a则需要a≤0.
特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．
[再练一题]
2．化简的结果是(　　)
A.
B．x
C．1
D．x2
【解析】　.故选C.
【答案】　C
利用分数指数幂化简、求值
　计算下列各式：
(1)
；
(2)
．
【精彩点拨】　
【自主解答】　(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(2)
.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[再练一题]
3．计算：.
【解析】　
【答案】　
[探究共研型]
指数式的条件求值问题
探究1　把，分别展开是什么？
【提示】　＝a＋＋2，＝a2＋＋2.
探究2　和有什么关系？
【提示】　＝＋4.
　已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【精彩点拨】　寻找要求值的式子与条件式a＋a＝4的联系，进而整体代入求值．
【自主解答】　(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[再练一题]
4．已知a－a＝，则a＋a＝________.
【解析】　因为2＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9，又因为a＋a>0，
所以a＋a＝3.
【答案】　3
1．下列运算结果中，正确的是(　　)
　
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
【解析】　a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，
需要满足a≠1；(－a2)3＝－a6，故选A.
【答案】　A
2．下列各式中成立的一项是(　　)
【解析】　A中应为7＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立；D正确．
【答案】　D
3.
【解析】　.
【答案】　D
4．如果x>y>0，则＝________.
【解析】　∵x>y>0，∴＝x·y＝.
【答案】　
5．化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)
(结果为分数指数幂)．
【解】