2017—2018学年数学北师大版必修2第2章解析几何初步章末测试

第二章章末测试
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
　
　　　　　　　　
　　　
　　　
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知两点P(－2，m)、Q(m,4)，直线PQ的斜率等于－2，那么m的值为(　　)
A．－8
B．0
C．4
D．10
答案：A
解析：由两点间的斜率公式得＝－2，解得m＝－8.
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于点P(1,0)对称的圆的方程为(　　)
A．(x－4)2＋y2＝5
B．x2＋(y－4)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋4)2＝5
答案：A
解析：(x，y)关于点P(1,0)对称点(2－x，－y)，则得(2－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－4)2＋y2＝5.
3．若直线x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线2mx＋4y＋16＝0平行，则实数m的值等于(　　)
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－1或－2
答案：A
解析：由已知可得＝≠，解得m＝1或m＝－2(舍去)，故选A.
4．过点P(1，－2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
答案：B
解析：直线经过原点时，两截距相等为0，此时2x＋y＝0，当直线不过原点时，设该直线为y＝x＋b或y＝－x＋b，将(1，－2)代入得方程为y＝x－3或y＝－x－1，所以满足题意直线有3条．
5．两圆C1：x2＋y2＝r2与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)相切，则r的值为(　　)
A.－1
B.
C.
D.－1或
＋1
答案：B
解析：∵两圆相切且半径相等，
∴|OO1|＝2r.
∴r＝.
6．已知原点在直线l上的射影为M(－2,1)，则直线l的方程为(　　)
A．x＋2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x－y＋5＝0
D．2x＋y＋3＝0
答案：C
解析：根据题意可知，直线l过点M(－2,1)，而且与过原点和点M(－2,1)的直线垂直，故直线l的斜率k满足k·＝－1，∴k＝2.故由点斜式求得直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
7．已知直线mx－y＋n＝0过点(2,2)，则mn的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：由于直线mx－y＋n＝0过点(2,2)，所以得：2m－2＋n＝0即n＝2－2m，所以mn＝m(2－2m)＝－2m2＋2m＝－22＋，显然当m＝时，mn取得最大值.
8．空间直角坐标系O－xyz中，已知点A(2,3，－1)，B(4,1，－1)，C(4,3，－3)，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形
B．正三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
答案：B
解析：应用空间两点的距离公式求解，两点距离由此确定，|AB|＝|AC|＝|BC|＝2
.
9．曲线x2＋y2＋4x＋2y－20＝0上到直线4x＋3y－4＝0距离等于2的点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：圆心(－2，－1)，半径r＝5，d＝＝3,5－3＝2，∴共有3个符合条件的点．
10．已知直线y＝kx－4与圆(x－3)2＋(y＋4)2＝9相交于M、N两点，若MN≥2，则k的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：∵圆心(3，－4)，直线y＝kx－4，∴d＝.∵MN≥2，∴≥，∴9－≥6，解得－≤k≤.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．点A(2,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点的坐标为________．
答案：(－1,3)
解析：设点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为(a，b)，则根据题意得：
即解得a＝－1，b＝3，所以对称点为(－1,3)．
12．在x轴上一点P到点A(2,3,5)、B(1,2,1)的距离相等，则点P的坐标是________．
答案：(16,0,0)
解析：设P(x,0,0)，则|PA|＝|PB|，
即
＝，得x＝16.
13．如果实数x，y满足等式(x－3)2＋y2＝4，那么的最大值是________．
答案：
解析：设＝k，y＝kx，(x－3)2＋k2x2＝4，(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)≥0，－≤k≤.另可考虑斜率的几何意义来做．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．求过直线l1：2x＋y－5＝0，l2：3x－y－5＝0的交点P，且平行于直线x＋3y－3＝0的直线方程．
解：由，得，再设x＋3y＋c＝0，则c＝－5
x＋3y－5＝0为所求．
15．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．
解：设点M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
所以当x＝1时，|MN|取得最小值，
且|MN|min＝.
此时，1－x＝0，故点M的坐标为(1,0,0)．
16．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋
y＝0相切于点M(3，－
)的圆的方程．
解：设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
∴或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4
或x2＋(y＋4
)2＝36.
17．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(0，－1)的距离与到定点B(0,1)距离之比为.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M(2,1)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|＝4，求直线l的方程．
解：(1)由题意得|PA|＝|PB|，故＝·，
化简得x2＋y2－6y＋1＝0(或x2＋(y－3)2＝8)
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝2
将x＝2代入方程x2＋y2－6y＋1＝0得y＝5或y＝1，∴|MN|＝4，满足题意
当直线l的斜率存在时，设l：kx－y＋1－2k＝0
d＝＝2，解得k＝0，此时l：y＝1
综上，满足题意的直线l的方程为：x＝2或y＝1.
18．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0.求：
(1)AC边上的高所在的直线方程；
(2)∠ABC的平分线所在的直线方程；
(3)AB与AC边上的中位线所在的直线方程．
解：(1)如图，由解得交点B(－4,0)，因为BD⊥AC，所以kBD＝－＝.所以AC边上的高线BD的方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0.
(2)设E(x，y)是∠ABC平分线上一点，由点到直线的距离公式，得＝.整理，得x－7y＋4＝0或7x＋y＋28＝0.由直线AB、BC的斜率或由图形可知，直线7x＋y＋28＝0是∠ABC的外角平分线，应舍去，所以∠ABC的平分线BE的方程为x－7y＋4＝0.
(3)设AB、AC的中点连线是GF，则GF∥BC.所以kGF＝kBC＝.解方程组，得点A的坐标为(4，－6)．又B(－4,0)，所以AB的中点G(0，－3)，所以AB、AC的中点连线FG的方程为y＝x－3，即4x－3y－9＝0.