1．4 两条直线的交点
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－2，－1)
答案：A
解析：由 得
2．若(－1，－2)为直线ax＋3y＋8＝0与x－by＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．2，
B.，2
C．－2，－
D．－2，
答案：A
解析：∵(－1，－2)为两条直线的交点，
∴ 得
3．下列直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( )
A．4x－2y－6＝0
B．y＝2x
C．y＝2x＋5
D．y＝－2x＋3
答案：D
解析：因为直线2x－y－3＝0的斜率为2，所以与直线2x－y－3＝0相交的直线的斜率不为2，排除A，B，C，故选D.
4．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是( )
A．(1，－3)
B．(3，－1)
C．(－3,1)
D．(－1,3)
答案：A
解析：解析
由 得由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0
即m＋2n＋5＝0，结合选项可知A项正确．
5．若直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：因为直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0相交，所以a≠－1.由，解得，即两直线的交点坐标为.由题意可得，所以，解得－1
6．无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为( )
A．(－1,3)
B．(－，)
C．(－，)
D．(－，)
答案：D
解析：直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0整理为
m(3x＋y)－n(x－2y＋1)＝0，
解方程组得交点坐标为(－，)．
因此无论m，n取何实数直线必经过点(
－，)．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
答案：－4
解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.
8．经过直线l1：x＋3y＋5＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点及点A(2,1)的直线l的方程为________．
答案：3x－41y＋35＝0
解析：由，解得，即直线l1和l2的交点为.又直线l过点A(2,1)，所以直线l的方程为＝，即3x－41y＋35＝0.
9．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝______.
答案：
解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是 解得 故m＋n＝.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)由，解得，所以交点为.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，
所以直线l的方程为y＋＝－3，
即15x＋15y＋16＝0.
(2)解方程组，得，即交点P(0,2)．
因为直线l3的斜率为，所以直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.
11．直线l被直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，
由题意，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，
且满足，
即，解得，
所以A(－2,5)，B(0，－1)．
因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.
12．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.
(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值．
解：(1)∵直线l1，l2，l3交于一点，∴l1与l2不平行，∴m≠4.
由，得，
即l1与l2的交点为，
代入l3的方程，得－3m·－4＝0，解得m＝－1或.
(2)若l1，l2，l3交于一点，则m＝－1或；
若l1∥l2，则m＝4；
若l1∥l3，则m＝－；
若l2∥l3，则不存在满足条件的实数m.
综上，可得m＝－1或或4或－.1．2 直线的方程
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是( )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝x＋1
D．y＝x－1
答案：C
解析：因为直线的斜率k＝tan45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1.
2．经过点A(2，－1)，B(－4,5)的直线的一般式方程为( )
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0
D．x＋y－1＝0
答案：D
解析：因为直线过A(2，－1)，B(－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为＝，化为一般式得x＋y－1＝0.
3．斜率为2，在y轴上的截距为3的直线经过的象限有( )
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
答案：A
解析：直线的斜截式方程为y＝2x＋3，所以直线经过第一、二、三象限．
4．直线＋＝1(ab<0)的图象可能是( )
答案：C
解析：直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab<0，排除A，B，D，故选C.
5．若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )
A．(1，－2)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(2，－1)
答案：D
解析：y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．
6．若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0，不经过第一象限，则实数m的取值范围是( )
A.B．－1C．－≤m≤1
D.≤m≤1
答案：D
解析：考查直线在x轴、y轴上的截距，若直线不经过第一象限，则有
或
∴≤m≤1.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．过点P1(－2,0)、P2(1,5)的直线的两点式方程为__________，
化成斜截式方程是________，化成截距式方程是__________．
答案：＝ y＝x＋ ＋＝1
8．已知直线与两坐标轴相交且被两坐标轴截得的线段的中点是(2,4)，则此直线的方程为__________．
答案：2x＋y－8＝0
解析：设直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0，b)，则由已知得：＝2，＝4，即a＝4，b＝8，所以所求直线的方程为＋＝1，即2x＋y－8＝0.
