第一节初识简谐运动
1．(3分)在前面我们学过哪些理想化的物理模型？
【答案】 质点 点电荷 光滑的斜面等
2．(3分)在匀变速直线运动中，用哪些物理量描述其运动性质？
【答案】 位移 速度 加速度 时间 x－t图象 v－t图象等
3．(4分)在x－t图象中，图线是物体运动的轨迹吗？其物理意义是什么？
【答案】 图线不是物体运动的轨迹，图线上的各点表示物体在不同时刻的位移
课
标
导
思
1.了解弹簧振子及其理想化条件．2．知道简谐运动的定义及描述简谐运动特征的物理量．3．能用简谐运动的图象描述简谐运动的特征.
学生P1
一、弹簧振子
1．平衡位置
振子原来静止时的位置．
2．机械振动
振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动．
3．弹簧振子
它是小球和弹簧组成的系统的名称，是一个理想模型．
振子模型：如图1－1－1所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．
图1－1－1
4．弹簧振子的位移－时间图象
(1)为了研究弹簧振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图1－1－2所示，这就是弹簧振子运动时的位移－时间图象．
图1－1－2
(2)位移－时间图象(x－t图象)的物理意义
振动图象表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．
5．简谐运动
(1)定义：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动，它的加速度在不同的位移都不相同，表明物体在运动过程中总是受到一个变力的作用．
(2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
二、描述简谐运动特征的物理量
1．全振动
做简谐运动的物体完成一次完整的往复运动叫全振动．
2．周期(T)
做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间．
3．频率(f)
单位时间内完成全振动的次数．
周期与频率的关系：T＝.
4．振幅(A)
振动物体离开平衡位置的最大距离．
三、简谐运动的图象
简谐运动的图象是一条正弦曲线，表示做简谐运动的质点位移随时间变化的规律．
【特别提醒】 振动的位移通常以平衡位置为参考点，在x－t图象中，某时刻质点位置在t轴上方，表示位移为正，位置在t轴下方，表示位移为负.
学生P1
一、理解简谐运动的位移、速度
1．位移
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段为振子的位移，方向为从平衡位置指向振子所在位置．大小为平衡位置到该位置的距离．位移的表示方法是：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子(偏离平衡位置)的位移用该时刻振子所在的位置坐标来表示．振子通过平衡位置时，位移改变方向．
2．速度
描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．应明确，速度和位移是彼此独立的物理量．如振动物体通过同一个位置，其位移矢量的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能：指向或背离平衡位置．振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变．
二、简谐运动的对称性
如图1－1－3所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C、D两点关于O点对称，则有
图1－1－3
1．时间的对称
(1)振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，即tDB＝tBD
(2)质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等即tOC＝tOD.
图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO＝，
tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA
2．速度和位移的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反，位移相同．
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，位移等大反向．
三、对简谐运动图象的认识
1．坐标建立
横轴表示质点运动的时间t，纵轴表示振动质点离开平衡位置的位移x，如图1－1－4所示．
图1－1－4
2．图象意义
描述做简谐运动质点的位移随时间的变化规律．
【特别提醒】 振子的运动轨迹是一段线段，所以简谐运动的振动图象并非质点的实际运动轨迹.
3．图象应用
a．由图象可以直接读出振动周期T和振幅A，如图1－1－4所示，从而可以计算出频率f.
b．由图象可以判断任一时刻质点的运动方向及任一段时间内质点速度v、位移x或加速度a的变化情况．在图1－1－4中，某一时刻t1，质点的位移为x1，若取一段极短的时间间隔Δt＝t1′－t1，因t1′时刻质点的位移x1′四、理解振幅、周期和频率的物理意义
1．定义
振幅是振子离开平衡位置的最大距离，单位：m；周期是振子完成一次全振动所需要的时间，单位：s；频率是单位时间内完成全振动的次数，单位：Hz.
2．作用
振幅是描述振动强弱的物理量；周期和频率是描述振动快慢的物理量．
3．振幅、周期和频率是描述做振动或其他周期性运动的物体的特征量．
4．对振幅不能仅仅理解为振动物体位移的最大振动幅度，它还可以表示速度的最大值——速度的振幅，加速度的最大值——加速度的振幅，按正(余)弦规律变化的物理量所具有的最大幅度值．
5．弹簧振子的振幅的理解
(1)振幅是振动过程中振子离开平衡位置的最大距离，是标量．
(2)同一振动过程不同位置位移不同，而振幅相同，振幅代表振动的能量，与具体位置无关．
(3)周期与振幅无关．
一、对全振动的理解
如图1－1－5所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则( )
图1－1－5
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
【导析】 根据“从某点开始计时，经过最短的时间以相同的速度再次通过这一点”或振子通过的路程和振幅的关系进行分析．
【解析】 选项A对应的过程，其路程为2倍的振幅，选项B对应的过程，其路程为3倍振幅．选项C对应的过程，其路程为4倍的振幅，选项D对应的过程，其路程大于3倍振幅，又小于4倍振幅，因此选项A、B、D均错误，选项C正确．
【答案】 C
一次全振动结束时，速度、位移、加速度都和开始计时时的一样.
1．一质点在平衡位置附近做简谐运动，从它经过平衡位置开始计时，经过0.13
s质点首次经过M点，再经过0.1
s第二次经过M点，则质点做简谐运动的周期的可能值是多大？
【解析】 就所给的第一段时间Δt1＝0.13
s分两种情况进行分析．
(1)当Δt1＜，如图所示，＝Δt1＋Δt2，得T＝0.72
s.
(2)当＜Δt1＜T，如图所示，T＝Δt1＋Δt2，得T＝0.24
s.
【答案】 T＝0.72
s或T＝0.24
s
二、对简谐运动的认识和理解
一弹簧振子做简谐运动，有以下说法
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
C．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D．振子在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向
(1)以上说法正确的有________．
(2)做简谐运动的物体，其向平衡位置运动的过程中，它的位移和速度各怎样变化？远离平衡位置的过程又怎样？
(3)做简谐运动的物体每次经过同一位置或在平衡位置两侧对称的位置上位移、速度、加速度的大小怎样？方向呢？
【导析】 该题考查的是简谐运动的对称性，关于平衡位置对称的两点，位移、加速度具有等大反向的关系．
【解析】 (1)加速度的方向与位移方向相反，位移方向为负时，加速度方向一定为正，但速度方向为物体运动方向，与位移方向无关，可正可负，A错．振子每次经过平衡位置时，加速度为零且速度大小相等，但方向不一定相同，B错．每次通过同一位置时，位移相同，故加速度相同，速度大小相同，但方向不一定相同，C对．同理在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，D错，故选C.
(2)做简谐运动的物体向平衡位置运动的过程中位移减小，速度增大，二者方向相反；远离平衡位置时位移增大，速度减小，二者方向相同．
(3)做简谐运动的物体每次经过同一位置或在平衡位置两侧对称的位置上，位移、速度、加速度的大小都相同，其位移的方向是由平衡位置指向振子所在位置，加速度的方向与位移方向相反，速度方向要看质点振动方向．
【答案】 (1)C (2)见解析 (3) 见解析
(1)在机械振动中，位移是相对平衡位置而言的，规定平衡位置为位移的起始点．
(2)要注意结合运动学的知识分析简谐运动，矢量相同不仅仅是大小相等，方向也应该相同.
