九年级数学上册全一册导学案（打包45套）（新版）新人教版

24.3
正多边形和圆
预习案
一、预习目标及范围：
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
预习范围：P105-107
二、预习要点
1、
正多边形和圆有什么关系？
只要把一个圆分成
的一些弧，就可以作出这个圆的
，这个圆就是这个正多边形的
。
2、
通过教材图形，识别什么叫正多边形的中心、正多边形的中心角、正多边形的边心距？
3、
计算一下正五边形的中心角时多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形的一个外角是多少？正六边形呢？
4通过上述计算，说明正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
5、
如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
方法一、用量角器作一个等于
的圆心角。
方法二、正六边形、正三角形、正十二边形等特殊正多边形的作法？
三、预习检测
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。
（
）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。
（
）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：正多边形的定义与对称性
问题1
什么叫做正多边形？
明确：
问题2
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
明确：
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳：
探究2：正多边形与圆的关系
问题1
怎样把一个圆进行四等分？
问题2
依次连接各等分点，得到一个什么图形？
问题3
刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
归纳：
探究3：正多边形的有关概念及性质
完成下面的表格：
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
探究4：正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；
③△OBC是
三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:________________________.
答案：60；=；等边；6；
活动内容2：典例精析
例：有一个亭子,它的地基是半径为4
m的正六边形,求地基的周长和面积
(精确到0.1
m2).
解：
归纳：圆内接正多边形的辅助线
1.
2.
二、随堂检测
1.
填表
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
2.
若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是
.
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为
___度.（不取近似值）
4.
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
5.如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=________;
图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
参考答案
预习检测：
1.
××
2.
证明：如图所示，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F．
∵G、H、K、M、N、J分别为各边的中点，
∴AG=BG=BH=AJ，在△AGJ与△BHG中，
AG=BH。∠A=∠B，AJ=BG
∴△AGJ≌△BHG（SAS），
∴GJ=GH．
同理可得GH=HK=KM=MN=NJ，
∵△AGJ、△BHG、△CHK，△GKM，△EMN，△FNG均为等腰三角形，
∴∠HGJ=∠GHK=∠HKM=∠KMN=∠MNJ=∠NJG，
∴六边形GHKMNJ为正六边形．
随堂检测
1.
2.
3
3.
4.
5.
120
°
；90
°
；72
°
PAGE
1第24章圆单元复习
一、知识梳理
1、圆的有关概念：
圆的对称性：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
3、垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
5、圆周角：
（1）定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
（2）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（3）推论：
①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。③直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
6、圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。
圆内接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形。圆内接梯形是等腰梯形。
定义、性质、推论及应用。求角度、用四点共圆解决问题（到某点等远的四点共圆对角互补的四边形四个顶点共圆线段所对的两个张角相等的四点共圆）另外：三角形的垂心恰好是它的垂足三角形的内心、三角形一个顶点到其垂心的距离是外心到对边中点距离的2倍、三角形的外接圆；圆内接三角形。
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
注意：（１）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；
　　（２）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（二）与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系：
若⊙O的半径为r，
点P和圆心O的距离为d.
则
(1)点P在⊙O内d
r
(2)点P在⊙O上d
r
(3)点P在⊙O外d
r
2、直线和圆的位置关系：
设⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r
d
r；
d
r；
d
r。
3、圆的切线
[1]定义：和圆有
的直线叫圆的切线。
[2]判定：（1）到圆心的距离等于这个圆的
的直线是圆的切线；
（2）经过半径
并且
这条半径的直线是圆的切线。
证明直线和圆相切的方思路
[3]性质：（1）圆的切线
过
的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过
；
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过
；
（4）圆的两条平行切线之间的距离等于
。
（5）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
，圆心和这个点的连线平分
。（切线长定理）
结论：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C是弧AB上一点，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，则△PDE的周长为
。
4、三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都
的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形的
。（2）三角形的内心是三角形
的交点，它到三角形
的距离相等，都等于该三角形
。（3）若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F。则AF=AE=
，BD=BF=
，CD=CE=
∠BOC与∠A的关系是
，∠EDF与∠A的关系是
△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是
。（4）直角三角形的外接圆半径等于
，内切圆半径等于
。
5、圆外切四边形的性质
（1）圆外切四边形的两组对边
。（2）圆外切平行四边形是
，圆外切矩形是
；圆外切等腰梯形的中位线等于
。（3）已知圆外切等腰梯形的上底为a，下底为b，则该圆的半径为
。
6、弦切角
（1）定义：顶点在
，一边
，另一边
的角叫弦切角。
（2）定理：弦切角等于它所夹的弧
。
（3）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角
。
7、圆和圆的位置关系：
（1）
（2）相切两圆的连心线过
；相交两圆的连心线
公共弦。
（3）常用的辅助线：两圆相交—公共弦；两圆相切—公切线。
（三）正多边形和圆
1、正多边形的概念：各边
且各角也
的多边形是正多边形。
2、正多边形和圆的关系
（1）把一个圆n等份（n≥3）顺次连结各个分点所得n边形是这个圆的内接正n边形；经过各个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形，是这个圆的外切正n边形。（2）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。
3、正多边形的有关计算：
定理：正n边形的
和
把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
正n边形
内角
中心角
边长
半径
边心距
周长
面积
3
a
4
a
6
a
4、正多边形的作图。
5、圆的周长、弧长公式：
；
。
6、圆、扇形、弓形的面积公式：
；
；
。
7、圆柱和圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是
，若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积为
，全面积（表面积）为：
。
（2）圆锥的侧面展开图是
，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为
，全面积（表面积）为：
。
二、题型、技巧归纳
类型一、垂径定理
【主题训练1】(广安中考)如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8
cm，CD=3
cm，则圆O的半径为(
)
A.
cm
B.5
cm
C.4
cm
D.
cm
【自主解答】选A.连接OA.∵OD⊥AB且OD是半径∴AC=AB=4cm,∠OCA=90°,Rt△OAC中,设☉O的半径为R,则OA=OD=R,OC=R-3;由勾股定理,得:OA2=AC2+OC2,即:R2=16+(R-3)2,解得R=cm,所以选A.
归纳：垂径定理及推论的四个应用
1.计算线段的长度:常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形,结合勾股定理进行计算.
2.证明线段相等:根据垂径定理平分线段推导线段相等.
3.证明等弧.
4.证明垂直:根据垂径定理的推论证明线段垂直.
类型二、
圆周角定理及其推论
【主题训练2】(内江中考)如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为(　　)
A.4cm
B.3cm
C.5cm
D.4cm
【自主解答】选A.连接BC，BD，OD，则OD,BC交于E.由于AD平分∠BAC，所以
所以OD⊥BC，又半圆O的直径AB＝10
cm，弦AC＝6
cm，所以BC＝8
cm，所以BE＝4
cm，又OB＝5
cm，所以OE＝3
cm，所以ED＝5－3＝2(cm)，在Rt△BED中，BD＝又∠ADB＝90°，所以AD＝
归纳：圆周角的四种关系
1.同圆或等圆中,等弧对的圆周角相等.
2.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半.
3.直径对的圆周角为90°.
4.圆内接四边形对角互补.
类型三、
切线的性质和判定
【主题训练3】(昭通中考)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC
=∠B
=60°.
(1)求∠ADC的度数.
(2)求证:AE是☉O的切线.
【自主解答】(1)∵∠B与∠ADC都是
所对的圆周角,且∠B
=60°,
∴∠ADC=∠B
=60°.
(2)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∠B
=60°,∴∠BAC=30°,
∵∠EAC
=∠B
=60°,
∴∠BAE
=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
∴BA⊥AE,∴AE是☉O的切线.
归纳;
切线的性质与判定
1.切线的判定的三种方法:(1)根据定义观察直线与圆公共点的个数.(2)由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.(3)应用切线的判定定理.应用判定定理时,要注意仔细审题,选择合适的证明思路:①连半径,证垂直;②作垂直,证半径.
2.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据,辅助线的作法一般是连接切点和圆心,构造垂直关系来证明或计算.切线长定理也为线段或角的相等提供了丰富的理论依据.
类型四、
与圆有关的位置关系
【主题训练4】(2013·青岛中考)直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是(　　)
A.r<6　　　B.r=6　　　C.r>6　　　D.r≥6
【自主解答】选C.∵直线l与☉O相交,
∴圆心O到直线l的距离d即r>d=6,故选C.
归纳：与圆有关的位置关系及判定方法
1.位置关系:(1)点与圆的位置关系;(2)直线与圆的位置关系.
2.判定方法:(1)利用到圆心的距离和半径作比较;
(2)利用交点的个数判断直线与圆的位置关系.
类型五、与圆有关的计算
【主题训练5】（绵阳中考)如图,AB是☉O的直径,C是半
圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交☉O于E,连
接CE.
(1)判断CD与☉O的位置关系,并证明你的结论.
(2)若E是的中点,☉O的半径为1,求图中阴影部分的面积.
【自主解答】(1)CD与☉O相切.理由为:
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠DAC=∠OAC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.∴CD与☉O相切.
(2)连接EB,由AB为直径，得到∠AEB=90°.
由(1)中AD⊥CD，OC⊥CD,∴四边形CDEF是矩形，F为EB的中点.
∴EF=DC，DE=FC，OF为△ABE的中位线.∴EF=DC=BF.
又∵E是
的中点，
∴
∠ABE=∠EAC=∠CAB=30°.
在Rt△OBF中，∠ABE=30°.
∴OF=
OB=
OC=FC,FB=
=EF=DC.
∵E是
的中点，∴AE=EC.
∴图中两个阴影部分的面积和等于△DCE的面积.
∴S阴影=S△DEC=
归纳：与圆有关计算的四公式
1.弧长公式l=
(n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径).
2.扇形的面积公式S=
(n为扇形的圆心角的度数，R
为圆的半径，l为扇形的弧长).
3.圆锥的侧面积S=πrl(r为圆锥的底面圆的半径，l为圆锥的母线长).
4.圆锥的全面积公式:
S=πrl+πr2(S为圆锥的全面积,r为圆锥的底面圆的半径,l为圆锥的母线长).
典例精析：
例题1.(镇江中考)如图,AB是半圆O的直径,点P在AB的延长线上,PC切半圆O于点C,连接AC.若∠CPA=20°,则∠A=　　　°.
【解析】如图,连接OC.∵PC切半圆O于点C,
∴PC⊥OC即∠PCO=90°.
∵∠CPA=20°,
∴∠POC=90°-∠CPA=70°.
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.
又∵∠POC=∠A+∠ACO.
∴∠A=
∠POC=35°.
答案:35
例题2.(凉山中考)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系.(2)若直线l经过点D(-2,-2),
E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.
【解析】(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为
.
连接PD,∵PD=
∴点D在☉P上.
(2)直线l与☉P相切.
理由如下:连接PE.
∵直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),
∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5.
∴PE2=PD2+DE2.
∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.∴PD⊥l.
∴直线l与☉P相切.
三、随堂检测
1.(2013·毕节中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则☉O的半径为(　　)
A.5
B.10
C.8
D.6
2.(上海中考)在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为　　　　　.
3.
3.(衡阳中考)如图,在☉O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于(　　)
A.50°
B.80°
C.90°
D.100°
4.(郴州中考)如图,AB是☉O的直径,点C是圆上一点,
∠BAC=70°,则∠OCB=　　　°.
5.(梅州中考)如图,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是　　　　.
6.(常州中考)已知☉O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是(　　)
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法判断
7.(眉山中考)用一个圆心角为120°，半径为6
cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是(
)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
8.(牡丹江中考)一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是(
)
A.81π
B.27π
C.54π
D.18π
【答案】
1.【解析】选A.连接OA,由垂径定理可得AC=4,△OAC是直角三角形,由勾股定理可得OA2=
OC2+AC2=32+42=25,所以OA=5.
2.
【解析】过圆心O作AB的垂线交AB于点D,由垂径定理,得AD=
AB=2,
在Rt△AOD中,运用勾股定理,得OD=.
答案:
3.
【解析】选D.因为∠ABC=50°,所以∠AOC=2∠ABC=100°.
4.【解析】因为AB是直径,所以∠ACB=90°,又OA=OC,所以∠A=∠ACO=70°,所以∠OCB=90°-∠ACO=90°-70°=20°.
答案:20
5.
【解析】如图,连接AD,则AD⊥BC;在Rt△ABD中,AB=2,AD=1,∴∠B=30°,因而∠BAD=60°,同理,在Rt△ACD中,∠CAD=45°,所以∠BAC的度数是105°.
答案:105°
6.【解析】选C.圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,∴d7.【解析】选B.∵设所围圆锥的底面半径为r
，则
=2πr，∴r=2
cm.
8.【解析】选C.方法一：S圆锥的侧面积＝Rl＝
×6×2π×9＝54π，
方法二：S圆锥的侧面积＝πrl＝6×9π＝54π.
