4．1 空间图形基本关系的认识
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法错误的是( )
A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内
B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行
C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行
D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交
答案：C
2．如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( )
A．l α
B．l α
C．l∩α＝A
D．l∩α＝B
答案：A
解析：∵l∩a＝A又a α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l α.
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
答案：D
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.
4．下面空间图形画法错误的是( )
A B
C D
答案：D
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．
5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案：C
解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．
6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
答案：D
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．
答案：A∈l AB β α∩β＝l
8．设平面α与平面β相交于直线l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．
答案：M∈l
解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
答案：②
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．
解：答案如图所示，
11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
12.如图，已知P 平面ABC，PA≠PB，CM是AB上的中线，PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．
解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：
(1)若M、N重合，可得AN＝BN，
∴PN是线段AB的中垂线，
∴PA＝PB，与题设PA≠PB矛盾．
(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P 平面ABC矛盾．
所以CM和PN是异面直线．
证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM 平面ABC.
又∵PN⊥AB于N，
∴N∈平面ABC.
∵PA≠PB，∴AN≠BN.
∴N与M不重合，即N CM.
又∵P 平面ABC，∴CM和PN是异面直线．3．2 由三视图还原实物图
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是( )
A．正方体
B．长方体
C．三棱锥
D．圆
答案：C
解析：由三视图的知识，可知答案为C.
2．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为( )
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②
B．①③②
C．①②③
D．④②③
答案：A
解析：由于甲中的俯视图是圆，则甲对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩形，所以该几何体是圆柱；易知乙对应的几何体是三棱锥；由丙中的俯视图，可知丙对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，所以该几何体是圆锥．
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
图1
A
B
C
D
答案：D
解析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C，都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )
A
B
C
D
答案：D
解析：本题考查三视图，可用排除法或特例求答．由正视图知A、B不正确，又由俯视图知C不正确，选D.本题的几何体也可看成是一个圆锥的一半与一个三棱锥的组合体．
5．如图是一个物体的三视图，则该物体对应的直观图为( )
答案：C
解析：从俯视图看，A，C，D均符合，再结合主视图看，只有C符合．故选C.
6．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图 ②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图 ③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
答案：A
解析：主要考查三视图知识．这一知识点近几年都有考查．
①正确，比如一个平放的两底面是等腰直角三角形的直三棱柱．②显然正确，③中可以是一个平放的圆柱．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．正视图为一个三角形的几何体可以是________(写出三种)．
答案：三棱锥、三棱柱、圆锥
解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．
8．如图所示为一个简单组合体的主视图和左视图，则该几何体可能是________(填序号)．
答案：①
解析：由主视图中左下角至右上角有一实对角线，可知所给的几何体中只有①符合，又根据左视图知①符合，所以选①.
9．给出下列命题：
①如果一个几何体的三个视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三个视图都是矩形，则这个几何体是长方体：④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中正确的是______．(将正确的全都写在横线上)
答案：③
解析：对于①由于球的三个视图也是完全相同的，故①不对；对于④，主视图与左视图都是等腰梯形的除圆台之外，还有棱台，故④不对；对于②，当圆柱倒置时，如图，其主视图与俯视图均为矩形，故②不正确．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．根据图中的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
解：由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由上面一个正四棱台和下面一个正方体组合而成的，它的实物草图如图所示．
11．某建筑由相同的若干房间组成，该楼房的三视图如图所示，问：
(1)该楼房有几层？从前往后最多要经过几个房间？
(2)最高一层的房间在什么位置？请画出此楼房的大致形状．
解：(1)由主视图和左视图可以知道，该楼房有3层；由俯视图知道，从前往后最多要经过3个房间；
(2)从主视图和左视图可以知道，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间．楼房大致形状如图所示．
12．如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图：(不写作法)
(2)求这个几何体的高．
解：(1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个正四棱锥．
它的底面边长为2，高在主视图(或左视图)中可求，高h＝2sin60°＝
.6．2 垂直关系的性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．垂直
答案：A
解析：因为直线l⊥AB，l⊥AC，所以直线l⊥平面ABC，同理直线m⊥平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
2．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5
B．5
C．5
D．20
答案：C
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．
又△ABC为直角三角形，
∴O为斜边BA的中点．
在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴PO＝
＝5
.
