4 对数(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知loga3＝2，则a的值为( )
A．2
B．3
C．8
D．9
答案：B
解析：∵2＝30＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.
2．化简log34·log45·log58·log89的结果是( )
A．1
B.
C．2
D．3
答案：C
解析：log34·log45·log58·log89＝···＝＝2.
3.，，log，logabn，(a，b均为不等于1的正数且ab≠1，n∈N＋)，其中与logab相等的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案：B
4．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是( )
A.
B．9
C．18
D．27
答案：B
解析：原式可化为··＝log442＝2，所以lg
m＝2lg
3＝lg
9，所以m＝9.
5．若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1
B.
C．2
D．－1
答案：A
解析：＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.
6．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( )
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
答案：B
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若log32＝a，则log123可以用a表示为：________.
答案：
解析：log123＝＝＝.
8.＋log94＝________.
答案：1
解析：原式＝|log32－1|＋log32＝1.
9．计算(＋)＝________.
答案：
解析：原式＝(－)＝(－)＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列各式的值：
(1)log535＋2log5－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log52－log5－log514＝log5＝log5＝log525＝2.
(2)原式＝÷log64＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
11．设lg
a＋lg
b＝2lg
(a－2b)，求log4的值．
解：由题知a>0，b>0，a－2b>0，
∴lg
a＋lg
b＝2lg
(a－2b)可化为ab＝(a－2b)2，
即a2－5ab＋4b2＝0，即2－5＋4＝0，
∴＝4或＝1(舍去)，
∴log4＝1.
12．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：∵2(lgx)2－lgx4＋1＝0，∴2(lgx)2－4lgx＋1＝0.
∵a，b是这个方程的根，∴
∴lg(ab)·(lgab＋logba)＝(lga＋lgb)·(＋)
＝2·
＝2·＝4·(22－2×)＝12.3．2 指数函数的性质及应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各函数中，指数函数的个数是( )
①y＝2x ②y＝－x ③y＝－()x
④y＝(－2)x ⑤y＝2×3x ⑥y＝2x－1
⑦y＝(3a－1)x(a>且a≠为常数)
⑧y＝()x
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个
答案：B
解析：①⑦⑧为指数函数．
2．函数f(x)＝2|x|的值域是( )
A．(0,1]
B．(0,1)
C．[1，＋∞)
D．R
答案：C
解析：∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴f(x)的值域为[1，＋∞)．
3．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案：C
解析：由两函数图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
4．已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝10x，则当x<0时，f(x)＝( )
A．10x
B．10－x
C．－10x
D．－10－x
答案：B
解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝10－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝10－x.
5．函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
答案：A
解析：∵f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)为奇函数，故选A.
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
答案：D
解析：解法一：由题意得
解得4≤a＜8.
解法二：当a＝4时，f(x)＝画出图像可知图像在R上是上升的，所以a＝4符合题意，排除C；
当a＝2时，f(x)＝画出图像可知图像在R上不是上升的，所以a＝2不符合题意，排除A、B.故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝0.3的递减区间是________．
答案：[1，＋∞)
解析：令u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在[1，＋∞)上单调递增．
又y＝0.3u是减函数．
故y＝0.3的递减区间是[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过点P，则定点P的坐标是________．
答案：(1,5)
解析：将y＝ax向右平移1个单位得y＝ax－1的图像，再将y＝ax－1向上平移4个单位，得y＝ax－1＋4的图像，而y＝ax恒过点(0,1)，故y＝ax－1＋4恒过点(1,5)．
9．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案：
解析：由数形结合，知当a>1时，图象只有一个公共点(如图1)；当0
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知指数函数f(x)过点(2,4)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝为奇函数，求b的值．
解：(1)∵f(x)为指数函数，
∴设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
∵f(x)过点(2,4)，
∴a2＝4，得a＝2，
∴f(x)＝2x.
(2)由(1)，知g(x)＝.
∵g(x)为奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即＝－，
即＝，
∴1－b＝b，解得b＝.