PAGE
1321.2.4一元二次方程的根与系数的关系
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
范围：自学课本P15-P16，完成练习.
二、预习要点
(1)
用配方法解一元二次方程的步骤:
(2)一元二次方程的求根公式：
预习检测
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(3)
2x2+3x-2=0
方程
两根
两根和X1+x2
两根积x1x2
x1
x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
探究案
合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1
,
x2
,
那么x1+x2=
,
x1x2=
活动2：探究归纳
一元二次方程根与系数关系的证明：
活动内容2：典例精析
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）
（2）
解：（1）
，
（2）原方程可化为：
，
例题2、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
解：原方程可化为：
设方程的另一根是x1，那么2
x1=
∴x1=
又∵（）+2=
∴
k=-5[()+2]=-7
答：方程的另一个根是
，k的值是-7。
二、随堂检测
1.方程x2-3x-4=0的两根之和为（
）
A、-4
B、-3
C、3
D、4
2.已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则
的值为（
）
A、4　　
B、6　
C、8　　　D、10
3.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（
）
A．x2+3x﹣2=0
B．
x2﹣3x+2=0
C．x2﹣2x+3=0
D．x2+3x+2=0
4.若a、b是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则a2+b2=____。
5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则
=
.
6.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=　　
．
7.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值.
（1）（x1-2）（x2-2）
（2）x12+x22
8.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根.
参考答案
预习检测：
3,4,7,12;
1,-4,-3,-4
-2,
,,-1
随堂检测
1.C
2.D
3.B
4.10
5.
6.0
7.（1）
6.5；（2）7；
8.
a=0.5；另一根为-1.5．24.4.1弧长和扇形面积
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
预习范围：P111-113
二、预习要点
1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
n°的圆心角所对的弧长是_______。
2、什么叫扇形？
3、圆的面积可以看作
度圆心角所对的扇形的面积；
设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……
设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
4、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？
三、预习检测
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______.
2、已知扇形的圆心角为300，面积为，则这个扇形的半径R=____．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为
，则扇形的面积为__________．
4、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为
个平方单位．
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：弧长公式的推导
思考:
(1)半径为R的圆,周长是多少？
2)1°的圆心角所对弧长是多少？
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆
心角所对的弧长的多少倍？
(4)
n°的圆心角所对弧长l是多少？
明确;
C=2πR
;
;
n倍;
探究2：扇形及扇形的面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
思考
(1)半径为R的圆,面积是多少？
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少
明确：S=πR2
；；n倍；
探究3:扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
活动2：探究归纳
1.弧长公式:
用弧长公式，进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不
带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
活动内容2：典例精析
例1
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
例2
：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
(2)水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
答案：
（1）阴影部分
（2）线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
（3）阴影部分面积=扇形OAB的面积-
△OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵
OC＝0.6,
DC＝0.3,
∴
OD＝OC-
DC＝0.3，
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而
∠AOD＝60 ,
∠AOB=120 .
有水部分的面积：S＝S扇形OAB
-
S
ΔOAB
二、随堂检测
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为
.
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,
∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为
（
）
A.
B．
C.
D.
3.如图，⊙A、
⊙B、
⊙C、
⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
参考答案
预习检测：
1.
2.
6cm
3.
4.
随堂检测
1.
2.
C
3.
4.
解：
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
PAGE
125.1.2
概率
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解一个事件概率的意义.
2.会在具体情境中求出一个事件的概率.（重点）
3.会进行简单的概率计算及应用.（难点）
预习范围：P99-100
二、预习要点
1.概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生
，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
总结：以上两个试验有两个共同的特点：
（1）每一次试验中，可能出现的结果只有
（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性
.
2.对于具有上述特点的试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的
.
如：在试验1中，“抽到5号”这个事件包含
种可能结果，在全部5种等可能的结果中所占的比是
，所以这一事件的概率：P（抽到5号）=
再如：在试验1中，“抽到奇数号”这个事件包含
种可能结果，在全部5种等可能的结果中所占的比是
，所以这一事件的概率：
P(抽到奇数号)=
3.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=
.事件A发生的概率P(A)的范围是
.
特别地：当A为必然事件时，P(A)=
；当A为不可能事件时，P(A)=
三、预习检测
１、袋子里有１个红球，３个白球和５个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则（1）Ｐ(摸到红球)=
;（2）Ｐ(摸到白球)=
;(3)
Ｐ(摸到黄球)=
。
２、有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4。现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则：
P（摸到1号卡片）=
;
P（摸到2号卡片）=
;
P（摸到3号卡片）=
;
P（摸到4号卡片）=
;
P（摸到奇数号卡片）=
;
P（摸到偶数号卡片）=
;
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1:
概率的定义及适用对象
思考
在同样条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？能否用数值进行刻画呢？
活动1
从分别有数字1,2,3,4,5的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有5种可能，即1,2,3,4,5.
活动2
掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即1,2,3,4,5,6.
因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等.我们用表示每一种点数出现的可能性大小.
探究2：概率的定义
数值和刻画了实验中相应随机事件发生的可能性大小.
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为
，记为
.
1.试验具有两个共同特征：
(1)
(2)
具有这些特点的试验称为古典概率.在这些试验中出现的事件为
.
具有上述特点的实验，我们可以用事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，来表示事件发生的概率.
探究3：概率计算公式
一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率：
活动2：探究归纳
事件发生的可能性越大，它的概率越接近
；反之，
事件发生的可能性越小，它的概率越接近
.
活动内容2：典例精析
例1
掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为2；
(2)点数为奇数；
(3)点数大于2小于5.
解：
例2
如图所示是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红黄绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率.
（1）指向红色；
（2）指向红色或黄色；
（3）不指向红色.
解：
例3
如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9的方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷.
小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现如图所示的情况.我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域.数字3表示在A区域有3颗地雷.下一步应该点击A区域还是B区域？
分析
下一步应该怎样走取决于点击哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算点击两区域内的任一方格遇到地雷的概率并加以比较就可以了.
解：
二、随堂检测
1.
1.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
2.话说唐僧师徒越过石砣岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天由谁来刷碗,可半天也没个好主意.还是悟空聪明,他灵机一动,扒根猴毛一吹,变成一粒骰子，对八戒说道:我们三人来掷骰子：
如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗；
如果掷到3就由沙僧来刷碗；
如果掷到7的倍数就由我来刷碗；
徒弟三人洗碗的概率分别是多少！
3.如图,能自由转动的转盘中,
A、B、C、D四个扇形的圆心角的度数分别为180°、
30
°、
60
°、
90
°,转动转盘,当转盘停止时,
指针指向B的概率是_____,指向C或D的概率是_____.
参考答案
预习检测：
1.
;
;
2.
；
；；；
随堂检测
1.B
2.
；；
3.
；
4.
5.
A
B
C
D
PAGE
521.3.3实际问题与一元二次方程—几何面积
一、预习目标及范围：
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
范围：自学课本P20-P21，完成练习.
二、预习要点
（1）主要集中在几何图形的面积问题,
这类问题的
是等量关系.
如果图形不规则应
或
成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用
列方程.
预习检测
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（
）
A.
B.5
C.
D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm ，则原来正方形的铁皮的面积为
。
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m ，求花边的宽。
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
活动内容2：典例精析
例题2、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米
二、随堂检测
1.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
2.
某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.养鸡场的面积能达到180m2吗 如果能,
请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
3.
如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
参考答案
预习检测：
1.B
2.
64cm
3.
解：设花边的宽为xcm，依题意得：
（6+2x）（3+2x）=40
解得：x1=1，x2=（应舍去）
即花边的宽度为1m。
随堂检测
1.B
2.
解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:
即
x2
-
40x
+
360=0.
解方程,得x1
=
x2=
(舍去),
答：鸡场的为（）m满足条件.
3.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得
x2-52x+100=0，
解得
x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
80cm
x
x
x
x
50cm23.3
课堂学习
图案设计
预习案
一、预习目标及范围：
1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.
2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.
3.灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计.
预习范围：P72-73
预习要点
（1）我们学过哪些图形变换
它们分别
有何特征？
（2）下列图形之间的变换分别属于什么变换
三、预习检测
某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题：试说出构成下列图形的基本图形
答案：
问题2:分析下列图形的形成过程．
分析图案的形成过程：
活动2：探究归纳
图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案，希望同学们认真分析，精心设计出漂亮的图案来．
活动内容2：典例精析
例1
下面花边中的图案以正方形为基础,由圆弧、圆或线段构成.仿照例图,请你为班级的板报设计一条花边.要求:(1)只要画出组成花边的一个图案;(2)以所给的正方形为基础,用圆弧、圆或线段画出;(3)图案应有美感.
明确：
例2
怎样用圆规画出这个六花瓣图
举例：
画完之后请同学们思考以下几个问题:图中A点的位置对六花瓣的形状有没有影响 对花瓣的位置有影响吗
归纳：在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决．
二、随堂检测
1.
这幅图案可看成是怎样制作的呢？
2.
画出下图所示的图案
参考答案
预习检测：
略
随堂检测
1.
2.略
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)
预习案
一、预习目标及范围：
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
预习范围：P37-39
预习要点
1.
用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.
写出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
三、预习检测
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题1
怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？
问题2
你能说出的对称轴及顶点坐标吗？
问题3
二次函数可以看作是由
怎样平移得到的？
答：
问题4
如何用描点法画二次函数的图象？
解:
问题5
结合二次函数
的图象，说出其性质
活动2：探究归纳
y=ax +bx+c化为顶点式
活动内容2：典例精析
例1
填表：
二次函数
顶点坐标
对称轴
最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
例2
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：
二、随堂检测
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
则该二次函数图象的对称轴为(
)
A.y轴
B.直线x=
C.
直线x=2
D.直线x=
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3）
4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是
.
3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
参考答案
预习检测：
1.对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
2.
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
3.
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
随堂检测
1.D
2.（2）
3.（1）直线x=3，
（2）直线x=8，
（3）直线x=1.25，
（4）直线x=0.5，
O
y
x
–1
–2
324.2.2
直线和圆的位置关系(1)
预习案
一、预习目标及范围：
1.了解直线和圆的位置关系.
2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念.
3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆
的半径r之间的数量关系.
4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算.
预习范围：P95-96
二、预习要点
1、了解直线和圆的位置关系的有关概念．
2、理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：
直线L和⊙O相交d直线L和⊙O相切d=r；
直线L和⊙O相离d>r．
三、预习检测
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d
：
（1）若d=4cm
,则直线与圆　　　,
直线与圆有____个公共点.
（2）若d=6cm
,则直线与圆______,
直线与圆有____个公共点.
（3）若d=8cm
,则直线与圆______,
直线与圆有____个公共点.
2.已知⊙O的半径为5cm,
圆心O与直线AB的距离为d,
根据条件
填写d的范围:
(1)若AB和⊙O相离,
则
;
(2)若AB和⊙O相切,
则
;
(3)若AB和⊙O相交,则
.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究1：直线与圆的位置关系的定义
问题1
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
问题2
请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
答案：
问题3
根据上面观察的发现结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来.
判断：
（1）直线与圆最多有两个公共点.
（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.
（5）直线a
和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
探究2;
直线与圆的位置关系的性质与判定
问题1
刚才同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
问题2
怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
活动2：探究归纳
直线和圆相交
d
r
直线和圆相切
d
r
直线和圆相离
d
r
直线与圆的位置关系的性质与判定的区别：
位置关系
数量关系.
活动内容2：典例精析
例
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
r=2cm；(2)
r=2.4cm；
(3)
r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.
解：
二、随堂检测
1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？
2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（
）
A.
r
<
5
B.
r
>
5
C.
r
=
5
D.
r
≥
5
3.
⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O
.
4.
⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（
）
A.
相交或相切
B.
相交或相离
C.
相切或相离
D.
上三种情况都有可能
5.已知⊙O的半径r=7cm,直线l1
//
l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
参考答案
预习检测：
1.(1)
相交;2
(2)相切；1
（3）相离；0
2.（1）
d
>
5cm；（2）d
=
5cm；（3）0cm≤d
<
5cm
随堂检测
1.相离；相交；相切；相交；相交
2.B
3.相离
4.A
5.
解：（1）
l2与l1在圆的同一侧：
m=9-7=2
cm
（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16
cm
B
C
A
4
322.3.1
实际问题与二次函数
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
预习要点
1.当a＞0时，抛物线
(a≠0)的顶点是最低点，也就是说，当x=（
）
时，y有最小值是
。
2.
当a<0时，抛物线
(a≠0)的顶点是最高点，也就是说，当x=（
）
时，y有最大（
）值是
。
三、预习检测
1.二次函数y=2(x-3) +5，当x=
时,y有最
值是
。
2.二次函数y=x -4x+9，当x=
时,y有最
值是
。
3.已知当x＝1时，二次函数有最大值为5，且图象过点(0，－3)，此函数关系式是
。
4.抛物线
（a≠0）的顶点是
，所以当x＝
时，二次函数
有最小（大）值
.
