2017—2018学年数学北师大版必修2第2章解析几何初步章末检测

第二章章末检测
　
一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)
1．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
答案：B
解析：直线的斜率为k＝tan45°＝1，所以满足条件的直线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0，选B.
2．列说法中正确的是(　　)
A．两条平行直线的斜率一定相等
B．两条平行直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两直线的斜率之积为－1
D．互相垂直的两直线的倾斜角互补
答案：B
3．从直线l：x－y＋3＝0上一点P向圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，记切点为M，则|PM|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.－1
答案：B
解析：由题意，知圆心为C(2,2)，半径为1，当CP⊥l时，|PM|取最小值．圆心C到直线l的距离d＝＝，则|PM|min＝＝.
4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
答案：B
解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3两圆的圆心距离为
＝
，则R－r<
5．若直线x－y＋1－0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是(　　)
A.
[－3，－1]
B．[－1,3]
C.
[
－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案：C
解析：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝
≤
≤2 －3≤a≤1.
6．已知点P(x，y)在直线l：3x＋4y－10＝0上，O为原点，则当最小时，点P的坐标是(　　)
A．(，)
B．(2,4)
C．(5，－)
D．(，－)
答案：A
7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
答案：A
解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P(1,1)，则kOP＝1，故所求直线的斜率为－1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y－1＝－，即x＋y－2＝0.故选A.
8．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：B
9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是(　　)
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
答案：B
解析：依题意，当两圆的公共弦所在直线经过圆心(－1，－1)时，满足题意，而公共弦方程为2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0，又过(－1，－1)点，∴a2＋2a＋2b＋5＝0.
10．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋2y－1＝0
答案：B
二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)
11．若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y－(a2－1)＝0平行，则它们之间的距离为________．
答案：
解析：因为两直线平行，所以有a(a－1)＝2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1，但当a＝2时，两直线重合，不符合题意，故只有a＝－1，此时两直线方程分别为x－2y＋6＝0和x－2y＝0，它们之间的距离d＝＝.
12．对于任意实数k，直线(3k＋2)x－kx－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是________．
答案：相切或相交
解析：直线方程可化为k(3x－y)＋2x－2＝0，所以直线恒过定点(1,3)，而点(1,3)在圆上，所以直线与圆相切或相交．
13．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相切，则m的值为________．
答案：2或－5或－1或－2
解析：设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，两圆圆心间的距离为d.两圆外切时，满足r1＋r2＝d，即5＝，解得m＝2或－5；两圆内切时，满足r1－r2＝d，即1＝，解得m＝－1或－2.
14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案：
解析：∵圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1.
∵由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；
∴存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.
∵ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，
∴≤2，解得0≤k≤.
∴k的最大值是.
15．过直线x＋y－2
＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
答案：(，)
解析：如图，由题意可知∠APB＝60°，由切线性质可知∠OPB＝30°，在直角三角形OBP中，OP＝2OB＝2，又点P在直线x＋y－2
＝0上，所以不妨设点P(x,2
－x)，则OP＝
＝2，即x2＋(2
－x)2＝4，整理得x2－2
x＋2＝0，即(x－
)2＝0，所以x＝
，即点P的坐标为(，)．
三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．(12分)已知△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求出点C的坐标．
解：由题意，得|AB|＝
＝5.
∵S△ABC＝|AB|·h＝10，∴h＝4(h为点C到直线AB的距离)．
设点C的坐标为(x0，y0)，AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0.
由，
解得或.
∴点C的坐标为(－1,0)或.
17．(12分)圆O：x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，过点P且倾斜角为α的直线交圆O于A，B两点．
(1)当α＝135°时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．
解：(1)∵α＝135°，
∴直线AB的斜率k＝tan135°＝－1.
又直线AB过点P，
∴直线AB的方程为y＝－x＋1，
代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0，
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝.
(2)∵点P为AB的中点，∴OP⊥AB.
∵kOP＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为x－2y＋5＝0.
18．(12分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y－b＝0.
(1)若l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)，求实数a，b的值．
(2)是否存在实数a，b，使得l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等？并说明理由．
解：(1)由已知可得l2的斜率存在，为k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率必不存在，即b＝0.
又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．
∴此种情况不存在，∴k2≠0，直线l1的斜率存在，设为k1.
∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.　①
又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.　②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)不存在，理由如下：
∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．
又坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝－b，该方程无实数解．
∴不存在满足条件的实数a，b.
19．(13分)已知点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)之间的距离的比为5?1，记点M的轨迹为曲线C.
(1)求点M的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；
(2)过点Q(－2,3)的直线l被轨迹C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
解：(1)由题意，得＝5，即＝5，
化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y－1)2＝25.
∴点M的轨迹C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，
轨迹C是以(1,1)为圆心，5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段的长为2＝8，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
圆心(1,1)到直线l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，解得k＝，
∴直线l的方程为x－y＋＝0，
即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
20．(13分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
解：(1)将圆C的方程化为标准方程，为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，其圆心C(－1,2)，半径r＝.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，
即k2－4k－2＝0，解得k＝2±.
∴切线方程为y＝(2±)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1.
∴切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)∵PM为圆C的切线，
∴△PMC为直角三角形．
又|PM|＝|PO|，∴|PM|2＝|PO|2＝|PC|2－r2，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
化简得2x1－4y1＋3＝0，即点P的轨迹是直线l：2x－4y＋3＝0，
∴求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也就是点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，
由点到直线的距离公式，可知|PM|min＝＝.
当|PM|取最小值时，OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0，
解方程组，得，
∴点P的坐标为.
21．(13分)设圆C1的方程为(x＋2)2＋(y－3m－2)2＝4m2，直线l的方程为y＝x＋m＋2.
(1)求C1关于l对称的圆C2的方程；
(2)当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．
解：(1)圆C1的圆心为C1(－2,3m＋2)，设C1关于直线l对称点为C2(a，b)，
则，解得：，
∴圆C2的方程为(x－2m)2＋(y－m)2＝4m2.
(2)由消去m得a－2b＝0，即圆C2的圆心在定直线x－2y＝0上．
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x＝0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，
则＝2|m|，即(－4k－3)m2＋2(2k－1)·b·m＋b2＝0，
∵直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
所以有：，解之得，
所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y＝－x，
故所求圆的公切线为x＝0或y＝－x.