4.2 正切
基础题
知识点1 正切的定义
公式：tanα＝.
1．在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则tanA等于(
)
A.
B.
C.
D.
2．(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(
)
A.
B.
C.
D.
3．(湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是(
)
A．2
B．8
C．2
D．4
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，tanB的值．
知识点2 特殊角的正切值
5．计算：tan30°＝________，tan45°＝________，tan60°＝________．
6．计算：tan45°＋tan30°＝(
)
A.
B.
C.
D.
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A＝(
)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8．计算：
(1)2tan30°－tan45°－；
(2)(－1)0－(－2)＋2tan45°＋()－1.
知识点3 用计算器求锐角的正切值及已知正切值求锐角
9．填空(精确到0.000
1)：
(1)tan36°≈________；
(2)tan83°18′≈________；
(3)tan23°42′≈________；
(4)tan57°54′≈________．
10．填空(精确到0.1°)：
(1)已知tanα＝0.241
9，则α≈________°；
(2)已知tanα＝0.472
7，则α≈________°；
(3)已知tanα＝1.528
2，则α≈________°；
(4)已知tanα＝31.820
5，则α≈________°.
知识点4 锐角三角函数
11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sinA，cosA，tanA.
中档题
13．(佛山中考)如图，若∠A＝60°，AC＝20
m，则BC大约是(结果精确到0.1
m)(
)
A．34.64
m
B．34.6
m
C．28.3
m
D．17.3
m
14．将△AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A的坐标为(2，1)，则tan∠A′OB′的值为(
)
A.
B．2
C.
D.
15．(凉山中考)在△ABC中，若|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(
)
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
16．(巴中中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(
)
A.
B.
C.
D.
17．(安顺中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanA＝，求sinA，cosB的值．
19．计算：
(1)sin60°tan30°－tan45°cos230°；
(2).
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD.
综合题
21．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求tan∠CBE的值．
参考答案
基础题
1．D 2.D 3.A 4.∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4.
∴tanA＝＝，tanB＝＝. 5. 1 6.A 7.D
8.(1)原式＝2×－1－＋1＝－.
(2)原式＝1－＋2＋2＋3＝8－.
9.(1)0.726
5 (2)8.512
6 (3)0.439
0 (4)1.594
1 10.(1)13.6 (2)25.3 (3)56.8 (4)88.2 11.
12.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB2＝AC2＋BC2，AC＝24，BC＝7，
∴AB＝＝25.
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
中档题
13．B 14.A 15.C 16.D 17.24
18.∵∠C＝90°，
∴tanA＝.
∴BC＝AC·tanA＝6×＝8.又∵AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝，cosB＝＝.
19.(1)原式＝×－1×()2＝－＝－. (2)原式＝＝.
20.(1)AC＝BC·tan60°＝.
(2)在Rt△BDC中，∵tan∠BCD＝，不妨设BD＝k，则CD＝3k.由勾股定理，得k2＋(3k)2＝12，解得k1＝，k2＝－(不合题意，舍去)．
∴k＝.
∴CD＝.
综合题
21．根据题意，BE＝AE.设CE＝x，则BE＝AE＝8－x.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝62＋x2，解得x＝.
∴tan∠CBE＝＝＝.4.3 解直角三角形
基础题
解直角三角形常见类型及求法：
Rt△ABC中，∠C＝90°
已知
选择的边角关系
斜边和一直角边
c，a
由sinA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
两直角边
a，b
由tanA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边和一锐角
c，∠A
∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA
一直角边和一锐角
a，∠A
∠B＝90°－∠A；b＝；c＝
知识点1 已知两边解直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(
)
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cosA的值是(
)
A.
B.
C.
D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20，则∠A＝________，∠B＝________，b＝________．
4．在△ABC中，∠C＝90°.
