13 数乘向量
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
答案：C
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋
B．－－
C.－
D.＋
答案：A
解析：＝＋＝－＋.
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，AD＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C．a＋b
D．a＋b
答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
4．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝AB＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
答案：A
解析：因为＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以与向量共线，又因为与有共点B，所以A、B、D三点共线．
6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( )
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λ
a＋μb＝0；
③x
a＋y
b＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD中，AB∥CD，＝a，＝b.
A．①②④
B．①③
C．②③④
D．③④
答案：A
解析：关键是对共线向量的理解．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A、B、C三点共线，且点O是平面ABC内任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案：1
8．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
答案：
解析：由已知得，解得x＝y＝.
9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案：
解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝。
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．
求证：(1)A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
证明：(1)∵＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴，∴k2＝1，∴k＝±1.
11．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
12．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若＝t，则t等于多少？
解析：∵A，M，Q三点共线，∴＝α＋β(α＋β＝1)，
∴＝＝＋＝＋.
又∵＝＋，∴α＝，β＝，
∴α＋β＝＋＝1，∴t＝.15 平面向量的坐标
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4)
B．(3,5)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
答案：C
解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：C
解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
解析：设c＝x
a＋y
b，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，
∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
∴解得故选B.
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
答案：A
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故，解得，即点D，故选A.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________.
答案：(3,4)
解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．
8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
答案：1
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
9.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
答案：(2－sin2,1－cos2)
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos2，
∴的坐标为(2－sin2,1－cos2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||.
求点E的坐标．
解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)．
即解得即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，∴＝，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3) 解得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)．
11．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以，解得.
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t.
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；若P在第二象限，则有，解得－
(2)＝－＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．14 平面向量的基本定理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
答案：D
解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2)
B.(e1－e2)
C.(2e2－e1)
D.(e2－e1)
答案：A
解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．150°
答案：A
解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.
4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b
B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b
D．a与－b
答案：C
解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
答案：D
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：对于①，若向量a、b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c故正确；
对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ、μ，满足a＝λb＋μc，故正确；
对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；
对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误．故选C.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，＝a，＝b，试用a，b表示＝________.
答案：a＋b.
解析：延长AG交BC于D.
∵＝＝(＋)＝(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.
8．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.
答案：－2或
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案：
解析：由题意，知＝＋，＝＋，＝＋.又＝λ＋μ，所以＝＋，故，所以λ＋μ＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.
解析：由＝3，知N为AC的四等分点.＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b.
11．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
解析：(1)∵＝－，＝－，由＝λ得(－)＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
12．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．
解析：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.
因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使＝λ，＝μ.
于是＝a＋λb，＝μb－μa.
由＋＝得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ.
解得λ＝μ＝，∴＝.
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．17 平面向量数量积的坐标表示
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23
D．－7
答案：D
2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1
B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
答案：C
解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C.
3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A.
B．3
C．－
D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴＝(1,1)，＝(－4,3)，
cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·等于( )
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
答案：B
解析：n·(＋)＝n·＋n·＝7，所以n·＝7－n·＝7－(6－1)＝2.
6．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是( )
A．(，－)
B．(，－)或(－，)
C．(，－)
D．(，－)或(－，)
答案：B
解析：设与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量为e＝(x，y)，则
，解得或故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
答案：
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴，即，解得，∴·＝4x＝.
8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
答案：
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝＝，∴θ＝.
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．
答案：
解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0 (log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量＝(x,3)．
(1)若∥，求实数x的值；
(2)若⊥，求实数x的值．
解析：(1)依题意，＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．
∵∥，＝(x,3)，
∴2×3－6x＝0，∴x＝1.
(2)∵⊥，＝(x,3)，
∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.
11．已知：a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b.按照下列条件求λ的值：
(1)m与n的夹角为钝角；
(2)|m|＝|n|.
解析：(1)因为m与n的夹角为钝角，所以m·n＜0，且m与n不共线．
因为m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8)．
所以.
解得λ＞.
(2)因为|m|＝|n|，所以＝.整理可得5λ2－4λ－88＝0.解之得λ＝.
12．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.
(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解析：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－<α<，∴α＝－.
(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.
∵－<α<，
∴－<α＋<，∴－即1<|a＋b|2≤3＋2，∴1<|a＋b|≤1＋，
即|a＋b|的最大值为1＋.12 从位移、速度、力到向量；从位移的合成到向量的加法
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
答案：D
解析：时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．
2．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．起点相同的向量
答案：B
解析：∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，∴点O到三个顶点A，B，C的距离相等，∴，，是模相等的向量．
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B.