2．在图1－1－6中，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是( )
图1－1－6
A．振子的速率在减小
B．振子的运动方向向左
C．振子的位移方向向左
D．振子的位移大小在增大
【解析】 振动中任一时刻的位移均以平衡位置为起点．在振子由A向O运动的过程中，易知选项B正确；但此过程中的各个时刻振子都在O右侧，即位移方向向右，选项C错误；由于不断向平衡位置靠近，位移越来越小，速度越来越大，故选项A、D错误．故选B.
【答案】 B
三、简谐运动的图象及其应用
如图1－1－7所示是质点做简谐运动的图象．由此可知( )
图1－1－7
A．t＝0时，质点位移、速度均为零
B．t＝1
s时，质点位移最大，速度为零
C．t＝2
s时，质点位移为零，速度负向最大值
D．t＝4
s时，质点停止运动
【导析】 由图可以直观地获得以下信息：
①各个时刻振子的位置
②质点的振动方向
③振动速度的变化等
【解析】 该题考查利用图象分析位移和速度．
t＝0时，速度最大，位移为零，A选项错．B对．
t＝2
s时，质点经过平衡位置，位移为零，速度沿负方向最大，C正确．
t＝4
s时，质点位移为零，速度最大，D错．
【答案】 BC
这类问题的判断方法最好是把图象和简谐运动的过程结合起来，二者相辅相成，使问题得以解决.
1．下列运动中属于机械振动的是( )
A．小鸟飞走后树枝的运动
B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出物体的运动
【解析】 物体所做的往复运动是机械振动，A、B正确．圆周运动和竖直向上抛出的运动不是振动．
【答案】 AB
2．简谐运动是下列哪一种运动( )
A．匀变速运动
B．匀速直线运动
C．非匀变速运动
D．匀加速直线运动
【解析】 简谐运动的速度是变化的，B错．加速度a也是变化的，A、D错．C对．
【答案】 C
3．如图1－1－8所示，下列说法正确的是( )
图1－1－8
A．振动图象是从平衡位置开始计时的
B．1
s末速度沿x轴负方向
C．1
s末速度最大
D．1
s末速度最小，为0
【解析】 图象从原点位置开始画，原点表示平衡位置，即物体从平衡位置起振；1
s末物体处于最大位移处，速度为0.
【答案】 AD
4．如图1－1－9所示是弹簧振子的振动图象，请回答下列问题．
图1－1－9
(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少？
(2)如果从O点算起，到图象上哪一点为止，振子完成一次全振动？如果从A点算起，情况又怎样？
【解析】 (1)由图象知振子的振幅为：A＝2
cm，周期为：T＝0.8
s．由f＝得，频率f＝
Hz＝1.25
Hz.
(2)O点时振子正处在平衡位置向上运动，到D点时振子恰好再次来到平衡位置且向上运动，故振子完成一次全振动，A点时，振子正处在正向最大位移处到E点时振子恰好再次来到正向最大位移处，故振子完成一次全振动．
【答案】 (1)2
cm 0.8
s 1.25
Hz (2)见解析章末复习课
一、简谐运动的对称性和周期性
做简谐运动的物体完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一次的振动形式，这就是简谐运动的周期性．除此之外，简谐运动还具有对称性，主要表现在：
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置上具有相等的速率．
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．
(4)位移的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的位移．
弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20
s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50
s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动的周期T；
(2)若B、C之间的距离为25
cm，求振子在4.0
s内通过的路程．
【解析】 (1)作示意图，根据题意，振子从P点出发，沿路径①达B再沿BP回到出发点P，历时0.20
s，由对称性tPB＝tBP＝0.10
s；同理，tPO＝tOP′＝×0.30
s，故tBO＝tBP＋tPO＝T/4.所以T＝4×(0.10＋0.15)s＝1.00
s．即周期为1.00
s.
(2)＝2A＝25
cm，振幅A＝12.5
cm；因振子1个周期通过4A的路程，故在4.0
s＝4T内通过s＝4×4A＝200
cm.
【答案】 (1)1.00
s (2)200
cm
二、简谐运动的图象及作用
简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律．从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下
1．可以确定振动质点在任一时刻的位移．如图1－1中所示，对应t1、t2时刻的位移分别是x1＝7
cm、x2＝－5
cm.
图1－1
2．确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振幅是10
cm.
3．确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T＝0.2
s，频率f＝＝5
Hz.
4．确定各时刻质点的振动方向．例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
5．比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.
6．比较不同时刻质点的势能、动能的大小．因质点离平衡位置的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，如图所示，在t1时刻质点的势能Ep1大于t2时刻的势能Ep2，而动能则Ek1 如图1－2所示，为一单摆及其振动图象，请回答下列问题：
图1－2
(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长为________，一周期内重力势能Ep最大的时刻为________．
(2)摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是________．
(3)单摆摆动过程中多次通过同一位置时，下列哪些物理量一定是变化的( )
A．位移 B．速度 C．加速度 D．动能 E．摆线中的张力
(4)当在摆线的悬点正下方O′处钉一光滑的水平细钉可挡住摆线，且＝，则此单摆的振动周期为________s，钉子挡住绳子后的瞬间摆线中的张力会________(填“变大”“变小”“不变”)
(5)若单摆摆到最大位移处时摆线断了，此后摆球做何种运动？若摆线在摆球运动到平衡位置断裂，摆球又做何种运动？
【解析】 (1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3
cm，横坐标可直接读取完成一次全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T＝2
s，进而算出频率f＝＝0.5
Hz，由T＝2π，算出摆长l＝＝1
m.
从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5
s末和1.5
s末，即为重力势能最大的时刻．
(2)图象中O点位移为零，O到A的过程中位移为正且增大，A处最大，历时T.显然摆球是从平衡位置起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G、A到B的过程分析方法相同．可知O、A、B、C分别对应E、G、E、F点．
摆动中EF间加速度为正，且衡位置过程中加速度逐渐减小，所以从F向E的过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5
s～2.0
s之间．摆球远离平衡位置时势能增加，即从E向两侧运动，而速度为正，显然是从E向G的过程，在图象中为从O到A，时间范围是0～0.5
s之间．
(3)通过同一位置时，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcos
α＋mv2/l也不变；用运动分析相邻两次过同一点，速度方向变化．故选B.
