27 二倍角的三角函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2－1
C.
D.
答案：D
解析：＝tan45°＝.
2．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( )
A．1＋
B.－1
C.
D．2
答案：A
解析：∵y＝2sin2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin，
∴ymax＝1＋.故选A.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
解析：依题意：tanθ＝2，∴cosθ＝±，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或cos2θ＝＝＝－，故选B.
4．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．a＞b＞d＞c
B．b＞a＞d＞c
C．d＞a＞b＞c
D．c＞a＞d＞b
答案：B
解析：∵a＝·sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝－sin40°·sin38°＋cos40°·cos38°
＝cos78°＝sin12°，
c＝cos81°＝sin9°，
d＝(cos80°－cos100°)＝cos80°＝sin10°，故b＞a＞d＞c.
5．已知2π<θ<3π，cosθ＝m，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cosθ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
6．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
答案：D
解析：因为f(x)＝＝＝＝－tanx,0
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知sinx＝，且＜x＜π，则sin＝__________.
答案：
解析：∵＜x＜π，∴cosx＝－＝－，
∴sin＝
＝
＝
＝
＝.
8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝ sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.
9．化简cos2A＋cos2＋cos2＝
__________.
答案：
解析：原式＝＋＋
＝＋＋
＝＋cos2A＋2coscos2A
＝＋＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解析：tan2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
12．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解析：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝，所以sinα＝－.
又α∈，故cosα＝＝＝，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos2αcos＋2sin2αsin＝2××＋2××＝.21 同角三角函数的基本关系
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知cosα＝－，且α为第三象限角，求tanα( )
A. B．－
C.
D．－
答案：C
解析：因为cosα＝－，所以sinα＝±＝±，
又因为α为第三象限角，所以sinα＜0，
所以sinα＝－.
所以tanα＝＝.
2．化简
的结果是( )
A．cos
B．－cos
C．±cos
D．cos
答案：B
解析：∵＜＜π，∴cos＜0.
∴
＝
＝|cos|＝－cos.
3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为( )
A．1
B．－1
C．±1
D．0
答案：C
解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.
即或，故sinθ－cosθ＝±1.
4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题目所给的两个方程消去β，转化为tanα的方程，求tanα后，再求sinα.
解得tanα＝3.∴＝3，
又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.
5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，
∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，
sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．
sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．
6．已知＝－，则的值是( )
A.
B．－
C．2
D．－2
答案：A
解析：∵÷＝＝－1，
∴＝－＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果为________．
答案：1
解析：原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝1.
8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
答案：2
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.
9．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________.
答案： 7
解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝.tan2α＋＝2－2tanα＝9－2＝7.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简下列各式：
(1)＋，θ∈；
(2)·.
解析：(1)原式＝＋
＝＋
＝
＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝
＝
(k∈Z)．
11．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2).
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值；
(3)求sinθ，cosθ及θ的值．
解析：(1)由题意，得，
所以＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.
(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝，
将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝，
由(1)，知＝，所以＝.
(3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或.
又θ∈，所以θ＝或.26 二倍角的三角函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C.
D.
答案：B
解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.
2．设sin＝，则sin2θ＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：A
解析：sin＝，∴sinθ＋cosθ＝，两边平方得1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－.
3．当cos2α＝时，sin4α＋cos4α的值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案：B
解析：由cos2α＝ (cos2α－sin2α)2＝ sin4α＋cos4α＝＋2sin2αcos2α＝＋sin22α
＝＋＝.
4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1
B．－2,2
C．－3，
D．－2，
答案：C
解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，
∴sinx＝时，f(x)max＝，sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
5．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于( )
A．30°或270°
B．45°
C．60°
D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.
6．锐角三角形的内角A、B满足tanA－＝tanB，则有( )
A．sin2A－cosB＝0
B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0
D．sin2A＋sinB＝0
答案：A
解析：∵△ABC为锐角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴B、D都错．
又A＋B＞，A＞－B，∴cosA＜sinB.
∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴C错，选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．sin22.5°cos202.5°＝________.
答案：－
解析：sin22.5°cos202.5°＝sin22.5°·(－cos22.5°)＝－sin45°＝－.
8．coscosπ的值是__________．
答案：
解析：原式＝·2sincoscos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
9.的值是__________．
答案：
解析：原式＝＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解析：(1)由sin－2cos＝0， tan＝2，
∴tanx＝＝＝－.
(2)原式＝＝，由(1)知cosx－sinx≠0，
所以上式＝＝cotx＋1＝＋1＝.