3．已知平面α⊥β，直线l?α，直线m?β，若l⊥m，则l与β的位置关系是( )
A．l⊥β
B．l∥β
C．l?β
D．以上都有可能
答案：D
解析：若l垂直于两平面的交线，则l⊥β；若l平行两平面的交线，m垂直两平面的交线，则l∥β；若l就是两平面的交线，m垂直两平面的交线，则l?β.故这三种情况都有可能．
4．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A．3
B．5
C．6
D．8
答案：D
解析：由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.
5．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案：D
解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l⊥γ.故命
题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l?α，l?β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.
6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案：A
解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__________．
答案：菱形
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，所以AC⊥BD.
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
答案：5
解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
答案：①②④
解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
证明：∵PA＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴PA＝CA.
又F为PC的中点，∴AF⊥PC.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.
∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.
又AF⊥PC，AF∩EF＝F，
∴PC⊥平面AEF.
11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
证明：
(1)取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，
所以DM＝1，DM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又DM?平面BCD，AE 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.
因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.
12.如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ，(0<λ<1)．
求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
证明：∵AB
⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.又EF 平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.1．1 简单旋转体
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示，其中为圆柱体的是( )
答案：C
解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.
2．下列几何体中，轴截面是圆面的是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
答案：C
解析：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，故选C.
3．给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的．
4．给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行．其中不正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：根据圆柱的形成过程知①说法正确；圆柱的任意两条母线均是平行的，②④说法也正确；只有当连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段平行于旋转轴时，才是母线，所以③说法错误．
5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
A
B
C
D
答案：B
解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
6．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
答案：D
解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④由母线的定义知正确．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是__________．
答案：圆台
解析：等腰梯形的对称轴为两底中点的连线，此线把等腰梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．
8．矩形ABCD(不是正方体)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是__________．
答案：2
解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．
9．过长方体一个顶点的三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的半径为________．
答案：
解析：设长方体的对角线长为l，球的半径为R，则l＝2R.
∴4R2＝l2＝32＋42＋52＝50 R＝.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示的直角梯形ABCD，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转一周形成一个几何体，试说明该几何体的结构特征．
解：如图所示，过A，B分别作AO1⊥l，BO2⊥l，垂足分别为O1，O2，
则Rt△CO2B绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的几何体是圆台，Rt△DO1A绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥．
综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．
11．已知一个圆锥的母线长为10
cm，母线与轴的夹角为60°，求该圆锥的高．
解：如图为圆锥的一个轴截面，其中母线PA＝10
cm，圆锥的高为PO，∠APO＝60°，
在Rt△AOP中，PO＝AP×cos60°＝10×＝5(cm)．
所以圆锥的高为5
cm.
12．圆台的两底面半径分别为5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台的两母线截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是3cm和6cm，求截面面积．
解：
如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1，OO1为圆台的高，取AB、A1B1的中点C、C1，则OC＝6cm，O1C1＝3cm.
∴AB＝2
＝16(cm)，
A1B1＝2
＝8(cm)，
CC1＝
＝＝(cm)．
∴S截＝(AB＋A1B1)CC1＝×(16＋8)×＝12
(cm2)．5．2 平行关系的性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
答案：A
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH.
2．设平面α∥β，直线a?α，直线b?β，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
答案：C
解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE?EA＝BF?FC，且DH?HA＝DG?GC
D．AE?EB＝AH?HD，且BF?FC＝DG?GC
答案：D
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
答案：A
解析：当直线a?平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
答案：D
解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为( )
A．16和12
B．15和13
C．17和11
D．18和10
答案：B
解析：
如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
答案：20
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
8．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边上的点，且它们共面，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH为菱形时，AE?EB＝________.
答案：m∶n
解析：因为AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC?平面ABC，所以EF∥AC，所以＝ ①.同理可证＝ ②.又四边形EFGH是菱形，所以EF＝EH，由①②，得＝.又AC＝m，BD＝n，所以＝.
9．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
解析：如图，连接FH，HN，FN，由平面HNF∥平面B1BDD1，知当点M在线段FH上时，有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EF.求证：BB1∥EF.
证明：∵CC1∥BB1，CC1 平面BEFB1，BB1?平面BEFB1，
∴CC1∥平面BEFB1.
又CC1?平面CC1D1D，平面CC1D1D∩BEFB1＝EF，
∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.
11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.
(1)证明：四边形ABED是正方形；
(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，
平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.
同理AD∥BE.
所以四边形ABED为平行四边形．
又AB⊥AD，AB＝AD，
所以四边形ABED是正方形．
(2)如图，取DG的中点P，连接PA，PF.
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.
又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.
所以四边形ABFP为平行四边形，
所以AP∥BF.
在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.
