第2课时 平面直角坐标系中的位似图形
基础题
知识点 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律
1．(武汉中考)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(
)
A．(3，3)
B．(4，3)
C．(3，1)
D．(4，1)
2．如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为(
)
A．(－x，－y)
B．(－2x，－2y)
C．(－2x，2y)
D．(2x，－2y)
3．△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A(－3，4)，它的对应点A′(6，－8)，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________．
4．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，点B(2，2)，则B′点的坐标________．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是________________．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)若点A(，3)，则A′的坐标为________；
(2)若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝________．
7．如图，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，0)．以O为位似中心，画出一个△OA′B′，使得△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，并写出点A′和点B′的坐标．
8．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
中档题
9．如图，平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则(
)
A．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘，得到的鱼与原来的鱼位似
10．(孝感中考)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－
2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(
)
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
11．(荆州中考)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．
12．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是________．
13．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是________．
14．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：
(1)将下表补充完整，并在直角坐标系中画出△A′B′C′；
(2)观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
综合题
15．已知，△DEF是△ABC的位似三角形(点D，E，F分别对应点A，B，C)，原点O为位似中心，△
DEF与△ABC的位似比为k.
(1)若位似比k＝，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
(2)若位似比k＝m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长＝________；
(3)若位似比k＝n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积＝________．
参考答案
基础题
1．A 2.B 3.1∶2 4.(－4，－4) 5.(－0.5a，－0.5b)
6．(1)(5，6) (2)4m
7.如图所示：A′(2，4)，B′(6，0).
8.(1)△OB′C′是所求的三角形.
(2)B′的坐标是(－6，2)，C′的坐标是(－4，－2)．
中档题
9．C 10.D 11.(，) 12.6 13.(－2，0)
14．(1)8 6 10 2
(2)△A′B′C′是△ABC放大2倍的位似图形．也可写出有关两三角形形状、大小、位置等关系，如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比等．
拔高题
15.(1)
（2）mC
(3)n2S
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页3.1.2 成比例线段
基础题
知识点1 线段的比
1．已知：线段a＝5
cm，b＝2
cm，则＝(
)
A.
B．4
C.
D.
2．如图，若点A、B、C在同一直线上，且AC∶BC＝3∶2，则AB∶BC＝(
)
A．2∶1
B．5∶3
C．5∶2
D．3∶1
3．根据图示求线段的比：、、.
知识点2 比例线段
4．下列各组中的四条线段成比例的是(
)
A．1
cm，2
cm，20
cm，40
cm
B．1
cm，2
cm，3
cm，4
cm
C．4
cm，2
cm，1
cm，3
cm
D．5
cm，10
cm，15
cm，20
cm
5．在比例尺是1∶38
000的南京交通游览图上，玄武湖公园与雨花台烈士陵园之间的距离约为20厘米，则它们之间的实际距离约为(
)
A．19
000厘米
B．0.76千米
C．1.9千米
D．7.
6千米
6．已知a，b，c，d是成比例线段．
(1)若a＝4，b＝1，c＝12，求d；
(2)若a＝1.5，b＝2.5，d＝2，求c；
(3)若b＝，c＝，d＝3，求a.
知识点3 黄金分割
7．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列等式不正确的是(
)
A.＝
B.≈0.618
C．AC＝AB
D．BC＝AB
8．(雅安中考)已知线段AB＝10
cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(
)
A．(5－10)cm
B．(15－5)cm
C．(5－5)cm
D．(10－2)cm
9．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有＝，则的数值为________；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在________位置最好．
中档题
10．下列各线段的长度成比例的是(
)
A．2
cm，
cm，2
cm，
cm
B.
cm，3
cm，2
cm，
cm
C．4
cm，6
cm，5
cm，10
cm
D．12
cm，8
cm，15
cm，11
cm
11．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法错误的是(
)
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫作黄金分割比
D．0.618是黄金分割比的近似值
12．已知线段AB上有两点C、D，且AC∶CB＝1∶5，CD∶AB＝1∶3，则AC∶CD等于(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．1∶1
13．如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a
cm，宽BC＝b
cm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于(
)
A.∶1
B．1∶
C.∶1
D．1∶
14．将两块长为a米，宽为b米的长方形红布，加工成一个长c米，宽d米的长方形，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
15．舞台的形状为矩形，宽度AB为12米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走________米．
16．已知线段a＝2
cm，b＝30
m，c＝6
cm，d＝10
m，试判断它们是否为成比例线段．
17．如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．
综合题
18．以长为2
cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P.在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
(1)试求AM、DM的长；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
参考答案
基础题
1.C
2.C
3.＝＝，＝＝，＝＝.