11．设T＝.
(1)已知sin(π－θ)＝，θ为钝角，求T的值
；
(2)已知cos(π－θ)＝m，且<θ≤，求T的值
.
解析：(1)由sin(π－θ)＝，得sinθ＝，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，T＝＝.
(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，T＝＝|sinθ＋cosθ|，
∵<θ≤时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－.
12．若＜α＜2π(α∈)且cosα＝.求的值．
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.
又∵cosα＝，∴cos＝－＝－，
∴
＝
＝
＝－cos＝.22 两角和与差的正弦余弦函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．化简cos(x－y)cosy－sin(x－y)siny可得( )
A．1
B．sinx
C．sinxcos2y
D．cosx
答案：D
解析：原式＝cos[(x－y)＋y]＝cosx.
2．设α∈，若sinα＝，则cos＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：B
解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
又cos＝＝cosα－sinα＝.
3．若sinx－cosx＝2sin(x＋θ)，θ∈(－π，π)，则θ的值( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：A
解析：sinx－cosx＝2[sinx－cosx]＝2[sinxcos－cosxsin]＝2sin(x－)，故θ的值为－.
4．若sin(α－β)＝，sinα＝，且α、β为锐角，则cosβ的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为α、β为锐角，所以α－β∈(－，)，又因为sin(α－β)＝，sinα＝，得cos(α－β)＝，cosα＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.
5．设A、B、C∈(0，)，且sinA－sinC＝sinB，cosA－cosC＝cosB，则B－A等于( )
A．－
B.
C．－
D．－或
答案：A
解析：条件中的两式可变为sinA－sinB＝sinC，cosA－cosB＝cosC，所得两式两边平方相加得cos(B－A)＝，又因为A，B，C∈(0，)，sinA－sinB＝sinC>0，故可得A>B，故B－A＝－.
6．已知三角形ABC中，有关系式tanA＝成立，则三角形ABC一定为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
答案：C
解析：“切化弦”后可得cos(A－C)＝cos(B－C)，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C，即B＝C或A＝60°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝__________.
答案：
解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②
①×3－②得：2cosαcosβ＝4sinαsinβ
即tanαtanβ＝.
8．sin70°cos25°－sin380°cos295°＝________.
答案：
解析：原式＝sin70°cos25°－sin20°cos65°＝cos20°cos25°－sin20°sin25°＝cos45°＝.
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案：－
解析：∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈.
∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
∵sin＝，∴cos＝－，
∴cos＝cos＝·＋·＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简：(tan10°－).
解析：原式＝(－)＝()＝·＝－2.
11．设cos＝－，sin＝且＜α＜π，0＜β＜，求cos.
解析：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜，
又∵cos＝－，sin＝，
∴sin＝
＝，cos＝
＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin ＝.
12．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)f
＝2sin
＝2sin＝2×＝.
(2)f
＝2sin
＝2sinα＝，∴sinα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2sin
＝2cosβ＝，
∴cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.29 单元测试卷三
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于( )
A．0 B. C. D．1
答案：D
解析：原式＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.
2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )
A.
B.
C．0
D．－1
答案：C
解析：因为a⊥b，所以1×(－1)＋cosθ×(2cosθ)＝0，得2cos2θ－1＝0，即cos2θ＝0.
3．已知ω>0，函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)在上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．(0,2]
答案：A
解析：因为f(x)＝(sinωx＋cosωx)，所以f(x)＝sin.
4．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )
A.
B．－
C．－
D.
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.
5．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是( )
A．[2,3]
B.
C．[1,4]
D．[2,4]
答案：A
解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.
6．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案：A
解析：因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)．
∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
由条件知：sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，故选A.
7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α等于( )
A.
B．±
C．－
D.
答案：A
解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－，从而sinα＞0，cosα＜0，
cosα－sinα＝－＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
＝－× ＝.
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为sinα＋cosα＝sin(α＋)∈(1，)，所以tanα∈(1，)，又因为0<α<，所以<α<，故选
C.
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg)，则( )
A．a＋b＝0
B．a－b＝0
C．a＋b＝1
D．a－b＝1
答案：C
解析：f(x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1
又因为lg5＋lg＝0，∴a＋b＝1.