9．直线的斜率为且和两坐标轴围成的三角形面积为3，则此直线的方程为________．
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
解析：设l的方程为＋＝1，因为k＝，则＝－，a＝－6b.又|ab|＝6.∴b＝±1，a＝±6.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．写出经过下列两点的直线方程，并画出图形．
(1)A(3,0)与B(0,6)；
(2)D(3,2)与E(－2，－3)．
解：(1)由经过两点的直线的斜率公式，得直线AB的斜率k＝＝－2，则该直线的点斜式方程为y－6＝(－2)·(x－0)，可化为2x＋y－6＝0，其图形如图(1)所示．
(2)由经过两点的直线的斜率公式，得直线DE的斜率k＝＝1，则该直线的点斜式方程为y－2＝1·(x－3)，可化为x－y－1＝0，其图形如图(2)所示．
11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，所以a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；
当直线不过原点时，由截距存在且相等，得＝a－2，即a＋1＝1，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则由题意可得
，解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
12．已知直线l过点(－2,1)．
(1)若直线不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若直线l交x轴的负半轴于A，交y轴的正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意；
当k≠0时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
则有，解得k>0.
综上所述，直线l的斜率k的取值范围为[0，＋∞)．
(2)设直线l的方程为y－1＝m(x＋2)，由题意可知m≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2m)．依题意得，得m>0.
又S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2m|＝·＝，
易证明函数y＝4m＋在上是减函数，在上是增函数，
所以当m＝时，S取得最小值，且Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．3 两条直线的位置关系
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列命题中，正确的是( )
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
答案：D
解析：A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，所以l1∥l2.
2．由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
答案：A
解析：kl2＝，kl3＝－3，∴kl2·kl3＝－1，∴l2⊥l3.
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是( )
A．－8
B．0
C．2
D．10
答案：A
解析：由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8.
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝( )
A．－2
B．1
C．2
D．4
答案：B
解析：因为l1⊥l2，且直线l1的斜率k1不存在，所以直线l2的斜率k2＝0，则y＝1.
5．下列直线中，与己知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
答案：B
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
6．已知直线l的方程为f(x，y)＝0，P1(x1，y1)和P2(x2，y2)分别是直线l上和直线l外的点，则方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示( )
A．与l重合的直线
B．过点P1且与l垂直的直线
C．过点P2且与l平行的直线
D．不过点P2但与l平行的直线
答案：C
解析：设f(x，y)＝ax＋by＋c＝0，则f(x1，y1)＝0，而f(x2，y2)＝m≠0，则f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0可定为ax＋by＋c－m＝0，显然与l平行，且过点(x2，y2)．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为________．
答案：(－1,6)
解析：设D(a，b)，由平行四边形ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即，解得，所以D(－1,6)．
8．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
答案：3x＋2y＋12＝0
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为y－(－3)＝－×[x－(－2)]，即3x＋2y＋12＝0.
9．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝________.
答案：4
解析：因为kAB＝＝2，所以直线BC的斜率存在，且kBC＝＝－.由2·＝－1，得a＝4.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行，求实数a的值．
解：①当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时l1∥l2，满足题意．
②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，
直线l1的斜率为k1＝－，直线l2的斜率为k2＝，
又两直线平行，则，解得a＝.
综上，可得a＝0或.
11．已知直线l1：(m＋2)x＋(m＋3)y－5＝0和l2：6x＋(2m－1)y＝5.求满足下列条件的实数m的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解：(1)由(m＋2)(2m－1)＝6(m＋3)，得m＝4或m＝－.
当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y－5＝0，即l1与l2重合；
当m＝－时，l1：－x＋y－5＝0，l2：6x－6y－5＝0，即l1∥l2.
∴当m＝－时，l1∥l2.
