☆教学目标☆
1.了解正弦定理的推导过程.
2.理解并掌握正弦定理的内容,能运用正弦定理解决两类解三角形的问题.
3.通过正弦定理的学习,体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想.
☆学习重点☆
1.正弦定理的证明及它在化简和求值中的应用。
☆学习难点☆
1.正弦定理的探索和证明；
2.正弦定理在化简和求值中的应用以及已知两边及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
【教学过程】
一、问题呈现
如图，小明与北塔隔湖相对，为测量出北塔的高度，小明在岸边选取两点B、C（B、C与塔身处于同一竖直平面），测得BC的距离是，北塔在B、C两处的仰角分别为,他如何计算塔高AD？
二、定理探究
观察：
在直角三角形ABC中，内角A,
B,
C的对边的长分别a,b,c.则各角的正弦如何表示？
sinA=
,sinB=
,sinC=
=
c=
=
=
2、猜想：
可以看到，结论非常有特征、有规律，那么这个结论具不具备普遍性，在非直角三角形中是否也成立呢
请考察以下各个三角形的边角是否满足上述关系。
(1)
，
，
(2)
，
，
(3)
，
，
(4)
，
，
3、证明：
（1）直角三角形（已证）
（2）锐角三角形
证明：（1）过点C作CD⊥AB
则
因此，。
同理可得
（1）的证明
（2）的证明
(3)钝角三角形（与在锐角三角形中的证明有何异同）
相同之处:原理相同，转化的思想
不同之处：sinB的表示
（结探究过程：观察—类比—猜想—证明;分类讨论；转化的思想）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即
练习：
在△ABC中，已知A=45°,C=120°,c=10，解三角形.
（学生简单应用，巩固记忆定理）
【实际应用】
应用案例1:六盘山风景区为激发游客的游览兴致,计划在如图的凉亭A处与对面山头的B处之间架设吊桥（山头相对较平坦）。在山头任取一点C，测得，请计算吊桥的长度。
分析：在△ABC中，由三角形内角定理
再由正弦定理有
因此，
应用案例2:
如图，小明与北塔隔湖相对，为测量出北塔的高度，小明在岸边选取两点B、C（B、C与塔身处于同一竖直平面），测得BC的距离是，北塔在B、C两处的仰角分别为,他如何计算塔高CD？
分析:分别在△ABC，和△ABD中，依次求得AB，和AD
（总结：有些测量不能直接得到，只能通过间接的方式测量计算，正弦定理就是一个有力的工具）
【发散提升】
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢 你能否利用今天的知识，设计一个测量地月距离的方案。（请学生依据前面的学习经验，开动思维，设计方案，培养创新能力）
事实上，早在1671年，两个法国天文学家就已经算出了地球与月球之间的距离，
两位科学家利用几乎位于同一本初子午线上的柏林和好望角，先分别测量出月亮在两地的仰角α和β，以及两地之间的距离AB，从而推算出地球与月亮之间的距离为CD
=
385400km．
【课堂小结】
1.知识方面：
（1）
（2）正弦定理在实际当中的应用。
2.方法方面:
（1）由特殊到一般，观察—归纳—猜想—论证。
（2）证明过程构造直角三角形转化斜三角形问题。
3.情感方面:
整节课的学习思路体现了数学来源于实际，又服务于实际的观念。
【实习作业】
作业1：请你设计一个测量我校旗杆高度的方案。
作业2：我班一位同学被选为升旗手，如果他希望在国歌奏唱的过程中，五星红旗能够匀速由底部上升到旗杆顶端，请你设计一个方案，帮助他确定国旗上升的速度，
【结束语】
正弦定理的功能非常强大，有诗为证:
近测高塔远看山，
量天度海只等闲；
古有九章勾股法，
今看三角正余弦。
【板书设计】
正弦定理及其实际应用正弦定理：思想方法：（1）（2）（3）
实际应用：应用实例1：应用实例2：一、选择题
1.设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边，则直线l1:sin
A·x+ay+c=0与l2:bx-sin
B·y+sin
C=0的位置关系是(
)
(A)平行
(B)重合
(C)垂直
(D)相交但不垂直
2.在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B=( )
A.105°
B.60°
C.15°
D.105°或15°
【解析】选D.由正弦定理=可得：=，所以sinC=.所以C=45°或135°.
当C=45°时，B=180°-(A+C)=105°；当C=135°时，B=180°-(A+C)=15°.所以B=105°或15°.
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )
A.
B.
C.
D.
4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
二、填空题
5.
在△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=__________.
【解析】因为A=45°，C=75°，所以B=180°-75°-45°=60°.因为AC=，由正弦定理得，=，BC===.
【答案】
6.在中，若，则
；=
.
三、解答题
7.在△ABC中，acos=bcos，判断△ABC的形状.
【解析】因为acos=bcos，所以asinA=bsinB.
由正弦定理可得a·=b·，所以a2=b2，即a=b，所以△ABC为等腰三角形.
【一题多解】因为acos=bcos
所以asinA=bsinB.由正弦定理可得2Rsin2A=2Rsin2B，即sinA=sinB，
所以A=B(A+B=π因不合题意舍去).故△ABC为等腰三角形.（时间：40分钟
满分：75分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于( )
A.30°或60°
B.45°或60°
C.120°或60°
D.30°或150°
【解析】选D.b=2asinB，sinB=2sinAsinB，sinA=，A=30°或150°.
2.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.由正弦定理得=，
所以=，所以sinB=.
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中，利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式，再利用三角恒等变换求解.
4.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.依题意得0°=，sinB==，所以cosB==，选D.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为 .
【解题指南】利用三角函数知识化简AB+2BC，统一角变量，然后求最大值.
【解析】令AB=c，BC=a，由正弦定理得：
====2，
所以c=2sinC，a=2sinA，且A+C=120°，
所以AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA
=2sinC+4sin(120°-C)
=4sinC+2cosC
=2sin(C+φ)(其中tanφ=).
所以当C+φ=90°时，AB+2BC取最大值为2.
答案：2
6.在△ABC中，若b=5，B=，tanA=2，则sinA= ，a= .
【解题指南】先利用切化弦与平方关系联立解出sinA，再由正弦定理求出a.
【变式训练】已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= .
【解题指南】由已知条件求出B，A的大小，求出C，从而求出sinC.
【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°得B=60°，由正弦定理得=，得sinA=，由a所以sinC=sin90°=1.
答案：1
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b=6，a=2，A=30°，试求ac的值.
【解析】由正弦定理=得
sinB===.
由条件b=6，a=2，b>a知B>A.
所以B=60°或120°.
(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，
所以ac=2×4=24.
(2)当B=120°时，
C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，
所以A=C，则有a=c=2.
所以ac=2×2=12.
8.在锐角三角形ABC中，A=2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围.
【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即所以30°由正弦定理知：
===2cosB∈(，)，
故的取值范围是(，).