(4)放钉子后改变了摆长，因此单摆的周期也应分成钉子左侧的半个周期和钉子右侧的半个周期，前面已求出摆线长为1
m，所以T左＝π＝1s；钉右侧的半个周期T右＝π
＝0.5
s．所以T＝T左＋T右＝1.5
s．由受力分析知FT－mg＝mv2/l得FT＝mg＋mv2/l.钉子挡后瞬间速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的，所以挡后张力变大．
(5)在最大位移处，球速度为零，只受重力作用，做自由落体运动．在平衡位置断裂，此时球有最大的水平速度只受重力作用，所以做平抛运动．
【答案】 (1)3
cm 0.5
Hz 1
m 0.5
s末和1.5
s末
(2)E、G、E、F 1.5
s～2.0
s 0～0.5
s
(3)B
(4)1.5 变大
(5)自由落体，平抛运动
三、简谐运动的多解问题
做简谐运动的质点其运动具有周期性，如运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则质点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均不变化；反之将对应时间的不确定性．这种不确定性将带来问题的多解．
如图1－3所示，小球m自A点以沿AD方向的初速度v匀速接近固定在D点的小球n.已知＝0.8
m，AB圆弧半径R＝10
m，AD＝10
m，A、B、C、D在一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球n？(设g取10
m/s2，不计一切摩擦)
图1－3
【解析】 小球m的运动由两个分运动合成，这两个运动分别是以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面方向上的往复运动．因 R，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是一种等效单摆，其圆弧半径R即为等效单摆的摆长．
设小球m恰好能碰到小球n，则有AD＝vt，且满足
t＝kT(k＝1,2,3…)
又T＝2π
解方程得v＝
m/s(k＝1,2,3…)．
【答案】
m/s(k＝1,2,3…)第二节简谐运动的力和能量特征
1．(3分)一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同
【解析】 该题考查简谐运动中位移和速度的变化规律．振子做简谐运动时，某时刻位移的方向与速度的方向可能相同，也可能相反，A、C不正确．当通过同一位置时，速度的方向不一定相同，D正确．经过平衡位置时，速度最大，B错．
【答案】 D
2．(3分)做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( )
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移同向
D．振子速度与位移方向相反
【解析】 弹簧振子的速度越来越大，说明正向平衡位置移动；由于位移总是由平衡位置指向振子所在的位置，所以在振子向平衡位置运动过程中，其速度方向与位移反向．正确选项为B、D.
【答案】 BD
3．(4分)如图1－2－1，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图1－2－1
(1)速度由正变负的位置在________．
(2)位移为负向最大的位置在________．
【解析】 由简谐运动特点知，速度方向由正变为负的位置为A点，位移为负向最大的位置是B点．
【答案】 (1)A (2)B
课
标
导
思
1．掌握简谐运动的力的特征，明确回复力的概念．2．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化关系．3．知道简谐运动的能量的特征，知道简谐运动的能量与振幅大小的关系.
学生P4
一、简谐运动的力的特征
1．回复力
(1)方向特点：总是指向平衡位置．
(2)作用效果：把物体拉回到平衡位置．
(3)来源：回复力是根据力的效果(选填“性质”或“效果”)命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(4)表达式：F＝－kx.即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
2．简谐运动的动力学定义
简谐运动是运动图象具有正弦或余弦函数规律、运动过程中受到大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力的作用的运动．
二、简谐运动的能量的特征
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断变化，动能也不断变化．
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．
2．简谐运动的能量
一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零；
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型．
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．
学生P4
一、简谐运动的力的特征
1．解读F＝－kx
(1)公式中的F表示做简谐运动的物体所受的回复力，它是根据力的效果命名的，可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某几个力的合力或分力等．如图1－2－2所示，(a)图中是弹簧的弹力充当回复力，(b)图中是重力和弹簧弹力的合力充当回复力，而(c)图中则是两弹簧的弹力充当回复力．
1－2－2
(2)公式中的k是一个比例系数，对弹簧振子来说，k等于弹簧的劲度系数，与振子的质量等无关，单位为N/m.
(3)公式中的“一”号表示回复力的方向与位移方向始终相反．
2．简谐运动的动力学判断方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立x直线坐标系．
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．
(3)将力沿振动方向和垂直振动方向上分解，求出振动方向上的合力．
(4)判定振动方向上合力与位移关系是否符合F＝－kx即可．
二、对简谐运动的能量的认识
1．决定因素
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
2．能量获得
开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化成振动系统的机械能的．
3．能量转化
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
【特别提醒】 振幅决定简谐运动的能量可从功能关系的角度去理解.如把原来静止的弹簧振子拉离平衡位置，需要外力对物体做功，外力做功越多，系统获得的能量越多，则物体开始振动时的振幅就越大.
三、简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律
简谐运动中，由于位移x时刻变化，所以会引起回复力F、加速度a、速度v、动能Ek和势能Ep的变化，具体的变化规律见下表：
弹簧振子
振子的运动
位移
加速度(回复力)
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
【特别提醒】 ①在简谐运动中，位移x、回复力F、加速度a和势能Ep四个物理量同步变化，与速度v及动能Ek的变化步调相反.
②因动能和势能均为标量，所以在一个周期内动能和势能完成两个周期性变化.
一、简谐运动的回复力理解
对于弹簧振子，其回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
图1－2－3
【导析】 由简谐运动回复力的特点分析判断
【解析】 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图象应如选项C所示．
【答案】 C
回复力是根据力的作用效果命名的，回复力总是指向平衡位置．初学者要注意：回复力不一定是物体受到的合外力，回复力也不一定只是弹簧的弹力，例如后面将要学习的单摆.
1．如图1－2－4所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
图1－2－4
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
【解析】 设m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m所受水平方向的合力
F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，
考虑到F与x方向关系有：
F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，
选项D正确，C错误；
可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．
【答案】 AD
二、简谐振动中的能量分析
如图1－2－5所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图1－2－5
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和__________能相互转化，总________________守恒．
(2)振子在振动过程中有以下说法，正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置移动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减小
【导析】 在分析简谐运动的能量问题时，要弄清运动质点的受力情况和力的做功情况，知道是什么能在它们之间转化．
【解析】 (1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．
(3)振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
【答案】 (1)振幅 动 弹性势 机械能 (2)ABD (3)AC
简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能与势能之间发生转化，但总机械能守恒．其能量只由振幅决定，即振幅不变振动系统的能量不变，当m在最大位移处轻放在M上，说明m刚放上时动能为0，又因m与M间无相对运动，m放上前后振幅没改变，振动系统机械能总量不变.
2．图1－2－6为一弹簧振子的振动图象，由图可知( )
图1－2－6
A．t1时刻，振子动能最大，所受回复力最大
B．t2时刻，振子动能最大
，所受回复力最小
C．t3时刻，振子动能最大，所受回复力最小
D．t4时刻，振子动能最大，所受回复力最大．
【解析】 t1时刻，振子位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，A错；t2时刻，振子位于平衡位置处，回复力最小，速度最大，动能最大，B正确；同理分析可知C、D均是错误的．
【答案】 B
三、简谐运动中各物理量的变化分析
一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的有( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
【导析】 (1)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．(2)最大位移处是速度方向变化的转折点．
【解析】 如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O为起点的，设向右为正，则当振子在OB段时，位移为正，在OA段时位移为负．可见当振子由O向A运动时其位移为负值，速度也是负值，故A错．
振子在平衡位置时，回复力为零，加速度为零，但速度最大，故B错．
振子在平衡位置O时，速度方向可以是不同的(可正、可负)，故C错．
由a＝－kx/m知，x相同时a相同，但振子在该点的速度方向可以向左，也可以向右，故D正确．
【答案】 D
分析简谐运动各量变化关系时，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析.