11．设函数f(x)＝kx2＋2x(k为常数)为奇函数，函数g(x)＝af(x)－1(a>0，且a≠1)．
(1)求k的值；
(2)求g(x)在[－1,2]上的最大值．
解：(1)由题意，知f(－x)＝－f(x)，
所以kx2－2x＝－kx2－2x，所以k＝0.
(2)由(1)，知f(x)＝2x，所以g(x)＝af(x)－1＝a2x－1＝(a2)x－1.
①当a2>1，即a>1时，g(x)＝(a2)x－1在[－1,2]上为增函数，
所以g(x)的最大值为g(2)＝a4－1.
②当a2<1，即0所以g(x)的最大值为g(－1)＝－1.
所以g(x)max＝.
12．设函数f(x)＝.
(1)求证：对一切x∈R，f(x)＋f(1－x)为定值；
(2)记g(n)＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N
)，求g(n)的解析式．
解：(1)f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝.
(2)由(1)，知f(0)＋f(1)＝，f＋f＝，f＋f＝，…，f(1)＋f(0)＝.
将上述n＋1个式子相加，得2g(n)＝，
所以g(n)＝(n∈N
)．5．1 对数函数的概念、图像及性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x)
B．y＝lg
10x
C．y＝loga(x2＋x)
D．y＝ln
x
答案：D
解析：由对数函数的概念，知D正确．
2．函数f(x)＝，则f(－1)的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
3．函数y＝ln
(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
答案：B
解析：根据题意，得，解得0≤x<1，即所求定义域为[0,1)．
4．若f(x)＝，则满足f(x)＝的x的值为( )
A．3
B.
C.
D．9
答案：A
解析：因为当x≤1时，f(x)＝x≥，所以满足f(x)＝的x∈(1，＋∞)，即log81x＝，所以x＝＝3.
5．已知01，则下列不等式成立的是( )
A．logbB．logabC．logabD．logb答案：B
6．若函数，则y＝f(1－x)的图像是( )
A
B
C
D
答案：C
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3x(x>0)的图像关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
答案：3x
8．已知函数f(x)＝mlog2(x＋n)为对数函数，则3m＋2n＝________.
答案：3
解析：∵f(x)＝mlog2(x＋n)为对数函数，∴m＝1，n＝0，故3m＋2n＝3.
9．函数y＝log2(3＋1)的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
解析：由已知，得x－1≥0，∴x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各函数中的两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)．
解：(1)对数函数y＝log2x，∵2>1，∴函数在(0，＋∞)上递增，∴log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，loga5.1loga5.9.
11．已知函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为A，函数g(x)＝x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B C，求a的取值范围．
解：(1)由题意，知x－1>0，得x>1，
所以A＝{x|x>1}．
又0≤x≤－1，即1≤x≤2.
所以B＝{y|1≤y≤2}．
所以A∩B＝{x|1(2)由(1)，知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B C，则有a－1≥2，
所以a≥3，故a的取值范围为[3，＋∞)．
12．求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log
(3＋2x－x2)．
解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R，
∵x2＋4≥4，log2(x2＋4)≥log24＝2，
∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设v＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4，∵v>0，
∴0又∵y＝logv在(0，＋∞)上为减函数，
∴logv≥log4＝－2，
∴函数y＝log
(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．3．1 指数函数的概念、图像及性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝－3
B．y＝3x＋1
C．y＝(3－1)x
D．y＝1x
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个
B．512个
C．1024个
D．1023个
答案：B
解析：3小时为9个20分钟，细菌个数为29＝512.
3．若函数y＝2x＋m的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，0)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，0]
答案：C
解析：∵y＝(3－1)x＝x符合指数函数的概念，∴选C.
4．如图，分别是y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x的图象，则a，c对应的值分别是( )
A．2,3
B．3，
C.，2
D．3，
答案：D
解析：依据图象，可知05．函数y＝(2a－1)x为减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题意，知0<2a－1<1，所以6．已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(0,1)
答案：D
解析：由f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，f(－2)>f(－3)，得a2>a3，故0二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．
答案：
解析：x∈[－1,1]，则≤3x≤3，
即－≤3x－2≤1.