4.A 5.D
6.(1)∵＝，∴＝.∴d＝3.
(2)∵＝，∴＝.∴c＝1.2.
(3)∵＝，∴＝.∴a＝.
7.D
8.C
9
. 点C
中档题
10.A 11.C 12.A 13.A 14.D 15.(18－6)
16.∵a＝2
cm，c＝6
cm，b＝30
m＝3
000
cm，d＝10
m＝1
000
cm，
∴＝，＝＝.∴＝.∴a，c，d，b是成比例线段．
17.∵AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，∴AB＝×3.6＝6.
∵AD∶BD＝3∶2，∴AB∶AD＝1∶3，∴AD＝3×6＝18.
综合题
18.(1)在Rt△APD中，AP＝1
cm，AD＝2
cm，
∴PD＝＝＝(cm)．
∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(－1)(cm)．DM＝AD－AM＝(3－)(cm)．
（2）∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2×(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．第1课时 与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，DE＝4，那么它们的对应边上的高的比为(
)
A．1∶2
B．3∶2
C．2∶1
D．1∶4
2．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，且AD＝6，BE＝9，A′D′＝4，求B′E′的长．
知识点2 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
3．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶5，则对应角的平分线的比等于(
)
A．3∶5
B．5∶3
C．9∶25
D．25∶9
4．两个相似三角形对应高之比为3∶1，那么它们对应角平分线之比为(
)
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶4
D．1∶8
5．如图，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条角平分线，且AB＝10
cm，DE＝5
cm，AM＝12
cm，求DN的长．
知识点3 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
6．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD长4
cm，则△A′B′C′的A′B′边上的中线C′D′长为(
)
A．2
cm
B．8
cm
C．1
cm
D．16
cm
7．已知△ABC∽△DEF，对应角平分线的比为4∶3，△ABC中AB边上的中线为12，则△DEF中DE边上的中线为________．
8．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15
cm，A′B′＝10
cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线．AD与A′D′的和为15
cm，分别求AD和A′D′的长．
9．如图，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，已知AC＝6，BC＝4，
BE＝3，求DF的长．
中档题
10．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2
m，CD＝5
m，点P到CD的距离是3
m，则点P到AB的距离是(
)
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
11．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的对应角平分线的比为(
)
A．2∶3
B．2∶5
C．3∶5
D．5∶2
12．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是________．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18
cm，EG＝4
cm，求CF的长．
14．如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G，F在BC边上，D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC＝12
cm，AH＝8
cm，求正方形DEFG的边长．
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且BC＝12，BM＝8，CD＝15.求CN的长．
综合题
16．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AC＝8，BC＝6.
(1)求的值；
(2)求四边形DECF的面积．
参考答案
基础题
1.D
2.∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，∴＝.
又∵AD＝6，BE＝9，A′D′＝4，∴＝.∴B′E′＝6.
3.A 4.B
5.∵△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的角平分线．∴＝.
又∵AB＝10
cm，DE＝5
cm，AM＝12
cm，∴＝.∴DN＝6
cm.
6.B 7.9
8.∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15
cm，A′B′＝10
cm，∴＝.
∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，△ABC∽△A′B′C′，∴＝.
∵AD＋A′D′＝15，∴AD＝9
cm，A′D′＝6
cm.
9.∵△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，∴＝.∴＝.∴DF＝2.
中档题
10.C 11.B 12.4或25
13.∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，∴＝.∴＝.∴CF＝7
cm.
14.设正方形的边长为x
cm，则AM＝AH－HM＝(8－x)cm.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝，即＝，解得x＝4.8.即这个正方形的边长为4.8
cm.
15.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.
又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD.
又∵BM⊥AC，CN⊥AD，∴＝.
又∵BC＝12，BM＝8，CD＝15，∴＝.∴CN＝10.
综合题
16.(1)∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠B＝∠ACD，∠ADC＝∠CDB.∴△ACD∽△CBD.
又∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴＝.
又∵BC＝6，AC＝8，∴＝＝＝.