C.
D.
答案：D
解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
答案：A
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
6．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1]
B．[0,2]
C．[0,3]
D．[1,2]
答案：C
解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么：
(1)在图中与共线的向量有________；
(2)在图中与相等的向量有________；
(3)在图中与模相等的向量有________；
(4)在图中与相等的向量有________．
答案：(1)，，，，，，；(2)，；(3)，，，，，，，，；(4)
解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有，，，，，，.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.
(4)与相等的向量只有.
8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8 北偏东45°(或东北方向)
解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝8，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.
9．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由题意，知a＋b＋c＝2c，而|c|＝，故|a＋b＋c|＝2.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．试求：(1)与向量相等的向量；(2)与共线的向量．
解：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，有＝，＝，所以与相等的向量为，；
(2)由图形不难得到，与共线的向量有，，，，，，.
11．在如下图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a.
(1)试以点B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么图形？
解：画一个向量，必须先确定所画向量的方向和大小，另外还需根据实际情况确定起点和终点．
(1)如图所示，向量即为所求向量b；
(2)向量即为一个所求向量c，向量c终点的轨迹是一个以点A为圆心，以为半径的圆．
12．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解：由|a－b|≤|a|＋|b|可得|－|≤||＋||＝6＋9＝15(当且仅当、共线反向时成立)，当、共线同向时，|－|＝||－||＝3，∴3≤|－|≤15.20 单元测试卷二
时间：90分钟 满分150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影为＝＝，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A．5
B．25
C.
D.
答案：A
解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( )
A．－a－b
B．－a＋b
C.a－b
D．－a＋b
答案：D
4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )
A．|2b|＞|a－2b|
B．|2b|＜|a－2b|
C．|2a|＞|2a－b|
D．|2a|＜|2a－b|
答案：A
5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－4＋3＝0，则＝( )
A.
B.
C．2
D．3
答案：D
解析：∵－4＋3＝0，
∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，
∴＝3，
∴＝3.
6．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
7．已知a＝(3,4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4)，满足c⊥(a＋b)，则m＝( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：A
解析：a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥(a＋b) c·(a＋b)＝(m，－4)·(2,4＋2m)＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－.
8．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是( )
A．[0,1]
B．[1,3]
C．[2,4]
D．[3,4]
答案：B
解析：由于＝1，所以向量b对应的点在以(1，)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是[1,3]．
9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P使·取得最小值，则点P的坐标为( )
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(2,0)
D．(4,0)
答案：A
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·取得最小值，此时P(3,0)．
10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则O点( )
A．在过点C且垂直于AB的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
答案：A
解析：由题意有·＋·＋2－2＝0.
即·＋·＋(－)·(＋)
＝·(＋－－－－)＝－2·＝0，
所以⊥.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案：2
解析：因为||2＝|－|2＝||2＋||2－2·＝10＋10－0＝20，所以||＝＝2.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．
答案：
解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因为cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝－，故所求夹角是.
13．已知在△ABC中，向量与的夹角为，||＝2，则||的取值范围是________．
答案：(0,4]
解析：∵||＝|＋|＝，∴||2＋||2－||||＝4，把||看作未知量，得到一个一元二次方程||2－||||＋(|AB|2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－||)2－4(||2－4)＝16－||2≥0，∴－4≤||≤4，根据实际意义，知0<||≤4.
14．已经△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝__________.
答案：
解析：·＝·cos＝2，＝－＝(1－λ)－，
同理＝λ－，则·＝(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋·
＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－，解得λ＝.
15．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为__________．
答案：6
解析：以AB，AD所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M(2,1)，A(0,0)，设N(x，y)，则0≤x≤2,0≤y≤2，因此·＝2x＋y，因此，当x＝2，y＝2时，有最大值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且＝3，＝2，求点P、Q和向量的坐标．
解：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以＝(－2,0)，＝(2，－2)，所以＝3＝(－6,0)，＝2＝(4，－4)，设P(x，y)，则有＝(x，y－1)，所以解得即P点的坐标为(－6,1)，同理可得Q(4，－3)，因此向量＝(10，－4)．
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4.
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析：(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，则＝＋，
·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos60°＋×22
＝－3.
19．(12分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.
(1)求数量积·，·，·；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)∵3＋4＋5＝0.
∴3＋4＝0－5，即(3＋4)2＝(0－5)2.
可得92＋24·＋162＝252.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴2＝2＝2＝1，∴·＝0.
同理·＝－，·＝－.