5.利用二次函数解决实际问题要注意
的取值范围.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是：（）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
小组内探究分析：
分析：
画出的图象，借助函数图象解决实际问题：
从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的
点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最
值
解：当
=
=
时，
h有最大值
=
.
∴小球运动的时间是
时，小球运动到最大高度是
.
活动2：探究归纳
一般地，
当a＞0（a
）时，抛物线
(a≠0)的顶点是最低(
)点，也就是说，当x=（
）
时，y有最小（
）值是
。
活动内容2：典例精析
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以
当
时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值
。
二、随堂检测
1.将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
2.
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
参考答案
预习检测：
1.3,小，5
2.2，小，5
3.
y=-8(x-1) +5
4.
，，，，
5.
自变量x
随堂检测
1.
2.
解：
（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.第21章一元二次方程
知识梳理
1．一元二次方程的概念
只含有　　个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是　　的方程，叫做一元二次方程．
[注意]
一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
2．一元二次方程的解法
一元二次方程有四种解法：　
法、　
　法、
　
　法和　
　法．其基本思想是　
　.
[注意]
公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.
3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac
(1)Δ>0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
的实数根；
(2)Δ＝0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　
　的实数根；
(3)Δ<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
实数根．
[注意]
(1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式；(2)如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能丢掉等号；(3)在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．
4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝
　
　，x1·x2＝　
　.
[注意]
它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.
5.一元二次方程的主要应用类型：
几何面积
、
增长率
、
商品销售
等。
二、题型、技巧归纳
考点一:一元二次方程及根的有关概念
【主题训练1】若(a-3)
+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为(　　)
A.3　　　B.-3　　　C.±3　　　D.无法确定
【解答】
归纳：
考点二：一元二次方程的解法
【训练2】解方程x2-2x-1=0.
【解答】
归纳：
考点三：根的判别式及根与系数的关系
【训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
【解答】
归纳：
考点四：一元二次方程的应用
【训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=
t2+
t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间
【解答】
归纳：
考点五　几何图形型应用题
【训练5】如图所示，在长为10
cm，宽为8
cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
例5图
【解答】
归纳：
【典例精讲】
例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
解：
三、随堂检测
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是(　　)
A.ax2+bx+c=0　
B.
x2=0
C.3x2+2y-=0　
D.x2+
-5=0
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5
=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是(　　)
A.2
018　　
B.2
008　　
C.2
014　　
D.2
012
3.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　.
4.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根，B.有两个相等的实数根，C.没有实数根，D.有两个实数根
5、若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=　　　　.
6.解方程:(x-3)2-9=0.
7.下列一元二次方程有两个相等实数根的
是(　　)
A.x2+3=0　
B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0　
D.(x+3)(x-1)=0
8.
8.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(　　)
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解
9.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为(　　)
A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.8
10.
10.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是(　　)
A.-2　　　
B.-3　　　
C.2　　　
D.3
11.
11.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(　　)
A.1　
B.-1　
C.1或-1　
D.2
12.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是(　　)
A.100
m2　
B.64
m2　
C.121
m2　
D.144
m2
13.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为（
）.
14.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2
(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米
答案：
1.选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
2.
【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根,
∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.
3.
答案:2　-3　-2
4.
选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.
5.
答案:
3
6.
【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,
所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.
7.
【解析】选C.
8.
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ=
b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
9.
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
10.
【解析】选B.
11.
【解析】选B.
12.
【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m2.
13.
【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.
答案:10%
14.【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作
量后每天完成1.2xm2,根据题意,得=20,解得x=22.
经检验,x=22是原方程的根.
答:该项绿化工作原计划每天完成22m2.
(2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m,
根据题意,得y(2y-3)=170,
解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
2y-3=17.
答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.23.1
图形的旋转
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单作图.
预习范围：P59-61
预习要点
什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
什么叫旋转的对应点？
三、预习检测
1.
钟表的分针匀速旋转一周需要60分。
（１）指出它的旋转中心；
（２）经过20分，分针旋转了多少度？
2.
本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
3.
四边形AOBC
绕O点旋转得到四边形DOEF.
在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
（3）旋转角是什么？
（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
4.
如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
1．观察实例得出旋转概念．
我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．
（1）请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
学生口答，教师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．
（2）再看自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？
思考：这些现象有什么共同特点？
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．
归纳：
2．通过类比试验探究旋转的性质
探究：如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC
)，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′
)移开硬纸板．
△A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的．线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与
∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
教师让学生思考这些问题．必要时，可引导学生从以下问题中进行思考：
（1）轴对称的性质中对应点之间有怎样的位置关系和数量关系？旋转呢？
（2）旋转是一个图形围绕旋转中心旋转一定的角度，此时，图形上的点发生旋转了吗？它是如何旋转的？哪个角表示了旋转的角度？
活动2：探究归纳
通过思考、讨论，归纳出旋转的性质：
活动内容2：典例精析
例1
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
解：∵点A是旋转中心，∴它的对应点是
.正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=
，所以旋转后
重合.
设点E的对应点为E′.
∵△ADE
△ABE′
∴∠ABE′＝
＝
，
BE′＝
，
因此
.
想一想：
还有其他方法确定点E的对应点E′吗？
答：延长CB,以点A为圆心，AE
的长为半径画弧,交CB的延长线于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
二、随堂检测
1.
△A
′
OB
′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20
°,
∠
A
′
OB
=24°，AB=3,OA=5,则A
′
B
′
=
,OA
′
=
,旋转角等于
.
2.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt
△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=
,
∠B=60
°，则CD的长为（
）
A.
0.5
B.
1.5
C.
D.
1
3.如图，正方形A′B′C′D′是由正方形ABCD按顺时针方向旋转45°而成的.
（1）若AB=4，则S正方形A′B′C′D′=
；
（2）
∠BAB
′=
,
∠B′AD=
.
(3)若连接BB′,则∠ABB′=
.
4.K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系和位置关系.
参考答案
预习检测：
1.
钟表中心转轴所在点
；120
2.
5次。60°,120°,
180°,
240°,
300°
2次，
120°，
240；3个
1次
60°；3个
1次
180°.
3.
（1）旋转中心是O；（2）点D和点E的位置；（3）∠AOD和∠BOE都是
；（4）AO=DO，BO=EO；（5）∠AOD=∠BOE；
4.
能。看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的。
随堂检测
1.3,5，44
°
2.D
3.16，45°；45°，67.
5°
4.
答：BK=DM,BK
⊥DM.；简要思路：延长BK交AD于点N，交DM于点P,由旋转性质可知∠MDA=
∠ABN,又因为∠DNP=
∠BNA,
∠BNA+
∠ANB=90
°,即有∠DPB=90°.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
K
L
M24.1.4
圆周角
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.
预习范围：P85-88
二、预习要点
1、圆周角定义:
叫圆周角.
特征：①
角的顶点在
；
②
角的两边都
。
2、圆心角与所对的弧的关系：
3、圆周角与所对的弧的关系：
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于
的一半.
三、预习检测
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC=
，
理由是
;
(2)∠BDC=
，理由是
2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
3．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究1：圆周角的定义
定义：
叫做圆周角
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
探究2;
圆周角定理及其推论
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
探究3：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
(1)完成下列填空：
∠1=
.
∠2=
.
∠3=
.∠5=
.
（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
（3）若AC是半圆，∠ADC=
，∠ABC=
.
探究4:四、圆内接四边形
若一个多边形
，那么，这个多边形叫做
，这个圆叫做这个多边形的
.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C,
∠B与∠D之间的关系为
.
活动2：探究归纳
圆周角定理：
推论1：
推论2：
推论3：
圆内接四边形的性质：
活动内容2：典例精析
例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
解：
归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
二、随堂检测
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
3.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等
（
）
（3）900的角所对的弦是直径
（
）
（4）同弦所对的圆周角相等
（
）
4.如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
5.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=
．
6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=
，∠ADB=
.
7.如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证：.
参考答案
预习检测：
1.
70；一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；35；同弧所对的圆周角相等
2.
70
；100
3.
90
随堂检测
1.
√×
×
×
2.
50°
3.
166°
4.
50°
5.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD,
AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.23.2.3
关于原点对称的点的坐标
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.
2.会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.
3.进一步体会数形结合的思想.
预习范围：
二、预习要点
关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
三、预习检测
1、下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A(-5，0)，B(0，2)，C(2，-1)，D
(2，0)，
E
(0，5)，F(-2，1)，G(-2，-1).
2、写出下列各点关于原点的对称点A'，B'，C'，D'的坐标：
A(3，1),B(-2，3),C(-1，-2),D(2，-3).
3、若点P(a,1)与点Q(5,
b)关于原点对称,则a+b=_______.
4、点M(5,6)和点N是关于原点对称的两点,则点N在第________象限.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题：如何确定平面直角坐标系中A点关于原点对称的点A′坐标？
问题：在直角坐标系中，作出下列点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.
A(4,0)
B(0,-3)
C(2,1)
D(-1,2)
E(-3,-2)
答案：
想一想：关于原点对称的两个点的坐标之间有什么关系？
活动2：探究归纳
即：
点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（
)；
点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为P′（
)；
点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为P′（
).
简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.
活动内容2：典例精析
例
如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出△ABC关于原点对称的图形.
解：
归纳：
1.下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A(-5,0)
B(0,2)
C(2,-1)
D(2,0)
E(0,5)
F(-2,1)
G(-2,-1)
2.写出下列各点关于原点的对称点的坐标.
A(3,1)
B(-2,3)
C(-1,-2)
D(2,-3)
3.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=_____,n=_____
.
4.在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为
　；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为________.
5.如图，已知A的坐标为（，2），点B的坐标为（-1，），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O.求C，D两点的坐标.
6.试写出直线y=3x-5关于原点对称的直线的函数解析式.
参考答案
预习检测：
1.
解:关于原点O对称的点有
点A和点E，点C和点F
2.解:A'(-3,-1),B'(2,-3),C'(1,2),D'(-2,3),
3.-6
4.三
随堂检测
1.CE
2.
A（-3，-1）
B（2，-3）
C（1,2）
D（-2,3）
3.-1;2
4.
①与②;
①与③
5.
C（，-2）；D(1,).
6.
y=
3x+5
x
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-1
-2
-3
y
A
A
B
C
D
O
x21.2.3一元二次方程-因式分解
预习案
一、预习目标及范围：
1.了解分解因式法解一元二次方程的概念
2.会用分解因式法解某些一元二次方程
范围：自学课本P12-P14，完成练习.
二、预习要点
分解因式的方法有那些？并用字母表示。
(1)
(2)
(3)
预习检测
解下列方程：
（1）.（x+2）（x-4）=0
探究案
一、合作探究
活动内容1：（小组合作展示）
活动1：情景问题分析
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01S）
活动2：归纳总结
活动2：例题精讲
(1)x(x-2)+x-2=0;
二、随堂检测
1.用因式分解法解下列方程：
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
参考答案
预习检测：
（1）.（x+2）（x-4）=0
解：x+2=0或x-4=0
∴x1=-2,
x2=4
4x(2x+1)-3(2x+1)=0
则（4x-3）（2x+1）=0
∴4x-3=0，2x+1=0
∴x1=,
x2=-
随堂检测
1.（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.
所以小圆的半径是.22.3.3实际问题与二次函数
预习案
一、预习目标及范围：
1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.
2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题
预习范围：P51
预习要点
如何建立直角坐标系，怎么建立才能解题简便？举例说明一下。
对于拱形的和运动抛物型的应该如何建立直角坐标系？
三、预习检测
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面
2
m,水面宽
4
m,为了船能顺利通过，需要把水面下降
1
m,问此时水面宽度增加多少
探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面
2
m,水面宽
4
m,为了船能顺利通过，需要把水面下降
1
m,问此时水面宽度增加多少
活动2：探究归纳
解决抛物线型实际问题的一般步骤
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
活动内容2：典例精析
在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高
米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
二、随堂检测
1、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（
）
A、x＞3
B、x＜3
C、x＞1
D、x＜1
2、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
参考答案
预习检测：
1.4；2.2
随堂检测
1.C；
2.解：如图，以AB所在的直线为X轴，以AB的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系
∵AB=4
∴A(-2，0)
B(2，0)
∵OC=4.4
∴C(0，4.4)
设抛物线所表示的二次函数为y=ax +4.4
∵抛物线过A(-2,0)
∴4a+4.4=0
∴a=-1.1
∴抛物线所表示的二次函数为
y=1.1x +4.4
当x=1.2时，y=-1.1×1.2 +4.4=2.816＞2.8
∴汽车能顺利经过大门
3.
