☆教学目标☆
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常
用的测量相关术语；
2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号
表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
☆学习重点☆
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常
用的测量相关术语；
2.理解有关角的概念，能够运用正弦定理、余弦定理解决有关角度、高度的问题。
☆学习难点☆
1.理解题意，设计方案进行测量，把实际问题转化为数学模型进行计算；
2.理解有关角的概念，应用空间想象能力，把有关角度、高度的问题转化为数学模型进行计算。
【教学过程】
知识回顾：
1．正弦定理：
2．余弦定理：
3．三角形可解的条件：3个条件（至少有一边）“知三求余！”
二、问题探究：
背景：五一假期，我与小简一家人相约去爬山，在山的附近有一座凉亭A，我们
相约在那边碰面。
问题一：已知凉亭A在学校O北偏东500，距离学校5
km；小简家在学校O北偏西700，距离学校3
km。请问：小简家与凉亭A相距多远，并指出其在凉亭A的什么方位？(参考数据：
sin
38.20≈
eq
\f(5,14)
;
cos
38.20≈)
问题二：在山脚下有一条河流，河流对面有两栋建筑物（不可到达）A，
B。
（1）试设计一种测量A，B两点间的距离的方法。（假设你只有测角仪跟卷尺，但是没有渡河的工具）
（2）（如图）为测量河流对面两栋建筑物A，B间的距离，在岸边选取相距40米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间距离为多少米？（假设A，B，C，D四点共面）
问题三：（如图）为测量山MN的高度，选择A为测量观测点（A与山脚B、N三点在同一水平面上）．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；我们沿直线AC上山，走了1
km到达山顶C，从C点测得∠MCA＝60°。则山MN高度是多少？（参考数据：≈1.4）
【分析】在中，
在中，
注：仰角与俯角：
在目标视线与水平视线所成的角中，
目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，
目标视线在水平视线下方的角叫做俯角。
三、归纳小结：
解三角形应用题的一般步骤：
【练习】如图所示，长为3.5
m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4
m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8
m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan
α等于( )
A.
B．
C.
D．
注：坡角与坡度：
坡角：坡面与水平面的夹角，设为，
坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比，设为，
则。
四、课后作业：课本p20页习题1.2A组9、10、11
【教学反思】
根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下四点反思：
（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我根据一次爬山的旅程，将解三角形的实际应用的三种题型，即测量角度、测量距离、测量高度等串在一起，在沿途中解决三个问题，让学生在解决问题中去掌握知识，熟练解题。
（2）本课的亮点是利用了我亲身经历的一次爬山之旅，在爬山的过程中遇到问题，解决问题；这样设计，既体现了趣味性，又不失数学味。
（3）本节课为测量两个不可达的点之间的距离，让学生自行设计方案，然后派小组代表发言；学生讨论热烈，并且设计方案多样；美中不足的是，由于时间问题，没办法一一展示，如果可以展示多几种解法，应该会更能激发学生学习的兴趣。
（4）第二个问题是平面距离测量的问题，但是第三个问题是空间中的问题，学生可能会混淆，要进行适当的引导。
（5）本节课体现多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
分析
理解题意，分清已知与未知，画出示意图，理清量与量之间的关系
利用正弦定理与余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解
求解
检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解
检验
根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽可能集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
建模
还原
将数学模型的解还原得到实际问题的解（时间：40分钟
满分：75分）
选择题（共25分）
1．某人向正东走了x
km后向右转了150°，然后沿新方向走了3
km，结果离出发点恰好
km，那么x的值是( )
A.
B．2
C．3
D．2或
【解析】由正弦定理，得
sin
A＝＝＝，
因为BC＞AC，所以A＞B，B＝30°，所以A有两解，即A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，∠ACB＝90°，x＝2；
当A＝120°时，∠ACB＝30°，x＝.故选D.
【答案】D
2．在200
m高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【解析】如下图所示，由题意知∠PBC＝60°，
所以∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，所以AB＝PA.
又在Rt△PBC中，BC＝200·tan
30°，
所以在Rt△PAD中，PA＝＝.
因为PA＝AB，所以AB＝.
【答案】A
3．在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．
则由题意知，sin
α＝＝＝，
又α∈，所以α＝.
【答案】C
4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A．100米
B．400米
C．200米
D．500米
【解析】由题可得右图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．
则∠ABS＝45°，
∠ACS＝30°，
BC＝500，∠ABC＝120°，
所以在△ABS中，AB＝AS＝h，
在△ACS中，
AC＝h，
在△ABC中，AB＝h，AC＝h，BC＝500，∠ABC＝120°.
由余弦定理(h)2＝5002＋h2－2·500·h·cos
120°，
所以h＝500(米)．
【答案】C
5．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】因为A＝60°，所以第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11.所以a2＝b2＋c2－2bcos
A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16.所以a＝4.
【答案】C
二、填空题（共15分）
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100
m，则山高MN＝________m.
【答案】150
7.
一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x＝________cm.
【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，∠ABC＝180°－105°＝75°，
∠BCA＝180°－135°＝45°，
所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.
由正弦定理得：＝，
所以x＝(cm)．
【答案】
8.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．
【解析】在△ABM中，由正弦定理得
＝，
故BM＝，
要使该船没有触礁危险需满足
BMsin(90°－β)＝>n.
所以当α与β满足mcos
αcos
β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
【答案】mcos
αcos
β>nsin(α－β)
三、解答题（共30分）
9．甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
解：如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇．
在△ABC中，AC＝28t，
BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×，128t2－60t－27＝0，
所以t＝或t＝－(舍去)，
所以甲船用小时能最快追上乙船．
10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5
km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1
m)．
