单元测试四
本试卷满分：100分 考试时间：90分钟
班级________ 姓名________ 考号________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点所在的区间可以为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
答案：B
解析：因为x∈(0,1)时，f(x)<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝>0，f(3)＝－＋log23>0，f(4)＝>0，所以f(1)f(2)<0，根据函数的零点存在定理，得函数f(x)＝－＋log2x的一个零点所在的区间可以为(1,2)．故选B.
2．设函数f(x)＝x－ln
x，则f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在(1，e)内有零点
答案：D
解析：因为f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，且f(x)在区间(0，＋∞)上是连续的，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点，故选D.
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
答案：B
解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
4．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，如图所示．结合图象可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.
5．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A．(0，)
B．(，1)
C．(1，)
D．(，2)
答案：B
解析：计算得f()＝－2＜0，f(1)＝e－1＞0，则有f()f(1)＜0，故选B.
6．一种新型电子产品计划投产两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18%
B．20%
C．24%
D．36%
答案：B
解析：设成本开始为a元，平均每年降价为x，则两年后成本为a(1－x)2＝a(1－36%) x＝20%.
7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.50×[m]＋1)元，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(单位：元)( )
A．3.71
B．3.97
C．4.24
D．4.77
答案：C
解析：m＝5.5时，[m]＝6，故f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝4.24.
8．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求图中交点横坐标的是( )
答案：B
解析：只有B中的零点是变号零点．
9．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．不能确定
答案：A
解析：奇函数的图像关于原点对称，根据零点的概念，可知三个零点也应关于原点对称，故三个零点之和为0.
10．用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3
B．4
C．6
D．12
答案：A
解析：设隔墙的长度为x，矩形另一边长为＝12－2x，矩形面积为S＝x(12－2x)＝－2(x－3)2＋18≤18，要使S最大，则x＝3.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是________．
答案：60,16
解析：因为组装第A件产品用时15
min，所以＝15 ①；所以必有4
12．若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．
答案：
解析：由题意可知k≠0，
∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.
当x≥0时，kx2－2kx＝x，
解得x＝0或x＝，
∴>0，∴k>0或k<－；
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝，
∴<0，∴0综上可知，k的取值范围是.
13．若方程ax＝x＋a有两个实根，则实数a的取值范围是________．
答案：a＞1
解析：当0＜a＜1时，作出y1＝ax和y2＝x＋a图像可知方程只有一个根，当a＞1时，再作出上面两个函数图像，可知原方程有两个根．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知二次函数f(x)图像过点(0,3)，它的图像对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由题意知 c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x＋x＝10，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
∴(－)2－＝10，
∴16－＝10，
∴a＝1.代入－＝2中，得b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
15．将进货单价为40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚取最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为y元，每个售价为x元，则每个涨(x－50)元，从而销售量减少10(x－50)个，
共售出500－10(x－50)＝1000－10x(个)．
∴y＝(x－40)(1000－10x)
＝－10(x－70)2＋9000(50＜x＜100)．
∴x＝70时，ymax＝9000.
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
16．证明方程2x＋x＝4在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精度为0.3)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解：设函数f(x)＝2x＋x－4，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，
又f(x)在区间(1,2)上单调递增，
∴f(x)在区间(1,2)内有唯一一个零点，
则方程2x＋x－4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
区间
中点的值
中点的函数值
区间长度
(1,2)
1.5
0.33
1
(1,1.5)
1.25
－0.37
0.5
(1.25,1.5)
1.375
－0.035
0.25
由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3.
∴可取区间[1.25,1.5]内任意一个数(如1.375)作为方程的一个近似解．
17．某地区为响应上级号召，在2011年新建了200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．根据该地区的实际情况，若今后廉价住房面积的年平均增长率为5%.
(1)x年后，该地区的廉价住房的面积为y万平方米，求y＝f(x)的解析式；
(2)求多少年后，该地区的廉价住房的面积能达到300万平方米．(参考数据：1.057≈1.407，1.058≈1.477,1.059≈1.551)
解：(1)1年后，廉价住房的面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)万平方米；
2年后为200(1＋5%)2万平方米；
……
x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x万平方米，
∴y＝200(1＋5%)x(x∈N
)．
(2)∵200×1.058≈295.4,200×1.059≈310.2，
∴9年后，该地区的廉价住房的面积能达到300万平方米．
18．某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是
f(t)＝
销售量g(t)与时间t的函数关系式是g(t)＝－＋(0≤t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值．
解：①0≤t≤40(t∈N
)时，
S＝(＋22)(－＋)
＝－(t＋88)(t－109)
＝－(t2－21t－88×109)
＝－(t－)2＋＋×，
当t＝10，或t＝11时，Smax＝808.5.
