【教学目标】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法)
.
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
4、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
5、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
【教学过程】
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案
不是．顺序不一样．
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案
数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．+网
(2)
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点二 通项公式
思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
答案 如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
答案 (1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
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类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8，；
(3)9,99,999,9
999；
(4)2,0,2,0.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(3)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N
.
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N
.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
知识点四 递推公式
思考1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1，n∈N
)，则a4＝________.
(2)
已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N
)，则a4＝________.
答案 (1)53 (2)3
梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．
知识点五 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．
类型三 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．
类型四 数列的递推公式
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N
)，求通项an.建议用时（45分钟）分值70分
一、选择题（30分）
1．数列的一个通项公式是
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：通过观察，各项分母是的形式，符号与项数存在的关系．故选B．
2．数列{an}满足an=4an-1+3，且a1=1，则此数列的第3项是( )
A.15
B.255
C.20
D.31
【答案】D
【解析】选D.因为a2=4a1+3=7，所以a3=4a2+3=31.
3．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+），则an等于( )
A.2+lnn
B.2+(n-1)lnn
C.2+nlnn
D.1+n+lnn
【答案】A
【解析】选A.由a2=a1+ln2=2+ln2，排除C，D；由a3=a2+ln(1+)=2+ln3，排除B.
4．在数列{an}中，对一切n∈N
都有an+1=qan(q≠0)且a2011=8a2008，则q=( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】A
【解析】选A.因为a2011=qa2010=q2a2009=q3a2008，所以q3=8，即q=2.
5．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( )．
A．27
B．
28
C．29
D．30
6．在数列中，，则此数列最大项的值是
( )．
A．103
B.
C.
D．108
二、填空题（10分）
7．已知数列1，，，，…，，则3是它的第
项。
8．已知数列，，，，则___________．
答案：11
解析：，，，，．
三、解答题（30分）
9．（15分）已知数列满足，求数列的前6项及通项公式．
解析：由已知得，所以a2=a1+3=4+3=7，a3=a2+3=7+3=10，a4=a3+3=10+3=13，
a5=a4+3=13+3=16，a6=a5+3=16+3=19．所以数列的前6项为4，7，10，13，16，19．
因为，，…，，以上各式相加得，
故．
10．（15分）已知数列{an}，a1=1，以后各项由an=an-1+(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)a1=1；a2=a1+=；
a3=a2+=；a4=a3+=；
a5=a4+=.
(2)由an=an-1+，
得an-an-1=(n≥2)，
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=++…+++1
=(-）+（-）+…+（-）+（1-）+1
=-+1+1=2-=(n∈N
).一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
答案：C
2．数列-1，，-，，…的一个通项公式是( )
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n
解析:选A.观察每一项的分子与分母的特点可知A正确.
3．已知数列，那么( )
A．0是数列中的一项
B．21是数列中的一项
C．702是数列中的一项
D．以上答案都不对
4．已知数列，则0.96是该数列的( )
A．第20项
B．第22项
C．第24项
D．第26项
5．数列{an}满足an=log2(n2+3)-2，则log23是这个数列的第 项.
【解析】令an=log2(n2+3)-2=log23，解得n=3.
【答案】3
三、解答题
6．已知数列2，，2，…的通项公式为，求.
7．已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论.
【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x，f(log2an)=-2n，所以有-=-2n，
即an-=-2n，所以+2nan-1=0，解得an=-n±.因为an>0，
所以an=-n(n∈N
).
(2)因为==<1，又an>0，
所以an+1