(1)若a＝30，b＝20，求c，∠A，∠B；
(2)若b＝9，c＝6，求a，∠A，∠B.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a和∠A，则下列关系中正确的是(
)
A．c＝asinA
B．c＝
C．c＝acosA
D．c＝
6．(杭州中考)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝(
)
A．3sin40°
B．3sin50°
C．3tan40°
D．3tan50°
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠B＝30°，则c和tanA的值分别为(
)
A．12，
B．12，
C．4，
D．2，
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A和c，则a＝______，b＝________；
(2)已知∠B和b，则a＝________，c＝________．
9．在△ABC中，∠C＝90°.
(1)若c＝10，∠B＝30°，求a，b，∠A；
(2)若∠B＝72°，c＝14，求a，b，∠A.
中档题
10．(兰州中考)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(
)
A．csinA＝a
B．bcosB＝c
C．atanA＝b
D．ctanB＝b
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则下列结论中正确的是(
)
A．sinB＝
B．cosB＝
C．tanB＝2
D．cosB＝
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为(
)
A．2
B.
C．2
D．4
13．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[p，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为(
)
A．(2，2)
B．(2，－2)
C．(2，2)
D．(2，2)
14．(河池中考)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，则tanB＝________．
15．(攀枝花中考)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是________．
16．(无锡中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值．
17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.
(1)求sinC；
(2)求AC边上的高BD.
综合题
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
参考答案
基础题
1．C 2.A 3.45° 45° 20 4.(1)c＝＝＝10，tanA＝＝＝1.5，
∴∠A≈56.3°.
∴∠B＝90°－∠A≈33.7°. (2)∵∠C＝90°，b＝9，c＝6，
∴a＝＝＝3.∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°. 5.B 6.D 7.D 8.(1)csinA ccosA (2)
9.(1)∵∠C＝90°，c＝10，∠B＝30°，
∴b＝5.
∴a＝＝5.
∴∠A＝90°－∠B＝60°. (2)∠A＝90°－72°＝18°.∵sinB＝，
∴b＝14×sin72°≈13.3.∵sinA＝，
∴a＝14×sin18°≈4.3.
中档题
10．A 11.A 12.B 13.A 14. 15.2
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝＝＝，
∴BC＝4.根据勾股定理，得AC＝＝2，则tanB＝＝＝.
17.(1)作AE⊥BC交BC于点E.∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3.在Rt△AEC中，AE＝＝6，
∴sinC＝＝＝.
(2)在Rt△BDC中，sinC＝，
∴＝，
∴BD＝4.
综合题
18．过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan60°＝10.∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°.
∴BM＝BC·sin30°＝10×＝5，CM＝BC·cos30°＝15.
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°.
∴MD＝BM＝5.
∴CD＝CM－MD＝15－5.第4章 锐角三角函数
4．1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值
基础题
知识点1 正弦的定义
公式：sinα＝.
1．(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(
)
A.
B.
C.
D.
2．(贵阳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA＝(
)
A.
B.
C.
D.
4．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(
)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB＝(
)
A.
B.
C.
D．2
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是(
)
A.
B．3
C.
D.
7．如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是________．
8．根据图中数据，求sinC和sinB的值．
知识点2 30°角的正弦值
9．计算：sin30°＝________．
10．计算：sin30°－|－2|＝________．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为________．
12．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是________米．
中档题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是(
)
A.
B．2
C.
D.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和B(3，0)，则sin∠AOB的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
15．(威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(
)
A.
B.
C.
D.
16．(怀化中考)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则＝______．
18．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC的长．
19．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F点，若AB∶BC＝4∶5，求sin∠CFD.
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．
综合题
21．(贺州中考改编)网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求sinA的值．
参考答案
基础题
1．C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7. 8.在Rt△ABC中，BC＝＝，
∴sinC＝＝，sinB＝＝. 9. 10.－ 11. 12.40
中档题
13．C 14.A 15.D 16.30° 17.
18.∵sinA＝，
∴＝.
∴AB＝3BC.∵AC2＋BC2＝AB2，
∴22＋BC2＝(3BC)2，解得BC＝.
∴AB＝.
19.由折叠可知，CB＝CF.矩形ABCD中，AB＝CD，
∴sin∠CFD＝＝＝.
20.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5.根据同角的余角相等，得∠ACD＝∠B.