8．若定义运算a※b＝则函数f(x)＝3x※3－x的值域是________．
答案：(0,1]
解析：f(x)＝3x※3－x＝
∴函数f(x)的值域是(0,1]．
9．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于________．
答案：或
解析：当a>1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，所以a－a－1＝1，所以a＝；当0三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5和1.73；
(2)0.8－0.1和1.250.2；
(3)1.70.3和0.93.1.
解：(1)由于1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，即0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
11．求函数y＝3的定义域、值域和单调区间．
解：定义域为(－∞，＋∞)．
设u＝f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则y＝3u(u≤4)．
∵y＝3u是增函数，∴0<3u≤34，即值域为(0,81]．
当x≤1时，u＝f(x)单调递增，y＝3u单调递增，
∴原函数单调递增；
当x>1时，u＝f(x)单调递减，y＝3u单调递增，
∴原函数单调递减．
综上，函数y＝3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)．
12．设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求m的取值范围．
解：∵f(x)＝ax－a－x，∴f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，
∴原不等式可化为f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)．
又当a>1时，∵y＝ax与y＝－a－x在(－1,1)上均为增函数，
∴f(x)＝ax－a－x在(－1,1)上为增函数．
此时可得解得1当0∴f(x)＝ax－a－x在(－1,1)上为减函数，
此时可得：解得0综上所述，当a>1时，1时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的范围是( )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3答案：C
2．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：3a－b＝＝＝.
3．2log525＋3log264－8ln1等于( )
A．220
B．8
C．22
D．14
答案：C
4．已知f(10x)＝x，则f(3)等于( )
A．3
B．103
C．310
D．lg
3
答案：D
解析：由10x＝3，得x＝lg
3.又f(10x)＝x，∴f(3)＝lg
3.
5．已知a>0，a≠1，x>0，n∈N
，给出下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②logax＝－loga；③＝logax；④logaxn＝nlogax.
其中恒成立的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：结合对数的运算性质及运算性质成立的条件，可知②④恒成立．
6．方程(lg
x)2＋(lg
2＋lg
3)lg
x＋lg
2·lg
3＝0的两根x1，x2的积等于( )
A．lg
2＋lg
3
B．lg
2·lg
3
C.
D．－6
答案：C
解析：因为lg
x1＋lg
x2＝－(lg
2＋lg
3)，所以lg
(x1x2)＝－lg
6＝lg
6－1＝lg
，所以x1x2＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知logx＝3，则x＝________.
答案：
解析：由logx＝3，得x＝3＝，所以x＝＝.
8．已知3a＝2，则log34－log36＝________(用a表示)．
答案：a－1
解析：因为3a＝2，所以a＝log32，所以log34－log36＝log322－log3(2×3)＝2log32－log32－log33＝a－1.
9．方程lg(4x＋2)＝lg2x＋lg3的解是________．
答案：0或1
解析：原式化为：lg(4x＋2)＝lg(2x×3) 4x＋2＝2x×3 2x＝1或2x＝2 x＝0或x＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．计算：(1)log81；
(2)log(2＋)(2－)．
解：解法一：(1)设x＝log81，则()x＝81，即3＝34，∴x＝16，即log81＝16.
(2)令x＝log(2＋)(2－)，则(2＋)x＝2－＝(2＋)－1，∴x＝－1，即log(2＋)(2－)＝－1.
解法二：(1)log81＝log
()16＝16.
(2)log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.
11．若log4{2log2[1＋log2(1＋log2x)]}＝.求x的值．
解：由log4{2log2[1＋log2(1＋log2x)]}＝得
2log2[1＋log2(1＋log2x)]＝2.
∴log2[1＋log2(1＋log2x)]＝1，∴1＋log2(1＋log2x)＝2，
∴log2(1＋log2x)＝1，∴1＋log2x＝2，
∴log2x＝1，∴x＝2.