（2）由(1)可知＝，设DF＝3x，则DE＝4x.
∴S△ACD＝AC·DE＝×8×4x＝16x，S△BCD＝BC·DF＝×6×3x＝9x.
又S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24，∴16x＋9x＝24，解得x＝.
∴S四边形DECF＝DE·DF＝4x·3x＝12x2＝12×()2＝.第2课时 相似三角形的判定定理1
基础题
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
1．如图，D是BC上的点，∠ADB＝∠BAC，则下列结论正确的是(
)
A．△ABC∽△DAC
B．△ABC∽△DBA
C．△ABD∽△ACD
D．以上都不对
2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(
)
A．△EFB
B．△DEF
C．△CFB
D．△EFB和△DEF
3．∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是(
)
4．(长春中考)如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为(
)
A.
B.
C．2
D．3
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，图中的相似三角形共有(
)
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
6．如图，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的一对相似三角形，如______________．
7．已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是____________．
8．(怀化中考)如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF.
9．已知：如图，∠ADE＝∠B，AB＝2AD，BC＝10
cm，∠A＝56°，∠ADE＝40°.求：
(1)∠ACB的度数；
(2)DE的长．
中档题
10．结合图形及所给条件，下图中无相似三角形的是(
)
11．(江阴模拟)下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(
)
A．都含有一个30°的内角
B．都含有一个45°的内角
C．都含有一个60°的内角
D．都含有一个80°的内角
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是(
)
A．6
B．5
C．4
D．3
13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________________，使△ABC∽△ADE.
14．(新疆中考)如图所示，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝________．
15．(益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
16．已知：如图，∠A＝∠CBD＝90°，BC平分∠ACD.若AB＝3，AC＝4，求BD、CD的长．
17．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.
(1)△ABE与△DFA相似吗？请说明理由；
(2)若AB＝6，AD＝12，AE＝10，求DF的长．
拔高题
18．如图，△ABC是等边三角形，且点E，D在直线BC上，且∠DAE＝120°.
(1)写出图中所有的相似三角形；
(2)在(1)中选出你喜欢的一对相似三角形进行判定．
参考答案
基础题
1.B 2.B 3.D 4.
B 5.B 6..答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等
7.△EFD，△HGK
8.在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝79°，在△ABC和△DEF中，∴△ABC∽△DEF.
9.(1)在△AED中，∵∠A＝56°，∠ADE＝40°，∴∠AED＝180°－∠A－∠ADE＝84°.
∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴∠ACB＝∠AED＝84°.
(2)由(1)知＝.∵AB＝2AD，∴＝.∴DE＝5
cm.
中档题
10.C 11.C 12.C 13.∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一) 14.
15.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
16.在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD.
又∠A＝∠CBD＝90°，
∴△ABC∽△BDC.∴＝＝.∴＝＝.∴BD＝，CD＝.
17.(1)△ABE∽△DFA.
理由：∵在矩形ABCD中，DF⊥AE，∴∠B＝∠DFA＝90°.
∴∠FAD＋∠FDA＝90°，∠BAE＋∠FAD＝90°.∴∠BAE＝∠FDA.∴△ABE∽△DFA.
(2)∵△ABE∽△DFA，∴＝.∴DF＝＝＝7.2.
综合题
18.(1)△EAB∽△EDA，△DAC∽△DEA，△BEA∽△CAD.
(2)∵∠DAE＝120°，△ABC是等边三角形，∴∠ABE＝120°＝∠DAE.又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△EDA.3．1.1 比例的基本性质
基础题
知识点1 比例及其有关概念
1．已知b、c、d、a成比例，则这个比例式为(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
2．下列各组数中，成比例的是(
)
A．－7，－5，14，5
B．－6，－8，3，4
C．3，5，9，12
D．2，3，6，12
3．请用2，4，6，3写一个比例式________，其中________称为比例内项，________称为比例外项．
知识点2 比例的基本性质
比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc.
4．把ad＝bc写成比例式，不正确的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
5．若a∶b＝5∶3，则下列a与b关系的叙述，正确的是(
)
A．a为b的倍
B．a为b的
C．a为b的
D．a为b的倍
6．已知＝(a，b，c，d≠0)，则下列等式中不成立的是(
)
A.＝
B
.＝
C.＝
D.＝
7．若＝，则的值为(
)
A．－
B.