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（
0，1.25）、
B（
1，2.25
）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25
(a≠0),
点A坐标代入，得a=
－
1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当y=
0时，
x１=
－
0.5（舍去），
x２=2.5
∴水池的半径至少要2.5米.
A
B
0
C
X
y23.2.2中心对称图形
预习案
一、预习目标及范围：
1.会识别中心对称图形.
2.会运用中心对称图形的性质解决实际问题
预习范围：P66-67
预习要点
1.
中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转
°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
.那么这个图形叫做
，这个点就是它的对称中心.
2.
（1）中心对称图形的对称点连线都经过________
（2）中心对称图形的对称点连线被____________
预习检测
1.下列图形中，中心对称的是（）
2.在①线段、
②角、
③等腰三角形、
④等腰梯形、⑤平行四边形、
⑥矩形、
⑦菱形、
⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有
是中心对称图形的有____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题：将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
问题2：判一判：
1.下列图形中哪些是中心对称图形？
2.等边三角形是不是中心对称图形？
活动2：探究归纳
（1）中心对称图形的对称点连线都经过________
（2）中心对称图形的对称点连线被____________
活动内容2：典例精析
例1
请你用无刻度的直尺画一条直线把他们分成面积相等的两部分，你怎样画？
解法：
归纳：
二、随堂检测
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
.
角
B.
等边三角形
C
.
线段
D
.
平行四边形
2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是(
）
A
.
平行四边形
B.
矩形
C
.
菱形
D
.
正方形
3.世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有
轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有
，是中心对称图形的有
.
4.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
参考答案
预习检测：
1.A
2.
①②③④
⑥⑦⑧⑨
；①⑤⑥⑦⑧⑨
，①⑥⑦⑧⑨
随堂检测
1.C
2.A
3.
①②③；①③
4.
一石激起千层浪
①
汽车方向盘
②
铜钱
③25.2.1
用列举法求概率
预习案
一、预习目标及范围：
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法”
.
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.
预习范围：P99-100
二、预习要点
1、设A是某一随机事件，则P（A）的值是（
）
A、0＜P（A）＜1；
B、0≤P（A）≤1；
C、P（A）=1；
D、P（A）=0
2、事件发生的可能性越大，它的概率越接近
；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近
。
3、思考：一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大吗？
4、在例1、2中，列表表示掷两枚硬币产生的所有可能结果。
P（A)=
,
P（B)=
,
P（C)=
.
事件
A
B
C
结果
正
反
正反
个数
5、探究：列表法有什么优越性？
三、预习检测
1.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上。求A与B不相邻而坐的概率为
.
2.掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分标有1点，2点，3点，4点，5点，6点），“6点”朝上的概率是多少？
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：用直接列举法求概率
同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
“掷两枚硬币”所有结果如下：
解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是
∵P(学生赢）=P(老师赢）.
∴这个游戏是公平的.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
注意:
直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
想一想
“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
探究2：列表法求概率
问题1
利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生的概率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？
明确：
问题2
怎样列表格？
列表法中表格构造特点:
说明：如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=
活动2：探究归纳
列表法求概率应注意的问题
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.
列表法求概率的基本步骤
第一步：
第二步：
第三步：
活动内容2：典例精析
例1
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子点数的和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2.
分析
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P（A）=
；
（2）满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则P（B）=
；
（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P（C）=
.
我们发现：
与前面掷硬币问题一样，“同时掷两个质地相同的骰子”与“把一个骰子掷两次”，所得到的结果没有变化.
所以，当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析.
二、随堂检测
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
3.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？
（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
参考答案
预习检测：
1.
2.
解：任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有６种：“１点”朝上，“２点”朝上，“３点”朝上，“４点”朝上，“５点”朝上，“６点”朝上，每一种结果出现的概率都相等。其中“６点”朝上的结果只有１种，因此Ｐ（“６点”朝上）＝
随堂检测
1.C
2.
D
3.
解：
（1）P（数字之和为4）=
.
（2）P（数字相等）=
A
①
②
PAGE
122.3.2
实际问题与二次函数
预习案
一、预习目标及范围：
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
预习要点
利润与价格之间的关系式：
二次函数最值公式：
三、预习检测
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20
≤x
≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为
元.
2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为
.
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为
.(以上关系式只列式不化简）.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是
元，销售利润
元.
数量关系：
（1）销售额=
（2）利润=
（3）单件利润=
问题2：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空
单件利润（元）
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
降价销售
建立函数关系式：
即：
②自变量x的取值范围如何确定？
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
活动2：探究归纳
求解最大利润问题的一般步骤
活动内容2：典例精析
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：
二、随堂检测
1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
2、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
（1）要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多，是多少？
参考答案
预习检测：
1.25
2.
y=2000-5(x-100)
，w=[2000-5(x-100)](x-80)
随堂检测
1.
解：设最大利润为y元，根据题意得
y=（x-30）×（100-x）=
∴当x=65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
2.
解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x元，
由题意得（10+x）（500﹣20x）=6000，
整理，得
解得
因为顾客得到了实惠，应取x=5.24.2.2
直线和圆的位置关系(3)
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.
预习范围：P99-100
二、预习要点
1、切线长定理：
_
.
2、与三角形各边
，叫做三角形的内切圆.
3、①当已知三角形的内心时，常常作过三角形的顶点和内心的射线，则这条射线平分三角形的内角.
②内心到三角形三边的距离
.
三、预习检测
1、如左下图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB的长为
.
2、如右下图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为
.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究1：切线长的定义
1.切线长的定义：
2.切线长与切线的区别在哪里？
①
②
探究2：切线长定理
思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
切线长定理:
拓展结论
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
（3）写出图中所有的全等三角形；
（4）写出图中所有的等腰三角形.
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
;
（2）若∠BPA=60
°,则OP=
.
答案：5；6
归纳：切线长问题辅助线添加方法
（1）
（2）
（3）
探究2：三角形的内切圆及内心
问题1
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
问题2
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.
2.
3.
⊙O就是所求的圆.
归纳：
1.
叫做三角形的内切圆
2.
叫做三角形的内心.
3.三角形的内心就是
4.
三角形的内心到三角形的三边的距离
。
活动2：探究归纳
活动内容2：典例精析
例1
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
（1）△PDE的周长是
；
⑵
∠DOE=
.
例2
△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解：
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
二、随堂检测
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB=
40
°
,则∠APO=
,PB=
.
2.如图，已知点O是△ABC
的内心，且∠ABC=
60
°,
∠ACB=
80
°,则∠BOC=
.
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P=
50
°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=
.
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是
.
5.直角三角形的两直角边分别是3cm
,4cm,试问：
（1）它的外接圆半径是
cm;内切圆半径是
cm？
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围.
参考答案
预习检测：
1.2
2.
随堂检测
1.20
°
；4
2.
110
°
3.
65
°或115
°
4.30
5.
解：（1）5,1；
（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
B
P
O
A
C
E
D
B
P
O
A
PAGE
122.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（1）
预习案
一、预习目标及范围：
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.
预习要点
1.
上下平移规律：
平方项
，常数项上
下
.
2.
把抛物线y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
；把抛物线
y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
三、预习检测
1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴
及顶点坐标
(1)
y=2(x+3)2
(2)
y=-3(x-1)2
(3)
y=5(x+2)2
(4)
y=-(x-6)2
(5)
y=7(x-8)2
2.抛物线y=-3(x+2)2开口向
，对称轴为
，顶点坐标为________.
3.抛物线y=3x2+0.5
可以看成由抛物线
向
平移
个单位得到的.
4.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式____________.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
情景问题：二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？
在同一直角坐标系中，画出二函数
y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x
···
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y
=2
x2＋1
···
···
y
=
2x2－1
···
···
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y
=2
x2
向上
(0,0)
y轴
y
=2
x2＋1
y
=
2x2－1
(2)
抛物线
y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2
有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
；把抛物线
y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
归纳：
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k
>
0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时,向下平移-k个单位长度得到.
活动2：探究归纳
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
活动内容2：典例精析
例题:：把抛物线y
=
2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？
归纳：
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k
︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k
中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
二、随堂检测
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
。
2、填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y
=
３x2
y
=
3x2＋1
y
=
-4x2－5
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)
___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.
若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k
.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x
时，
y随x的增大而减小；当x
时，函数y有最大值，最大值y是
，其图象与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
参考答案
预习检测：
1.（1）向上,
x=-3,(-3,0)
（2）向下,
x=1,(1,0)
（3）向上,
x=-2,(-2,0)
（4）向下,
x=6,(6,0)
（5）向上,
x=8,(8,0)
2.下；x=-2；(-2,0)
3.
y=3x2
；上；0.5
4.
y=2(x+2)2
随堂检测
1.
y
=
2x2
－４
2.向上，（0,0），y轴，有最低点；向上，（0,1），y轴，有最低点；向上，（0,-5），y轴，有最低点；
3.在
4.
=2
，>2
，<2
5.
向下平移1个单位，>0
，=0,1，（0,1），(-1,0),(1,0)
，开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.第25章概率初步复习
一、知识梳理
1.概率的有关概念：
（1）必然事件：
在一定条件下，有些事件
，这样的事件称为必然事件.
（2）不可能事件：
在一定条件下，有些事件
发生，这样的事件称为不可能事件.
（3）确定事件：
统称确定事件。
（4）随机事件：在一定条件下，有些事件
事件，称为随机事件。
（5）不确定事件：许多事情我们无法确定它
，这些事情称为不确定事件.
（6）概率的定义：对于一个随机事件A，我们把刻画
数值，称为随机事件A发生的概率
2.概率的计算：
（1）概率的计算有理论计算和实验计算两种方式.
其一是当试验次数很多时，一个事件发生的频率也稳定
附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件
概率；其二对于某些特殊类型的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.
（2）试验的特点是：1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等.具有这些特点的试验称为
.
（3）如果一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率P(A)=，可以利用列表法或树状图来球其中的m、n，从而得到事件A的概率.
（4）不可能事件发生的概率为
，即P(不可能事件)=
；必然事件发生的概率为
，即P(必然事件)=
；如果A为不确定事件，那么0二、题型、技巧归纳
类型一、事件类型的辨别
【主题训练1】(攀枝花中考)下列叙述正确的是(　　)
A.“如果a,b是实数,那么a+b=b+a”是不确定事件
B.某种彩票的中奖概率为,是指买7张彩票一定有一张中奖
C.为了了解一批炮弹的杀伤力,采用普查的调查方式比较合适
D.“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件
【自主解答】选D.“如果a,b是实数,那么a+b=b+a”是必然事件;某种彩票的中奖概率为
,是指中奖的机会是
,在7张彩票中不一定会中奖;为了了解一批炮弹的杀伤力,调查具有破坏性,应采用抽查方式比较合适;“在50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件.
归纳：判断事件类型的流程
类型二、求事件的概率
【主题训练2】(黄冈中考)如图,有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别是红桃,方块,黑桃,梅花,其中红桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色,小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一张,将剩余3张洗匀后再摸出一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A,B,C,D表示).
(2)求摸出的两张纸牌同为红色的概率.
【自主解答】
(1)树状图法:
列表法:
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
(2)一共有12种情况，符合条件的有2种，即
【主题升华】
求随机事件概率的类型及策略
1.有限等可能性事件：
(1)事件只包含一个因素：用列举的方法，根据公式P=求得结果.
(2)事件包含两个因素：用列表或画树状图的方法，根据公式P=求得结果.
(3)事件包含三个因素：用画树状图的方法，根据公式P=求得结果.
2.无限等可能性事件：与面积有关的事件的概率可以通过区域面积与总面积的比值来求解.
类型三
概率的应用
【主题训练3】(青岛中考)小明和小刚玩摸纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，纸面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏.当两张牌牌面数字之和为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【自主解答】列表得:
小刚牌面和小明牌面
2
3
2
2+2=偶
2+3=奇
3
3+2=奇
3+3=偶
∴P(和为奇数)＝
同理，P(和为偶数)＝
故小明所得分值＝
小刚所得分值为
∴游戏对小刚不公平.
【主题升华】
关于游戏中概率的两个注意点
1.判断游戏公平的标准：
游戏双方获胜的概率(或游戏得分)是否相等，是判断游戏是否公平的唯一标准；若相等，则游戏公平，若不相等，则游戏不公平.
2.变非公平游戏为公平游戏的两个途径：
(1)改变游戏规则，使双方获胜的概率相等.
(2)不改变双方获胜的概率，改变得分情况，使双方得分相等.
典例精析：
例题：甲、乙两人用手指玩游戏,规则如下:(ⅰ)每次游戏时,两人同时随机各伸出一根手指;
(ⅱ)两人伸出的手指中,大拇指只胜食指,食指只胜中指,中指只胜无名指,无名指只胜小拇指,小拇指只胜大拇指,否则不分胜负,依据上述规则,当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时.
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率.
(2)求乙取胜的概率.
