2017—2018学年数学北师大版必修2第1章立体几何初步章末测试

第一章章末测试
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
　
　　　　　　　　
　　　
　　　
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若a α，b β，α∩β＝c，a∩b＝M，则(　　)
A．M∈c
B．M c
C．M c
D．M c
答案：A
解析：注意点、线、面关系的符号表示，结合平面的公理3可知，M∈c.
2．从长方体的一个顶点引出的三条棱的长度分别是2,3,3，则长方体的外接球的表面积为(　　)
A．20π
B．22π
C．24π
D．26π
答案：B
解析：设球的半径为r，则4r2＝22＋32＋32＝22，球的表面积为4πr2＝22π.
3．一个几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是(　　)
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．球
答案：D
解析：因为球的三视图都是半径相等的圆，则其他的三个均不可能满足条件．
4．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的，则它的体积是原来体积的(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：设原圆锥高为h，底面面积为S，则V＝hS，新圆锥的高为2h，底面面积为，∴V′＝×2h×＝V.
5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB1的中点，设过点C1，E，F三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为(　　)
A．菱形
B．矩形
C．梯形
D．五边形
答案：A
解析：设正方体棱长为a，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面α经过点A，所以截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝a，所以截面为菱形．
6．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内有无数条直线都与平面β平行
B．α内的任何直线都与平面β平行
C．直线a α，直线b β且a∥β，b∥α
D．直线a∥α，a∥β
答案：B
7．底面是正三角形，侧棱垂直底面水平放置的三棱柱的所有棱长均为2，当其正(主)视图有最大面积时，其侧(左)视图的面积为(　　)
A．2
B.
C．2
D．6
答案：C
解析：S＝×2＝2.
8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　)
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
D．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b
答案：C
解析：与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图所示，直线a，b在平面α内的射影分别为m、n，显然m⊥n，但a、b不垂直，所以D错误，故选C.
9．三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则(　　)
A．m＝2，n＝2
B．m＝2，n＝6
C．m＝3，n＝7
D．m＝3，n＝8
答案：C
解析：本题主要考查空间想象能力，三条不共面的平行线可以确定三个平面，而这三个平面把空间分成7部分．
10．平行六面体的相交于一顶点的三条棱长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角都是60°，则它的体积是(　　)
A．abc
B.
C.abc
D.abc
答案：D
解析：如图所示，设AA1＝c，AB＝a，AD＝b，A1在底面射影O.
在∠DAB的平分线上，作OE⊥AB于E，连结A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1AE中，∠A1AE＝60°，AE＝，
在Rt△AEO中，∠OAE＝30°，AO＝c，高A1O＝c.
∴V＝S四边形ABCD·A1O＝abc.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．正方体的内切球与外接球的体积之比等于________．
答案：1：3
解析：设正方体的棱长为a，则内切球半径为r＝，外接球半径R＝a.
12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.
答案：18
解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18.
13．如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号)
答案：①③
解析：如图①所示，因为MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.
如下图②所示，AB与平面MNP不平行(反证法)，连结CD、再连结BE，分别交CD、MP于R、Q，连结NQ，若AB∥平面MNP，则AB∥NQ.
又由N为AE的中点，R为BE的中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条相交的直线平行于AB，与平行公理矛盾，所以AB与平面MNP不平行．
如图③所示，连结CD，因为AD平行且等于BC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以AB∥CD.又因为MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.
对于④，AB与平面MNP不平行(反证法)，如上图④所示，连接DM，ME.若AB∥平面MNP，因为MN∥DP，所以DM 平面MNP，又DM 平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四边形ABCD是平行四边形，故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条相交直线平行于AB，与平行公理矛盾．于是AB与平面MNP不平行．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点，求证：EF⊥面PAB.
证明：
如图，连结EP.
∵PD⊥面ABCD，DE在面ABCD内，
∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC.
∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.
∵F为PB的中点，∴EF⊥PB，
∵PD⊥ABCD
AB ABCD
∴PD⊥AB
又∵AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∴PA⊥AB
∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，
∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.
又PB，FA为平面PAB内相交直线
∴EF⊥面PAB.
15.
如图所示，在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G为垂足，若将正△ABC绕AD旋转一周所得圆锥体积为V，求由阴影部分所产生旋转体的体积与V的比值．
解：
如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆柱的高为，底半径为，则＝1－＝1－＝1－＝.
16．如图所示，在侧棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，
A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F是B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
17．如图所示，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面圆的直径，E是CD的中点．求证：
(1)O′E∥平面ABC；
(2)平面O′CD⊥平面ABC.
解：
(1)取BC中点为F，连结EF，O′A，
则EF是△BCD的中位线，
∴EF綊BD.
设下底面圆心为O，连结OO′，∵AB是母线，
∴AB綊OO′，
∴AO′綊EF，
∴AF∥O′E且AF 平面ABC，O′E 平面ABC，
∴O′E∥平面ABC.
(2)在圆柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD
∵BC⊥CD，AB∩BC＝B
∴CD⊥平面ABC
∵CD 平面O′CD
∴平面O′CD⊥平面ABC.
18．如图所示，在侧面均垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．
解：
(1)(法一)连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN 平面A′ACC′，
AC′ 平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
(法二)取A′B′中点P，连接MP，NP，
则M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN 平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.
(2)(法一)连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.
(法二)VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC
＝VA′－NBC＝.