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝||·||·sin∠AOB＋||·||sin∠BOC＋||·||·sin∠AOC.
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)．
由(1)·＝||·||·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得sin∠AOB＝1.
·＝||·||·cos∠BOC＝cos∠BOC＝－，
∴sin∠BOC＝，同理sin∠AOC＝.∴S△ABC＝.
20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向指向东，y轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100
m，一人步行从广场入口处A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6
min时路过少年宫C,10
min后到达科技馆B(－3,5)．
(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v(用坐标表示)；
(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝)．
解析：(1)依题意知＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，
||＝＝5，∠xAB＝135°.
∴此人沿北偏西45°方向走了500
m.
∵当t＝
h时，此人所走的实际距离s＝||×100＝500(m)，
∴|v|＝＝3000
m/h
∴vx＝|v|cos135°＝－3000(m/h)，vy＝|v|sin135°＝3000(m/h)，
又一个单位长度表示实际路程100
m，
∴v＝(－30,30)．
(2)∵＝＝，
＝＋＝(2,0)＋(－5,5)＝(－1,3)，
∴||＝，又tan∠COy＝，∴∠COy＝18°26′.
即少年宫C位于距离广场中心100
m，且在北偏西18°26′处．
21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解析：(1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴，即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.19 向量应用举例
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
答案：C
解析：按照共线向量及坐标运算法则代入可求．
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
答案：C
解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为( )
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
答案：B
解析：∵＋＝0，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，∴⊥，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
4．在△ABC中，·＝0，且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形，选D.
5．一条河的宽度为d，一艘船从河岸的A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，船到达B处所用的时间t为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：如图所示，知|v合|2＝|v1|2－|v2|2.
∴|v合|＝，∴t＝＝，选C.
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
答案：B
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝4，故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的射影为________．
答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的射影为|va|cosθ＝5×＝.
8．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．
答案：
解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3)到直线l的距离d＝＝.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
解：解法一(基向量法)
·＝·
＝·
＝·
＝2－·－2.
∵BC⊥CA，∴·＝0.
又BC＝CA，
∴||＝||，
∴·＝(||2－||2)＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
解法二(坐标法)
以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设||＝||＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，
∴＝，＝，
∴·＝－＋×＝－＋＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n＝n.
由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有，
解得，
所以＝.
同理＝，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°，
即角θ的取值范围为[0°，60°]．16 从力做的功到向量的数量积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．下列命题正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a·b＝0，则a∥b
C．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2
D．a2＞|a|2
答案：C
解析：a·b＝0时，可能为a⊥b的情况；|a|2＝a2，故选C.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
答案：B
解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
5．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
答案：C
解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c.
又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0，
∴－(a－b)·(a＋b)＝0，即|a|＝|b|.
同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|.
6．在边长为的正三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－3
B．0
C．1
D．2
答案：A
解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知|a|＝4，a与b的夹角θ为30°，则a在b方向上的投影为________．
答案：2
解析：a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝4×cos30°＝2.
8．向量a与b满足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.
答案：
解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝9，∴2a·b＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.①
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9.
∴2a·b＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.②
∴|b|＝.
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是__________．
答案：22
解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
11．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求实数t的值．
解析：由题意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0，
∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0，
即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0，
得t＝－1.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解析：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.18 平面向量数量积习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2
D．2
答案：A
解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a·b〉＝.
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是( )
A．(8，＋∞)
B.
C.
D.∪(8，＋∞)
答案：D
解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－.又当t＝8时，两向量同向，应去掉，故选D.
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为( )
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(4,5)
D．(5,6)
答案：C
解析：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，于是||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．
5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )
A．0
B．4
C．8
D．－4
答案：B
解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则·＝·(－)＝·－·＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.
6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1
B．2
C.
D.
答案：C
解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知向量a，b满足b＝(1，)，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________．
答案：
解析：＝＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影为：cos＝＝.
8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为
__________.
答案：3
解析：∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为
__________.
答案：
解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝，所以|c|的最大值为直径.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状．
解析：在四边形ABCD中，，，，四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|2.
又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②
由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．
故四边形ABCD为平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC.
综上，四边形ABCD是矩形．
11．已知在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值．
解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即·＝0，
从而2＋3k＝0，解得k＝－；
(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即·＝0，
而＝－＝(－1，k－3)，
故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝；
(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即·＝0，
而＝(－1，k－3)，
故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝.
综合可知，k＝－或k＝或k＝.
12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解析：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝1，b2＝1，
∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，
∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cosγ.
又|a|＝|b|＝1，
∴＝1×1×cosγ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.