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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第3课时)教案
课题 《矩形的性质与判定》(第3课时) 单元 第一章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1.知识与技能 通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
2.过程与方法 通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。3.情感态度和价值观 在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
重点 理解矩形判定定理的应用
难点 矩形判定定理的应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 同学们，你们还记得上节课的学习内容吗？我们一起来回顾一下（PPT展示） 学生看黑板回答问题 帮助学生回顾旧知
讲授新课 教师：看来同学们都掌握得不错哦，接下来，我们通过例题来看看，大家对知识的掌握情况。例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO= BD(矩形的对角线相等且互相平分），∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）∵ED=3BE,∴BE=OE又∵AE⊥BD,∴AB=AO，∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，∴教师：通过例题1，相信大家对自己的掌握情况有了一定的了解，那么我们来做一下即时练习吧即时练习如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作BD的垂线，垂足为E，已知 EAD=3 BAE， 求 EAO的度数。解：已知 EAD=3BAE， 在矩形ABCD中，BAD=90° 即 EAD+ BAE=90° BAE=90° 4=25° AE BD, AEB=90°, 在Rt△ABE中， ABE=90°-25°=65° BDC= ABE=65°（2）在Rt△ABC和Rt△BCD中，AB=CD，ABC= BCD,BC=BC∴△ABC △BCD∴ BAC=CBD=65°∴ EAO=BAC— BAE=45°教师：同学们，对这种题型还有什么不明白的？（点名学生回答）教师：嗯，现在大家应该都能掌握这种题型相关的解题规律了吧，接下来我们来看另一种题型。例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。教师：大家对这题应该还有些模糊，那我们来看一下即时练习吧即时练习在上述例题中，连接DE、交AC于点F（如图）。（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。教师：同学们，对这道题有什么疑惑呢？点名学生回答教师：大家提出的疑问都很不错，相信大家现在应该具备挑战习题的能力了，那我们快来看看这些题吧。巩固练习1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）3.如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．直击中考（2017 乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ） （2017 营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________ 学生听讲，做例题学生总结做题的困难，提出问题学生总结解题困惑，举手提出疑问。 帮助学生解决解题的疑惑帮助学生解决问题疑惑，更好地掌握解题思路
课堂小结 教师：课程内容到这里就告一段落了，大家现状回想一下我们今天都学了些什么？点名学生回答矩形的性质与判定的应用矩形中折叠问题的处理 学生回答老师问题 帮助学生梳理知识点
板书 例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.矩形的性质与判定的应用矩形中折叠问题的处理
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第一章：特殊平行四边形
第三节：矩形的性质与判定3
北师大版 九年级上
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教学目标
温故知新
1.矩形的定义：有一个角是__________的平行四边形是矩形
2.矩形的性质：矩形的四个角都是___________,
矩形的对角线____________.
3.矩形的特征：矩形是一个 图形
直角
直角
相等
轴对称图形和中心对称
4.定理：直角三角形斜边上的中线等于________的一半。
斜边
5.矩形的判定：（1）有一个角是 的平行四边形是矩形.
（2) 相等的平行四边形是矩形.
（3）有 的四边形是矩形.
直角
对角线
三个角是直角
教学目标
新课讲解
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO= BD(矩形的对角线相等且互相平分）∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,∴BE=OE
又∵AE⊥BD,∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，
∴
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,
过点A作BD的垂线，垂足为E，已知 EAD=3 BAE，
求 EAO的度数。
教学目标
即时练习
解：已知 EAD=3 BAE，
在矩形ABCD中， BAD=90°
即 EAD+ BAE=90°
BAE=90° 4=25°
AE BD, AEB=90°,
在Rt△ABE中， ABE=90°-25°=65°
BDC= ABE=65°
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AB=CD， ABC= BCD,BC=BC
∴△ABC △BCD
∴ BAC= CBD=65°
∴ EAO= BAC— BAE=45°
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)OD// AB, 理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB, .
教学目标
即时练习
在上述例题中，连接DE、交AC于点F（如图）。
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。
（1）四边形ABDE是平行四边形。
证明：四边形ADCE是矩形（已证），
∴AE//DC，AE=DC。又∵在△ABC中，
AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；AD是角BAC的角平分线，∴BD=DC
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）∵四边形ABDE是平行四边形
∴AB=DE，AB//DE，
∵点F是矩形ADCE的对角线的交点
∴DF= DE
∴DF//AB，DF= AB
教学目标
巩固提升
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD
C．OA=OB D．OA=AD
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，故选：D．
D
2.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
教学目标
巩固提升
解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，
故选：A．
A
3.如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
教学目标
巩固提升
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
教学目标
直击中考
1.（2017 乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）
A、1 B、 C、2 D、2
C
解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．
∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．
∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．
在Rt△GHE中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=CE，∴GH=
∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵矩形ABCD的面积为4
，∴4EC EC=4
∴EC=1，EF=GE=2．故选C．
2.（2017 营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
教学目标
直击中考
解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC=
△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点F在对角线AC上，∴AE平分∠BAC，
∴ ∴BE=3
3或6
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
教学目标
课堂小结
矩形中折叠问题的处理
矩形的性质与判定的应用
谢 谢！
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