12．已知f(3x)＝3xlog23＋231.求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(210)的值．
解：∵f(3x)＝3xlog23＋231＝3log23x＋231，
∴f(x)＝3log2x＋231，
∴原式＝10×231＋3(log22＋2log22＋…＋10log22)
＝2310＋3×55＝2475.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x
B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2
D．x2＞log2x＞2x
答案：B
解析：解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.
2．函数y＝2x与y＝x2图像的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
解析：作出两个函数的图像，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即有三个交点．
3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．m＜n＜p
B．m＜p＜n
C．p＜m＜n
D．p＜n＜m
答案：C
解析：0＜m＜1，n＞1，p＜0.
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，有( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案：B
解析：由三个函数的图象变化趋势可得B选项正确．
5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示为( )
答案：A
解析：由于前三年年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，后三年年产量保持不变，故总产量直线上升，图中符合这个规律的只有选项A.故选A.
6．能使不等式log2xA．(0，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(0,2)∪(4，＋∞)
答案：D
解析：在同一坐标系内作出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)．结合图象可知使不等式log2x二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若a＝x，b＝x3，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是________．
答案：c解析：∵x>1，∴a＝x∈(0,1)，b＝x3∈(1，＋∞)，c＝logx∈(－∞，0)．∴c8．方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的实解个数为________．
答案：1
解析：当a>1时在同一坐标系中画出y1＝logax与y2＝x的图象．当09．已知a>0，a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是________．
答案：∪(1,2]
解析：当a>1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图象，如图所示．
要使x∈(－1,1)时，均有f(x)<，只需(－1)2－a－1≤，解得a≤2，∴1当0综上所述，a的取值范围是∪(1,2]．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．当1＜x＜a时，比较logx，logax，loga(logax)的大小．
解：∵1＜x＜a,0＜logax＜1，loga(logax)＜0
又＝logax＜1
∴logax＞logx＞0＞loga(logax)
则logax＞logx＞loga(logax)
11．在同一直角坐标系中，作出函数y1＝x2＋5与函数y2＝3x的图像，并比较y1与y2的大小．
解：函数图像如图所示．由图可知，当x＜2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＞2时，y1＜y2.
12．某工厂利润数据如下表：
月份
1
2
3
利润(万元)
2
5
6
现有两个模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)
解：先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，得解得
∴y＝－·x＋.
把x＝4代入得y≈6.33.
再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴y＝－x2＋6x－3.把x＝4代入得y＝5.0.
∵|5.0－5.1|＜|6.33－5.1|，
∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．1 正整数指数函数
2 指数概念的扩充
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
答案：A
解析：原式＝.
2．[(－3)2]－100的值为( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
答案：B
解析：[(－3)2]－100＝(32)
－1＝3－1＝2.
3．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
答案：C
解析：(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6，选C.
4．已知x＋x＝5(x>0)，则的值为( )
A．5
B．23
C．25
D．27
答案：B
解析：由x＋x＝5平方，得x＋x－1＝23，所以＝x＋x－1＝23，故选B.
5．(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
6．已知a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab
，则(x＋y)
＋(x－y)
为( )
A．0
B．8
C．10
D．以上答案都不对
答案：B
解析：x＋y＝a＋3ab＋b＋3ab＝(a＋b)3
x－y＝a＋3ab－b－3ab＝(a－b)3
∴原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a＋b)＝2×4＝8.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7.＋＝________.
答案：1
解析：＋
＝|3.14－π|＋|4.14－π|
＝π－3.14＋4.14－π
＝1.
答案：－1
9.＋＝________.
答案：－
解析：＋＝＋＝＋＝－＋－＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．
(2)(×)6＋()－4×－×80.25－(－2005)0.
解：(1)原式＝
＝÷
＝×2
＝.
(2)原式＝(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2－1
＝22×33＋2－7－2－1
＝100.
11．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两根，求
①2α·2β，②(2α)β的值．
解：∵α，β为5x2＋10x＋1＝0的两根
α＋β＝－2，αβ＝，
2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，
(2α)β＝2α·β＝2.
12．(1)已知x＋y＝8，xy＝9，且x>y>0，求的值；
(2)化简：.