1．简谐运动的回复力( )
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是大小不变而方向改变的力
D．一定是变力
【解析】 由F＝－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化．故简谐运动的回复力一定是变力．
【答案】 D
2．关于振幅，以下说法中正确的是( )
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
【解析】 物体振动的能量由振幅决定．振幅越大，振动能量越大，振动越强烈．因此，A、B正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关．而加速度随时间时刻变化，所以C、D不正确．
【答案】 AB
3．如图1－2－7所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，关于A受力说法中正确的是( )
图1－2－7
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
【解析】 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供回复力，所以其大小和方向都随时间变化，D选项正确．
【答案】 D
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图1－2－8所示，下列结论正确的是( )
图1－2－8
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置的总能量大于B位置的总能量
【解析】 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确．小球衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此B、C、D选项不正确．
【答案】 A第四节探究单摆的振动周期
1．(3分)如图1－4－1，把一个有孔的小木球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上，能够自由振动，这个系统可称为弹簧振子吗？若将小木球改为同体积的钢球呢？
图1－4－1
【答案】 小球为木球时，系统不能看作弹簧振子，小球为钢球时，系统可看作弹簧振子．系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件：①小球运动过程中不受阻力，②小球质量明显大于弹簧质量．第一种情景中不满足条件②.
2．(3分)简谐运动这种运动形式具有什么特征？
【答案】 简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具有往复性的特点．(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间它将重复原先的运动，它具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点．
3．(4分)如图1－4－2，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图1－4－2
(1)动能最大的位置在________．
(2)加速度为负向最大的位置在________．
【解析】 平衡位置是振动物体运动速度最大的位置，也即动能最大的位置，即图中O点；因加速度是矢量，做第(2)问要看准正方向，因正方向向右，所以加速度为负向最大的位置在A.
【答案】 (1)O (2)A
课
标导
思
1．知道什么是单摆．2．理解摆角很小时，单摆的振动是简谐运动．3．探究单摆的周期跟什么因素有关，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算.
学生P8
一、单摆
1．组成
(1)细线，(2)小球．
2．理想化要求
(1)质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略．
(2)线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略．
(3)力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用．
实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球和尽量细轻的线．
二、单摆的回复力
1．回复力的提供
摆球的重力沿圆弧方向的分力．
2．回复力的特点
在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
3．运动规律
单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
三、单摆振动周期的实验探究
1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法．
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球质量无关．
②振幅较小时周期与振幅无关．
③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是惠更斯首先提出的．
(2)公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比．
学生P9
一、透析单摆模型
1．运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力．
(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．
2．摆球的受力
(1)任意位置：如图1－4－3所示，G2＝Gcos
θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin
θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
图1－4－3
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为5°)，sin
θ≈θ＝，G1＝Gsin
θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－x＝－kx.因此，只有在摆角θ很小时，单摆才做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线．
二、单摆振动的周期
单摆的周期公式T＝2π是惠更斯从实验中总结出来的．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度越大，由于摆球的运动轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力．在有些振动系统中g不一定为9.8
m/s2，因此出现了等效重力加速度的问题．
1．公式中的g由单摆所在的空间位置决定．
由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度的变化而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8
m/s2.
2．g还由单摆系统的运动状态决定．
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a.再如，单摆若处于在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g′＝0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了．
3．g还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题．
三、等效单摆的探究
1．实际摆的等效摆长的求法
实际摆的摆球不可能是质点，对不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长．等效摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度．如图1－4－4所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，(a)、(b)中摆球做垂直纸面的小角度摆动，(c)中小球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，＝l/3，等效摆长分别为la＝lsin
α，lb＝l＋lsin
α，lc半个周期为l，另半个周期为，周期分别为Ta＝2π
，Tb＝2π
，Tc＝π＋π
.
图1－4－4
若摆球不可视为质点，摆球的直径为d，则la＝lsin
α＋，lb＝l＋lsin
α＋，lc的半个周期为l＋，另半个周期为l＋，周期分别为Ta＝2π
，Tb＝2π
，
Tc＝π
＋π
2．可等效为单摆的圆周运动
若物体在光滑的半径较大的圆周上做小幅度的圆周运动时，如图1－4－5所示，小球所受重力沿切线方向指向平衡位置的分力的大小为F＝Gsin
θ，在R 时，θ很小，θ≈sin
θ，F＝－·x＝－kx，符合简谐运动的动力学特征，因此可以将此运动等效为单摆的简谐运动，其等效单摆的周期公式T＝2π
.
图1－4－5
一、单摆周期公式的应用
两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为4∶1.若它们在同一地点做简谐运动，则它们的周期之比T甲∶T乙＝________.在甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为________．
【导析】 单摆的周期与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比．
【解析】 本题主要考查对单摆周期公式的理解．因两单摆在同一地点做简谐运动，g相同，由周期公式T＝2π
知T∝，因此周期之比为2∶1；甲完成10次全振动的时间t＝10T甲，乙在相同时间内完成的全振动次数．
n＝＝20.
【答案】 2∶1 20
处理单摆问题：一要充分理解单摆摆动的情景；二要充分理解周期公式中各量的意义、实质，方可准确应对灵活多变的单摆问题．如许多问题中的“等效摆长”、“等效重力加速度”等.
1．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图1－4－6为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为( )
图1－4－6
A．L/4
B．L/2
C．3L/4
D．条件不足，无法判断
【解析】 题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的，根据周期公式T＝2π
可得，左半部分单摆的摆长为，即小钉距悬点的距离为3L/4，故C选项正确．
【答案】 C
二、等效摆长问题
如图1－4－7所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R .甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问两球第1次到达C点的时间之比．
图1－4－7
【导析】 球在槽上的运动可看成简谐运动，到C点的时间为单摆周期的；甲球做自由落体运动．
【解析】 甲球做自由落体运动．R＝gt，所以t1＝.乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ<10°)此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此第1次到达C处的时间为t2＝T＝＝
，所以t1∶t2＝.
【答案】
对这类问题，首先确认符合单摆模型的条件，即沿圆弧运动、小角度摆动、回复力F＝－kx，然后确定等效摆长，最后利用公式T＝2π或简谐运动规律分析、求解.
2．如图1－4－8所示，
图1－4－8
光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球由多高处自由落下( R)．
【解析】 球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．因为 R，所以球自A点释放后做简谐运动，其周期为T＝2π，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等．
小球由A点由静止释放运动到O点的时间为(2n－1)，n＝1,2,3…，由于O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝(n＝1,2,3，…)
【答案】 (n＝1、2、3…)
三、等效重力加速度问题
如图1－4－9所示，带正电的小球与绝缘细线构成的单摆处在场强为E的竖直向下的匀强电场中，试求其做简谐运动的摆动周期．
图1－4－9
【导析】 求出等效的重力加速度，利用周期公式进行计算．
【解析】 摆球静止在平衡位置处细线的拉力为F＝mg＋qE
故等效重力加速度为g′＝＝g＋
周期T＝2π
＝2π
【答案】 2π
实际问题中，g不一定为9.8
m/s2，而要由单摆所处的位置和摆球的受力情况决定.
1．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量
B．缩短摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移至山顶
【解析】 根据单摆周期公式T＝2π
，周期与摆球质量和振幅无关，A、C错误；缩短摆长，周期变小，B错误；由山下移至山顶，g减小，T增大，D正确．
【答案】 D
2．关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线的方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，故选A.