(2)由6(m＋2)＋(m＋3)(2m－1)＝0，得m＝－1或－.
∴当m＝－1或－时，l1⊥l2.
12．已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；
(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋b＝0. ①
又l1过点(1,1)，∴a＋b＝0. ②
由①②，解得或.
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
(2)∵l1∥l2，∴a－b(a－1)＝0， ③
由题意知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.
则××＝2，
得ab＝4， ④
由③④，得a＝2，b＝2.第二章 解析几何初步
1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )
A．3
B．－2
C．2
D．不存在
答案：B
解析：由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,1)与(－4，－1)
B．(0,1)与(1,0)
C．(1,4)与(－1,4)
D．(－4,1)与(－4，－1)
答案：D
解析：选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．
3．经过原点O(0,0)与点P(1,1)的直线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
答案：B
解析：设过点O与点P的直线的倾斜角为α.因为直线OP的斜率k＝＝1，又0°≤α<180°，所以α＝45°.
4．若直线经过点A(m2,0)，B(2，m)，且倾斜角为60°，则实数m＝( )
A．1或－1
B．2或－2
C．1或－2
D．－1或2
答案：C
解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又直线经过点A(m2,0)，B(2，m)，所以＝，即m2＋m－2＝0，解得m＝1或－2.
5．如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
答案：D
解析：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°＜α1＜180°，0°＜α3＜α2＜90°，
∴tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0.
∴k1＜k3＜k2.
6．已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．不存在
答案：D
解析：设直线l1的倾斜角为α.因为直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，所以直线l1的斜率为＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l2的倾斜角为90°，所以直线l2的斜率不存在．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
答案：[0°，30°)
解析：当0≤k<时，因为tan0°＝0，tan30°＝，所以0°≤α<30°.
8．已知A(2，－3)，B(4,3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
答案：12
解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即＝，解得m＝12.
9．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是________．
答案：m＜1
解析：由l的倾斜角为锐角，可知KAB＝＞0，即m＜1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2，求直线l1的斜率．
解：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，
所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，
所以直线l1的斜率为k＝tan30°＝.
11．已知点A(1,0)，P为抛物线y＝x2＋2x－3上一点，若直线PA的倾斜角为45°，求点P的坐标．
解：设点P(x1，y1)(x1≠1)，则y1＝x＋2x1－3.
因为A(1,0)，所以kPA＝＝＝x1＋3.
又直线PA的倾斜角为45°，所以kPA＝1，
所以x1＋3＝1，即x1＝－2.
当x1＝－2时，y1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3.
所以点P的坐标为(－2，－3)．
12．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．
解：因为直线的倾斜角α不是锐角，
所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．
当α＝0°时，1＋t＝2t，得t＝1；
当α＝90°时，1－t＝3，得t＝－2；
当α是钝角时，直线的斜率小于0，即<0，得<0，
所以或，解得－2综上所述，实数t的取值范围为[－2,1]．2．4 直线与圆、圆与圆的位置关系(二)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切
B．内含
C．相交
D．相离
答案：B
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
2．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离
B．外切
C．相交
D．内切
答案：C
解析：圆x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，圆x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为(0，－2)，半径为2.∴圆心距d＝＝<1＋2＝3，且>2－1＝1，∴两圆相交．
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0
D．4x－3y＋7＝0
答案：C
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
4．圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的公切线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：D
解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4和(x＋2)2＋(y－2)2＝4，∴圆心距d＝＝5.∵5>2＋2，∴两圆相离，∴公切线有4条．
5．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
答案：C
解析：利用圆系方程来求．
6．若M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1]
B．(0,1]
C．(0,2－
]
D．[0,2]
答案：C
解析：∵M∩N＝N，∴(x－1)2＋(y－1)2＝r2在x2＋y2＝4的内部．
∴d≤2－r，即≤2－r，∴0＜r≤2－
.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．
答案：
解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝＝.设公共弦的长为l，则l＝2＝.
