数列
第四节
等比数列
1.已知{an}是等比数列,a3=2,a6=,则公比q=
( )
A.-
B.-2
C.2
D.
【答案】D
【解析】 由条件得∵a1≠0,q≠0,∴q3=,∴q=.
2.互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=
( )
A.4
B.2
C.-2
D.-4
【答案】D
【解析】由题意知消去a得4b2-5bc+c2=0,∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,
代入a+3b+c=10中解得b=2,∴a=-4.
3.等比数列{an}的首项a1=1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是等差数列的第1、2、5项,则q为
( )
A.2
B.3
C.-3
D.3或-3
【答案】B
4.在等比数列{an}中,=3,a3=3,则a5=
( )
A.3
B.
C.9
D.27
【答案】D
【解析】∵q==3,a3=a1q2=9a1=3,∴a1=,∴a5=a1q4=27.
5.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为
( )
A.
B.
C.
D.或
【答案】C
【解析】 ∵a2,a3,a1成等差数列,∴a3=a2+a1,∵{an}是公比为q的等比数列,∴a1q2=a1q+a1,
∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q=.∴===.
6.已知a1,a2,a3,…,a8为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则
( )
A.a1+a8>a4+a5
B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5
D.a1+a8与a4+a5大小不定
【答案】A
【解析】 由条件知,(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1[(1-q3)+q4(q3-1)]
=a1(1-q3)(1-q4)=a1(1-q)(1+q+q2)·(1-q2)(1+q2)=a1(1-q)2(1+q)(1+q2)(1+q+q2).
∵q>0且q≠1,a1>0,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,∴a1+a8>a4+a5.
7.在等比数列中,若,,则
.
【答案】4
【解析】∵,,成等比数列,∴=()·().又∵,
,∴.
8.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2·a5=,证明{an}是等比数列,并求出通项公式.
【答案】见解析数列
第四节
等比数列
建议用时:(45分钟)分值:80分
一、选择题(30分)
1.若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x>1时,log
ax,log
bx,log
cx
( )
A.依次成等差数列
B.依次成等比数列
C.各项的倒数依次成等差数列
D.各项的倒数依次成等比数列
【答案】C
【解析】 +=log
xa+log
xc=log
x(ac)=log
xb2=2log
xb=
∴,,成等差数列.
2.
已知是各项都大于零的等比数列,公比,则(
).
A.
B.
C.
D.
与大小关系不能由已知条件确定
【答案】A
【解析】设,则,故选A.
3.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为
( )
A.
B.4
C.2
D.
【答案】C
【解析】∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项,∴a=a1·a7,设{an}的公差为d,则d≠0,
∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d,∴公比q===2,故选C.
4.设等比数列中,每项均为正数,且,则等于(
).
A.5
B.10
C.20
D.40
【答案】C
【解析】
,故选C.
5.若正项等比数列的公比q≠1,且成等差数列,则等于(
).
A.
B.
C.
D.不确定
【答案】A
【解析】设,又,即,即,解得,
故选A.
6.
已知公差不为0的等差数列的第项构成等比数列的连续三项,则等比数列的公比为(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】A.设公比为,则,故选A
.
二、填空题(15分)
7.在8和5
832之间插入5个数,使它们组成以8为首项的等比数列,则此数列的第5项是
.
【答案】648.
【解析】 设公比为q,则8q6=5
832,∴q6=729,∴q2=9,∴a5=8q4=648.
8.在等比数列中,,当n≥11时恒成立,则公比q的取值范围是
.
【答案】
9.已知等比数列前3项为,-,,则其第8项是
.
【答案】-.
【解析】∵a1=,a2=a1q=q=-,∴q=-,∴a8=a1q7=×(-)7=-.
解答题(35分)
10.(10分)在等比数列中,已知,,求n.
【解析】设等比数列的公比为,∵,∵,
∴,∴,,令,∴,
∴.
11.(10分)已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N
.
(1)求证:{an-}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【答案】见解析
【解析】 (1)证明:∵an+1=an+,∴an+1-=an+-=(an-).
∴=.∴{an-}是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:∵an-=×()n-1,∴an=×()n+2+.
(15分)若方程的两个根分别为方程的两个根的平方.
求证:q为p与r的等比中项.数列
第四节
等比数列
【教学目标】
1.掌握等比数列的定义,理解等比数列的通项公式及推导过程,并能应用等比数列的定义及通项公式解决问题.
2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识;激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
【教法指导】
本节重点是等比数列的定义及公式的推导以及运用公式解决有关的问题;难点是等比数列通项公式的应用;
本节知识的主要学习方法是
:动手与观察,思考与交流,归纳与总结.加强新旧知识之间的联系,培养自己分析问题、解决问题的能力,从而获得学习数学的方法.
【教学过程】
一、创设情境:(教材P48页)
1、每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列:
1,2,4,8,…
2、折纸层数组成数列:2,4,8,16,…
3、“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
组成数列:1,,,,,…
二、合作探究:
探究一:类比等差数列定义,观察上述数列的相邻两项之间有何共同关系 请用符号表示。
分析1:等差数列定义是从数列相邻两项之间减法的关系归纳得来的,那么上述数列相邻两项之间有什么关系呢?
共同特征:
等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母表示。即:
思考:(1)公比,为什么?是什么数列?
是什么数列?
(2)等比数列定义可以写成吗?
(3)等比数列定义的作用是什么?
探究二:类比等差数列通项的推导过程,等比数列的通项公式是什么?
分析2:通项公式的形式:把表示为基本量;方法:从定义出发,通过观察法、累加法消去中间项得到;那么等比数列也能用类似的方法吗?
探究三:探究等比数列的方程特征。如何从方程角度理解?
例1.求下列各等比数列的通项公式:
;
变式:在等比数列中,,则=?
探究四:探究等比数列的函数特征
例2.已知数列的通项公式,求证:是等比数列。
思考:(1)在右图的直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图像和函数的图像,你发现什么?
(2)在右图的直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图像和函数的图像,你发现什么?
拓展:已知数列的通项公式.
(1)求证:是等比数列;
(2)如何从函数角度理解
三、课堂小结
1.探究思路:
2.探究方法:类比思想(列表展示等差与等比特征)、特殊到一般思想、函数与方程思想