【答案】 A
3．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )
A．增大摆球的质量
B．缩短摆长
C．减小摆动的角度
D．升高气温
【解析】 由单摆的周期公式T＝2π，可知周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关．当l增大时，周期增大；g增大时，周期减小；l减小时，周期减小，频率增大．所以选B.
【答案】 B
4．如图1－4－10所示，曲面AO是一段半径为2
m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长10
cm.现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别是t1和t2，那么( )
图1－4－10
A．v1B．v1>v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2
D．上述三种都有可能
【解析】 因＝10
cm，半径R＝2
m，故小球的运动可看作简谐运动，从而t1＝t2.设到达底端O时小球的速度为v，由机械能守恒定律得mgh＝mv2，故v＝
，依题意hA>hB，所以v1>v2.
【答案】 B第五节用单摆测定重力加速度
1．(3分)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
【解析】 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<10°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
【答案】 ABC
2．(3分)在探究单摆振动周期的实验中，操作上错误或不合理的有( )
A．取单摆的最大偏角大于5°
B．摆球摆动到最高点开始计时
C．防止摆球在水平面内做圆周运动或椭圆运动
D．测出的摆线长就是摆长
E．在平衡位置启动秒表，并开始计数，当摆球第30次经过平衡位置时制动秒表，若读数为t，则T＝
【解析】 回答此题应知道单摆做简谐运动的条件及全振动的含义．
A．单摆应保证偏角小于5°，做简谐运动．
B．应在通过最低点时开始计时，误差较小．
C．摆长应为摆线长加摆球半径．
D．如此计数，则T＝，应在摆球经过平衡位置时开始计时，在摆球下一次以相同方向通过平衡位置时，计数为1.
【答案】 ABDE
3．(4分)两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00
m，l2＝0.25
m的细绳上，两球重心等高，如图1－5－1所示．现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4
s两球相碰的次数为( )
图1－5－1
A．3次
B．4次
C．5次
D．6次
【解析】 先计算两球运动的周期，
T1＝2π
＝2
s，T2＝2π
＝1
s.
从B开始运动经，即0.25
s第一次相碰，并经，即1
s第二次相碰；再经，即0.5
s第三次相碰，可推证到第5次相碰共用时3.25
s，到第六次相碰共用时4.25
s，故C项正确．
【答案】 C
课
标
导
思
1．知道秒表，游标卡尺的使用方法及读数．2．了解用单摆测定重力加速度的实验目的，理解实验原理．3．掌握用单摆测定重力加速度的方法.
学生P11
一、实验目标
1．实验目的
学会用单摆测定当地的重力加速度的方法．
2．能力目标
掌握对测量出的摆长和周期进行数据处理的两种方法，并会进行误差分析．
二、实验原理
测出单摆的摆长l和周期T，代入g＝可以求出单摆所在地的重力加速度．
三、实验器材
小钢球、细绳、铁架台(带铁夹)、毫米刻度尺、游标卡尺、秒表等．
四、实验步骤
1．做单摆
(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记．
2．测摆长
用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l′＋，即为单摆的摆长．
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后由静止释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30次～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T.
4．算重力加速度
(1)应用公式g＝计算重力加速度的值．
(2)改变摆长，重复实验三次，计算重力加速度的平均值．
5．分析和比较
将测得的重力加速度的值和当地的重力加速度比较，分析产生误差的原因．
学生P11
一、实验的数据处理及误差分析
1．平均值法
每改变一次摆长，测量并记录一组数据，计算出一个g值，然后取平均值作为g的测量值．
2．图象法
即用横轴表示摆长l，用纵轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法．
(1)改变摆长测得数据填入下表
l/m
T/s
T2/s2
(2)根据上表数据在图1－5－2中拟合图线
图1－5－2
(3)求出图象的斜率k，即可求得g：g＝4π2/k＝4π2·Δl/ΔT2.
3．误差分析
产生原因
减小方法
系统误差
单摆模型本身是否符合要求
选择符合条件的球、线，保证小球在竖直平面内摆动
偶然误差
时间的测量不准
从摆球经过平衡位置时开始计时，不能漏计或多计全振动次数
【特别提醒】 由于Δl与小球半径r是否计入摆长无关，所以实验时，如果摆球的重心并不在球心或没有合适的工具测量r时，可以不测摆长，通过测摆长长度变化量来计算g值，这就可以免去对摆球重心位置的测定不准导致的误差.
二、实验中的注意事项
1．测周期的方法
(1)要从摆球过平衡位置时开始计时．
(2)要测多次全振动的时间来计算周期．
2．构成单摆的条件
细线的质量要小，弹性要小，球要选用体积小、密度大的小球，摆角不能超过5°.
3．要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
4．摆长是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径．为使摆长测量准确，减小误差，可以用刻度尺进行如图1－5－3所示的测量，l＝求得摆长．摆线上端要固定好，以免摆动过程中摆长发生变化．
图1－5－3
5．单摆悬线的上端不能随意地卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中且单摆的摆向与铁夹缝垂直，以免摆动时发生摆长改变及摆线下滑现象．
一、利用单摆测定重力加速度的实验问题分析
在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝____________.若已知摆球直径为2.00
cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图1－5－4(甲)所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图1－5－4(乙)中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________．
图1－5－4
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图1－5－5中用“·”表示的点，则
图1－5－5
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字)
【导析】 根据“用单摆测定重力加速度”的实验原理、操作过程、数据处理方法等进行分析、求解．
【解析】 由T＝2π
可知g＝，
由图可知：摆长l＝(88.50－1.00)
cm＝87.50
cm＝0.875
m，
秒表的读数t＝60
s＋15.2
s＝75.2
s；
所以T＝＝1.88
s.
(1)单摆做简谐运动的条件是θ≤5°.
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点，均匀分布在直线的两侧，则直线斜率k＝.
由g＝＝，
可得g＝9.6
m/s2.
【答案】 0.875 75.2 1.88
s
(1)摆角≤5° (2)图略 9.6
(1)在读数时，要注意有效数字问题，毫米刻度尺的有效数字在0.1
mm位，需估读，而秒表为0.1
s，不估读；(2)在作图象时，由于有测量误差，会造成并非所有的点都在一条直线上，作图时应让误差较大的点均匀分布在直线两侧，提高实验的准确性.
1．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )
A．由g＝看出，T一定时，g与l成正比
B．由g＝看出，l一定时，g与T2成反比
C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度
D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
【解析】 同一地区的重力加速度g为定值．
【答案】 C
二、创新实验设计
利用在高楼顶下垂的单摆、实验室用的刻度尺和秒表，如何测定当地的重力加速度？请你设计一种行之有效的方法，写出简要的实验步骤、实验原理及计算g值的公式．(注意：单摆的摆长无法直接测出)
【导析】 利用摆长变化引起周期变化列式求解．
【解析】 实验原理是利用单摆的周期公式T＝2π
.由于单摆的摆长无法直接测出，可以设计两组单摆，用刻度尺测出摆长的变化量，分别测出两组单摆的振动周期，利用公式列方程求解．
(1)先让下垂的单摆做简谐运动，测得周期T0.
(2)适当缩短摆长，用刻度尺测出缩短量Δl1.
(3)再测出缩短摆长后简谐运动的周期T1.
(4)重复(2)(3)步骤，测出缩短量Δl2、Δl3及它们所对应的周期T2、T3.