C.
D.
8．按要求转化．
(1)如果7a＝6b，那么a∶b＝________；
(2)如果9a＝5b，那么b∶a＝________；
(3)如果a＝b，那么a∶b＝________；
(4)如果a＝0.45b，那么b∶a＝________．
9.已知四个数a，b，c，d成比例．
(1)若a＝－2，b＝3，c＝4，求d；
(2)若a＝3，b＝4，d＝12，求c.
10．解比例：
(1)3∶8＝15∶x；
(2)＝；
(3)∶＝x∶.
中档题
11．若＝，则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
12．若x∶y＝2∶3，则下列各式中正确的式子是(
)
A．3x＝2y
B．2x＝3y
C.＝
D.＝
13．已知＝，则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
14．(牡丹江中考)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是
(
)
A．－5
B．－
C.
D．5
15．已知＝，求的值．
16．求下列各式中x的值．
(1)(－3)∶x＝2∶(－6)；
(2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3.
17．已知三个数2、4、8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．
18．已知：3x－5y＝0.求：
(1)；
(2)；
(3).
综合题
19．已知＝≠1，求证：＝.
参考答案
基础题
1.C
2.B
3.2∶4＝3∶6 4和3 2和6
4.C
5．A 6.D 7.A 8.(1) (2) (3) (4)
9.
(1)d＝－6. (2)c＝9. 12.(1)x＝40. (2)x＝1.6. (3)x＝.
10.＝；＝；＝；＝.
中档题
11..D 12.A 13.D 提示：∵＝，∴可设a＝13k，则b＝5k.∴＝＝＝. 14.A
15.由＝，得3a－6b＝5b，∴3a＝11b.∴＝.∴＝＋1＝＋1＝.
16.(1)∵(－3)∶x＝2∶(－6)，∴2x＝(－3)×(－6)．∴x＝9.
(2)∵x∶(x＋1)＝(1－x)∶3，∴(x＋1)(1－x)＝3x.整理得x2＋3x－1＝0.解得x＝.
17.设添加的数为x，当2∶4＝8∶x时，x＝16；当4∶x＝8∶2时，x＝1；当4∶8＝2∶x时，x＝4，所以可以添加的数有：1，4，16.
18.(1)∵3x－5y＝0，∴3x＝5y.∴＝.
(2)＝－1＝－1＝.
(3)∵＝，∴＝，∴＝1＋＝1＋＝.
综合题
19.设＝＝k，则b＝ak，c＝dk，将其代入左右两边可得：左边＝＝，右边＝＝.
∵左边＝右边，∴＝.3.2 平行线分线段成比例
基础题
知识点1 平行线分线段成比例
1．(湖里区模拟)如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的值为(
)
A.
B.
C．6
D.
2．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(
)
A．7
B．7.5
C．8
D．8.5
4．如图，a∥b∥c，且有AB＝BC，则DE＝________．
5．如图，直线CD∥EF，若OC＝3，CE＝4，则的值是________．
6．如图，已知AD∥BE∥CF，BC＝3，DE∶EF＝2∶1，则AC＝________．
知识点2 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝DB＝3，则的值为(
)
A．1
B．2
C.
D.
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC的长为(
)
A．9
B．8
C．7
D．6
9．如图，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于________．
中档题
11．(虹口区一模)如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与相等的是(
)
A.
B.
C.
D.
12．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列不一定能成立的比例式是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
13．如图，已知AB∥CD∥EF，AC∶CE＝2∶3，BF＝15，那么BD＝________．
14．如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC＝________．
15．(扬州中考)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB＝4
cm，则线段BC＝________cm.
16．已知，如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
17．如图：在△ABC中，AB＝AC，AG∶AD＝AF∶AB,
EG∥CD，求证：AF＝AE.
18．如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝.
综合题
19．(包头中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案
基础题
1．B 2.C 3.B 4.EF 5. 6.9 7.A 8.A 9.A 10.8
中档题
11.D 12.D 13.6 14. 15.12
16.∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝，
∴DE＝6，∴EF＝DF－DE＝16－6＝10.
17.∵EG∥CD，∴AG∶AD＝AE∶AC.∵AG∶AD＝AF∶AB,
∴AE∶AC＝AF∶AB.
∵AB＝AC，∴AF＝AE.