【解析】(1)设A,B,C,D,E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指,列表如下:
　乙甲　
A
B
C
D
E
A
AA
AB
AC
AD
AE
B
BA
BB
BC
BD
BE
C
CA
CB
CC
CD
CE
D
DA
DB
DC
DD
DE
E
EA
EB
EC
ED
EE
由表格可知，共有25种等可能的结果.甲伸出小拇指取胜有1种
可能性，∴P(甲伸出小拇指取胜)=
(2)由上表可知，乙取胜有5种可能性，∴P(乙取胜)=
三、随堂检测
1.(舟山中考)下列说法正确的是(　　)
A.要了解一批灯泡的使用寿命,应采用普查的方式
B.若一个游戏的中奖率是1%,则做100次这样的游戏一定会中奖
C.甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同,若方差s甲2
=0.1，s乙2=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定
D.“掷一枚硬币,正面朝上”是必然事件
2.(淄博中考)请写出一个概率小于
的随机事件:　　　　　　.
3.(梧州中考)小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是(
)
4.(黔东南中考)从长为10
cm，7
cm，5
cm，3
cm的四条线段中任选三条能构成三角形的概率是(
)
5.(随州中考)在一个不透明的布袋中有2个红色和3个黑色小球，它们只有颜色上的区别.
(1)从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率.
(2)现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中.甲、乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜.请用树状图(或列表)的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平.
【答案】
1.
【解析】选C.①要了解一批灯泡的使用寿命,应采用抽样调查的方式;②若一个游戏的中奖率是1%,则说明中奖的概率是1%,100次这样的游戏不一定会中奖;③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同,方差越小,则数据越稳定;
④“掷一枚硬币,正面朝上”是随机事件.
2.
答案:在一个不透明的袋子里,有三个大小和形状完全相同的球,其中有两个红球和一个黄球,摸出一个球是黄球的概率
3.
【解析】选B.1到9这9个自然数中是偶数的有2，4，6，8，共4个，所以任意报数，是偶数的概率是
4.
【解析】选C.从长为10
cm,7
cm,5
cm,3
cm的四条线段中任选三条，共有(10，7，5),(10，7，3),(7，5，3),(10，5，3)四
种可能性，能构成三角形的有(10，7，5)，(7，5，3)两种，所求概率为
5.
【解析】(1)从布袋中随机摸出一个小球，一共有5种可能性，是红色的可能性是2种，即P(红色小球)＝
(2)画树状图如下：
由上可知，两次摸球的结果共6种可能，其中颜色相同的结果有3种可能，颜色不同的结果有3种可能.
∵P(甲获胜)＝
P(乙获胜)＝
∴这个游戏是公平的.
PAGE
123.2.1
中心对称
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解中心对称的定义.
2.探究中心对称的性质.
3.掌握中心对称的性质及其应用.
预习范围：P64-66
预习要点
1什么叫旋转？
旋转有哪些性质？
三、预习检测
1.指出图中△OCD和△OAB关于
对称；点
与点
是关于点O的对称点.
2.如图，三角形的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称的两个三角形：
我们可以发现
（1）点O是线段AA'，BB'，CC'的
点.
（2）△ABC_______△A'B'C'.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
观察实例（教科书图23.2－1，23.2－2），
回答问题：
其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180 ，你有什么发现？
（3）引导学生得出中心对称的概念
活动内容2：
1、如教科书图23.2－3，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：
(1)
画出△ABC；
(2)
以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180 ，画出△A′B′C′
2、让学生在作图的基础上思考：
(1)分别连接对应点AA′、
BB′、CC′．点O在线段
AA′上吗？如果在，在什么位置？
(2)
△ABC与△A′B′C′全等吗？为什么？
(3)
△ABC与△A′B′C′有什么关系？
(4)你能从中得到什么结论？
活动2：探究归纳
活动内容2：典例精析
例1
(1)已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'.
解：第一步：连接AO，
第二步：延长AO至A'，使OA'=OA，
则A'是所求的点.
(2)已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A'
B'
.
简记为:一连接;二延长;三截取等长;四连线
(3)如图，选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
△A′B′C′为所求作的三角形
二、随堂检测
1.判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（
）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形.
（
）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形.
（
）
2.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（
）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（　　）
A.2　　B.4　
C.6　　D.8
4.如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
参考答案
预习检测：
1.
点O；A(B)；C(D)
2.对称；≌
随堂检测
1.
√，√，×
2.D
3.B
4.
A
B
C
D
O21.3.2实际问题与一元二次方程—增长率问题
预习案
一、预习目标及范围：
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
范围：自学课本P19-P20，完成练习.
二、预习要点
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.平行四边形的面积公式是什么？
4.
解决增长率与降低率问题的公式是什么？
预习检测
1.
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650
元，则下降率是
.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是
元.
2.
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是
元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是
元.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为
元，两年后甲种药品成本为
元．
依题意，得
解得：x1≈
，x2≈
。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为
。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
答：两种药品成本的年平均下降率
．
活动2：探究归纳
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
活动内容2：典例精析
例2
某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
二、随堂检测
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
.
3.青山村种的水稻2013年平均每公顷产7200千克，2014年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
参考答案
预习检测：
1.
7%
；；4324.5
2.
5000(1-x)
；5000(1-x)(1-x)
随堂检测
1.B
2.
2（1+x)+2(1+x)2=8
3.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
7200（1+x)2=8712
系数化为1得，（1+x)2=1.21
直接开平方得，1+x=1.1,
1+x=-1.1
则x1=0.1,
x2=-1.1,
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
4.
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
5.
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元），
∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.21.1一元二次方程
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；
会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
理解一元二次方程根的概念．
二、预习要点
1．一元二次方程的概念
等号两边都是　　
　　，只含有一个　　
　（一元），并且未知数的最高次数是　　
　　（二次）的方程，叫做一元二次方程．
概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中　
　是二次项，　　
　是二次项系数；
　
　　是一次项，　　
　是一次项系数；　
　　是常数项．
概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.
如果明确了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．
3．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．
三、预习检测
1.下列方程那些是一元二次方程？
(1).5x-2=x+1
(2).
7x2+6=2x(3x+1)
(3).
1/2
x2=7
(4).
6x2=x
(5)
.
2x2=5y
(6).
-x2=0
2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
探究案
一、合作探究
活动内容1：小组合作
情景题：要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
问题1
：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
2．问题2:
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
3.
问题3：新九(６)班成立，各新同学初次同班，为表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560张，求九(６)班现有多少名学生？
归纳：
总结：
活动内容2：例题精讲
例题1:
将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
例题2：若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
例题3：已知x=2是关于x的方程的一个根，求2a-1的值。
二、随堂检测
1．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）5x2=3x；
（2）（7x﹣1）2﹣3=0；
（3）（﹣1）（+1）=0；
（4）（6m﹣5）（2m+1）=m2．
2．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
3．已知，下列关于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0
（2）x2+x﹣2=0
（3）x2+2x﹣3=0
…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．
（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．
参考答案
预习检测：
1.
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
2．ax=b
(a≠0）
;
ax2+bx+c=0
(a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
;
未知数最高次数是2
随堂检测
1．解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；
（2）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；
（3）方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；
（4）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．
2．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
当m=1时，5x=0，
解得x=0．
3．解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；
（2）上述几个方程都有一个公共根是1．22.1.3
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质（2）
预习案
一、预习目标及范围：
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.
3.比较函数y=ax2
与
y=a(x-h)2的联系.
预习要点
1.抛物线y=(x-1)2的开口　　　　,对称轴是　　　　,顶点是　　　　,它可以看做是由抛物线y=x2向　　　　平移　　　　个单位长度得到的.
2.与函数y=a(x-h)2形状相同的抛物线的解析式是
(　　)
A.y=1+　　　B.y=(2x+1)2
C.y=(x-2)2
D.y=2x2
三、预习检测
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（
）
A、向上平移2个单位
B、向下平移2个单位
C、向左平移2个单位
D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向
，对称轴是
，顶点坐标是
，抛物线是最
点，当x=
时，y有最
值，其值为
。抛物线与x轴交点坐标
，与y轴交点坐标
。
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
情景问题：
问题1
二次函数
y=ax2+k（a≠0）与
y=ax2（a
≠
0）
的图象有何关系？
问题2
函数的图象，能否也可以由函数平移得到？
活动2：探究归纳
在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:y=x2,y=(x+2)2,y=(x-2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
归纳：
活动内容2：典例精析
例：在直角坐标系中画出函数y=(x+3)2的图象.
①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
②根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
③怎样平移函数y=x2的图象得到函数y=(x+3)2的图象？
二、随堂检测
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是
.
2.二次函数y=2(x-
)2图象的对称轴是直线__
__，顶点是________.
3
.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1
，y2
，y3的大小关系为_______________.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
参考答案
预习检测：
C；
2.向上，直线x=3，（3,0），低，3，小，0，（3，0），（,0，36），
随堂检测
1.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
2.
，
3.
y1
〉y2
〉
y3
4.向上，直线x=3
，（3,0）；向上，直线x=2，（2,0）；向下，直线x=1，（1,0）；24.4.2
弧长和扇形面积
预习案
一、预习目标及范围：
1.经历圆锥侧面积的探索过程.
2.会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题
预习范围：P99-100
二、预习要点
1、什么是圆锥的母线？
2、圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积可表示为
，圆锥的全面积为
。
3、圆柱的侧面展开图是什么图形？若圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积可表示为
，全面积可表示为
。
三、预习检测
1.若圆锥的底面半径r
=4cm，高线h
=3cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是
——
度。
2.如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是__
_度；圆锥底半径
r与母线a的比r
：a
=
_
__
.
3.把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开,可得一个半径为24cm,圆心角为118°的扇形.求该纸杯的底面半径和高度（结果精确到0.1cm).
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：圆锥及相关概念—圆锥的形成
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB
等叫做
．
圆锥有无数条母线，它们都
．
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是
．
归纳：如果用r表示圆锥底面的半径,
h表示圆锥的高线长,
l表示圆锥的母线长,那么r、h、l
之间数量关系是：
填一填:
根据下列条件求值（其中r、h、l
分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）l
=
2，r=1
则
h=_______.
(2)
h
=3,
r=4
则
l
=_______.
(3)
l
=
10,
h
=
8
则r=_______.
答案：；5；6
探究2：圆锥的侧面展开图
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？
问题：
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l，侧面展开图扇形的弧长=底面周长。
活动2：探究归纳
圆锥的侧面积计算公式
(r表示圆锥底面的半径,
l
表示圆锥的母线长
)
2.圆锥的全面积计算公式
活动内容2：典例精析
例1
如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)则这个圆锥的底面半径r=
．
(2)这个圆锥的高h=
.
答案：
例2、蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
解：
二、随堂检测
1
.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．
2
.一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____
．
3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是
，全面积是
．
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．
参考答案
预习检测：
1.288
2.
180；1:2
3.
半径约为7.9cm,高约为22.7cm.
随堂检测
1.
180o
2.
10cm
3.
15πcm2
；24πcm2
4.
解：（1）连接BC，则BC=20，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC=
∴S扇形=
（2）圆锥侧面展开图的弧长为：
（3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=
最大半径为
∴不能．
A
B
C
①
②
③
O
PAGE
1第23章旋转
一、知识梳理
二、题型、技巧归纳
类型1
旋转的概念和性质
【主题训练1】(吉林中考)如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′=　　　　度.
【自主解答】由旋转的性质可得:AB=AB′,∠BAB′=40°,
∴∠BB′A=(180°-40°)÷2=70°,
又∵∠AB′C′=90°-∠BAB′=90°-40°=50°,
∴∠BB′C′=∠BB′A-∠AB′C′=70°-50°=20°.
答案:20
归纳：应用旋转性质的两点技巧
1.在旋转变换中存在两类相等的角:
(1)旋转前后的对应角相等.
(2)对应点与旋转中心连线的夹角(即旋转角)相等.
2.在旋转中存在两类相等的线段:
(1)旋转前后的对应线段相等.
(2)对应点与旋转中心所连的线段相等.
类型2
中心对称图形的识别
【主题训练2】(黄冈中考)随着人民生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是(　　)
【自主解答】选A.在A选项中,图形按其中心旋转180°后能与原图重合,是中心对称图形,而其他三项都按其中心旋转180°后不能与原图重合,所以不是中心对称图形.
【备选例题】(义乌中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(　　)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】选C.因为第一、第四个图形不仅可以沿某条直线折叠后重合,而且绕圆心旋转180°后也能与原图形重合,所以既是轴对称图形也是中心对称图形.故选C.
归纳：中心对称图形与轴对称图形的区别与联系
1.相同点:
(1)都是指具有特殊对称性的一个图形;
(2)变换后都能够与自身重合.
2.不同点:中心对称图形是绕一个点进行旋转,而轴对称图形是沿一条直线翻折.