10．若偶函数f(x)在区间[－1,0]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是( )
A．f(cosα)＞f(cosβ)
B．f(sinα)＞f(cosβ)
C．f(sinα)＞f(sinβ)
D．f(cosα)＞f(sinβ)
答案：D
解析：已知α，β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β＞，即β＞－α且β，－α∈.因为y＝sinx在上为增函数，所以sinβ＞sin＝cosα，sinβ，cosα∈[0,1]，已知函数f(x)在[－1,0]上为增函数且为偶函数，则f(x)在[0,1]上为减函数，所以f(cosα)＞f(sinβ)．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知sin＝，则sin2x＝________.
答案：－
解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.
12．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且0＜α，β＜，则cosβ＝__________.
答案：
解析：因为0＜α，β＜，cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
13．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.
答案：3＋2
解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，＝＝＝＝＝3＋2.
14．已知函数f(x)＝cos2x－2acosx－2a的最小值为－，则实数a的值为________．
答案：－2＋
解析：f(x)＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－2a－1.令t＝cosx，则－1≤t≤1，函数f(x)可化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1(－1≤t≤1)．当>1，即a>2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；当<－1，即a<－2时，当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1，不符合题意，舍去；当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，解得a＝－2±，由于－2≤a≤2，故a＝－2＋.
15．给出下列命题：
①存在x∈，使sinx＋cosx＝；
②存在区间(a，b)，使y＝cosx为减函数而sinx＜0；
③y＝cos2x＋sin既有最大值和最小值，又是偶函数；
④y＝sin的最小正周期为π.
其中错误的命题为__________．(把所有符合要求的命题序号都填上)
答案：①②④
解析：对于①，sinx＋cosx＝sin，因为x∈，所以x＋∈，sinx＋cosx＝sin∈[1，]，故①错误；对于②，函数y＝cosx的单调减区间为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，此时y＝sinx＞0，故②错误；③正确；对于④，函数y＝sin的最小正周期为，故错误．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
解析：(1)因为函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x，
所以f(x)＝1＋2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝＋2＝＋＋2＝.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
17．(12分)已知tanθ＝，求：
(1)的值；
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ的值．
解析：(1)＝＝＝＝－3－2
.
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ
＝ ＝ ＝ ＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.
(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由函数y＝f(x)的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的，且g(x)在区间(0，m)上是单调函数，求实数m的最大值．
解：解法一：(1)因为tanθ＝2，
所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－
＝－
＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
因为当x∈(0，m)时，2x－∈，
又g(x)在区间(0，m)上是单调函数，
所以2m－≤，即m≤，
故实数m的最大值为.
解法二：(1)f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－.
因为tanθ＝2，所以sinθ＝2cosθ，
所以f(θ)＝－＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递增．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递减．
因为函数g(x)在区间(0，m)上是单调函数，所以(0，m) ，
故实数m的最大值为.
19．(12分)已知函数f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，是否存在实数t，使函数f(x)的值域恰为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＋t＝2sin＋t＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)假设存在实数t符合题意，∵x∈，
∴－≤2x－≤，则sin∈，
∴f(x)＝2sin＋t＋1∈[t,3＋t]．
又f(x)∈，∴t＝，
∴存在实数t＝，使函数f(x)的值域恰为.
20．(13分)已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值．
解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin.
由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．
(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝，
因为α∈，所以<α＋<，则cos＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
21．(14分)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝1＋2sin.
又∵x∈，∴≤2x－≤，
∴2≤1＋2sin≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
(2)∵|f(x)－m|＜2 f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，
∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．24 两角和与差的正切函数
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设tanα＝，tanβ＝，且α、β角为锐角，则α＋β的值是( )
A. B.或
C.
D.
答案：C
解析：由tanα＝，tanβ＝，得tan(α＋β)＝＝＝1.又α、β均是锐角，
∴α＋β＝.
2.的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝，故选C.
4．已知tanα＝，则的值是( )
A．2
B.
C．－1
D．－3
答案：B
解析：解法一：因为tanα＝，所以tan＝＝＝3，所以＝＝.故选B.
解法二：＝＝tan＝tanα＝.故选B.
5．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
答案：A
解析：由tanAtanB>1得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
6．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
A.
B.
C．－
D．不确定
答案：C
解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0.tan(α＋β)＝＝＝＝－m＋.
∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值为－.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
答案：－
解析：∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)，又cos2α＝－，
∴sin2α＝，tan2α＝－，∴tan(＋2α)＝＝－.
8．tan＋tan＋tan·tan的值为________．
答案：
解析：tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tan·tan
＝＋tan·tan＝.
9．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________.
答案：
解析：∵＝＝tan＝tan(＋)＝，∴＝tan＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解析：(1)由题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
因为tanα＝2，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)
＝×
＝×tan[(α＋β)－α]
＝×tanβ
＝×
＝.