18.∵AB∥MN，∴＝.又∵BC∥NG，∴＝.∴＝.
综合题
19．A第1课时 相似三角形的判定的基本定理
基础题
知识点 用基本定理判定两个三角形相似
1．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于(
)
A.
B.
C.
D
.
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，DE＝1，BC＝3，AB＝6，则AD的长为(
)
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．(威海中考)如图，在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．2∶5
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，
AD＝3
cm，BD＝2
cm，则△ADE与△ABC的相似比为________．
6．(1)如图1,
DE∥BC，则________∽________，对应边的比例式是：
________________；
(2)如图2,
A′B′∥AB，则________∽________，对应边的比例式是：________________．
9．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求BC的长．
8．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
中档题
9．在△ABC中，若DE∥AC，＝2，DE＝4
cm，则AC的长为(
)
A．8
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
10．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶DA＝2∶5，若CD＝8，则EF的长为(
)
A.
B.
C．6
D．4
11．(邵阳中考)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：________________________．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝________．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，＝，则＝________．
14．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，BM与CN交于D点．若AC＝3，BC＝2，则CD＝________．
15．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证：GF＝FB.
综合题
16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
参考答案
基础题
1.B 2.C
3.B 4.A 5.
6.(1)△ADE △ABC ＝＝
(2)△OA′B′ △OAB ＝＝
7.∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.∴＝＝.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.∵DE＝3，∴＝.∴BC＝9.
8．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC.∴△ADE∽△EFC.
中档题
9.D 10.B 11.△ABP∽△AED∽△BEF∽△CDF(任写一组即可) 12.4 13. 14.
15.∵GF∥AD，∴＝.又FB∥DC，
∴＝.∴＝.又∵AD＝DC，∴GF＝FB.
综合题
16.∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝.
∵BC＝10，AE＝3，AB＝5，∴＝，∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝.∵AD＝6，AE＝3，AB＝5，
∴＝，∴EF＝.∴FG＝EG－EF＝.3.3 相似图形
基础题
知识点1 相似图形
1．将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是(
)
2．观察如图所示的四组图形，不相似的图形是(
)
知识点2 相似三角形及其性质
3．如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为(
)
A．5∶3
B．3∶2
C．2∶3
D．3∶5
4．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(
)
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶2，若A′B′＝10
cm，则AB等于(
)
A.
cm
B．15
cm
C．30
cm
D．20
cm
6．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶1，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________．
7．如图，△ABC∽△DEF，则a＝________cm.
8．已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，AB＝3
cm，DE＝6
cm，EF＝9
cm，求∠F的度数及BC的长．
知识点3 相似多边形及其性质
9．两个相似多边形一组对应边分别为3
cm，4.5
cm，那么它们的相似比为(
)
A.
B.
C.
D.
10．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(
)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D
．正五边形与正五边形
11．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(
)
A．60°
B．75°
C．87°
D．120°
12．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(
)
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
中档题
13．(闸北区一模)对一个图形进行放大或缩小时，下列说法中正确的是(
)
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
14．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．3∶2
15．下列命题是真命题的是(
)
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的对角线互相垂直平分且相等的四边形都相似
C．四个角都是直角的两个四边形一定相似
D．四条边对应成比例的两个四边形相似
16．如图所示，△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
17．如图，有两个相似的星星图案，则x的值是(
)
A．15
B．12
C．10
D．8
18．(南岸区一模)如图，△ABC∽△CBD，CD＝2，AC＝3，BC＝4，那么AB的值等于(
)
A．5
B．6
C．7
D．4
19．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5
cm，EC＝3
cm，BC＝7
cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小；
(2)求DE的长．
20．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．
综合题
21．已知一矩形长20
cm，宽为10
cm，另一与它相似的矩形的一边长为10
cm，求另一边长．
参考答案
基础题
1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.1∶3 7.2.5
8.在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝80°.
∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，且＝，即＝，∴BC＝4.5
cm.
9.A 10.D 11.C 12.B
中档题
13.D 14.B 15.B 16..D 17.D 18.B
19.(1)∠AED＝40°，∠ADE＝95°.
(2)∵△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，∴DE＝
cm.
20.∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′，＝.
又∵∠A′＝107°，AB＝5，AD＝4，A′B′＝2，∴∠A＝107°，＝.∴x＝.