∴sin∠ACD＝sinB＝＝.
综合题
21．作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，
由BC·AD＝AB·CE，得CE＝＝.
∴sinA＝＝＝.第3课时 余弦
基础题
知识点1 余弦
公式：cosα＝.
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA的值是(
)
A.
B.
C.
D.
2．(兰州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosA的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosB＝，则BC＝________．
4．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P(3，4)，则cosα＝________．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求cosA和cosB的值．
知识点2 特殊角的余弦值
6．计算：cos30°＝________，cos45°＝________，cos60°＝________．
7．计算：cos60°－sin45°＝(
)
A.
B．－
C.
D.
8．计算：
(1)cos230°－sin45°cos60°；
(2)cos30°－cos45°－cos60°；
(3)2cos245°＋cos260°－3cos230°.
知识点3 正弦、余弦之间的关系
公式：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，sin2α＋cos2α＝1.
9．如果α是锐角，且sinα＝，那么cos(90°－α)＝(
)
A.
B.
C.
D.
10．对于锐角∠A，∠B，如果sinA＝cosB，那么∠A与∠B的关系一定满足(
)
A．∠A＝∠B
B．∠A＋∠B＝45°
C．∠A＋∠B＝60°
D．∠A＋∠B＝90°
知识点4 用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求锐角
11．填空(精确到0.000
1)：
(1)cos42°≈________；
(2)cos80°25′≈________；
(3)cos49°18′≈________．
12．填空(精确到0.1°)：
(1)若cosα＝0.324
5，则α≈________；
(2)若cosα＝0.843
4，则α≈________；
(3)若cosα＝0.585
8，则α≈________．
中档题
13．(汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是(
)
A.
B.
C.
D.
14．如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是(
)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
15．(天水中考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝________．
16．(鞍山中考)△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长为________．
17．(白银中考)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
(1)sinA的值；
(2)cos∠ACD的值；
(3)CD的值．
19．如图，在△ABC中，已知AC＝6，∠
C＝75°，∠B＝45°，求△ABC的面积．
综合题
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26.
(1)求cos∠DAC的值；
(2)求线段AD的长．
参考答案
基础题
1．A 2.
D 3.8 4. 5.∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝.
∴cosA＝＝＝，cosB＝＝＝. 6. 7.B
8.(1)原式＝×()2－×＝×－＝.
(2)原式＝×－×－＝－1－＝0.
(3)原式＝2×()2＋()2－3×()2＝1＋－＝－1.
9.A 10.D 11.(1)0.743
1 (2)0.166
5 (3)0.652
1 12.(1)71.1° (2)32.5° (3)54.1°
中档题
13．B 14.C 15. 16.2 17.60°
18.(1)由BC＝5，
AC＝12，得AB＝13，sinA＝. (2)cos∠ACD＝sinA＝.
(3)∵sinA＝，
∴CD＝AC·sinA＝12×＝.或由面积公式，得13CD＝5×12，得CD＝.
19.过点C作CD⊥AB于D，∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠A＝60°.在Rt△ACD中，AD＝AC·cos60°＝3，CD＝AC·sin60°＝3.
又∵∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝3.
∴S△ABC＝(3＋3)×3÷2＝＋.
综合题
20．(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝＝.
∵BC＝26，
∴AB＝10.
∴AC＝＝＝24.∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴cos∠DAC＝cos∠ACB＝＝.
(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E，又∵AD＝DC，
∴AE＝EC＝AC＝12.∵在Rt△ADE中，cos∠DAE＝＝，
∴AD＝13.4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题
基础题
知识点1 与俯角、仰角有关的应用问题
1．(高密期中)从地面上C，D两处望山顶A，仰角分别是30°和45°，若从山顶A看到地面上的D处时，则(
)
A．俯角是45°
B．俯角是30°
C．俯角是60°
D．俯角是75°
2．(太原中考)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100
m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为(
)
A．
100
m
B．50
m
C．50
m
D.