8．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
9．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
答案：3
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知圆P：x2＋y2－2mx＋m2＝4与圆Q：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2，当m为何值时，两圆：(1)相离；(2)相交；(3)相切．
解：∵圆P的方程可化为(x－m)2＋y2＝4，
∴圆P的圆心为P(m,0)，半径为r1＝2 又圆Q的方程可化为(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴圆Q的圆心为Q(－1,2m)，半径为r2＝3.
(1)∵两圆相离，
∴＞2＋3，解得m＞2或m＜－.
(2)∵两圆相交，
∴3－2＜＜2＋3，解得0＜m＜2或－＜m＜－.
(3)∵两圆相切，
∴＝2＋3或
＝3－2，解得m＝2、－或0、－.
11．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
12．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.2．1 圆的标准方程
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.
2．圆C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面积等于( )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
答案：C
解析：由圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝4，知半径r＝＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.
3．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝( )
A．3
B．2
C．5
D．1
答案：A
解析：由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
4．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是( )
A．(－4,3)
B．(－5,4)
C．(－5,5)
D．(－6,4)
答案：A
解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，解得－45．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案：A
解析：利用平面几何知识得
r＝＝.
6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(5,1)
B．(4,1)
C．(＋2，－3)
D．(3，－2)
答案：D
解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y＝x－5，解方程组
得或，经检验点(3，－2)符合题意．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于第______象限．
答案：四
解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
9．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
11．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由，解得，
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则 .
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
12．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解：设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.3．1
空间直角坐标系的建立
3．2
空间直角坐标系中点的坐标
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )
A．(4,0,6)
B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6)
D．(－4,7,0)
答案：C
解析：点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．
2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
答案：B
解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标
，z坐标
分别相等，∴Q(0，，)．
3．在空间直角坐标系中，y＝a表示( )
A．y轴上的点
B．过y轴的平面
C．垂直于y轴的平面
D．平行于y轴的直线
答案：C
解析：y＝a表示所有在y轴上的投影是点(0，a,0)的点的集合，所以y＝a表示经过点(0，a,0)且垂直于y轴的平面．
4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>c>a
答案：C
解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．
∴a＝
，b＝
，c＝5.
5．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy,
xOz，yOz的距离分别为2,2,3的点有( )
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个
答案：D
解析：分别为(3,2,2)、(3,2，－2)、(3，－2,2)、(3，－2，－2)、(－3,2,2)、(－3,2，－2)、(－3，－2,2)、(－3，－2，－2)
6．三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为( )
A．1
B．2
C．3
D．6
答案：A
解析：OA，OB，OC两两垂直，VO－ABC＝··1·2·3＝1
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则线段AB的中点坐标是________．
答案：
解析：由两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的中点坐标为，知线段AB的中点坐标是.
8．已知平行四边形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．
答案：(5,13，－3)
解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P，则P为AC，BD的中点．由A(4,1,3)，C(3,7，－5)，得点P的坐标为.又点B(2，－5,1)，所以点D的坐标为(5,13，－3)．
9．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
答案：(2,0,3)
解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，且正方体的棱长为1.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及点E，F，G的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G.
11．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3，1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
12．如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.
又BC是圆O的直径，
所以|OB|＝|OC|.
又|AB|＝|AC|＝6，
所以OA⊥BC，|BC|＝6.
所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3.
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．2．2 圆的一般方程
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
答案：D
解析：将x2＋y2＋2x－4y－6＝0整理为标准方程(x＋1)2＋(y－2)2＝11.
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＜
B．m＜10
C．m＞
D．m≤
答案：A
解析：方程x2＋y2－x＋y＋m＝0，变形为(x－)2＋(y＋)2＝－m，方程表示圆，
∴－m＞0，即m＜.
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2
B.
C．1
D.
答案：D
解析：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离d＝＝.