解：(1)∵x＋y＝8，xy＝9，
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝64－36＝28.
∵x>y>0，∴x－y＝2.
.5．2 对数函数的性质及其应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝x，x>1}，则A∩B＝( )
A.
B．{y|0C.
D．
答案：A
解析：∵A＝{y|y>0}，B＝，∴A∩B＝.
2．函数y＝1＋log3x的图象一定经过点( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(2,0)
D．(1,1)
答案：D
解析：∵y＝log3x的图象一定经过点(1,0)，∴y＝1＋log3x的图象一定经过点(1,1)．
3．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减数，则a的取值范围( )
A．(0,1)
B．(0，)
C．[，)
D．[，1)
答案：C
解析： ≤a<.
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
答案：C
解析：当a>1时，y＝a－x＝x是减函数，y＝loga(－x)是减函数，且其图象位于y轴左侧；当05．设0A.
B．[1，＋∞)
C.
D．(－∞，1)
答案：A
解析：由于y＝logax(01，即ax>.又06．已知函数，若f(m)A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案：C
解析：当m>0时，－m<0，f(m)1；当m<0时，－m>0，f(m)(－m) log2(－m)二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝loga(x＋k)(a>0，且a≠0)的图象恒过点(0,0)，则函数y＝log
(x－k)的图象恒过点________．
答案：(2,0)
解析：由题意，得logak＝0，∴k＝1，∴y＝log
(x－k)＝log
(x－1)的图象恒过点(2,0)．
8．函数y＝log
(1－2x)的单调递增区间为________．
答案：
解析：函数y＝log
(1－2x)的定义域为.令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间上单调递减，而y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，故函数y＝log
(1－2x)在上单调递增．
9．已知0<1，则x的取值范围是________．
答案：(3,4)
解析：∵00.又0三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各组数中三个值的大小．
(1)0.23.3， 2.40.2， log0.93.8；
(2)log1.10.9,
log0.70.8， 1.10.9.
解：(1)0.23.3＜0.20＝1，且0.23.3＞0,2.40.2＞2.40＝1，log0.93.8＜log0.91＝0，
∴log0.93.8＜0.23.3＜2.40.2.
(2)log0.70.8＜log0.70.7＝1，而log0.70.8＞log0.71＝0，log1.10.9＜log1.11＝0,1.10.9＞1.10＝1，
∴log1.10.9＜log0.70.8＜1.10.9.
11．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解：由y＝logx在区间[2,4]上为减函数，知log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5＝2＋.
所以当t＝－2，即x＝4时，原函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，原函数取得最小值，最小值为.
12．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)若函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围；
(3)判断函数F(x)＝f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)∵3≤x≤63，∴4≤x＋1≤64.
∵函数u＝x＋1在R上是增函数，函数y＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，
∴log24≤log2(x＋1)≤log264，
∴2≤f(x)≤6，
∴f(x)的最大值为6，最小值为2.
(2)∵f(x)－g(x)>0，∴f(x)>g(x)，
即log2(x＋1)>log2(1－x)，
则，解得0∴x的取值范围为(0,1)．
(3)要使函数F(x)＝f(x)＋g(x)有意义，需
，即－1∴函数F(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．
又F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)＋g(x)＝F(x)，∴F(x)为偶函数．单元测试三
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.用分数指数幂表示为( )
A．a
B．a3
C．a
D．a2
答案：C
解析：＝(a·(a·a))＝a，故选C.
2．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9
B.
C．25
D.
答案：D
解析：由换底公式，得··＝2，所以－＝2，即lg
x＝－2lg
5＝lg
，所以x＝.
3．函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且a≠1
答案：C
解析：由解得a＝2.故选C.
4．若f(x)＝，则f(f(log32))的值为( )
A.
B．－
C．－
D．－2
答案：A
解析：∵f(log32)＝－＝－，∴f(f(log32))＝f＝3＝.
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天
B．15天
C．19天
D．20天
答案：C
解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x，
当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．故选C.