(5)利用公式g＝计算得g1、g2、g3，再求g的平均值．
【答案】 见解析
根据所学的知识及题目中所给的实验器材对实验进行创新、探究，是今后高考出题的热点，在平常的学习过程中要加强这种能力的培养.
2．有一单摆在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了(N－1)次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍？
【解析】 设时间为t，在地面上单摆的周期为T＝，在高山上，单摆的周期为T′＝.设地面处的重力加速度为g，高山上的重力加速度为g′，由单摆的周期公式可推得＝()2.设高山的高度为h，由万有引力定律得g＝G，g′＝G，所以＝.山高为h＝R，即山高为地球半径的倍．
【答案】
1．游标卡尺的主尺分度值为1
mm，游标上有20个小的等分刻度，用它测量一摆球的直径，如图1－5－6所示，该摆球的直径为________mm.
图1－5－6
【解析】 由图可知，游标尺上的零刻线在主尺上的23.00
mm与24.00
mm之间，因此其整数部分应读为23.00
mm.由题给条件知，此游标卡尺为20分度游标卡尺，因此游标卡尺的每一小格的数值与主尺分度值之差为1
mm÷20＝0.05
mm，从图中可知游标尺上的第17条刻线恰好与主尺上的40
mm刻线对齐，所以其小数部分应读为0.05×17＝0.85
mm，故该摆球的直径为23.00
mm＋0.85
mm＝23.85
mm.
【答案】 23.85
mm
2．如图1－5－7所示为一单摆振动50次所用的时间，则其读数为________．
图1－5－7
【解析】 根据秒表的读数方法，此题秒表读数为t＝t1＋t2＝1
min＋10.8
s＝1
min10.8
s或70.8
s.
【答案】 70.8
s
3．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，供选用的器材有：
A．带夹子的铁架台
B．带小孔的实心木球
C．带小孔的实心钢球
D．秒表
E．长约1
m的细线
F．长约10
cm的细线
G．毫米刻度的米尺
H．游标卡尺
I．螺旋测微器
J．天平
为使实验误差小，应选用________．
【解析】 根据单摆的理想化条件和实验操作过程可知，应选用A、C、D、E、G、H.
【答案】 ACDEGH
4．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如下表所示。若各组同学实验操作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确。若该组同学根据自已测得的实验数据作出单摆的振动图象，如图1－5－8所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m/s2.
图1－5－8
组制
摆球材料
最大偏角
摆长
测全振动次数
1
木
10°
0.40
m
10
2
铝
10°
0.50
m
20
3
铜
12°
0.60
m
30
4
铁
11°
0.80
m
40
5
铅
4°
0.80
m
50
【解析】 第5组同学的单摆摆长适当，偏角小于10°，振动次数较多，误差最小．T＝1.80
s，代入公式g＝，得g＝9.74
m/s2.
【答案】 第5组 9.74
m/s2
5．在用单摆测重力加速度实验中，某同学画的l－T2图象如图1－5－9，没过原点的原因是________．
图1－5－9
【解析】 此题考查了数学中一次函数的截距问题．由＝知l－T2应该过原点，而现在图线上有了负截距，说明l测小了．
【答案】 没有将摆球半径计入摆长第六节受迫振动 共振
1．(3分)关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看作是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
【解析】 该题考查简谐运动的概念．物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错．简谐运动是最简单的振动，B错．做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线，C错．若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定是做简谐运动，D对．
【答案】 D
2．(3分)关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
【解析】 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强，但振幅的大小与周期无关．
【答案】 A
3．(4分)如果存在摩擦和空气阻力，那么任何物体的机械振动严格地讲都不是简谐运动，在振动过程中振幅、周期和机械能将( )
A．振幅减小、周期减小、机械能减小
B．振幅减小、周期不变、机械能减小
C．振幅不变、周期减小、机械能减小
D．振幅不变、周期不变，机械能减小
【解析】 由于存在摩擦和空气阻力，那么物体在振动过程中机械能减小、振幅减小，但其周期为固有周期，只与本身性质有关，与振幅无关，即周期不变，所以选项B正确．
【答案】 B
课
标
导
思
1．知道什么是等幅振动和阻尼振动．2．知道什么是受迫振动，知道受迫振动的频率与驱动力频率的关系．3．知道共振及其发生的条件，了解共振的应用和防止的实例.
学生P13
一、受迫振动
1．等幅振动
简谐运动是实际振动的理想化模型，只要提供给振动系统一定的能量，使它开始振动，由于系统的机械能守恒，振子就以一定的振幅永不停止地振动下去．
2．阻尼振动
指振幅逐渐减小的振动．振动系统受到的阻力越大，振幅减小得越快．阻尼振动的图象如图1－6－1所示，振幅逐渐减小，最终停止振动．
图1－6－1
3．受迫振动
(1)持续振动的获得
实际的振动由于阻尼作用最终要停下来，要维持系统的持续振动，最简单的办法是使周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗．
(2)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力．
(3)受迫振动：系统在外界驱动力作用下的振动．
(4)受迫振动的频率：
做受迫振动的物体振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
二、共振
1．条件
驱动力的频率等于系统的固有频率．
2．特征
在无阻尼受迫振动中，共振时受迫振动的振幅最大．
3．共振曲线
如图1－6－2所示．
图1－6－2
三、共振的利用与防止
1．共振的利用
(1)特点：在利用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
(2)实例；转速计、共振筛．
2．共振的防止
(1)特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
(2)实例；部队过桥时用便步；火车过桥减速；轮船航行时，改变航向或航速．目的都是使驱动力的频率远离系统的固有频率.
学生P14
一、阻尼振动与简谐运动的比较
振动类型
比较项目
阻尼振动
简谐运动
产生条件
受到阻力作用
不受阻力作用
振幅
如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小
振幅不变
振动能量
有损失
保持不变
振动图象
实例
用锤敲锣，由于锣的振动，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，振幅越来越小，属阻尼振动
弹簧振子的振动
二、受迫振动的特点
1．受迫振动的周期和频率由驱动力决定，与振动物体的固有周期和频率无关．受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率．
2．受迫振动的振幅与驱动力的频率和固有频率的差有关，驱动力的频率与固有频率的差越大，受迫振动的振幅越小；驱动力的频率与固有频率的差越小，受迫振动的振幅越大，当驱动力的频率与固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
三、共振现象的理解
1．共振条件
当驱动力的频率等于物体的固有频率时，做受迫振动的物体振幅达到最大．
如图1－6－3所示的演示实验中．
图1－6－3
A球振动时的频率与绷紧的ab绳的频率相等，ab绳对B、C、D各球悬绳的驱动力使B、C、D各球振动起来，由于B、A的两球固有频率相等(摆长相等)，所以在ab绳周期性的驱动力作用下，B球振幅最大，发生了共振．
2．从受力角度来看
振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大．
3．从功能关系来看
驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力每次都对物体做正功，都用来增大振动系统的能量，所以振幅越来越大．正像荡秋千时，若每次驱动力都与振动物体的速度方向一致，即驱动力与振动“合拍”，才会使秋千越荡越高．
4．共振曲线的意义
图1－6－4
如图1－6－4所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动物体的振幅．
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
四、自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受周期性驱动力作用
受周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
一、对阻尼振动的理解
如图1－6－5所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是( )
图1－6－5
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【导析】 根据阻尼振动中能量的转化及能量大小的决定因素进行分析．
【解析】 该题考查阻尼振动的图象以及能量的转化及关系．在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动能逐渐转化为内能，C错，D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等．A错B对．
【答案】 BD
机械能E等于动能Ek和势能Ep之和．即E＝Ek＋Ep，阻尼振动中，E减小，但动能和势能相互转化．当Ep相等时，Ek不相等．而从振动图象上，可以确定Ep的关系.