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a、b、c不全为零)与x轴相切于原点，那么( )
A．a＝c＝0，b≠0
B．a＝0，b≠0，c≠0
C．b＝c＝0，a≠0
D．a＝b＝0，c≠0
答案：A
5．方程|x|－1＝
所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
答案：D
解析：方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1.若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.方程表示两个半圆．
6．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.
B．5
C．2
D．10
答案：B
解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以C(2，－4)为圆心，半径等于4的圆，则D＝__________，E＝__________，F＝__________.
答案：－4 8 4
解析：因为圆心C(2，－4)，r＝4，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
整理得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0.
∴D＝－4，E＝8，F＝4.
8．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．
答案：7 3
解析：由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2.圆心O(0,0)到点A(3,4)的距离d＝＝5，直线OA与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点A的距离最近，另一个与点A的距离最远，所以距离的最大值为d＋r＝5＋2＝7，最小值为d－r＝5－2＝3.
9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
解析：由题意，知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4.将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，所以a－b<1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
又圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－－7＝0，
即D－＋7＝0. ①
又点A(0，－4)，B(0，－2)在圆C上，
∴， ②
由①②，解得D＝－4，E＝6，F＝8.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
11．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋5＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，
由①②③可得D＝－2,
E＝0,
F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
12．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立，解得，即圆心C为(－3,6)，
则半径r＝＝2.
又|AB|＝＝4，
∴圆心C到AB的距离d＝＝4，
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，
∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
答案：D
解析：点P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，所以点P为切点，
从而圆心与P的连线应与切线垂直．
又因为圆心为(2,0)，所以·k＝－1，解得k＝，所以切线方程为x－y＋2＝0.
2．若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d，则d的取值范围为( )
A．[0,4]
B．[0,3]
C．[0,2]
D．[0,1]
答案：A
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A(0，－1)在圆外，则当直线l经过圆心时，d最小，当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，即d的最小值为0，最大值为＝4，所以d∈[0,4]．
3．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则实数a的值为( )
A．±4
B．±2
C．±2
D．±
答案：C
解析：由题意，知直线方程为y－a＝x，即x－y＋a＝0.又直线与圆相切，所以＝，所以a＝±2.
4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：C
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.
B．1
C.
D.
答案：D
解析：圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.
6．关于x的方程x＋k＝有两相异实根，则实数k的取值范围是( )
A．－＜k＜
B．－≤k≤
C．1≤k≤
D．1≤k＜
答案：D
解析：方程x＋k＝的相异两实根即为两曲线y＝x＋k与y＝(y≥0)交点的横坐标，画出两曲线观察，当直线y＝x＋k过点(－1,0)时，两曲线有两交点，此时k＝1，当直线与半圆相切时，＝1，k＝或k＝－(舍)．
所以当1≤k＜时，直线与半圆有两个不同的交点，即方程x＋k＝有两个相异实根．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
答案：x－y＋2＝0
解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P连线的斜率为－，所以所求切线的斜率为，则在点(1，)处的切线方程为x－y＋2＝0.
8．直线l过点(－5，－10)，且在圆x2＋y2＝25上截得的弦长为5
，则直线l的方程为________．
答案：x－y－5＝0或7x－y＋25＝0
解析：设直线l的方程为y＝k(x＋5)－10，由题意知圆心到直线的距离d＝，即
＝，解得k＝1或k＝7.
9．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
答案：
解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心(2,0)与点(1，)的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，)的直线的斜率为＝－，故所求直线的斜率为.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，
∴a＋2b＝0. ①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2. ②
∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，
∴()2＋2＝r2. ③
由①②③可得或，
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b.
∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1. ①
又圆心到直线的距离d＝，∴2＋2＝4， ②
由①②，得或.
