2017—2018学年数学北师大版必修4同步练习：阶段性检测

阶段性检测
时间：90分钟　分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．cosπ的值为(　　)
A.　　B．－
C.
D．0
答案：A
解析：cosπ＝cos(4π－)＝cos＝.
2．已知角α的终边经过点P(－7a,24a)(a＜0)，则sinα＋cosα等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
答案：C
解析：求出|OP|，利用三角函数定义求值．
∵点P坐标为(－7a,24a)(a＜0)，
∴点P是第四象限角且|OP|＝－25a.
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴sinα＋cosα＝－＋＝－.
3．设M和m分别表示函数y＝cosx－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)
A.
B．－
C．－
D．－2
答案：D
解析：M＝－1，m＝－－1，
∴M＋m＝－－＝－2.
4．函数y＝cos(2x＋)的图像的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝π
答案：B
解析：y＝cos(2x＋)＝－sin2x.函数图像的对称轴位置就是函数取最值的位置，验证即得．
5．sin2cos3tan4的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
答案：B
解析：∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0.
6．函数y＝3tan(－2x)的最小正周期为(　　)
A.
B.
C．π
D．2π
答案：B
解析：对于正切型函数T＝＝，故选B.
7．为了得到函数y＝2sin(＋)(x∈R)的图像，只需把函数y＝2sinx(x∈R)的图像上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案：C
8．已知点(tan，sin(－))是角θ终边上一点，则tanθ等于(　　)
A．2
B．－
C．－
D．－2
答案：C
解析：点(tan，sin(－))可化为点(1，－)，则tanθ＝－.
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图像如下图所示，则函数表达式为(　　)
A．y＝－4sin(x＋)
B．y＝4sin(x－)
C．y＝－4sin(x－)
D．y＝4sin(x＋)
答案：A
解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝，φ＝.
10．已知集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθ＜sinθ}，那么E∩F为区间为(　　)
A．(，π)
B．(，)
C．(π，)
D．(，)
答案：A
解析：如图，由图像可知集合E＝{θ|＜θ＜}，
又因为θ在第一象限时，sinθ＜tanθ，
θ在第二象限时，sinθ＞0＞tanθ，
θ在第三象限时，tanθ＞0＞sinθ，
θ在第四象限时，sinθ＞tanθ(由三角函数线可知)，
∴F＝{θ|2kπ＋＜θ＜2kπ＋π或2kπ＋＜θ＜2kπ＋2π，k∈Z}，
故E∩F＝(，π)，应选A.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．若sinα＝2cosα，则＝________.
答案：
解析：＝＝.
12．函数y＝tan(2x＋)的递增区间是________．
答案：(－，＋)(k∈Z)
解析：由kπ－＜2x＋＜kπ＋，得－＜x＜＋(k∈Z)．
13．函数f(x)＝1－sin2x＋sinx在(，]上的值域是________．
答案：[，]
解析：f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－)2＋.∵＜x≤，
∴－≤sinx≤1，则当sinx＝时，f(x)max＝；当sinx＝－时，f(x)max＝.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.
解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°
＝－sin120°·cos210°＋cos60°·sin30°＋tan225°
＝(－)2＋×＋1＝2.
15．已知函数f(x)＝2cos(－)．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由已知f(x)＝2cos(－)＝2cos(－)，则T＝＝4π.
(2)当2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z),
即4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为{x|4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)}．
16．已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1，(a∈R)．
(1)若x∈[0，]时，f(x)最大值为4，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的集合．
解：(1)f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1
∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴f(x)在[0，]上的最大值为a＋3，
所以a＝1.
(2)f(x)＝1，∴sin(2x＋)＝－，
即2x＋＝2kπ－或2x＋＝2kπ－，此时x＝kπ－或x＝kπ－，
又因为x∈[－π，π]，
所以x∈{－，－，，}．
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)由题可知A＝，＝6－(－2)＝8，∴T＝16，
∴ω＝＝，则f(x)＝sin(x＋φ)．
又图像过点(2，)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝sin(x＋)．
(2)∵x∈[－2,4]，∴x＋∈[0，]，
当x＋＝，即x＝2时，f(x)max＝；
当x＋＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0.
18．设函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，－π＜φ＜0，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，
所以sin＝±1，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
所以kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)由y＝sin知
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示．