故B，C，F，G四点共面．
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝
，MN＝2
，
∴A1H＝
.
∴S△A1MN＝×2
×
＝
.
故S A1MCN＝2S△A1MN＝2
.7．3 球的表面积和体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )
A．8π B．6π C．4π D．π
答案：C
解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.
2．已知两个球的半径之比为1?3，那么这两个球的表面积之比为( )
A．1?9
B．1?27
C．1?3
D．1?1
答案：A
解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，∵r1∶r2＝1∶3，∴S1∶S2＝4πr∶4πr＝r∶r＝1∶9.故选A.
3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )
A．V正方体＝V圆柱＝V球
B．V正方体C．V正方体>V圆柱>V球
D．V圆柱>V正方体>V球
答案：B
解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a，R，r，则S正方体＝6a2，S球＝4πR2，S圆柱＝6πr2，由题意，知S正方体＝S球＝S圆柱，所以a＝r，R＝r，所以V正方体＝a3＝πr3，V球＝πR3＝πr3，V圆柱＝2πr3，显然可知V正方体4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：C
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r，则r＝＝，所以该球的表面积为4πr2＝π.
5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )
A．1：1
B．2：1
C．3：2
D．4：3
答案：C
解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r，则圆柱的底面圆半径为r，圆柱的高为2r，于是圆柱的全面积为S1＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，球的表面积为S2＝4πr2.
∵＝＝.
6．球O的截面把垂直于截面的直径分成1?3两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为( )
A．16π
B.
C.
D．4
π
答案：C
解析：设直径被分成的两部分分别为r、3r，易知()2＝r·3r，得r＝1，则球O的半径R＝2，故V＝π·R3＝π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．
答案：100π
解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.
8．把直径分别为6
cm,8
cm,10
cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.
答案：6
解析：设大铁球的半径为R
cm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6.
9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为__________．
答案：9π
解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得解得所以球的半径R＝＝.所以S球＝4πR2＝9π.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB将扇形分成两部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比．
解：△ABO旋转成圆锥，扇形ABO旋转成半球，设OB＝R.V半球＝πR3，V锥＝·R·R2＝R3，
∴(V半球－V锥)?V锥＝1?1.
11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10
cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．
解：设圆锥的底面半径为r，高为h.
∵2πr＝π·10，∴r＝2.
h＝＝4
.
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝＋2π·22＝28π(cm2)．
体积V＝π·22×4
＋π·23＝(＋1)π(cm3)．
12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，
因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.
(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，
则外接球的半径r＝＝3，
因此外接球的体积V＝πr3＝×27π＝36π，
所以该几何体的外接球的体积是36π.7．1 简单几何体的侧面积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS
D.πS
答案：A
解析：设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，r＝.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S侧＝2＝4πS.
2．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
答案：C
解析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
A．48(3＋)
B．48(3＋2)
C．24(＋)
D．144
答案：A
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4
，则该正方体的棱长为( )
A.
B．2
C．4
D．2
答案：A
解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4
，可得a2＝2，即a＝.
5．如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：B
解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为＝，故所求的体积为V＝××π×12×＝π.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋2π
B．12＋π
C．38＋2π
D．38＋π
答案：C
解析：根据三视图可知此几何体的上部分是一个圆柱体，下部分是一个长方体，其表面积为S＝2π×1×1＋2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38＋2π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面积与侧面积的比是________．
答案：1∶2
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为2r，侧面展开图的弧长为2πr，所以圆锥的底面积与侧面积的比为πr2∶＝1∶2.
8．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，则该三棱锥的表面积为________．
答案：9＋6
解析：易知底面正三角形的中心到一边的距离为××2＝，则正三棱锥侧面的斜高为＝，所以S侧＝3××2×＝9，所以S表＝S侧＋S底＝9＋×(2)2＝9＋6.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
答案：64＋32
解析：
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，SA＝AB＝BC＝4，则SB＝4，AC＝4，则该几何体的表面积S＝4×8＋×4×(8＋4)＋×4×(8＋4)＋×4×4＋×4×4＝64＋32.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，过圆锥高的两个三等分点分别作平行于底面的截面，两个截面将圆锥的侧面分成三部分，求这三部分的面积之比．
解：设圆锥的底面半径为r，由下而上两个截面圆的半径分别为r1，r2，相应两个圆锥VO1与VO2的母线长分别为l1与l2，
则圆锥VO2、圆锥VO1、圆锥VO的侧面积之比为πr2l2∶πr1l1∶πrl＝r2l2∶r1l1∶rl＝VO∶VO∶VO2＝1∶4∶9.
