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北师大数学九年级上册第一章第二节矩形的判定
课题 矩形的判定 单元 第一章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1.知识与技能 （1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力. （2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力. 2.过程与方法 在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。3.情感态度和价值观 体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
重点 矩形的判定
难点 矩形的判定及性质的综合应用．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问：同学们还记得上节课学习的内容吗？接下来老师带大家来自我检测一下。（PPT展示）（1）矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质； 学生思考问题并回答 复习导入设计能帮助学生更好地掌握新知
讲授新课 问：同学们，通过刚刚的复习，动脑筋想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？引导学生思考，引出定义法。矩形的判定1：定义法有一个角是直角的平行四边形叫做矩形几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形教师说：同学们都很厉害，能够很快地想出了用矩形的定义去判断，不知道哪位同学能试想出其他方法呢？点名学生回答。（PPT展示，第二种方法）矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？问：大家仔细观察屏幕的这个平行四边形的活动框架. 想一想，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化呢？然后回答老师两个问题。随着∠ 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？答：随着∠ 的增大，两条对角线的长度将慢慢的变成相等的；当两条对角线的长度相等时，平行四边形又什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？点名学生回答，引出第二个证明方法。猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形。”已知:如图,在 ABCD中,AC、BD是它的两条对角线，AC=BD。求证: ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,AB∥CD.又∵AC=DB,BC=CB.∴ △ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB又∵AB∥CD.∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB = ×180°=90°.∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)猜想结论：矩形的判定2：对角线相等的平行四边形是矩形几何语言：教师：同学们，对角线相等的前提是要在平行四边形的基础上验证的，如果只是说两条对角线相等，那么这个图形就有可能不是矩形了。接下来，我们来学习最后一种证明方法。矩形的判定3：有三个角是直角的四边形是矩形小明同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形？已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.矩形的判定3：三个角是直角的四边形是矩形.几何语言:教师：学到这里，我们已经学完了矩形的证明方法了。接下来我们来看相关例题例题讲解已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.解：∵ABCD是平行四边形， ∴AC = 2OA，BD = 2OB。 ∵OA = OB， ∴AC =BD， ∴ ABCD是矩形。 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm， ∴BC=教师：通过这个例题，同学们应该都能够掌握了证明四边形是矩形的方式了吧，接下来我们来做些相关练习，巩固一下（PPT展示）巩固练习1.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )A.AB=AD B.OA=OBC.AC=BD D.DC⊥BC2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,则四边形CFEG的周长是 3.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线为 _______，面积为__________. 4.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．教师：练习部分就这么多，同学对自己本节课的内容掌握，有信心了吗？那接下来，我们来挑战一下中考题吧直击中考1.（2017 上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ） A、∠BAC=∠DCA B、∠BAC=∠DACC、∠BAC=∠ABD、 D、∠BAC=∠ADB（2017 株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ） A、一定不是平行四边形B、一定不是中心对称图形C、可能是轴对称图形D、当AC=BD时它是矩形3.（2017 葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形． 学生积极思考老师的问题带着老师的问题，小组展开谈论，并尝试得出结论小组讨论，思考问题学生尝试解题，并论证猜想思考问题，小组展开讨论并动手作图学生听讲，记笔记学生解题，并小组间相互验证学生做例题学生总结，并做练习题 通过复习环节，让学生思考矩形的判定方法提高学生观察能力，想象力增强学生团结合作的能力。通过相关例题，帮助学生很好地掌握矩形证明的三个方法。帮助学生自我检验本节课内容提高学生动手能力，大胆验证猜想
课堂小结 学生着重标记自己还不明白的内容，自检 帮助学生梳理本节课的学习内容
板书 矩形的判定1：定义法∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
D
B
C
A
O
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第一章：特殊平行四边形
第二节：矩形的判定
北师大版 九年级上
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教学目标
温故知新
四边形
平行四边形
矩形
两组对边分别平行
一个角是直角
矩形的定义：有一个角是__________的平行四边形是矩形
矩形的性质：矩形的四个角都是___________,
矩形的对角线____________.
矩形的特征：矩形是一个 图形
直角
直角
相等
轴对称图形和中心对称
想一想： 我们可以怎样判定一个四边形是矩形？
教学目标
新课讲解
矩形的判定1：定义法
D
B
C
A
∟
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
几何语言：
想一想：除了定义法，你还可以想到其他什么方法？
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
教学目标
新课讲解
如图是一个平行四边形的活动框架. 拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。
1.随着∠ 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
答：随着∠ 的增大，两条对角线的长度将慢慢的变成相等的；
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形又什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
教学目标
新课讲解
猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩
形。”
已知:如图,在 ABCD中,AC、BD是它的两条对角线，AC=BD。求证: ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB = ×180°=90°.
∴ ABCD是矩形.(矩形的定义)
教学目标
验证猜想
教学目标
猜想结论
矩形的判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言：
D
B
C
A
O
在□ABCD中
AC=BD
小明同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形？
教学目标
新课讲解
你能证明上述结论吗？
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
教学目标
验证猜想
教学目标
猜想结论
矩形的判定3：三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
D
B
C
A
O
在□ABCD中
∠A=∠B=∠C=90°
已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
∴AC =BD，
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=
教学目标
例题讲解
1.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=AD B.OA=OB
C.AC=BD D.DC⊥BC
教学目标
巩固提升
【解析】选A.当DC⊥BC时,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形ABCD是矩形;当OA=OB或AC=BD时,根据对角线相等的四边形是矩形可证四边形ABCD为矩形;当AB=AD时,可证四边形ABCD为菱形,不能证四边形ABCD为矩形.故选A.
A
教学目标
巩固提升
2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,则四边形CFEG的周长是 2·1·c·n·j·y
【解析】∵∠C=90°,
EF⊥AC,EG⊥BC,
∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°,
∴四边形FCGE是矩形,
∴FC=EG,FE=CG,EF∥CG,EG∥CA,
∴∠BEG=∠A=45°=∠B,∴EG=BG,
同理AF=EF,
∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12.
12
3.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线为 _______，面积为__________.21c
教学目标
巩固提升
【解析】如图，四边形ABCD为矩形,∠A=90°，因为E、F、M、N是AB,AD,BC、CD中点，所以EFNM是菱形，因为周长为20，所以EF=5，AB=6，AE=3，在RT△AEF中，利用勾股定理可得AF=8，则AD=8，在RT△ABD中，利用勾股定理可得BD=10，,所以矩形ABCD的面积=48.
10
48
4.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，M，N分别为BC，AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
教学目标
巩固提升
教学目标
直击中考
1.（2017 上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A、∠BAC=∠DCA B、∠BAC=∠DAC
C、∠BAC=∠ABD、 D、∠BAC=∠ADB
解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形； B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．
C
教学目标
直击中考
2、（2017 株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A、一定不是平行四边形
B、一定不是中心对称图形
C、可能是轴对称图形
D、当AC=BD时它是矩形
C
解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG= AC，
EH=FG= BD
∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故选：C．
3.（2017 葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
教学目标
直击中考
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
教学目标
课堂小结
一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
五种判定方法
四边形
平行四边形
矩形
矩形的判定方法：
谢 谢！
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