综合题
21．设另一边是x
cm.当所求的边与20
cm的边是对应边时，根据题意得20∶10＝x∶10，解得x＝20；当所求的边与10
cm的边是对应边时，根据题意得20∶10＝10∶x，解得x＝5.故另一边长是20
cm或5
cm.第2课时 与相似三角形的面积有关的性质
基础题
知识点1 相似三角形的面积比等于相似比的平方
1．(柳州模拟)△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为(
)
A.
B.
C.
D.
2．(张家界中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为________．
3．(滨州中考)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝________．
4．(长沙中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为________．
知识点2 相似三角形的周长比等于相似比
5．(南岸模拟)若△ADE∽△ABC，且AD∶AB＝1∶2，则△ADE与△ABC的周长之比是(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶1
D．1∶4
6．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为(
)
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶16
7．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于(
)
A．14
B.
C．21
D．42
8．△ABC∽△DEF，它们的周长之比为∶1，则它们的对应高比及面积比分别为(
)
A．1∶；2∶1
B.∶1；2∶1
C．2∶1；∶1
D．1∶2；∶1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.求△BCD与△ABC的周长之比．
10．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
中档题
11．(湘西中考)如图，在
□ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
12．(莱芜中考)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD＝(
)
A．1∶16
B．1∶18
C．1∶20
D．1∶24
13．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为______．
14．已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2
016个三角形的周长为________．
15．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2，试求DE的长．
16．如图，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EG分成三部分，且三部分面积分别为S1，S2，S3，求S1∶S2∶S3的值．
综合题
17．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
参考答案
基础题
1.D 2.1∶4 3. 4.18 5.A 6.A 7.D 8.B
9.∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，∴△BCD∽△BAC.∴∠BCD＝∠A＝30°.
Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BC＝2BD.
∵△BCD∽△BAC，∴C△BCD∶C△BAC＝BD∶BC＝1∶2.
10.在△DEF和△ABC中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝.
又∠A＝∠D，∴△DEF∽△ABC，并且相似比为.∴C△DEF＝×24＝12，S△DEF＝()2×48＝12.
中档题
11.A 12.C 提示：设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出，然后根据△DBE和△ABC相似，面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，再求出△ACD的面积，计算出比值即可． 13.12 14.
15.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝()2.
又∵＝，∴＝.∴()2＝.∴DE2＝BC2＝×24＝8.∴DE＝2.
16.∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC.
又∵AD＝DE＝EB，∴三个三角形的相似比是1∶2∶3.∴面积的比是1∶4∶9.
设△ADF的面积是a，则△AEG与△ABC的面积分别是4a，9a，∴S2＝3a，S3＝5a，则S1∶S2∶S3＝1∶3∶5.
综合题
17.(1)∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥BD，即EF∥BC.
（2）由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝()2.
又∵点E是AB的中点，∴＝.∴＝.∴S△AEF＝S△ABD，∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.3.5 相似三角形的应用
基础题
知识点1 利用相似三角形测量宽度
1．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20
m，EC＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于(
)
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
2．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN＝38
m，则AB的长是(
)
A．76
m
B．104
m
C．114
m
D．152
m
3．如图，为测得一养鱼池的两端A、B间的距离，可在平地上取一直接到达A和B
的点O，连接AO，BO并分别延长到C，D，使OC＝OA，OD＝OB，如果量得CD＝30
m，那么池塘宽AB＝________．
4．如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A、B两村间的距离为________米．
5．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10
cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？
知识点2 利用相似三角形测量高度
6．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为(
)
A．6米
B．7米
C．8.5米
D．9米
7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(
)
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
8．(娄底中考)如图，小明用长为3
m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12
m，则旗杆AB的高为________m.
中档题
9．小刚身高1.7
m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85
m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1
m，那么小刚举起的手臂超出头顶(
)
A．0.5
m
B．0.55
m
C．0.6
m
D．2.2
m
10．我方侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40
cm，食指的长约为8
cm，则敌方建筑物的高度是________．
11．如图，已知零件的外径为25
mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10
mm，则零件的厚度x＝________mm.
12．(遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝________里．
13．阳光通过窗口照到室内，在地上留下2.7
m宽的亮区(如图)，已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE＝8.7
m，窗口高AB＝1.8
m．求窗口底边离地面的高度BC.