②当40＜t≤100(t∈N
)时，
S＝(－＋52)(－＋)
＝(t－104)(t－109)
＝(t2－213t＋104×109)，
为二次函数，它在区间(40,100]上是减函数，因此在靠近左端t＝41处取最大值，即当t＝41时，Smax＝714，由①②知日销售额的最大值为808.5.1 函数与方程(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0)
B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2
D．0,2
答案：C
解析：令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
3．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是( )
A.
B．－
C．2
D．－2
答案：A
解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.
4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和
B．1和－
C.和
D．－和
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴，即，∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－，故选B.
5．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且mA．只有一个零点
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)>0(m，n∈R，且m6．函数f(x)＝2x－2＋ex－1的零点所在区间为( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：B
解析：由题意，知f(－1)＝－4＋<0，f(0)＝－2＋<0，f(1)＝1>0，f(2)＝2＋e>0，f(3)＝4＋e2>0，因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)的零点所在区间为(0,1)，故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数f(x)＝ln
x＋3x－2的零点的个数是________．
答案：1
解析：由f(x)＝ln
x＋3x－2＝0，得ln
x＝2－3x，设g(x)＝ln
x，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有1个交点，故函数f(x)＝ln
x＋3x－2有1个零点．
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0,0.5) f(0.25)
解析：函数f(x)＝x3＋3x－1连续，且f(0)f(0.5)＜0，
则在(0,0.5)上有一个零点，第二次应计算f()＝f(0.25)
9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列连续整数________之间有根．
①－2与－1 ②－1与0 ③
0与1 ④
1与2
⑤2与3
答案：①②④
解析：令f(x)＝x3＋x2－2x－1，
x
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－1
1
－1
－1
7
29
∵f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0.
∴f(x)＝0在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有根．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x－1；
(2)f(x)＝x2－x－2；
(3)f(x)＝x3－x.
解：(1)由f(x)＝0，得x－1＝0，∴x＝1，
∴函数f(x)＝x－1的零点是x＝1.
(2)由f(x)＝x2－x－2＝0，得x1＝2，x2＝－1，
∴函数f(x)＝x2－x－2的零点是2，－1.
(3)由f(x)＝x3－x＝0 x(x＋1)(x－1) x1＝0，x2＝－1，x3＝1.
∴函数f(x)＝x3－x的零点是0，－1,1.
11．已知函数f(x)＝2ax＋4在[－2,1]上存在零点，求实数a的取值范围．
解：f(－2)＝－4a＋4，f(1)＝2a＋4，∵f(x)在[－2,1]上存在零点，
∴f(－2)·f(1)≤0，∴(－4a＋4)·(2a＋4)≤0，即(a－1)(a＋2)≥0，∴a≤－2或a≥1.
12．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，函数f(x)的一个零点为，求满足f(logx)＜0的x的取值集合．
解：由题意，得f()＝0，∵f(logx)＜0，
∴由单调性知logx＜－，或logx＞，解得0＜x＜，或x＞2，
∴x的取值集合为(0，)∪(2，＋∞)．2 实际问题的函数建模
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．一水池有2个进水口，1
个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．4点到6点不进水不出水
D．以上都不正确
答案：A
解析：设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图知y1＝t，y2＝2t.由图丙，知0点到3点蓄水量由0变为6，说明0点到3点时2个进水口均打开进水但不出水，故A正确；3点到4点蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3点到4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B不正确；4点到6点为水平线说明水量不发生变化，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C不正确．
2．某人2010年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元
B．a(1＋x)4元
C．[a＋(1＋x)5]元
D．a(1＋x5)元
答案：A
解析：2010年1月1日到银行存入a元，到2011年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2012年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.
3．某公司营销人员的月收入与其每月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元，销售3万件时收入为1600元，那么没有销售时其收入为( )
A．200元
B．400元
C．600元
D．800元
答案：B
解析：设月收入y元与销售量x万件之间的函数关系式为
y＝kx＋b(k≠0)，
将已知条件代入得，
解得，
∴y＝400x＋400，当x＝0时，y＝400.