【知识归纳】三种特殊图形的特征
1.中心对称图形:把图形绕着旋转中心旋转180°,能够与原来的图形重合.
2.轴对称图形:把一个图形沿着对称轴折叠,直线两旁的部分能够重合.
3.旋转图形:把图形绕着旋转中心旋转一定的角度,能够与原来的图形重合.
类型3
旋转、对称与坐标系
【主题训练3】(牡丹江中考)如图,
△ABO中,AB⊥OB,OB=
,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为(　　)
A.(-1,-
)
B.(-1,-
)或(-2,0)
C.(-
,-1)或(0,-2)
D.(-
,-1)
【自主解答】选B.∵OB=,AB=1,∴OA=2,∠AOB=30°.
如图,若将△ABO绕点O逆时针旋转150°,则点A1落在x轴的负半轴上,易得A1的坐标为(-2,0);若将△ABO绕点O顺时针旋转,则点A1落在第三象限,易得此时点A1的坐标为(-1,-
),故选B.
归纳：旋转中的数学思想
1.对于旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题,最好的解题方法是运用数形结合思想.
2.运用数形结合思想解题,这样可以把抽象的数学问题转化为直观的形,也可以把复杂的形转化为具体的数.
类型4
与旋转变换有关的作图
【主题训练4】(
茂名中考)在方格纸上按以下要求作图,不用写作法:
(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.
(2)作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案.
【解析】作图如下:
【备选例题】(
厦门中考)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1),B(-2,0),C(-3,-1),请在图上画出△ABC,并画出与△ABC关于原点O对称的图形.
【解析】画图如下:
归纳：旋转作图的方法与步骤
1.分析题目要求,找出旋转中心、旋转角.
2.分析所作图形,找出构成图形的关键点.
3.沿一定的方向,按一定的角度,通过截取线段的方法,旋转各个关键点.
4.连接所作的各个关键点,并标上相应的字母.
5.写出结论.
典例精析：
例题1.(
温州中考)如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上.按要求画一个三角形,使它的顶点在方格的顶点上.
(1)将△ABC平移,使点P落在平移后的三角形内部,在图甲中画出示意图.
(2)以点C为旋转中心,将△ABC旋转,使点P落在旋转后的三角形内部,在图乙中画出示意图.
【解析】(1)答案不唯一,如图示:
(2)答案如图示:
例题2.(
绥化中考)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗 如果是轴对称图形,请画出对称轴.
【解析】(1),(2)如图.(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形,对称轴如图中两条斜线.
三、随堂检测
1.(长沙中考)在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是(　　)
2.(烟台中考)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是(　　)
3.
(青海中考)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
4.(玉溪中考)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
5.(荆门中考)在平面直角坐标系中,线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0),P(4,3),将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置,则点P′的坐标为(　　)
A.(3,4)
B.(-4,3)
C.(-3,4)
D.(4,-3)
6.(安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′的坐标为　　　　　.
7.如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°后,得到线段BA′,则点A′的坐标为　　.
8.(河池中考)如图(1),已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合.将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置,其中A′C交直线AD于点E,A′B′分别交直线AD,AC于点F,G,则在图(2)中,全等三角形共有(　　)
A.5对　　　　B.4对　　　　C.3对　　　　D.2对
9.(宁夏中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在AB边上,则旋转角的大小为　　　　.
【答案】
1.
【解析】选C.选项A中的图形是轴对称图形,也是旋转图形;选项B中的图形是轴对称图形;选项D中的图形是轴对称图形,也是旋转图形;选项C中的图形既不是轴对称图形,也不能由旋转得到.
2.
【解析】选B.选项A为旋转对称图形,选项B为中心对称图形,选项C为轴对称图形,选项D不是对称图形.
3.
【解析】选C.选项A中图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,选项B中图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,选项C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形,选项D中图形是轴对称图形但不是中心对称图形,故选C.
4.
【解析】选A.选项A是轴对称图形,也是中心对称图形;选项B是轴对称图形,不是中心对称图形;选项C是轴对称图形,不是中心对称图形;选项D不是轴对称图形,是中心对称图形.
5.
【解析】选C.点P的横坐标是4,纵坐标是3,把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置,点P对应点P′的横坐标绝对值等于点P的纵坐标,点P′的纵坐标等于点P的横坐标,因此答案是(-3,4).
6.
【解析】作图如下,可知B′的坐标为(4,2).
答案:(4,2)
7.
【解析】作图如下,可知点A′的坐标为(2,1).
答案:(2,1)
8.
【解析】选B.由题意,得:△ACB≌△A′CB′≌△ACD,
所以∠A=∠A′,∠D=∠B′,∠ACD=∠A′CB′,AC=
A′C,
DC=
B′C,A′B′=AD,
所以图中能够成为全等三角形的有:△A′EF≌△AGF,
△A′CG≌△ACE,△GCB′≌△ECD,△A′CB′≌△ACD,共4对.
9.
【解析】∵△EDC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到的,∴CB=CD,又点D在AB边上,则△CBD是等腰三角形,∴底角∠B=∠BDC=(90°-α),
∴∠BCD=180°-2(90°-α)=2α,即旋转角的大小为2α.
答案:2α21.2.1解一元二次方程
预习案
预习目标及范围
1.学生通过自学探究掌握配方法解一元二次方程；
2.理解一元二次方程的基本思想——将次
3.掌握配方法一元二次方程的格式
范围：自学课本P5-P9，完成练习.
二、预习要点
1.直接开平方法解一元二次方程
一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
2.对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得．
注：
（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．
（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．
（3）当时，方程没有实数根．
三、预习检测
1．什么叫做平方根 平方根有哪些性质？
平方根的性质：
2．x2=4，则x=
.
想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？
探究案
一、合作探究
活动内容1：
问题探究1：
探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2
，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
问题探究2：
(1)x2＋8x＋
=(x＋4)2
(2)x2－4x＋
=(x－
)2
(3)x2－___x＋
9
=(x－
)2
活动内容2：例题精讲
例题1.
用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
例题2.
用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
二、随堂检测
1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（
）．
（A）(x+3)2=14
（B）
(x-3)2=14
（C）
(x+6)2=14
（D）以上答案都不对
2.用配方法解下列方程，配方有错的是（
）
（A）x2-2x-99=0
化为 (x-1)2=100
（B）
2x2-3x-2=0
化为
(x-
3/4
)2=25/16
（C）x2+8x+9=0
化为
(x+4)2=25
（D）
3x2-4x=2
化为(x-2/3)2=10/9
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（
）．
（A）1
（B）－2
（C）2或－1
（D）－2或1
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（
）
（A）非负数
（B）正数
（C）整数
（D）不能确定的数
5.用配方法解方程：
(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．
参考答案
预习检测：
1．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．
记作x=，即x=或x=．
平方根的性质：
（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根．
2．±2.
随堂检测：
1.A
2.C
3.D
4.B
5.
解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＝－8，
(x－3)2＝1，x－3＝±1，
x1＝2，x2＝4.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，
整理得：5x2＋85＝6x2＋12x，x2＋12x－85＝0，
x2＋12x＝85，x2＋12x＋36＝85＋36，
(x＋6)2＝121，
x＋6＝±11，
x1＝5，x2＝－17.22.2二次函数与一元二次方程
预习案
一、预习目标及范围：
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
预习范围：P43-46
预习要点
二次函数图像与x轴的位置关系有哪几种，并作图说明？
一元二次方程的求解公式，及其如何判断根的情况？
三、预习检测
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程
ax2+bx+c
=0
(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（
）
A.
3<
x
<
3.23
B.
3.23
<
x
<
3.24
C.
3.24
3.25
D.
3.25
3.26
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=
；
3.一元二次方程
3
x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
，那么二次函数
y=
3
x2+x－10与x轴的交点坐标是
.
4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（
）
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：
活动2：探究归纳
二次函数与一元二次方程的关系：
活动内容2：典例精析
例题1、下列二次函数的图象与
x
轴有交点吗
若有，求出交点坐标.
（1）
y
=
2x2＋x－3
（2）
y
=
4x2
－4x
+1
（3）
y
=
x2
–
x+
1
例题2、
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
归纳：二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=
0的根
一元二次方程ax2+bx+c=
0根的判别式Δ=b2-4ac
二、随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（
）
A.
y
=
2x2
–
3
B.
y=－2
x2
+
3
C.
y=
－x2
–
3x
D.
y=－2(x+1)2
－3
2.若抛物线
y
=
ax2+bx+c=
0，当
a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（
）
A.
无交点
B.
只有一个交点
C.
有两个交点
D.
不能确定
3.
如果关于x的一元二次方程
x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线
y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线
y=x2
–
8x
+
c的顶点在
x轴上，则
c
=＿＿.
5.若抛物线
y=x2
+
bx+
c
的顶点在第一象限,则方程
x2
+
bx+
c
=0
的根的情况是＿＿＿＿＿.
6.抛物线
y=2x2－3x－5
与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
7.一元二次方程
3
x2+x－10=0的两个根是x1－2
，x2=5/3，那么二次函数
y=
3
x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
8.已知抛物线y
=
ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2
+
bx
+
c－3
=
0根的情况是（
）
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个异号的实数根
C.
有两个相等的实数根
D.
没有实数根
参考答案
预习检测：
1.C
2.-1；
3.
(-2，0)
(
，0)
4.A
随堂检测
1.D
2.C
3.1，1
4.16
5.
b2－4ac
<
0
6.
(0，－5)
;(5/2，0)
(－1，0)
7.
(-2，0)
(5/3，0)
8.A
y
O
x
1
3
x
y
o24.2.1
点和圆的位置关系
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
预习范围：P92-95
二、预习要点
1、点与圆的三种位置关系：（圆的半径
r,点P与圆心的距离为d）
点P在圆外
点P在圆上
点P在圆内
2、自己作圆：（思考）
（1）作经过已知点A的圆，这样的圆能作出多少个？
（2）经过A、B两点作圆，这样的圆能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？
（3）经过A、B、C三点作圆，有哪些情况？三点应符合什么条件才能作圆？
3、什么叫三角形的外接圆？三角形的外心及性质？
4、教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆？反证法的证明思路是什么？
三、预习检测
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在
；点B在
；点C在
.
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=
，则点P在（
）
A.在大圆内
B.在小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
3.判一判：下列说法是否正确:
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆(
)
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形(
)
(3)经过三点一定可以确定一个圆(
)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等(
)
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究1:点和圆的位置关系
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
明确：
点与圆的位置关系有三种：
问题2
：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内：
点P在⊙O外：
点P在⊙O伤：
探究2：过不在同一直线上的三个点作圆
问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法
1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
2.作直线MN.
问题2
：过两个点能不能确定一个圆
明确：能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
问题3
：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
明确：经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.不在同一直线上的三个点确定一个圆.
探究3：画一画：
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
活动2：探究归纳
锐角三角形的外心位于
直角三角形的外心位于
钝角三角形的外心位于
活动内容2：典例精析
例题:思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
归纳：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
（1）
（2）
（3）
二、随堂检测
1.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A
；点C在⊙A
；点D在⊙A
.
2.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为
（
）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.在⊙O上或⊙O外
3.直角三角形的两条直角边分别是6、8，则这个直角三角形外
接圆的半径是
.
4.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
5.如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心.
参考答案
预习检测：
1.圆内；圆上；圆外
2.D
3.
√××
√
随堂检测
1.上；外；上
2.B
3.5
4.
5.圆心一定在弦的垂直平分线上.24.1.3
弧、弦、圆心角
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
预习范围：P51-52
二、预习要点
1.举例说明什么是圆心角？
2.教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？
3.在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？
4.由探究得到的定理及结论是什么？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
，所对的弦
。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
相等，所对的
也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
相等，所对的
也相等．
三、预习检测
1.
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果弧AB=弧CD，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
2.
如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
探究1;
圆心角的定义
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB
.
2.圆心角
∠AOB
所对的弧为弧AB.
3.圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角、弧、弦
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
探究2:
圆心角、弧、弦之间的关系
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
明确：由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，，弦AB=弦CD
探究3：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO
′
D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
明确：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，弧AB=弧CD，弦AB=弦CD.
活动2：探究归纳
归纳：弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
探究4：想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
答案：不可以，如图
弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
活动内容2：典例精析
例
如图，在⊙O中，弧AB=弧AC
,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明;
∵弧AB=弧CD，
∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
注意：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
二、随堂检测
1．如果两个圆心角相等，那么
（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
　.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是
（
）
A.
B.
C.
D.
不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，,求证:AB＝CD.
5.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
参考答案
预习检测：
1.
(1)弧AB=弧CD
;
;(2)AB=CD;
(3)弧AB=弧CD
;
AB=CD;
(4)答：相
等;
因为AB=CD
，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，所以△AOB≌
△COD.
又因为OE
、OF分别是AB与CD边上的高，所以弧OE=弧OF.