m
3．(百色中考)从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(
)
A．(6＋6)米
B．(6＋3)米
C．(6＋2)米
D．12米
4．(株洲中考)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为________米(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.342
0，sin70°≈0.939
7，tan20°≈0.364
0，tan70°≈2.747
5)．
5．(衡阳中考)如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，测得∠CBD＝60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度(结果精确到个位)．
知识点2 与夹角有关的应用问题
6．如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，线与地面的夹角为∠ACB＝50°，则拉线AC的长为(
)
A.米
B.米
C．6cos50°米
D.米
7．(江阴校级期末)如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4
m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是(
)
A．(4＋)米
B．(4＋)米
C．(4＋4sin40°)米
D．(4＋4cot40°)米
8．(抚顺中考)如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为________米．
中档题
9．(大连中考)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21
m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约为________m．(精确到0.1
m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
10．(长春中考)如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
11．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4
m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
12．(北海中考)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin22°≈0.374
6，cos22°≈0.927
2，tan22°≈0.404
0)
综合题
13．(泰州中考)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27
m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56
m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
参考答案
1．A 2.A 3.A 4.182 5.在Rt△CBD中，CD＝CB·sin60°＝20×＝10(米)，
∴CE＝CD＋DE＝10＋1.5≈19(米)．
6.D 7.B 8.100
中档题
9．15.3 10.由题意知，DE＝AB＝2.17米，
∴CE＝CD－DE＝12.17－2.17＝10(米)．
在Rt△CAE中，∠CAE＝26°，sin∠CAE＝，
∴AC＝＝＝≈22.7(米)．
答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．
11.过点C作CD⊥AB于点D.由对顶角相等易得∠DAC＝30°.
∴∠BCA＝30°.
∴BC＝AB＝4
m．
∴CD＝BC·sin60°＝2≈3.5(m)．即深度为3.5
m．
12.由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，
∴∠BCE＝158°.
∴∠DCE＝22°.
又∵tan∠BAE＝，
∴BD＝AB·tan∠BAE.
又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，
∴CE＝CD·cos∠BAE＝(BD－BC)·cos∠BAE＝(AB·tan∠BAE－BC)·cos∠BAE＝(10×0.404
0－0.5)×0.927
2≈3.28(m)．
综合题
13．过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC＝90°.在Rt△ABD中，tan45°＝，
∴AB＝BD.设AE＝x
m，则AF＝x＋56－27＝(x＋29)m，CF＝BD＝AB＝(x＋56)m.
∵在Rt△ACF中，tan36°52′＝，
∴tan36°52′＝.∵tan36°52′≈0.75，
∴＝0.75.解得x＝52.
经检验x＝52是原方程的根，且符合题意．答：该铁塔的高AE为52
m.第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求正弦值或锐角
基础题
知识点1 45°，60°角的正弦值
1．计算：sin45°＝________，sin60°＝________．
2．若∠α的余角是45°，则sinα的值是(
)
A.
B.
C.
D.
3．sin60°的相反数是(
)
A．－
B．－
C．－
D．－
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠B的度数是(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinB的值为(
)
A.
B.
C.
D.
6．计算下列各题：
(1)2sin30°－sin45°；
(2)sin245°＋sin30°sin60°；
(3)sin230°＋sin260°；
(4)(sin30°－1)0－4sin45°sin60°.
知识点2 用计算器求锐角的正弦值及已知正弦值求锐角
7．用计算器计算sin35°(精确到0.000
1)的结果是(
)
A．0.233
5
B．0.233
6
C．0.573
5
D．0.573
6
8．已知sinα＝0.893
8，则锐角α的值为(
)
A．56°22′30″
B．60°18′27″
C．63°21′17″
D．72°33′15″
9．用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000
1)．
(1)20°；
(2)75°；
(3)23°13′；
(4)15°32′.
10．已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．
(1)sinα＝0.822
1；
(2)sinA＝0.627
5；
(3)sinα＝0.737
2；
(4)sinα＝0.128
8.