1．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
【解析】 该题考查阻尼振动的能量和周期．因单摆做阻尼振动，所以振幅越来越小，机械能越来越小．振动周期不变，只是比单摆的固有周期大．
【答案】 BD
二、受迫振动与共振的分析
如图1－6－6所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．问：
图1－6－6
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10
s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4
r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？为什么？
【导析】 根据受迫振动的特点和规律进行分析求解．
【解析】 (1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝＝s＝0.5
s，f固＝＝Hz＝2
Hz.由于摩擦力和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)由于把手转动的转速为4
r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4
Hz，周期T驱＝0.25
s，故振子做受迫振动．振动达稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关．即f＝f驱＝4
Hz，T＝T驱＝0.25
s.
(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2
Hz，故把手的转速应为n＝2
r/s.
利用受迫振动的特点，共振的条件分析求解．
【答案】 见解析
解决这类问题关键是区分物体的固有频率、驱动力的频率和振动物体的频率．因此在题目中要找准驱动力．当物体做受迫振动时，其振动频率就等于驱动力的频率．当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，此振动物体振动的振幅最大.
2．一台洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大．
②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小．
③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率．
④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率．
A．① B．② C．①④ D．②④
【解析】 洗衣机切断电源后，波轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时波轮的频率与洗衣机的固有频率相同，发生了共振，此后波轮转速减慢，则f驱【答案】 C
三、共振的应用与防止
如图1－6－7所示，把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上有一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15
s，在某电压下，电动偏心轮转速是36
r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的( )
图1－6－7
A．提高输入电压
B．降低输入电压
C．增加筛子质量
D．减小筛子质量
【导析】 利用共振发生的条件分析、判断．
【解析】 在题设条件下，筛子振动固有周期T固＝
s＝1.5
s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝
s＝1.67
s．要使筛子振幅增大，就是使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大．故选A、C.
【答案】 AC
现实生活中有很多利用共振现象的实例，解决这类问题的关键就是分析驱动力的频率，利用f驱＝f固进行分析、计算.
1．下列说法正确的是( )
A．当f驱接近f固时，驱动力作为动力的次数多
B．当f驱＝f固时，驱动力始终是动力
C．当f驱＝f固时，受迫振动的振幅始终增大
D．不论f驱与f固相差多少，驱动力始终是动力
【解析】 物体做受迫振动时，驱动力可能在某段时间内对物体做正功，也可能做负功．当驱动力频率接近固有频率时，做正功的次数多．若f驱＝f固，驱动力一直做正功，但振幅不一定一直增大，当补充的能量等于转化成其他形式的能量时，振幅达到稳定状态．
【答案】 AB
2．下列说法正确的是( )
A．只有受迫振动才能发生共振现象
B．一切振动都能发生共振现象
C．只要振动受到阻力，它一定做阻尼振动
D．若振动受到阻力，它也可能做无阻尼振动
【解析】 发生共振的条件是f固＝f驱，所以A对B错．无阻尼振动是振幅不变的振动．当受阻力时，若外界补充能量，则也可能做无阻尼振动．
【答案】 AD
3．一列队伍过桥时，不能齐步走，这是为了( )
A．减小对桥的压力
B．使桥受力均匀
C．减小对桥的冲力
D．避免使桥发生共振
【解析】 不能齐步走，是为了防止发生共振．
【答案】 D
4．如图1－6－9所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是( )
1－6－9
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变
D．m摆的振幅可能超过M摆的振幅
【解析】 M摆动时，m摆做受迫振动，稳定后，m摆振动周期应等于驱动力的周期，即等于M摆的周期，故选项A正确．当m摆长与M摆长相等时，两者的固有周期相等，而M摆的固有周期就是使m做受迫振动的驱动力周期，可见m摆处于共振状态，选项B正确．M摆长发生变化，就是使m做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于m的固有周期不变，这样两个周期差别就发生了变化，因而m的振幅也发生了变化．选项C错误．单摆振动的能量不仅与振幅有关，还跟振动系统的质量有关．如果M的质量比m的大得多，从M向m传递的能量有可能使m的振幅大于M的振幅．选项D正确．综上所述，正确答案是A、B、D项．
【答案】 ABD第三节简谐运动的公式描述
1．(3分)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是( )
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
【解析】 振幅是振子振动过程中离开平衡位置的最大距离，是个标量，A错；周期和频率互为倒数，即T＝，故T·f＝1，B正确；振动周期或频率只与振动装置本身有关，与振幅无关，所以C错，而D正确．
【答案】 BD
2．(3分)弹簧振子在AOB之间做简谐运动，如图1－3－1所示，O为平衡位置，测得AB间距为8
cm，完成30次全振动所用时间为60
s．则( )
图1－3－1
A．振动周期是2
s，振幅是8
cm
B．振动频率是2
Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16
cm
D．振子过O点时计时，3
s内通过的路程为24
cm
【解析】 根据周期和振幅的定义可得T＝
s＝2
s，A＝
cm＝4
cm，故A错；频率f＝＝
Hz＝0.5
Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4
cm＝16
cm，故C正确；振子在3
s内通过的路程为×4A＝×4×4
cm＝24
cm，D正确．
【答案】 CD
3．(4分)如图1－3－2所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k.开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处，此时拉力大小为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这个过程中振子的平均速度为( )
图1－3－2
A．0
B.
C.
D．Fkt
【解析】 振子在由A到O的运动过程中做加速度越来越小的加速运动，并非匀变速运动，设A到O的位移大小为x，由胡克定律可得x＝，又由平均速度＝得＝.故正确答案为C.
【答案】 C
课
标
导
思
1.了解简谐运动的公式描述中各量的名称及意义，知道相位对做简谐运动的振子在某一时刻的运动状态的描述．2．学会用简谐运动的公式对简谐运动进行分析和计算，并与振动图象加以对比.
学生P6
一、简谐运动的公式
描述简谐运动的公式可用来描述，其中
1．A表示简谐运动的振幅．
2．ω是一个与振动频率成正比的量，叫做圆频率(或角频率)，与周期、频率的关系是ω＝＝2πf.
3．ωt＋φ叫做简谐运动在t时刻的相位，用以描述做简谐运动的振子在某一时刻的运动状态．其中φ表示t＝0(开始计时)时的相位，叫做初相．
二、相位差
对于频率相同、振幅相等、相位不同的振子，相位的差值叫做相位差，表示为Δφ＝φ1－φ2，振动相差的时间为Δt＝
T.