14．如图所示，在与某建筑物CE相距4
m处有一棵树AB，在某时刻，1.2
m长的竹竿垂直地面，影长为2
m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2
m，那么这棵树高约有多少米？
综合题
15．某校九年级同学在一次数学实践活动中，去测量学校的树高，小明这一组的测量方法如下：如图，在B处竖一标杆AB，已知标杆AB＝2.5
m，小明站在点F处，眼睛E目测标杆顶部A与树顶C正好在同一视线上(点F，B，D也在同一直线上)．这一组其他同学量得标杆到树的水平距离BD＝3.6
m，小明到标杆的水平距离FB＝2
m，小明的目高(眼睛到脚底的距离)EF＝1.5
m．根据这些数据，小明这一组同学很快就求出了树CD的高度．你会吗？请写出解答过程．
参考答案
基础题
1.B 2.C 3.60
m 4.70
5.∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB.∴＝.∴＝.∴DE＝
cm.
答：小玻璃管口径DE是
cm. 6.D 7.B 8.9
中档题
9.A 10.40
m 11.2.5 12.1.05
13.根据光沿直线传播可知AE∥BD，则△BCD∽△ACE，∴＝，CD＝CE－ED＝8.7－2.7＝6(m)．
∴CB＝＝＝4(m)．∴BC＝4
m．
14.延长AD、BC交于点F，则有＝，∴＝，
解得CF＝.∴BF＝4＋＝.
由△ABF∽△DCF得，＝，＝，解得AB＝4.4.
答：这棵树高4.4
m．
综合题
15.过E点作EG⊥CD于G，交AB于点H，
∵EF∥AB∥CD，∴EF＝HB＝GD＝1.5.∴AH＝1.
∵AH∥CG，∴△EAH∽△ECG.
∴＝，∴＝.∴CG＝2.8
m．∴CD＝2.8＋1.5＝4.3(m)．
答：树CD的高度为4.3
m.第4课时 相似三角形的判定定理3
基础题
知识点 三边成比例的两个三角形相似
1．将一个三角形的各边都缩小后，得到的三角形与原三角形(
)
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．不能确定判断是否相似
2．甲三角形的三边分别为1，，，乙三角形的三边分别为5，，，则甲乙两个三角形(
)
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．无法判断是否相似
3．已知△ABC的三边长分别为6
cm、7.5
cm、9
cm，△DEF的一边长为4
cm，这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可以是(
)
A．2
cm，3
cm
B．4
cm，5
cm
C．5
cm，6
cm
D．6
cm，7
cm
4．如图，两个三角形的关系是________(填“相似”或“不相似”)，理由是____________________________________．
5．若△ABC各边分别为AB＝10
cm，BC＝8
cm，AC＝6
cm，△DEF的两边为DE＝5
cm，EF＝4
cm，则当DF＝________cm时，△ABC∽△DEF.
6．若D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，则△DEF∽________，其相似比为________．
7．△ABC和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似．
BC＝2，AC＝3，AB＝4；B′C′＝，A′C′＝，A′B′＝2.
8．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
中档题
9．能使△ABC和△DEF相似的条件是(
)
A．
AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE＝，EF＝，DF＝
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1
C．AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6
D．AB＝，AC＝，BC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
10．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
11．(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值(
)
A．只有1个
B．可以有2个
C．可以有3个
D．有无数个
12．(佛山中考)网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试证明△ABC∽△DEF.
13．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.求证：△DEF∽△ABC.
14．如图，＝＝，求证：
(1)∠BAD＝∠CAE；
(2)∠ABD＝∠ACE.
综合题
15．(菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似．
参考答案
基础题
1.A 2.A 3.C 4.相似 三边对应成比例的两个三角形相似 5.3 6.△CAB 1∶2
7.在△ABC中，AB>AC>BC，在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，＝＝，＝＝，＝＝2.∴≠≠，∴△ABC与△A′B′C′不相似．
8.相似．
理由如下：在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.8，
在Rt△DEF中，DF＝＝＝4.8，∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF.
中档题
9.C 10.C 11.B
12.∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，DE＝8，
∴＝＝＝2.∴△ABC∽△DEF.
13.∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，∴＝＝＝＝，即＝＝.∴△DEF∽△ABC.
14.(1)∵＝＝，∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAD＝∠CAE.
(2)∵＝，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.∴∠ABD＝∠ACE.