2.
解：∵弧BC=弧CD=弧DE，
∴
∠
BOC=
∠COD=
∠
DOE=35°.
∵弧BC=弧CD=弧DE，
随堂检测
1.D
2.
60
°
3.A
4.
5.
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.不是，取
的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以
==.
=2，弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD<2AB.
·
A
O
B
C
D
E25.3
用频率估计概率
预习案
一、预习目标及范围：
1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律.
2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.
3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系
预习范围：P142-147
二、预习要点
1、
是针对大量反复试验而言的，大量反复试验反映的规律并非在每一次试验中发生.
2、用
估计概率，就是取多次试验发生的
逐渐稳定的常数来估计概率，值得注意的是，同一试验中重复的次数越多，事件发生的
越接近概率，但
永远不能代替概率.
三、预习检测
1、某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示,计算表中各对应频率，并根据频率的稳定性估计概率。
2、抛掷硬币试验结果表：
3、某批乒乓球产品质量检查结果表：
4、某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：探究频率与概率的关系
问题1
抛掷一枚硬币，正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用试验的方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？
【试验要求】
1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。
2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），
向组长汇报，并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于
100次.
3.组长将表格交给老师.
（以两个小组为例）
试验者（一组）
1号与6号
2号与5号
3号与4号
小组合计
正面向上次数m
46
78
102
226
总投掷次数n
100
150
200
450
正面向上频率m/n
试验者（二组）
1号与6号
2号与5号
3号与4号
小组合计
正面向上次数m
84
88
109
281
总投掷次数n
160
180
210
550
正面向上频率m/n
试验汇报：（以一组为例）
实验者
一组
二组
三组
四组
五组
六组
全班合计
正面向上次数m
226
281
260
238
246
259
总投掷次数n
450
550
503
487
510
495
正面向上频率m/n
问题2
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
试验者
抛掷次数n
“正面向上”次数m
“正面向上”
频率(
)
棣莫弗
2048
1061
0.518
布
丰
4040
2048
0.5069
费
勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
问题3
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
试验次数越多频率越接近0.
5，即频率稳定于概率。
问题4
为什么可以用频率估计概率？
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率
会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.
问题5
频率与概率有什么区别与联系？
所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变.
而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.
从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率.
活动2：探究归纳
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时,
则用列举法，利用概率公式P(A)=
的方式得出概率.
当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.
探究2：频率估计概率的应用
填表：
由上表可知：柑橘损坏率是
，完好率是
.
答：0.10；0.90
活动内容2：典例精析
例1
某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析
根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.
解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的销价为x元，则应有
（x-2.22）×9000=5000，
解得
x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.
二、随堂检测
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1
000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼
尾,鲢鱼
尾.
2.
养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，鱼塘里大约有鱼多少条？
3.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次，这是这什么？
4.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重
2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.
参考答案
预习检测：
1.0.75；0.8；0.8；0.85；0.83；0.8；0.76；（0.8）
2.
0.5
3.0.94
4.0.9
随堂检测
1.310；270
2.
解：设鱼塘里有鱼x条，根据题意可得
解得
x=1000.
答：鱼塘里有鱼1000条.
3.
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
4.
解：先计算每条鱼的平均重量是：
（2.5×40+2.2×25+2.8×35）÷（40+25+35）=2.53（千克）；
所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000×
95%=240350（千克）.
51.54
500
44.57
450
39.24
400
35.32
350
30.93
300
24.25
250
19.42
200
15.15
150
0.105
10.5
100
0.110
5.50
50
柑橘损坏的频率（
）
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘总质量（n）/千克
n
m
PAGE
624.1.1
圆
预习案
一、预习目标及范围：
1.认识圆，理解圆的本质属性.
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.
3.初步了解点与圆的位置关系.
预习范围：79-80
二、预习要点
1、
车轮为什么做成圆形的？
2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由.
3、什么是弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧、优弧、弧劣？
4、什么是圆？圆可以看作什么？
三、预习检测
1.
一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,
则这个圆的半径是______cm.
2.CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交
⊙O于B,
且AB=OC,则∠A=_______.
3.如图点A、D、G、M在半圆O上,四边
形ABOC、DEOF、AMNO均为矩形,设
BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c的大小关系。
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
想一想：1.以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？
2.如何画一个确定的圆？
问题
从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于
．
（2）到定点的距离等于定长的点都在
．
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．
以A、B为端点的弧记作
AB
，读作“
”或“
”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
．
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的
;
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的
能够重合的两个圆叫做
.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做
.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
活动2：探究归纳
把握圆的基本性质和基本概念
活动内容2：典例精析
例1
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：
例2
如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
解答：
归纳:
1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.直径是圆中最长的弦.
借图解释：
连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
二、随堂检测
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有
条直径，
条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有
条，
劣弧有
条．
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,
则这个圆的半径是
.
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
4．
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
5．
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域
参考答案
预习检测：
1.
7或3
2.
24°
随堂检测
1.直径；半径；一；二；四；四
2.
7cm或3cm
3.（2）（6）是正确的，其余错误。
4.
不公平，应该站成圆形.
5.
·
·
C
O
A
B
5m
O
4m第22章二次函数
一、知识梳理
1.
二次函数的概念：一般地，形如
(是常数，)的函数，叫做二次函数。
2.
(1)
二次函数基本形式：的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
(2)
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
(3)的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
(4)
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
3.二次函数图象的平移
(1)
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标
；
(2)保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
(3)平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
4.二次函数的性质
(1)
当时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
．
当
时，随的增大而减小；当
时，随的增大而增大；当
时，有最小值
．
(2)
当时，抛物线开口向下，对称轴为
，顶点坐标为
．当
时，随的增大而增大；当
时，随的增大而减小；当
时，有最大值
．
5.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：
(，，为常数，)；
(2)顶点式：
(，，为常数，)；
(3)两根式：
(，，是抛物线与轴两交点的横坐标).
6.二次函数与一元二次方程：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①
当
时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．
②
当
时，图象与轴只有一个交点；
③
当
时，图象与轴没有交点.
二、题型、技巧归纳
类型一：
二次函数的平移
【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为(　　)
A.y=3(x+2)2+3　　
B.y=3(x-2)2+3
C.y=3(x+2)2-3　　
D.y=3(x-2)2-3
【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.
归纳：二次函数平移的两种方法
1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.
2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.
类型二：二次函数的图象及性质
【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0-1时,y>0.其中正确结论的个数是(　　)
A.5个　　B.4个　
C.3个　　D.2个
【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴-
>0,∴
<0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1;
又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c=
a+a+1+1=2a+2<2,∴0-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.
归纳：
类型三：二次函数与方程、不等式
【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是　　　　.(填入正确结论的序号)
【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=
=1>0,∴a与b异号,则b<0.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x==1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.
∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,
∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.
答案:①②⑤
归纳：二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.
2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.
类型四：二次函数的应用
【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).
温度x(℃)
…
-4
-2
0
2
4
4.5
…
植物每天高度增长量y(mm)
…
41
49
49
41
25
19.75
…
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择 直接写出结果.
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意,得
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y不是x的一次函数.
(2)由(1)得y=-x2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50.
∵a=-1<0,∴当x=-1时y的最大值为50.
即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6归纳：解决二次函数应用题的两步骤
1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.
2.应用:利用二次函数的性质解决问题.
三、随堂检测
1.(茂名中考)下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是(　　)
A.y=3x2+2　
B.y=3(x-1)2
C.y=3(x-1)2+2　
D.y=2x2
2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为(　　)
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,
则下列关系式错误的是(　　)
A.a>0
B.c>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c>0
4.
4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1>y2
≥y0,则x0的取值范围是(　　)
A.x0>-5　　　　
B.x0>-1
C.-5D.-25.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c
的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;
②b>a>c;③若-1;
④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是
　　　　　(写出你认为正确的所有结论序号).
6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系则羽毛球飞出的水平距离为　　　　　m.
7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大 每月的最大利润是多少
【答案】
1.【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x2的图象平移得到.
2.
【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的
过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x2+bx+c的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x2+2x,故b=2,c=0.
3.
【解析】选D.
4.
【解析】选B.∵y1>y2≥y0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能
在A点的左侧;若对称轴在B点或其右侧,此时满足题意,则有
x0≥3;若对称轴在A,B两点之间,当y1=y2时,有x0=-1,当y1>y2时,
应有x0>
,即3>x0>-1,综上可得x0的取值范围是x0>-1.
5.
【解析】对称轴x=
＞1，所以b>－2a，即2a+b>0，故①正
确；抛物线开口向下，a＜0，与y轴交于负半轴，c＜0，对称
轴x=
＞0，∴b＞0.根据图象无法确定a与c的大小，故②不
正确；因为－1＜m＜n＜1，∴
＜1，而对称轴x=
＞
1，所以
＜，即m+n＜
，故③正确；因为x=1时，
a+b+c＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b|
+|c|=－3a－2b－c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故
④正确.
答案：①③④
6.
【解析】令y=0，得：
解得：x1=5，x2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5
m.
答案：5
7.
【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得
所以y与x之间的关系式为:y=-10000x+80000.
(2)设每月的利润为W,则W=(x-4)(-10000x+80000)
=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32)
=-10000[(x-6)2-4]=-10000(x-6)2+40000.
所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元.
答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（2）
预习案
一、预习目标及范围：
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
预习范围：P39-40
预习要点
二次函数的三种表现形式有哪些，各有什么特点？
常见用待定系数法求二次函数的解析式有哪三种形式？
三、预习检测
根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式
（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)
（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题1
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
0
1
0
-3
-8
-15
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.
②选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式.
③选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.
活动2：探究归纳
（1）已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：
（2）知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：
（3）知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
活动内容2：典例精析
例
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
归纳：
求二次函数解析式的一般方法：
二、随堂检测
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
。
3.如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
参考答案
预习检测：
1.解：已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k
∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）
∴a(2-1)2+2=3，∴a=1
∴
y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3
2.
解：已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过
（0，-3），∴
a(0-1)(0-3)=-3,
∴a=-1
∴
y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
随堂检测
1.
2.
y=-2(x-1)2+6
3.（1）（2）△ABC的面积是6.21.3.1实际问题与一元二次方程——传播问题
预习案
一、预习目标及范围：
1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；
2．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
范围：自学课本P19，完成练习.
二、预习要点
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元二次方程解应用题的步骤：
、
、
、
、
、
。最后要检验根是否符合
。
预习检测
1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛 （只列方程即可）
2.要组织一场篮球联赛,
每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
（只列方程即可）
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题1
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
活动2：探究归纳
列一元二次方程解应用题时，一般的解题步骤和要注意问题归纳如下：
活动内容2：典例精析
例1
某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有
100
台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4
轮感染后，被感染的电脑会不会超过
7000
台？
归纳：
你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征
吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
二、随堂检测
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.
4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
参考答案
预习检测：
1.
解：设应邀x支球队参赛由题有：
2.
解：设应邀x支球队参赛由题有：x(x-1)=90
随堂检测
1.D
2.B
3.解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)],
根据题意列方程得[10(5-x)+x]
[10x+(5-x)]=736
化简整理得x2-5x+6=0
解得x1=3，x2=2
所以这个两位数是32或23.
4.解：设每天平均一个人传染了x人，
1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9
解得
x1=-4
(舍去），x2=2.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187，
(1+x)7=
(1+2)7=2187
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
5.
解：设应邀请x支球队参赛，由题意列方程得
化简为x2-x=30，
解得x1=-5
(舍去），x2=6.
答：应邀请6支球队参赛22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
预习案
一、预习目标及范围：
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)与y=ax2
(a
≠0)之间的联系.
预习要点
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的特点是什么？
2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象平移的规律是什么？
三、预习检测
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y
=2(
x+3)2+5;（2）y
=
－3(x－1)2－2;
（3）y
=
4(x－3)2+7;
（4）y
=
－5(x+2)2－6.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
例3
画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
活动2：探究归纳
试一试：画出函数y=
2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
y=
2（x+1）2-2
归纳：
a＞0时，开口
,
最
点是顶点;
a＜0时，开口
,
最
点是顶点;
对称轴是
，
顶点坐标是
活动内容2：典例精析
例4要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
二、随堂检测
1.完成下列表格:
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=
-9a；④若（-3，y1）,（
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(
)
A．①②③　　
B．①③④
C．①②④　
D．②③④
3.求二次函数y=x2-
2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.
参考答案
预习检测：
（1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）;
（2）a=－3<0开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）;
（3）a=4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;
（4）a=－5<0开口向下，对称轴为x=－2，顶点坐标为（－2,
－6）.
随堂检测
1.向上，直线x=-3,(-3,5);
向下，直线x=1,(1,-2);
向上，直线x=3,(3,7);
向下，直线x=2,(2,-6);
2.B
3.