学生P6
一、简谐运动的两种描述
做简谐运动质点的位移随时间的变化规律，除用图象(x－t图象)描述外，还可以用函数关系x＝Acos(ωt＋φ)来展示．图象描述形象、直观，而公式描述则严密、准确．
二、对简谐运动的公式描述中各物理量的解读
1．振幅A与位移x
振动中的位移是矢量，有某时刻的位移和某段时间内的位移之分．在数值上，振幅与位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期变化．
2．振幅与路程
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．路程与振幅之间常用的定量关系是：一个周期内的路程为振幅的4倍，半个周期内的路程为振幅的2倍．
【特别提醒】 周期内的路程与振幅之间没有确定的关系.若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于1倍的振幅；若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，可能大于、等于，也可能小于1倍振幅.
3．振幅与周期
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．振幅越大，振动过程中速度变化越快，平均速度越大，但周期为定值．
4．相位和相位差
(1)相位、初相位：为了准确描述振动物体所处的状态和为了比较两振动的步调，引入物理量“相位”．相位是用来描述做周期性运动的物体在各个时刻的不同状态．公式x＝Acos(ωt＋φ)＝Acos(t＋φ)中(ωt＋φ)称为相位，φ表示初相．
【深化探究】 A．位移x随时间的变化完全由相位(ωt＋φ)决定．当相位每增加2π时，振子完成一次全振动，相位变化α，需要T的时间．
B．相位代表做简谐运动的物体此时正处于一个周期中哪个运动状态．
(2)相位差
它是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．
设两简谐运动A和B的振动方程分别为：
x1＝A1
cos(ωt＋φ1)，x2＝A2cos(ωt＋φ2)，
它们的相位差为Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)
＝φ2－φ1.
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．
若Δφ＝φ2－φ1>0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ＝φ2－φ1<0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|.
①同相：相位差为零，一般表示为Δφ＝2πn(n＝0,1,2…)．
②反相：相位差为π，一般表示为Δφ＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)．
注意：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程．
一、简谐运动的表达式的应用
物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋)m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋)m.比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6
m，B的振幅是10
m
B．周期是标量，A、B周期相等为100
s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
【导析】 根据简谐运动的公式描述中各量的物理意义进行分析．
【解析】 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6
m、10
m，但振幅分别为3
m、5
m，A错．A、B振动的周期T＝＝
s＝6.28×10－2
s，B错；因TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA0－φB0＝为定值，D对．故选C、D.
【答案】 CD
应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先要明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝2π/ω，f＝；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系.
1．有一个弹簧振子，振幅为0.8
cm，周期为0.5
s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋)m
B．x＝8×10－3sin(4πt－)m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋)m
D．x＝8×10－3sin(t＋)m
【解析】 A＝8×10－3m，T＝0.5
s，ω＝＝4π
rad/s
初时刻具有负方向的最大加速度，此时位移：x＝A，
由正弦函数规律可知此时相位为：
(ωt＋φ)＝(2kπ＋)，k＝0,1,2,3，…，N
则弹簧振子的振动方程为：
x＝8×10－3sin(4πt＋)m.
【答案】 A
二、简谐运动的公式描述与图象的相互转化
如图1－3－3所示，A、B是两个简谐运动的位移－时间图象．根据图象求出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系．
图1－3－3
【导析】 根据题中所给的图象读出振幅、周期，计算出圆频率，分析判断出初相，即可写出表达式．
【解析】 由图象可知下列信息：A说明振动的质点从平衡位置沿正方向已经振动了1/2周期，周期T＝0.5
s，φ＝π，振幅A＝0.5
cm，ω＝＝4π
rad/s则简谐运动的表达式：x＝0.5sin(4πt＋π)
cm.B说明振动的质点从平衡位置沿正方向已经振动了1/4周期；T＝1.0
s，φ＝π，振幅A＝0.2
cm，ω＝＝2π
rad/s，则简谐运动的表达式：
x＝0.2sin(2πt＋π)cm或x＝0.2cos
2πt
cm.
【答案】 见解析
简谐运动的表达式为x＝Acos(ωt＋φ)或x＝Asin(ωt＋φ)．要由图象写出表达式，首先要清楚振幅A，角速度ω和初相φ，同理要由表达式画出图象，也要先清楚上述各量，才能在坐标系中画出图象.
2．某质点的振动方程为x＝5sin(2.5πt＋)
cm，画出该质点的振动图象．
【解析】 该题考查的是根据振动方程画图象．由题意知，振幅A＝5
cm，周期T＝＝＝0.8
s．当t＝0时，x＝5
cm，由此可作出图象．
【答案】 见图
三、相位和相位差问题
如图1－3－4所示A、B为两弹簧振子的振动图象，求它们的相位差．
图1－3－4
【导析】 由图所给的信息，写出简谐运动的表达式，然后根据相位差的定义求解．
【解析】 由图可知两简谐运动的频率相同．
t＝0时，
对A振动xA＝0，
对B振动xB＝－A
t＝＝0.1
s时，
对A振动xA＝A，
对B振动xB＝0
故A、B做简谐运动的表达式分别为
xA＝Acos(5πt＋π)，xB＝Acos(5πt＋π)
两振动的相位差为Δφ＝φA－φB＝π－π＝.
【答案】
在由图象确定初相时不能只看一个时刻的位移，应通过两个或两个以上的位置验证，因为质点通过平衡位置时速度可能向上，也可能向下，同时还要注意考虑运动方程的多解性.
1．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8
cm，频率为0.5
Hz，在t＝0时，位移是4
cm，且向x轴负方向运动，则该简谐运动的公式描述为( )
A．x＝8sin(πt＋π)
m
B．x＝0.08sin(πt＋π)
m
C．x＝0.08cos(πt＋)
m
D．x＝8cos(πt＋)
m
【解析】 简谐运动的公式描述为x＝Acos(ωt＋φ)．根据题给条件：A＝0.08，ω＝2
πf＝π
rad/s，所以x＝0.08cos(π＋φ)
m．将t＝0时x＝0.04
m代入方程，即0.04＝0.08cosφ，解得初相φ＝或φ＝.因t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，故所求的公式描述为x＝0.08cos(πt＋)
m，写成正弦函数形式即为x＝0.08sin(πt＋π)
m.
【答案】 BC
2．有两个振动，其表达式分别是：x1＝3sin(100πt＋)cm，x2＝6sin(100πt＋)cm，下列说法正确的是( )
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
【解析】 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为3
cm和6
cm，选项A错误；角速度ω＝100π
rad/s相同，周期T＝也相同，选项B正确；相位差Δφ＝－＝，为定值，故相位差恒定，选项C正确，D错误．
【答案】 BC
3．如图1－3－5所示为两简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
图1－3－5
A．A、B之间的相位差是
B．A、B之间的相位差是π
C．B比A超前
D．A比B超前
【解析】 t＝0时，A到达平衡位置时，B再经过才达到平衡位置，故A比B超前，相位差为Δφ＝，选项A、D正确．
【答案】 AD
4．描述简谐运动特征的公式是x＝________.自由下落的篮球经地面反弹后上升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能量损失，此运动________(填“是”或“不是”)简谐运动．
【解析】 简谐运动方程x＝Asin
ωt.篮球的受力是重力，大小方向不变，不满足简谐运动的力学特征F＝－kx，所以篮球的运动不是简谐运动．
【答案】 Asin
ωt 不是