11．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解析：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－＝－.
12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共线，其中θ∈.
(1)求tan的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求φ的值．
解析：(1)∵a，b共线，∴sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.
∴tan＝＝＝－3.
(2)由(1)，知tanθ＝2，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
∵5cos(θ－φ)＝3cosφ，
∴5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ，即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
又0<φ<，∴tanφ＝1，∴φ＝.25 两角和与差的三角函数习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知α为任意角，则下列等式
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
③cos(＋α)＝－sinα
④tan(－α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan(－0)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
答案：B
解析：∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.
3．若sinα＋cosα＝－，则cos(－α)等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：C
解析：sinα＋cosα＝2sin(α＋)＝－.
cos(－α)＝cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝－.
4．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.或
D.或
答案：A
解析：因为α∈，所以2α∈.又sin2α＝，故2α∈，所以α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝.
5．已知sin＝sinα＝－，－<α<0，则cos等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：D
解析：因为sin＋sinα＝－，所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
－cos＝－，cos＝，
所以cos＝cos＝，故选D.
6．在△ABC中，若tanC＝，且sinAcosB＝cos(－B)sinB，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等腰但非直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由tanC＝可知，C＝.所以A＋B＝，故cos＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.
答案：0
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinx
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
8．函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2sin2x＋2cos2x－3＝4sin－3.又x∈，所以2x＋∈，sin∈，所以－2≤4sin≤4，所以－5≤4sin－3≤1.所以函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为[－5,1]．
9．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________．
答案：－
解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.
解析：因为tanα＝2，
所以左边＝＝＝＝，
右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin－cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝sin－cos，x∈R，
∴f(x)＝2sin，x∈R.
f＝2sin＝2sin＝.
(2)f＝2sinα＝，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，∵β∈，∴sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
12．已知sinαcosβ＝，求
sinβcosα的取值范围．
解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋，
sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－.因为－1≤sin(β±α)≤1
所以所以－≤sinβcosα≤.
即当α＋β＝2kπ＋(k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－(k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．28 二倍角习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若π<α<2π，则化简的结果是( )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos.故选C.
2．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：C
解析：方法一：原式左边＝
＝
＝－2cos
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴sinα＋cosα＝，故选C.
方法二：原式＝
＝
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴cosα＋sinα＝，故选C.
3．若θ∈，sin2θ＝，则sin(5π－θ)＝( )
A.
B.
C.或
D．－
答案：A
解析：解法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin2θ＝，所以cos2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝＝＝.故选A.
解法二：因为sin2θ＝，所以2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sinθ≤1，所以sinθ＝.所以sin(5π－θ)＝sinθ＝，故选A.
4．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－
B.
C．－a
D．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
方法二：原式＝－(cos2α－cos2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
答案：B
解析：∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
答案：C
解析：cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ的值为________．
答案：－
解析：因为θ∈，所以2θ∈，cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又sinθ＝－＝－＝－.
8.－的值为__________．
答案：4
解析：原式＝－＝＝＝4.
9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos＋cos＋cos＝－2sincos.
解析：左边＝·
＝
＝
＝－，
右边＝－sin＝－，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求f(β)．
解析：(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＝2sin，
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝， ①
cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－. ②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤，得cosβ＝0，β＝.
故f(β)＝2sin＝.
12．已知向量a＝(1，－)，b＝(sinx,2cos2－1)，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sinx－＝sinx－cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，
∴tanθ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sinx－cosx＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．23 两角和与差的正弦余弦函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．cD．b＜a＜c
答案：A
解析：a＝sin55°sin60°＝.
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1
①
cosα＋cosβ＝－cos1 ②
①②平方相加得cos(α－β)＝－.
3．设函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
答案：D
解析：f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x.
则函数在单调递减，其图像关于x＝对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.
5．若sinα＋sinβ＝，则cosα＋cosβ的取值范围是( )
A.
B.
C．[－2,2]
D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝＋x2，
∴x2＝＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤即－≤x≤.
6．设α，β∈，sinα＝，sinβ＝，α＋β的大小为( )
A．－135°
B．45°
C．135°
D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，所以cos＝－，所以cosα＝cos＝cos＋sin＝－.
9.＝__________.
答案：
解析：原式＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．
解析：依题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos且a·b＝，
∴cos＝.
由－＜α＜，得－＜α－＜0.
∴sin＝－＝－.
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin＝－.