因此，营销人员在没有销售时的收入是400元．
4．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价()%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )
A．Ⅰ
B．Ⅱ
C．Ⅲ
D．Ⅳ
答案：C
解析：设原价为a，则提价后的价格分别为：
(Ⅰ)a(1＋m%)(1＋n%)；(Ⅱ)a(1＋n%)(1＋m%)；(Ⅲ)a(1＋%)2；(Ⅳ)a[1＋(m＋n)%]，(Ⅰ)、(Ⅱ)相同．
∵(1＋%)2－(1＋m%)(1＋n%)＞0，(1＋%)2－[1＋(m＋n)%]＝(%)2＞0
∴(Ⅲ)＞(Ⅰ)，(Ⅲ)＞(Ⅳ)，故方案(Ⅲ)提价后价格最高，因而提价最多．
5．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水填满，摇匀后再倒出1升混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第k次(k≥1)时，共倒出纯酒精x升，则k＋1次时共倒出纯酒精f(x)升，则f(x)等于( )
A.x
B．1＋x
C．20－x
D．20(1－x)
答案：B
解析：第k＋1次倒出纯酒精为1×升，
所以f(x)＝x＋＝1＋x升．
6.
某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m，要使流量最大，则渠深h为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
答案：D
解析：等腰梯形的腰为h，周长为m，下底为m－h，上底为m－h＋h＝m－h，
∴S等腰梯形＝(2m－h)h＝－h2＋mh＝－(h－m)2＋m2(0＜h＜m)，
当h＝m时，
Smax＝m2，此时流量最大．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系式是________．
答案：y＝1－x(0≤x≤10)
解析：依题意列出函数式即可．
8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
答案：14
解析：设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x＜10)．
因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
9．如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则A，P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式是________．
答案：y＝
解析：①当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.
②当点P在BC上，即1所以y＝AP＝＝.
③当点P在DC上，即2根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，
所以y＝AP＝＝.
④当点P在AD上，即3所以所求的函数关系式为
y＝
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．A，B两城市相距100
km，在两地之间距A城市x
km的D处建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10
km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20
t，B城市每天产生的垃圾量为10
t.
(1)求x的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
(3)垃圾处理厂建在距A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最小？
解：(1)x的取值范围为[10,90]．
(2)由题意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，
即y＝x2－500x＋25000(10≤x<90)．
(3)由y＝x2－500x＋25000＝2＋(10≤x≤90)，
则当x＝时，y最小．
即当垃圾处理厂建在距A城市
km时，才能使垃圾处理费用最小．
11．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t(t为常数，且2≤t≤5)元，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x(25≤x≤40)元．根据市场调查，日销售量q(单位：千克)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．
(1)求该工厂的日销售利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的日销售利润为100e4元？
解：(1)设日销量q＝(25≤x≤40)，则＝100，
∴k＝100e30，
∴日销量q＝(25≤x≤40)，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝＝100e4，则x－25＝ex－26，
根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)，
可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销量利润为100e4.
12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(一)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(二)的抛物线段表示．
(1)写出图(一)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；写出图(二)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(1)由题图(一)可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝
由题图(二)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)
＝
当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－(t－50)2＋100.
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h(t)＝－(t－350)2＋100.
所以，当t＝300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．1 函数与方程(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若关于x的方程x2＋x＋m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.
B．(－2,2)
C.∪
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：∵方程x2＋x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
∴其判别式Δ＝1－4m2>0，解得－2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案：B
解析：函数f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上单调递增．
由于x0是f(x)的一个零点，即f(x0)＝0，
∴f(x1)<0，f(x2)>0，故选B.
3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
答案：C
解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
4．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此函数f(x)的零点在区间内，故选C.
5．函数y＝ln(x＋1)与y＝的图像交点的横坐标所在区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
答案：B
解析：函数y＝ln(x＋1)与y＝的图像交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln
2－1＜0，f(2)＝ln3－＞0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)．
6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案：A
解析：依题意，注意到f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，
因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f
(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．
答案：1.56
解析：由表中f(1.562
5)＝0.003，f(1.556
2)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.
8．已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案：(0,1)
解析：画出f(x)＝的图像，如图．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图像得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．
9．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是________．
答案：{－3,0,1}
解析：当m＝1时，f(x)＝4x－1＝0，得x＝，符合要求．
当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0.即m2＋3m＝0，
解得：m＝－3或m＝0，
∴m的取值集合是{－3,0,1}．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
若函数f(x)在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围．
解：∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是直线x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数f(x)在区间[－1,1]上存在零点，
则必有，即，
∴－20≤q≤12.
∴实数q的取值范围为[－20,12]．
11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
解：因为函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，且f(x)是奇函数，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(logx)≥0，得－≤logx≤0或logx≥，
解得1≤x≤2或0所以x的取值范围是∪[1,2]．
12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0有且仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0，即m＞2，或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．
∴这种情况不可能．
综上，可知m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.