2017—2018学年数学北师大版必修4同步练习：第1章三角函数 章末测试

第一章章末测试
时间：90分钟　分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　)
A．45°－4×360°　　　　B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360°
D．315°－5×360°
答案：D
解析：－1485°＝－5×360°＋315°.故选D.
2．若α＝－10rad，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
解析：－10rad≈－10×57.30°＝－573°＝－720°＋147°，故角α是第二象限角．
3．函数y＝Asin(＋x)(A≠0)的奇偶性是(　　)
A．既非奇函数又非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
答案：D
解析：因为x∈R，并且sin(＋x)＝sin(－＋x)＝－sin(－x)＝－cosx.故所给函数为偶函数．
4．若a，b分别为函数y＝sinx－1的最大值和最小值，则a＋b等于(　　)
A.
B．－
C．－
D．－2
答案：D
解析：由题意可知：a＋b＝(－1)＋(－－1)＝－2.
5．若sin(－x)＝－，且π＜x＜2π，则x等于(　　)
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：B
解析：∵sin(－x)＝cosx－.
且π＜x＜2π，∴x＝π.
6．若点P在的终边上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为(　　)
A．(1，)
B．(，－1)
C．(－1，－)
D．(－1，)
答案：D
解析：设点P(x，y)，则x＝2cos＝－1，y＝2sin＝，即P(－1，)．
7．为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋)的图像(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
答案：B
解析：∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)＋]，∴只需把函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个长度单位．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)
A．关于点(，0)对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于直线x＝对称
答案：A
解析：由＝π，
得ω＝2，将其代入验证得f()＝0，所以选A.
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则(　　)
A．ω＝，φ＝0
B．ω＝，φ＝
C．ω＝－，φ＝
D．ω＝，φ＝0
答案：A
解析：∵T＝4，∴ω＝，又∵(1，)是顶点，|φ|＜，∴可得φ＝0.
10.
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于　　　　　(　　)
A.
B.
C.
D．1
答案：B
解析：由图可知，＝－(－)＝ T＝π ω＝2，又∵＝，
∴f(x)过点(，1)，即sin(2×＋φ)＝1 φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)，
而x1＋x2＝－＋＝，∴f(x1＋x2)＝f()＝sin(2×＋)＝sin＝.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是________rad.
答案：
解析：设此圆半径为r，则弧长为r，∴α＝.
12．若sin(＋α)＝，则cos(α－)＝________.
答案：
解析：cos(α－)＝cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.
13．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
答案：[－，3]
解析：函数f(x)＝3sin(ωx＋)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，则f(x)与g(x)的周期相同，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋)．又x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴－≤f(x)≤3.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．设f(θ)＝，求f()的值．
解：设f(θ)＝＝＝cosθ，
∴f()＝cos＝.
15．如图，扇形的内切圆半径与扇形半径之比为1?：3，求内切圆面积与扇形面积之比．
解：设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可得扇形的中心角为，
故S内切圆?：S扇形＝πr2?：·3r·(·3r)＝2?：3，
即内切圆面积与扇形面积之比为2?：3.
16．若函数f(x)＝a－bcosx的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4asinbx的最值和最小正周期．
解：当b＞0时，
g(x)＝－4sinx.
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
当b＜0时，
g(x)＝－4sin(－x)＝4sinx.
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
b＝0时不符合题意．
综上所述，函数g(x)的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
17．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)把函数f(2x＋)的图像向左平移m(m＞0)个单位使所得函数的图像关于点(，0)对称，求m的最小值．
解：∵图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T＝2π，则ω＝＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，又∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，又0≤φ≤π，
∴φ＝，∴f(x)＝cosx.
(2)∵f(2x＋)＝cos(2x＋)，∴函数y＝cos[2(x＋m)＋]的图像关于点(，0)对称，
∴cos(2m＋)＝0，∴2m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝－(k∈Z)，又∵m＞0，
∴当k＝1时，m取最小值为.
18．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，A>0，ω>0，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y(米)关于t(分钟)的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
解：
(1)由题设可知A＝50，b＝60，又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60，再由题设知t＝0时，y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－，因此，y＝60－50cost，(t>0)．
(2)要使点P距离地面超过85米，则有y＝60－50cost>85，即cost<－，又00)解得0)，即1所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85米的时间有1分钟．