中档题
11．点M(－sin60°，sin30°)关于x轴对称的点的坐标是(
)
A．(，)
B．(－，－)
C．(－，)
D．(－，－)
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算，∠A的度数为(精确到1°)(
)
A．30°
B．37°
C．38°
D．39°
13．(石河子校级模拟)如果∠A为锐角，且sinA＝0.6，那么(
)
A．0°＜A≤30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A≤90°
14．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于(
)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
15．(栖霞模拟)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
16．在△ABC中，若sinA＝，sinB＝，下列判断中，你认为最确切的是(
)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是一般锐角三角形
D．△ABC是钝角三角形
17．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(
)
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝的线长
140
m
100
m
95
m
90
m
线与地面的夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲
B．乙
C．丙
D．丁
18．已知：如图，在△ABC中，AC＝9，∠A＝48°.求AB边上的高(精确到0.01)．
19．(淮安中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
综合题
20．因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为sin45°＝，sin225°＝－，所以sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°，由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sinα，由此可知：sin240°＝(
)
A．－
B．－
C．－
D．－
参考答案
基础题
1. 2.C 3.C 4.B 5.A
6.(1)原式＝2×－×＝1－1＝0.
(2)原式＝()2＋×＝＋.
(3)原式＝()2＋()2＝1.
(4)原式＝1－4××＝1－6＝－5.
7.D 8.C
9.(1)sin20°≈0.342
0. (2)sin75°≈0.965
9. (3)sin23°13′≈0.394
2. (4)sin15°32′≈0.267
8.
10.(1)α≈55.3°. (2)∠A≈38.9°. (3)α≈47.5°. (4)α≈7.4°.
中档题
11．B 12.B 13.B 14.C 15.C 16.D 17.D
18.作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，sinA＝，
∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.
19.在Rt△BDC中，BC＝BD·sin∠BDC＝10×sin45°＝10.
在Rt△ABC中，sinA＝＝，
∴∠A＝30°.
综合题
20．C第3课时 与方位角有关的应用问题
基础题
知识点 与方位角有关的应用问题
1．如图，某海监船和一渔船同时从点A出发，海监船沿正北方向MN航行，渔船往北偏东60°方向以40海里/时的速度航行，渔船半小时后到达B处，此时渔船恰好在海监船的正东方向，则此时渔船与海监船的距离为(
)
A．20海里
B．10海里
C．20海里
D．30海里
2．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是________米．(结果保留根号)
3．如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD＝6
km，则AB＝________km.
4．(长春中考)如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A、B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)
5．(湘西中考)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．
(1)请在图中作出该船在点B处的位置；
(2)求钓鱼岛C到B处的距离．(结果保留根号)
6．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300(＋1)米，求供水站M分别到小区A、B的距离．(结果可保留根号)
中档题
7．(滨湖区校级二模)某人从A处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要________米．
8．(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73)
9．(邵阳中考)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
10．如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57)
(1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里)；
(2)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．
综合题
11．(苏州中考改编)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4
km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离(即AB的长)．
参考答案
基础题
1．B 2.10 3.3
4.由题意得，AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.
在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，
∴AB＝AC·tan∠ACB＝36×0.
93≈33.5(海里)，
故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．
5.(1)如图所示.
(2)AB＝30×0.5＝15(海里)，由题意知CB⊥AB，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，tan∠BAC＝，
∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×＝5(海里)．
答：钓鱼岛C到B处的距离为5海里．
6.过点M作MN⊥AB于N，设MN＝x米．
在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，
∴MA＝2MN＝2x，AN＝MN＝x.
在Rt△BMN中，∵∠BNM＝90°，∠MBN＝45°，
∴BN＝MN＝x，MB＝MN＝x.
∵AN＋BN＝AB，
∴x＋x＝300(＋1)．
∴x＝300.
∴MA＝2x＝600，MB＝x＝300.