综合题
15.(1)根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
(2)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，
DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
(3)如图：△P2P4P5.第3课时 相似三角形的判定定理2
基础题
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(
)
A.＝
B.＝且∠A＝∠A′
C.＝且∠B＝∠C
D.＝且∠B＝∠B′
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(
)
A．①②相似
B．①③相似
C．①④相似
D．②④相似
3．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(
)
4．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要运用“两边对应成比例，且夹角相等”判定△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是________________．
5．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6.当OC＝________时，图中的两个三角形相似．
6．如图，如果AC2＝AD·AB，那么△ABC∽______．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且＝＝，BC＝6，求DE的长．
8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．
中档题
9．已知如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图乙中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(
)
A．都相似
B．都不相似
C．只有甲相似
D．只有乙相似
10．(南通模拟)如图，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是(
)
A．∠BAD＝∠CAE
B．∠B＝∠D
C.＝
D.＝
11．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝________时，△ACB∽△CBD.
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线BD，AC相交于点E，问△AED与△BEC是否相似？有一位同学这样解答：
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE，
∴△AEB∽△CED，
∴＝.
又∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC.
请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由．
13．如图，已知△ABC∽△DEF，点G、H分别是边BC、EF的中点，求证：△AGC∽△DHF.
14．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP＝3PC，M是CD的中点，求证：△ADM∽△MCP.
综合题
15．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1
cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2
cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
参考答案
基础题
1.B 2.C 3.C
4.∠A＝∠D
5.
6.△ACD
7.∵∠A为公共角，＝，∴△ADE∽△ABC.∴＝＝.
又∵BC＝6，∴DE＝BC＝×6＝3.
8.∵＝＝，＝，∴＝.
又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC.∴＝.∴＝.∴CF＝.
中档题
9.A 10.D 11.
12.不正确；△AED与△BEC不相似，因为两个三角形的边没有对应成比例．
13.∵△ABC∽△DEF，∴∠C＝∠F，＝.
∵点G、H分别是边BC、EF的中点，∴BC＝2CG，EF＝2FH.
∴＝，即＝.
又∠C＝∠F，∴△AGC∽△DHF.
∵四边形ABCD是正方形，M为CD中点，∴CM＝MD＝AD.
∵BP＝3PC，∴PC＝BC＝AD＝CM.∴＝＝.
∵∠PCM＝∠ADM＝90°，∴△MCP∽△ADM.
综合题
15.设经过x秒，两三角形相似，则CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，
①当CP与CA是对应边时，＝，即＝，解得x＝4.
②当CP与BC是对应边时，＝，即＝，解得x＝.故经过4
s或
s，△PQC和△ABC相似．第1课时 位似图形的概念及画法
基础题
知识点1 位似图形的识别
1．下列图形是位似图形的是(
)
2．下图中的两个图形不是位似图形的是(
)
知识点2 位似图形的性质
3．(钦州中考)图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(
)
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于(
)
A．6
B．5
C．9
D.
5．如图，两个位似图形△ABO和△A′B′O，若OA∶OA′＝3∶1，则正确的是(
)
A．AB∶A′B′＝3∶1
B．AA′∶BB′＝AB∶AB′
C．OA∶OB′＝2∶1
D．OA∶OB′＝3∶1
6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是________．
7．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10
cm，OA′＝20
cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．
8．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2
cm，则A′B′＝________cm，请在图中画出位似中心O.
知识点3 位似图形的画法
9．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为2∶1.
10．已知，如图，四边形ABCD，画出四边形ABCD的位似图形，使其边长缩小为原来的.
中档题
11．如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点(
)
A．A
B．B
C．C
D．D
12．下列3个图形中是位似图形的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
13．(东营中考)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是(
)
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
14．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(
)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
15．下图小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的相似比．
综合题
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2；
(3)直接回答：＝．
参考答案
基础题
A 2.D 3.D 4.A
5.A 6.1∶4 7.1∶2
8.4 连接AA′，CC′，它们的交点就是位似中心，如图.
9.如图.
10.答案不唯一．如图.
中档题
11.B 12.D 13.A 14.B
15.(1)根据位似图形的概念，连接B′B，C′C并延长，它们相交于一点O，则点O就是位似图形的位似中心．
(2)由勾股定理，得AB＝＝，A′B′＝＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为＝＝.
综合题
16.(1)(2)如图.
(3)
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