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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第1课时)教案
课题 矩形的性质 单元 第一章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 知识与技能 了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法 经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观 培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
重点 掌握矩形的性质，并学会应用．
难点 理解矩形的特殊性．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师说：“同学们，下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？” 引导学生发现：是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度. 学生看黑板，观察图片，思考老师提出的问题 观察图片，思考相关问题，能够给学生清晰的思考路径
讲授新课 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形 教师：同学们，开动脑筋，想一想，矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？ 点名学生回答教师问：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。学生讨论，点名学生回答。教师：同学们，拿出一张矩形纸片出来，我们来动手试试看。用矩形纸片折一折，回答下列问题：1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？教师点名学生回答问题。得出结论：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。教师：同学们完成任务的能力很好哦，接下来，老师要提高问题难度了，谁来帮老师和同学们从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角；③对角线：相等且互相平分． 教师带领学生验证猜想结论验证结论：已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°. 求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90° （2）AC=BD证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠A+∠B=90° ，∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°∵∠A=90°∴∠B=∠D=∠C=90°∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°（2）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD. AB=DC∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB∴ △ ABC≌△DCB(SAS)∴ AC=BD.教师：根据上述的验证，我们可以得到矩形的哪些性质呢？哪位同学能够帮大家梳理一下矩形的性质？点名学生回答问题小结：矩形的特殊性质定理 性质1、矩形的四个角都是直角．性质2、矩形的两条对角线相等．几何语言:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AC = BD教师：同学们，现在掌握了矩形的性质，相信大家都能够掌握得不错。接下来，我们来看看一道具有挑战性的题目新知延伸仔细观察Rt△ABC，BO是Rt△ABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？BO是斜边AC上的中线，BO等于AC的一半.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。教师：同学们要记住这个推论，它以后在解几何图形，会有大作用的。接下来我们来一起挑战例题。例题讲解例1.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,∴OA=OD∵∠AOD=120°.∴∠ODA=∠OAD=∵∠DAB=90°.∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).例2.已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴CF∥AE，∵DF=BE，∴CF=AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE．巩固提升1.下列关于矩形的说法中正确的是（A）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分如图，P 是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE 的周长为( )A．14 B．16 C．17 D．183.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm 则AC= cm，BO= cm，矩形的周长为 cm,矩形的面积为 cm4. 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, ∠AOB=60°, AB = 4cm, 求矩形对角线的长.解：∵矩形ABCD∴ AC=BD=2AO=2BO(矩形的对角线互相平分且相等)又∵ ∠AOB=60°(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形) ∴ △AOB为正三角形.∴ AB=OA=OB=4cm∴ AC=BD=2OB=2×4=8cm教师：今天的新知识，大家都能够运用得得心应手了吗？接下来，我们来看看今年的相关的中考题，你们准备好了吗？直击中考1.（2017 绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（C ）A、7° B、21° C、23° D、24°解：在矩形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，∴∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∠AFC=∠FAE+∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，则∠ACD=∠ACF+∠ECD=3∠ECD=69°，∴∠ECD=23°故选C.（2017 南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．（2017 岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中， ∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD． 学生听讲，并思考老师问的问题小组讨论矩形的性质，并举手回答老师问题学生动手跟着老师指导的思路，完成任务。观察小组间完成的情况，总结矩形的特殊性质，并举手发言学生讨论，并给出答案。学生跟随老师的思路，书写解题过程。学生根据例题，老师提问方向，总结归纳矩形的特殊性质学生阅读题目，并思考课件的题目完成例题，挑战自我学生完成练习，自检今日学习情况学生继续完成中考题 增强学生观察，总结能力，小组讨论能力学生自己观察得出结论，能够让学生更好地掌握新知识增强同学间的互动，交流，动手能力。提升学生观察，团结合作及总结能力学生自主学习，得出答案提升学生总结能力帮助学生熟悉新的知识点，会运用并进行拓展帮助学生自我测试帮助学生提高自信，挑战自我。
课堂小结 今天的课，到这里就结束了，我们来回顾一下今天学的内容。1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．性质归纳： （1）边的性质：对边平行且相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线性质：对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形．3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半． 学生听讲，归纳总结，自检不足之处 帮助学生梳理知识点，巩固。
板书 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．性质归纳： （1）边的性质：对边平行且相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线性质：对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半．
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第一章：特殊平行四边形
第一节：矩形的性质
北师大版 九年级上
教学目标
问题导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
我们发现：
是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度.
教学目标
新课讲解
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
平行四边形
有一个角是90度
矩形
矩形是特殊的平行四边形
∠A=90°
ABCD
四边形ABCD是矩形
教学目标
想一想
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
教学目标
自主探究
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.
也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
A
B
C
D
O
已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（2）AC=BD
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=90° ，
∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°
∵∠A=90°
∴∠B=∠D=∠C=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
教学目标
验证结论
教学目标
验证结论
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∵ ∠ABC= ∠DCB
BC=CB
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
∴ AC=BD.
矩形的特殊性质定理
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言: ∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC = BD
教学目标
小结
仔细观察Rt△ABC，BO是Rt△ABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？
BO是斜边AC上的中线，
BO等于AC的一半.
教学目标
新知延伸
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形.
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∴AC=BD,
∵∠DAB=90°.
D
B
C
A
O
∵∠AOD=120°.
∴∠ODA=∠OAD=
∴OA=OD
教学目标
例题讲解
例2.已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．
教学目标
例题讲解
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
教学目标
巩固练习
1.下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
A
2.如图，P 是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE 的周长为( )
A．14 B．16 C．17 D．18
教学目标
巩固练习
D
教学目标
巩固提升
3.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm ,则AC= cm，BO= cm，矩形的周长为 cm,矩形的面积为 cm2
5
2.5
14
12
教学目标
巩固提升
4. 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, ∠AOB=60°, AB = 4cm,
求矩形对角线的长.
解：∵矩形ABCD
∴ AC=BD=2AO=2BO(矩形的对角线互相平分且相等)
又∵ ∠AOB=60°(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴ △AOB为正三角形.
∴ AB=OA=OB=4cm
∴ AC=BD=2OB=2×4=8cm
教学目标
直击中考
1.（2017 绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（ ）
A、7° B、21° C、23° D、24°
解：在矩形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，∴∠FEA=∠ECD，∠ACD=90°-∠ACB=69°，
∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∠AFC=∠FAE+∠FEA，
∴∠ACF=2∠FEA，则∠ACD=∠ACF+∠ECD=3∠ECD=69°，
∴∠ECD=23°故选C.
C
2.（2017 南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．
教学目标
直击中考
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．
教学目标
直击中考
3.（2017 岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．
教学目标
课堂小结
3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半．
1．矩形定义：有一个角是直角的平行
四边形叫做矩形．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
谢 谢！
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