故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．
中档题
7．100
8.过P作PC⊥AB于C.在Rt△APC中，AP＝200
m，∠ACP＝90°，∠PAC＝60°，
∴PC＝200×sin60°＝200×＝100.∵在Rt△PBC中，sin37°＝，
∴PB＝＝≈288(m)．
答：小亮与妈妈相距约288米．
9.过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴CD＝AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，
∴BC＝≈＝50(海里)．
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝(小时)．
答：海警船到达事故船C处所需时间约为小时．
10.(1)过点P作PD⊥AB于点D.由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30，在Rt△ADP中，sin∠PAD＝，得PD＝AP·sin∠PAD＝30×sin32°≈15.9.
答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里．
(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝，
∴BP＝＝≈19.4，A船需要时间为＝1.5(小时)，B船需要时间为≈1.3(小时)．
∵1.5＞1.3，
∴B船先到达P处．答：B船先到达P处．
综合题
11．过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4，
∴AD＝OA·sin∠AOD＝2.
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，
∴BD＝AD＝2.
∴AB＝AD＝2，即该船航行的距离(即AB的长)为2
km.第2课时 与坡度、坡角有关的应用问题
基础题
知识点 与坡度、坡角有关的应用问题
公式：坡度i＝.
1．某堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是(
)
A．1∶3
B．1∶2.6
C．1∶2.4
D．1∶2
2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(
)
A．sinα＝
B．cosα＝
C．tanα＝
D．以上都不对
3．(苏州期中)小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了10
m，则他升高了(
)
A．5
m
B．2
m
C．5
m
D．10
m
4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为________．
5．(邵阳中考)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2
000米，则他实际上升了________米．
6．修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰B处开凿一条隧道BC.经测量，西山坡的坡度i＝5∶3，由山顶A观测到点C的俯角为60°，AC的长为60
m，如图所示，试求隧道BC的长．
7．(龙海校级期末)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20
cm，深为30
cm，为方便残疾人士，拟将台阶改成斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C(如图所示)，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，那么斜坡起点C应离A点多远？(精确到1
cm，sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213)
中档题
8．(丹东校级一模)如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6
m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________m.
9．(昆明中考)如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10
m，天桥高度CE＝5
m，求天桥下底AD的长度？(结果精确到0.1
m，参考数据：sin35°≈
0.57，cos35°≈
0.82，tan35°≈
0.70)
10．(天门中考)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
11．(西宁中考改编)如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)．
图1
图2
综合题
12．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
参考答案
基础题
1．C 2.C 3.B 4.75° 5.1
000
6.依据题意得：∠C＝60°，作AD⊥BC于D.在Rt△ADC中，CD＝AC·cos60°＝60×＝30，AD＝AC·sin60°＝30.由坡比i＝5∶3，在Rt△ADB中，tanB＝，即＝，解得BD＝18.
∴BC＝BD＋DC＝18＋30(米)．答：隧道BC的长是(18＋30)米．
7.过点B作BD⊥AC于点D，由题意得：BD＝20×3＝60(cm)，AD＝30×2＝60(cm)，∠C＝12°，
在Rt△BCD中，CD＝＝≈282(cm)．
∴AC＝CD－AD＝222(cm)．
答：斜坡起点C应离A点约222
cm.
中档题
8．3
9.过点B作BF⊥AD于点F.
∵四边形BFEC是矩形，
∴BF＝CE＝5
m，EF＝BC＝10
m．
∵在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝，
∴AF＝≈≈7.14(m)．
∵斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2，
∴＝，ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．
∴AD＝AF＋FE＋ED＝7.14＋10＋6＝23.14≈23.1(m)．
答：天桥下底AD的长度为23.1
m．
10.在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13，由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132.
∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)．
∴DC＝12.在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，
∴BD＝5×1.8＝9.
∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.
答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．
11.延长CB交PQ于点D，∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ.∵自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，
∴＝＝.
设BD＝5k米，AD＝12k米，则AB＝13k米．∵AB＝13米，
∴k＝1.
∴BD＝5米，AD＝12米．在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝42°，
∴CD＝AD·tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米)．
∴BC＝CD－BD≈5.8米．
综合题
12．过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i＝＝＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°.
∴EF＝CE＝10米，CF＝10米．
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米．
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝(25＋10)米．
∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米．
答：楼房AB的高为(35＋10)米．