12．一束光线由点M(25,18)出发，被x轴反射到⊙C：x2＋(y－7)2＝25上．
(1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程；
(2)求在x轴上反射点A的活动范围．
解：(1)M(25,18)关于x轴的对称点M′(25，－18)．
由题意知反射光线所在直线过M
′(25，－18)和圆心，则由两点式得＝，
∴x＋y－7＝0.
(2)设反射光线所在直线为y＝k(x－25)－18.
则≤5，
∴－≤k≤－.
当y＝0时，x＝＋25，又－≤k≤－，
∴1≤x≤.
即在x轴上反射点A的活动范围是从(1,0)到(，0)的线段．1．5 平面直角坐标系中的距离公式
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．点P(－1,2)到直线3x－1＝0的距离为( )
A．5
B．4
C.
D.
答案：D
解析：直线3x－1＝0的方程可化为x＝，所以点P(－1,2)到该直线的距离为d＝＝.
2．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为( )
A．10
B．5
C．8
D．6
答案：A
解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)，所以|AB|＝＝＝10.
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或
B．－或1
C．－或
D．0或
答案：A
解析：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
答案：D
解析：在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
答案：C
解析：∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，
即：2x＋y－1＝0：又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.
6．若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．10
B．8
C．6
D．4
答案：B
解析：实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．
答案：3或－2
解析：依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2.
8．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
答案：(－12,0)或(8,0)
解析：设P(a,0)，则有＝6，解得a＝－12或8，∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
9．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为______________________．
答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
解析：由题意设所求直线方程为7x＋24y＋c＝0，则有＝3，解得c＝70或c＝－80.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA|＝
＝，
|PB|＝＝，
由|PA|＝|PB|，得＝，解得x＝1，
所以|PA|＝＝2.
11．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解：因为l1∥l2，所以＝≠，
解得或.
当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
直线l2的方程为2x＋4y－1＝0，
即4x＋8y－2＝0.
由已知得＝，
解得n＝－22或18.
所以，所求直线l1的方程为
2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2为2x－4y－1＝0，即4x－8y－2＝0，
由已知得＝，
解得n＝－18或n＝22，
所以所求直线l1的方程为
2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
综上可知，直线l1的方程有四个，分别为
2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0
或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
12．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝＝，
故S△ABC＝××＝3.3．3 空间两点间的距离公式
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( )
A.
B．25
C．5
D.
答案：C
解析：|AB|＝＝5.
2．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
答案：A
解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．
3．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19
B．－
C.
D.
答案：C
解析：|AB|＝＝＝，∴当x＝时，|AB|最小．
4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等的点有( )
A．1个
B．2个
C．不存在
D．无数个
答案：D
解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得
＝，整理得y＝－，
x∈R，所以符合条件的点有无数个．
5．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆
B．直线
C．球面
D．线段
答案：C
解析：(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
6．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( )
A.
B．5
C.
D.
答案：D
解析：∵|AB|＝
＝
，∴当t＝时，|AB|min＝.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点P到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
答案：0或－4
解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为.又点P到线段AB中点的距离为3，所以
＝3，解得z＝0或z＝－4.
8．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
答案：
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．
答案：(0，－1,0)
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
解：
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M.
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝，
∴MN的长为.
11．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解：AB＝
＝
，
AC＝
＝
，
BC＝
＝
，
因为BC＞AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB，
若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；
若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解．
所以不存在实数a，使A、B、C共线．
12.
如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；
解：由已知A(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0，a，a)，B(0,0，a)，
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P坐标为(，，)，
设Q(0，a，z)，则PQ＝
，
当z＝时，PQ取到最小值为a，此时Q为CD的中点．
(2)当点Q为棱CD的中点时，点Q的坐标为(0，a，)，设AP∶AB＝k，则xp＝a(1－k)，yp＝a(1－k)，zP＝ak，所以p点的坐标为(a(1－k)，a(1－k)，ak)，
所以PQ＝
，当k＝，即P为AB的中点时，PQ取到最小值a.