解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
∴
顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1，时，y最小值=-2.25.2.2用列举法求概率
预习案
一、预习目标及范围：
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树状图计算事件的概率.
3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能
预习范围：P138-139
二、预习要点
画树状图求概率的基本步骤：
（1）
（2）
（3）
（4）
三、预习检测
经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：画树状图求概率
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.
则其树形图如图.
画树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
活动2：探究归纳
画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
活动内容2：典例精析
例1
甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出1个小球．
（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
解：
归纳：
当试验包含两步时，
比较方便；当然，此时也可以用
；
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用
求事件的概率.
二、随堂检测
1.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有
种不同的放法.
2.三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
3.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为
，则n=
.
4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.
5.现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
参考答案
预习检测：
（2）P（两车向右，一车向左）=
；
（3）
P（至少两车向左）=
随堂检测
1.6
2.
B
3.
；8
4.
解：根据题意，画出树状图如下
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于10)=
5.
解：根据题意，画出树状图如下
由树状图得，所有可能出现的结果有18个，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包有2个，所以选的包子全部是酸菜包的概率是：
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
PAGE
124.2.2
直线和圆的位置关系(2)
预习案
一、预习目标及范围：
1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）
预习范围：P97-98
二、预习要点
1、切线的判定定理：经过__________并且_______
直线是圆的切线.定理必须满足两个条件：①____________
②____
________
2、切线的性质定理：圆的切线_______经过切点的
.
三、预习检测
1、下列说法正确的是（
）
A、与圆有公共点的直线是圆的切线
B、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D、过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2、直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.
探究案
一、合作探究
活动内容1：小组合作
探究1:
切线的判定定理
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1）
圆心O到直线AB的距离
和圆的半径有什么数量关系
（2)二者位置有什么关系？为什么？
归纳:
切线的判定定理——
判一判：
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：
2.数量关系法：
3.判定定理：
探究2：切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O
的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线性质：
探究3：性质定理的证明
证法1：反证法
证法2：构造法
活动内容2：典例精析
例1
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：
例2
如图,△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC中点，⊙O
与AB
相切于E.求证：AC
是⊙O
的切线．
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
证明：
归纳：
证切线时辅助线的添加方法：
(1)
(2)
有切线时常用辅助线添加方法
(1)
切线的其它重要结论
(1)
（2）
二、随堂检测
1.判断下列命题是否正确.
⑴
经过半径外端的直线是圆的切线.（
）
⑵
垂直于半径的直线是圆的切线.
（
）
⑶
过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
（
）
⑷
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（
）
⑸
过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（
）
2.
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是
.
3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（
）
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
5.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；②
_____________
.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线.
参考答案
预习检测：
1.B
2.证明：
∵OA=OB,CA=CB，OC=OC∴△AOC≌△BOC
∴∠ACO=∠BCO∵∠ACO+∠BCO=180o
∴OC⊥AB
又∵直线AB经过⊙O上的点C,∴直线AB是⊙O的切线.
随堂检测
1.
××√√√
2.相切
3.C
4.
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
5.
证明：连接AO并延长交⊙O于D,连接CD,则AD为⊙O的直径.
∴
∠D+
∠DAC=90
°,
∵
∠D与∠B同对
,
∴
∠D=
∠B,
又∵
∠CAE=
∠B,
∴
∠D=
∠CAE,
∴
∠DAC+
∠EAC=90°,
∴EF是⊙O的切线.
A
l
O
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图221.2.2解一元二次方程——公式法
预习案
一、预习目标及范围
1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；
2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
范围：自学课本P9-P12，完成练习.
二、预习要点
1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；
2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
三、预习检测
1.什么是配方法 配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？
探究案
一、合作探究
活动内容1：小组合作
问题1：用配方法解方程
问题2：用配方法解方程
活动内容2：典例解析
问题1：用配方法解方程：
解:
a=2,
b=5,
c=
-3,
∴
b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴
x
===
X1
=-3
X2
=
问题2：用公式法解方程
解：方程两边同乘以3,
得
2
x2
-3x-2=0
a=2，b=
-3，c=
-2.
∴b2-4ac=(-3)
2-4×2×(-2)=25.
∴
x
===
X1
=-2
X2
=-
问题3：
用公式法解方程：x2
+3
=
2x
a=2，b=
-2，c=
3.
∴b2-4ac=(-2)
2-4×1×3=0
∴
x
===
X1
=
X2
=
例4
解方程：
解：去括号，化简为一般式：
a=3，b=
-7，c=
8.
∴b2-4ac=(-7)
2-4×3×8=-47<0.
∴方程没有实数解。
活动内容3：知识归纳：
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．
一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
公式法解一元二次方程
一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，它的两个根分别是
，，
这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；
确定a，b，c的值；
求出的值，并判断方程根的情况：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．
二、随堂检测
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是
（
）
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.只有一个实数根
3.下列一元一次方程中，有实数根的是
(
)
A.x2-x+1=0
B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0
D.x2+4=0
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是
(
)
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
(
)
A.m＜1
B.
m＜1且m≠0
C.m≤1
D.
m≤1且m≠0
6.用公式法解下列方程：
参考答案
预习检测：
1.配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移常数项到方程右边；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）化方程左边为完全平方式；
（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．
2.解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即：
因为所以
当；
当
当
随堂检测：25.1.1
随机事件
预习案
一、预习目标及范围：
1.会对必然事件，不可能事件和随机事件作出准确判断.
2.归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点.（重点）
3.知道事件发生的可能性是有大小的.
预习范围：P127-128
二、预习要点
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为
。
在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为
。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为
。
必然事件与不可能事件统称
。
随机事件发生的可能性有
，不同的随机事件发生的可能性的
有可能不同。
三、预习检测
一盒子里装有3个黄球和2个红球（只有颜色不同），现任摸一球，摸到红球奖10元；摸到黄球，罚10元，这一规则对设摊人有利，为什么？若摸到的人（每摸一次）可先获1元奖励呢？情况又会如何呢？
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：活动1
五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序.为了抽签，我们在盒中放五个完全一样的纸团，每个纸团里分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5.把纸团充分搅拌后，小颖先抽签，她任意（随机）从盒中抽取一个纸团.请考虑以下问题：
（1）抽到的序号有几种可能的结果？
（2）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？
（3）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？
（4）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？
明确：
答：
活动2
掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面：
（1）可能出现哪些点数？
（2）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
（3）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
（4）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
明确：
思考：
（1）上述两个活动中的必然事件和不可能事件的区别在哪里？
答：
（2）怎样的事件称为随机事件呢？
答：
探究2:
随机事件发生的可能性
摸球试验:
袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球.
（1）这个球是白球还是黑球？
答：
2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
答：
球的颜色
黑
球
白
球
摸取次数
结论：由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性.
想一想：
能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？
答：
活动2：探究归纳
通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？
一般地，
1.随机事件发生的可能性是有大小的；
2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
活动内容2：典例精析
【例题1】
5名同学参加讲演比赛按抽签方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5根形状、大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1、2、3、4、5，小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地取一根纸签，请考虑以下问题：
(1)抽到的序号有几种可能的结果？
(2)抽到的序号小于6吗？
(3)抽到的序号会是0吗？
(4)抽到的序号会是1吗？
答：
【例题2】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，请考虑以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上，
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0吗？
(3)出现的点数会是7吗？
(4)出现的点数会是4吗？
答：
二、随堂检测
1.下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件
（1）太阳从东边升起.
（2）篮球明星林书豪投10次篮，次次命中.
（3）打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片.
（4）一个三角形的内角和为181度.
2.如果袋子中有4个黑球和x个白球，从袋子中随机摸出一个，“摸出白球”与“摸出黑球”的可能性相同，则x=
.
3.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”发生的可能性（
）“落在陆地上”的可能性.
A.大于
B.等于
C.小于
D.三种情况都有可能
4.
桌上扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃.从中随机抽取1张扑克牌.
（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？
（2）你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？
（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？
5.你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？数量不限，尽力．
如：必然事件：
　　随机事件：
　　不可能事件：
参考答案
预习检测：
1.
因为摸出红球的可能性比摸到黄球的可能性要小，即受罚的可能性比奖励的可能性要大，所以这一规则对摊主有利。
若每摸一次先奖1元，假设摸5次，奖5元，摸到红球两次，奖20元，摸到黄球3次，罚30元，还是亏了5元。
随堂检测
1.必然事件；随机事件；随机事件；不可能事件
2.
4
3.
A
4.
解：（1）不能确定；（2）黑桃；（3）可以，去掉一张黑桃或增加一张红桃.
5.
种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明；海市蜃楼，守株待兔；
海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长.
PAGE
124.1.2
垂直于弦的直径
预习案
一、预习目标及范围：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
预习范围：P81-83
二、预习要点
1.书中证明利用了圆的什么性质？
2.若只证AE=BE，还有什么方法？
3.垂径定理：
4.分析：给出垂径定理的推理格式
5.推论：平分弦（
）的直径垂直于弦，并且
\
三、预习检测
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
问题1
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？
可以发现：
问题2
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
为什么
明确：
理由如下：
归纳:垂径定理
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
活动2：探究归纳
垂径定理的几个基本图形：
垂径定理的推论：
活动内容2：典例精析
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
cm.
解析：
例2
如图，
⊙
O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：
例3：你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
归纳：在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
二、随堂检测
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
2.⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°则弦AC=
___
.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
____
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
5.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
参考答案
预习检测：
1.解：
在Rt
△
AOE
中
答：⊙O的半径为5cm.
2.证明;
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
随堂检测
1.
5cm
2.
10
cm
3.
14cm或2cm
4.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m
5.
3cm≤OP≤5cm
D
·
O
A
B
C
E
·
O
A
B
E
·
O
A
B
E
C
D
●
O
C
D
E
F
┗
B
A
O
P22.1.1一次函数
预习案
一、预习目标及范围：
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
预习要点
1.一般地，形如
的函数，叫做二次函数.
2.
举出几种不同形式的二次函数，看谁举的多？
三、预习检测
1
.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为(
)
A.y=ax2+bx+c
B.y2=x2-4x+1
C.y=x2
D.y=2+
2.函数
y=(m-n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
)
A.m,n是常数,且m≠0
B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n
D.m,n为任何实数
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
问题2：某种产品现在的年常量是20
t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
（3）
活动2：探究归纳
函数（1）（2）（3）有什么共同点？
活动内容2：典例精析
例1
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？
例2
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
归纳：
例3
下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？
①
y=ax2+bx+c
②
s=3-2t
③y=x2
④
⑤y=x +x +25
⑥
y=(x+3) -x
明确：
小结：
二、随堂检测
1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为
.
2.函数
y=(m-n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
)
A
.
m,n是常数,且m≠0
B
.
m,n是常数,且n≠0
C.
m,n是常数,且m≠n
D
.
m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是
(
)
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
参考答案
预习检测：
1.C
2.C
随堂检测
1.
-3x2
；-16；12
2.C
3.C
4.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x
(0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15
cm2
.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
预习案
预习目标及范围：
1.知道二次函数的图象是一条抛物线.
2.会画二次函数y=ax2的图象.
3.掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．
二、预习要点
1.二次函数的图象是一条
.
2.
二次项系数互为相反数，开口
，大小
，它们关于
轴对称.
3.
二次函数y=ax2中的a的绝对值越大，开口
。
三、预习检测
1、函数y=2x2的图象的开口
，对称轴
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
；
2、函数y=-3x2的图象的开口
，对称轴
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
；
探究案
一、合作探究
活动内容1：
活动1：小组合作
情景问题：
（1）
你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
探究：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
问题1
从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？
明确：在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.
顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点.
活动2：探究归纳
问题2
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
明确：
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
活动内容2：典例精析
例1
在同一直角坐标系中，画出函数的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
…
…
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
问题1
从二次函数开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
明确：当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题2
从二次函数开口大小与a的绝对值大小有什么关系？
明确：当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
归纳：
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置开口方向
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
对称性
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点最值
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
二、随堂检测
1.函数y=2x2的图象的开口
,
对称轴
,顶点是
;
在对称轴的左侧，y随x的增大而
,
在对称轴的右侧,
y随x的增大而
.
2.函数y=－3x2的图象的开口
,
对称轴
,顶点是
;
在对称轴的左侧,
y随x的增大而
,
在对称轴的右侧,
y随x的增大而
.
3、如右图，观察函数y=（
k-1）x2的图象,则k的取值范围是
.
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点
参考答案
预习检测：
1.向上；y轴；（0,0）；
2.
向下；y轴；（0,0）；
随堂检测
1.向上；y轴；（0,0）；减少；增大；
2.
向下；y轴；（0,0）；增大；减少；
3.
k>1
4.
二次函数
开口方向
对称轴
顶点
向上
y轴
（0,0）
向下
y轴
（0,0）
向上
y轴
（0,0）
向下
y轴
（0,0）
y
O
x
y
O
x