所以两个截面将圆锥的侧面分成的三部分由上而下的面积之比为1∶3∶5.
11．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．
解：
因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
12．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大．
解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)，设所求的圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πrx.
∵＝，(由相似三角形可知)
∴r＝R－·x，
∴S圆柱侧＝2πRx－·x2.
(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高是x＝－＝，
当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．1．2 简单多面体
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在下列立体图形中，有5个面的是( )
A．四棱锥
B．五棱锥
C．四棱柱
D．五棱柱
答案：A
解析：柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．
2．下列说法错误的是( )
A．多面体是由若干个平面多边形围成的几何体
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
答案：D
解析：根据多面体的概念知A说法正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱的条数、侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B说法正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C说法正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D说法错误．
3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体
D．不确定
答案：A
解析：水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．
4．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥的高等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案：B
解析：如图所示，正三棱锥P－ABC中，OP⊥面ABC，
∴点O为正三角形ABC的中心，连接OA，利用平面几何知识知正△ABC的高(中线长)等于，而OA是中线长的，所以OA＝.
在Rt△PAO中AP＝，OA＝，OA⊥OP，得OP＝.
5．正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，那么它的中截面面积为( )
A．2cm2
B．16cm2
C．25cm2
D．4cm2
答案：B
解析：如图所示，取A′A、B′B的中点分别为E、F，∴EF＝(3＋5)＝4(cm)．
∴S截＝42＝16(cm2)．
6．在侧棱长为2
的正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝20°，E、F分别是PB、PC上的点，过点A、E、F作截面AEF，则△AEF周长的最小值是( )
A．6
B．2
C．36
D．6
答案：B
解析：将正三棱锥侧面沿PA展开，转化为平面内问题解决．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．
答案：四棱锥
解析：剩余部分是四棱锥A′—BB′C′C.
8．已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2
，则它的斜高为________．
答案：2
解析：由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2
，故斜高h′＝
＝2
.
9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是______________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
答案：②④
解析：还原成正方体考虑．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)正方体ABCD－A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？
(2)如图，平面BCEF将正方体ABCD－A1B1C1D1分成两部分后，各部分形成的几何体还是直棱柱吗？
解：(1)由于侧棱垂直于底面，所以正方体是直棱柱．又底面是正方形，所以正方体是正棱柱．
(2)被平面BCEF截成的两部分都是直棱柱，分别是直四棱柱ABFA1－DCED1、直三棱柱BB1F－CC1E.
11．如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12
cm，对角线AC1＝20
cm，BD1＝15
cm，求底面菱形的面积．
解：连接AC，BD.因为棱柱的底面为菱形，则AC⊥BD.
由直棱柱的定义，知CC1⊥AC，DD1⊥BD，
所以AC2＝AC－CC＝202－122＝256，即AC＝16
cm，
BD2＝BD－DD＝152－122＝81，即BD＝9
cm，
所以底面菱形的面积为
·AC·BD＝×16×9＝72(cm2)．
12．如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值．
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，其中∠AVA1＝120°，VA＝VA1＝2，
则线段AA1的长为所求截面三角形AEF周长的最小值．
取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，
可求得AD＝3，则AA1＝6.
所以截面三角形AEF周长的最小值为6.5．1 平行关系的判定
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．
2．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
答案：D
解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
答案：A
解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．
4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个
B．1个
C．无数个
D．以上都有可能
答案：D
解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
答案：D
解析：在AA1上取一点G，使得AG＝AA1，连接EG，DG，可证得EG∥D1F，所以E，G，D1，F四点共面，所以在平面ADD1A1内，平行于D1G的直线均平行于平面D1EF，这样的直线有无数条．
6．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE?EB＝AF?FD＝1?4，H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
答案：B
解析：由题意，知EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
答案：相交或平行
解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是________．
答案：平面A1C1B和平面A1C1D
解析：如图所示截面一定过A1，C1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A1C1B和平面A1C1D.
9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
答案：12
解析：
如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证：MN∥平面OCD.
证明：如图，取OD的中点E，连接ME，CE.
∵M为OA的中点，N为BC的中点，
∴ME綊AD綊NC，∴四边形MNCE为平行四边形，
∴MN∥EC.
又MN 平面OCD，EC?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
11．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．
求证：平面AFH∥平面PCE.
证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.
又FH 平面PCE，PC?平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE.
又AF 平面PCE，CE?平面PCE，所以AF∥平面PCE.
又FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
12.
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当为何值时，BC1∥平面AB1D1
解：当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )
A．1：3
B．1：6
C．1：8
D．1：4
答案：B
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则V三棱锥＝(ab)c＝.
又V长方体＝abc.故选B.
2．正四棱锥的侧棱长为2
，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
A．3
B．6
C．9
D．18
答案：B
解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2
，则在Rt△POC中，PO＝3，OC＝，AC＝2
，AB＝＝，∴V锥＝×××3＝6，故选B.
3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26
B．28
C．30
D．32
答案：B
解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
答案：C
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝×π×32×＋π×32×5＝57π.故选C.
5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由题意知2πr＝c，所以r＝.又因为ch＝S，所以h＝.所以V＝πr2h＝π()2·＝，故选D.
6.
在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V旋＝V大－V小＝π()2×2.5－π()2×1＝π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案：4
解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为×6×2＝4.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．
答案：54
解析：由题意知r?R＝1?3，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－52)?V＝1?27，解出V＝54.
9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________．
答案：V正方体＜V圆柱
解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a2＝2πra，即r＝.
∴V正方体＝a3，V圆柱＝πr2a＝a3.
∵4＞π＞0，
∴V正方体＜V圆柱．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．
解：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝××2××3＝.
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，
则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.
12.
如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．
解：因为VA1－ABC＝S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需三角形ABC的面积最大．
记AB边上的高为CD，则S△ABC＝·AB·CD＝CD.
显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝×CD×AA1≤×1×2＝.
故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为.2 直观图
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．水平放置的梯形的直观图是( )
A．梯形
B．矩形
C．三角形
D．任意四边形
答案：A
解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.
2．利用斜二测画法可以得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是正方形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是( )
A．①②
B．①
C．③④
D．①②③④
答案：A
解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．
3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
答案：A
解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2.
4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )
A．16
B．64
C．16或64
D．以上都不对
答案：C
解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y′轴，则正方形的边长为8，面积是64.
5．若用斜二测画法把一个高为10
cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则该圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且长度为10
cm
B．平行于z′轴且长度为5
cm
C．与z′轴成45°且长度为10
cm
D．与z′轴成45°且长度为5
cm
答案：A
解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.
6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( )
A.
B.
C．2＋
D．1＋
答案：C
解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为＋1，高为2，所以其面积为2＋.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．
答案：
解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.
8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为________．
答案：
解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为＋1，高为2，故面积为××2＝2＋.
9．给出下列各命题：
(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；
(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形；
(3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形；
(4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；
(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；
(6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形．
其中正确的命题序号为____________．
答案：(1)(2)(5)
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
解：
11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．
解：(1)在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点B′，M′，使O′B′＝OB，O′M′＝OM，过点M′作M′A′∥y′轴，取M′A′＝MA.连接O′A′，B′A′，如图2.
(3)擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．
12．画正六棱柱的直观图．
解：画法如下：
(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；
(2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF(O′为正六边形的中心)；
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′；
(4)连线成图：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′，如图所示．3．1 简单组合体的三视图
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法正确的是( )
A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形(以长×宽所在的平面表示观察视角的正面)
B．照片是三视图中的一种
C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体
D．圆锥的三视图都是等腰三角形
答案：A
解析：按定义，三视图必须是包含主、左、俯三种视图，所以B不对；圆柱、圆锥等图形的三视图中也可能有圆，故C不对；圆锥的视图中有圆，故D不对．按A题意，可知其三视图都为非正方形的长方形．
2．以下说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
答案：C
解析：球不管从何位置看三视图均为圆，故A错；正方体从不同角度观察，其三视图是不一样的，故B、D错．
3．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是( )
答案：D
解析：因为该几何体的主视图和左视图都是正方形，所以其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体、底面是等腰直角三角形且其腰长等于棱柱的高的直三棱柱，但不可能是一个底面长与宽不相等的长方体．故选D.
4．某几何体如图所示，则其主视图和左视图是( )
答案：B
解析：显然主视图是矩形，其左上方至右下方有一实线对角线．左视图也是矩形，其左上方至右下方有一虚线对角线，只有B符合，所以选B。
5．如图为某组合体的三视图，则俯视图中的长和宽分别为( )
A．10,4
B．10,8
C．8,4
D．10,5
答案：A
解析：根据三视图中的“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”，可知俯视图的长和主视图的长相等，为2＋6＋2＝10，俯视图的宽与左视图的宽相等，为1＋2＋1＝4，所以选A.