6．指数函数y＝f(x)的反函数的图像过点(2，－1)，则此指数函数为( )
A．y＝()x
B．y＝2x
C．y＝3x
D．y＝10x
答案：A
解析：利用互为反函数的两个函数的关系知该指数函数过点(－1,2)，代入函数式y＝ax求出a即可．
7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
答案：C
解析：∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝2lnx∈(－2,0)
c＝ln3x∈(－1,0)．
令lnx＝t∈(－1,0)．则t3＞t＞2t.
∴b＜a＜c，故选C.
8．函数y＝[log
(5x－3)]的定义域是( )
A．x≤
B.≤x＜
C．x＞
D.＜x≤
答案：D
解析：若使函数有意义，则需log
(5x－3)≥0，其同解于0＜5x－3≤1，解得＜x≤.
9．函数y＝log
(4x－x2)的值域是( )
A．[－2，＋∞)
B．R
C．[0，＋∞)
D．(0,4]
答案：A
解析：令t＝4x－x2，则t＝－(x－2)2＋4，
∴0＜t≤4，而y＝logt在(0,4]上为减函数，
∴t＝4时，ymin＝log4＝log
()－2＝－2，
∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)，故选A.
10．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是图中的( )
答案：A
解析：由指数函数y＝()x的图像知0＜＜1.所以y＝ax2＋bx的图像过(0,0)点，与x轴的另一个交点在x轴负半轴上，故A符合．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．已知函数f(x)＝a2x－1－1(a>0，且a≠1)的图象过定点，则此定点的坐标为________．
答案：
解析：由2x－1＝0，得x＝，所以函数f(x)＝a2x－1－1的图象过定点.
12．函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是________．
答案：(0，＋∞)
解析：由x2＋2x>0，得x<－2或x>0.令t＝x2＋2x，因函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，又t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在[－1，＋∞)上单调递增，故函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2014)＝________.
答案：0
解析：由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22014－blog32014＝2.∴alog22014＋blog32014＝－2，∴f(2014)＝alog22014＋blog32014＋2＝0.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．解方程：
(1)log2(x2－x－2)＝1＋log2(x－1)；
(2)3x＋1－3－x＝2.
解：(1)log2(x2－x－2)＝log22(x－1)．
∴x2－x－2＝2x－2.解得x＝0，x＝3，经检验，x＝3是原方程的根．
(2)3·3x－＝2，
即3(3x)2－2·3x－1＝0.
3x＝1(3x＝－舍去)，
∴x＝0.
15．已知函数f(x)＝＋lg
.
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数的单调性；
(2)解关于x的不等式f<.
解：(1)f(x)＝＋lg
＝＋lg
，
要使f(x)有意义，即>0，得－1∴f(x)的定义域为(－1,1)．
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝lg
－lg
.
∵－1∴－1＋>－1＋，
∴lg
>lg
，
∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－1,1)上为减函数．
(2)∵f(0)＝，f<，∴f由(1)，知f(x)在(－1,1)上为减函数，
∴，
解得即不等式的解集为
∪.
16．若点(2，)既在函数f(x)＝2ax＋b的图像上，又在它的反函数的图像上，求a、b的值．
解：因为点(2，)在f(x)的反函数图像上，所以点(，2)在原函数的图像上．将点(2，)和(，2)分别代入f(x)＝2ax＋b得
解之，得a＝－，b＝.
17．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)和g(x)的大小．
解：因为f(x)－g(x)＝logx，所以
①当，即x>时，logx>0，即f(x)>g(x)；
②当，即00，即f(x)>g(x)；
③当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
④当，即1⑤当时，无解．
综上所述：当x∈(0,1)∪时，f(x)>g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈时，f(x)18．定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＝，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，
令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，
则0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(2)＝>0，即f(2)>f(0)．
又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数．
又由(1)，知f(x)是奇函数，则f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，
所以k·3x<－3x＋9x＋2，
即32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意的t>0恒成立．
令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其图象的对称轴为直线t＝.
当≤0，即k≤－1时，g(t)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝2>0，符合题意；
当>0，即k>－1时，需满足，
解得－1综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－1＋2)．