2017—2018学年数学北师大版必修4同步练习：第3章 章末测试

第三章章末测试
时间：90分钟　分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知sinα＝且α∈(，π)，则tanα的值为(　　)
A．－　　　B.
C．－
D.
答案：C
解析：∵α∈(，π)，由同角基本关系易知cosα＝－.
tanα＝＝－.
2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
解析：由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－，故选A.
3．若cosθ＝－，θ是第三象限的角，则＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－2
答案：D
解析：由已知得＝＝＝，
因为cosθ＝－，且θ是第三象限的角，故sinθ＝－，故＝＝－2.
4．已知cosθ＝，θ∈(0，π)，则cos(π＋2θ)的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案：C
解析：∵cosθ＝，θ∈(0，π)
∴sinθ＝
cos(＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.
5．设α，β∈(0，)，tanα＝，tanβ＝，则α－β等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：∵tan(α－β)＝＝＝1，
α，β∈(0，)，∴－＜α－β＜，
∴α－β＝.
6．当x∈[－，]时，y＝的最小值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
答案：B
解析：∵y＝＝tanx，∴当x＝－时，ymin＝－.
7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－.
8．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.
9．要得到y＝2sin2x的图像，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图像(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案：D
解析：y＝sin2x＋cos2x
＝2(sin2x＋cos2x)
＝2sin(2x＋)
而y＝2sin2x＝2sin[2(x－)＋]
∴只需将图像向右平移，故选D.
10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则n＝(　　)
A．1,6
B．2,5
C．3,4
D．2,3,4,5
答案：C
解析：若n＝1或n＝6，显然∠AOnB<90°，若n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，则有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．已知cosα＝，且α∈(，2π)，则cos(α－)＝________.
答案：
解析：∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴sinα＝－＝－＝－，
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝.
12．函数f(x)＝sinx＋cosx的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．
答案：
解析：∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是＝.
13．如图，四边形ABCD为矩形，且AB＝2，AD＝1，延长BA至E，使AE＝2，连接EC、ED，则tan∠CED＝________.
答案：
解析：由题意可知，tan∠DEB＝，tan∠CEB＝，
∴tan∠CED＝tan(∠DEB－∠CEB)＝＝.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．化简求值：.
解：原式＝＝
＝＝sin30°＝.
15．已知α∈(0，)，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β.
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1.
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－，∴＜β＜π，又α∈(0，)，
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.
16．如图，
设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若Q(，)，求cos(α－)的值；
(2)设函数f(α)＝·，求f(α)的值域．
解：(1)由已知可得cosα＝，sinα＝.
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin
＝×＋×
＝.
(2)f(α)＝·＝(cos，sin)·(cosα，sinα)
＝cosα＋sinα
＝sin(α＋)．
∵α∈[0，π)，∴α＋∈[，)，
－∴f(α)的值域是(－，1]．
17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋)＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.
因此θ＝或θ＝.
18．已知函数f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)由题设知f(x)＝[1＋cos(2x＋)]．
因为x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，
即2x0＝kπ－(k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin(kπ－)．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin(－)＝；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋1＋sin2x
＝[cos(2x＋)＋sin2x]＋
＝(cos2x＋sin2x)＋＝sin(2x＋)＋.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin(2x＋)＋是递增的．
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．