6．一个几何体的主视图与左视图相同，均如图所示，则其俯视图可能是( )
答案：B
解析：由主视图和左视图，可知该几何体可能是上面为正四棱锥、下面为圆柱的组合体，故其俯视图可能为B.逐一验证可知A，C，D均不可能是该几何体的俯视图．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．图中所示立体图形，都是由相同的小正方体拼成的．
(1)图①的主视图与图②的______相同；
(2)图③的主视图与图④的主视图______．
答案：(1)俯视图 (2)不同
8．桌上放着一个半球，如图所示，则在它的三视图及右面看到的图形中，有三个图相同，这个不同的图应该是______．
答案：俯视图
解析：俯视图为圆，主视图与左视图均为半圆．
9．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为3，则其左视图的面积为________．
答案：3
解析：由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°＝
，高为3，∴面积S＝3
.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
试画出如图所示的正四棱台的三视图．
解：如图．
11.如图所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图(单位：cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．
解：依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．
12．画出如图所示物体的三视图．
解：该物体为一个简单组合体，其下面是三个正方体，上面是一个圆柱体，根据正方体和圆柱体的三视图画法画出该组合体的三视图如图所示．4．2 空间图形的公理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列说法正确的个数为( )
①有三个公共点的两平面必重合；
②平面α和平面β只有一个公共点；
③三点确定一个平面．
A．1
B．2
C．3
D．0
答案：D
解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理3，知两个平面若有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能确定一个平面，③错误．故选D.
2．已知α，β表示两个不同的平面，l表示直线，A，B表示两个不同的点．给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；
②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l α，A∈l，则A α.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：由公理2可知①正确；由公理3可知②正确；当点A为直线l与平面α的交点时，③错误．
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA，O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1，且射线OB，O1B1的方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
答案：D
解析：如图，在图1中OB∥O1B1，在图2中，OB与O1B1不平行．
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )
A．0°<α<90°
B．0°<α≤90°
C．0°≤α≤90°
D．0°<α<180°
答案：B
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.
5．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
答案：B
解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知＝，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.
6．给出下列四个命题：
①不共面的四点中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确．②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．不共面的四点可以确定__________个平面．
答案：4
解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面．
8．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为__________；
(2)AD与BC′所成的角为__________．
答案：(1)60° (2)45°
解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
9．用一个平面去截一个正方体，截面可能是______．
①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．
答案：①②③④
解析：
(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD共面．
设AB?β，CD?β，∴AC?β，
又E∈AC，∴E∈β.
又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3，知B，E，D三点共线．
11.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必相交于一点．设AB∩CD＝M，
又AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
∴M在α与β的交线上．
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
12．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△PAB和△PBC的重心，AC＝9.
(1)求MN的长；
(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？
解：(1)如图，连接PM并延长交BA于E，连接PN并延长交CB于F，连接EF.
∵M，N分别是△ABP和△BPC的重心，故E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF＝AC，且EF∥AC.
又＝＝，
∴MN＝EF，且MN∥EF.
∴MN＝×AC＝AC＝3.
(2)由(1)知MN的长与B，P的位置无关，恒是定值．但若P，B位置发生变化，M，N的位置也会改变．6．1 垂直关系的判定
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．给出下列命题：
①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；
②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错误；易知命题③正确．
2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
答案：D
解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC 平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．
3．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥平面EFG
B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF
D．GD⊥平面SEF
答案：A
解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.
4．如图，点A∈α，点B∈α，点P α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
答案：B
解析：连接BC，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
5．在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥PDF
B．DF⊥面PAE
C．BC⊥面PAE
D．AE⊥面APC
答案：D
解析：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，又DF∥BC，
∴DF⊥面PAE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( )
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
答案：A
解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．在三棱锥P－ABC中，最多有__________个直角三角形．
答案：4
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
8．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________．
答案：平面PBD⊥平面PAC
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
9．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；
③若a⊥α，b?β，a∥b，则α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
答案：③
解析：
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE.因为O是AC的中点，E是PC的中点，所以OE∥PA.
又OE?平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PO⊥BD.
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
因为BD?平面BDE，
所以平面PAC⊥平面BDE.
12.
如图所示，已知三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.
证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，又PA 平面PAC，∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA，DE∩BD＝D，∴AP⊥平面BDE.
(2)由BD⊥平面PAC，DE 平面PAC，得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知得，DE⊥AP，∴DE⊥DF BD∩DF＝D，
∴DE⊥平面BDF.又DE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF.
