2017—2018学年数学北师大版必修4同步练习：模块综合测试卷

模块综合测试卷
时间：90分钟　分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边上有一点M(，－5)，则sinα等于(　　)
A．－　　　B．－
C．－
D．－
答案：B
解析：∵|OM|＝＝6，∴sinα＝－.
2．若向量＝(－1,3)，＝(3，t)，且∥，则等于(　　)
A．(1,3)
B．(2，－6)
C．(－3,2)
D．(3,2)
答案：B
解析：∵∥，∴－t－9＝0，∴t＝－9，＝(3，－9)，∴＝＋＝(2，－6)．
3．下列函数中，周期是的偶函数是(　　)
A．y＝sin4x
B．y＝cos22x－sin22x
C．y＝tan2x
D．y＝cos2x
答案：B
解析：A选项中y＝sin4x的周期是，但是是奇函数．B选项中y＝cos22x－sin22x＝cos4x，是偶函数，且周期T＝.C选项中y＝tan2x的周期是，但是是奇函数．D选项中y＝cos2x是偶函数，但周期是π.
4．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,4)，且a∥b，则x的值为(　　)
A．6
B．－6
C．－
D.
答案：A
解析：2x－12＝0　∴x＝6，故选A.
5．已知tan＝3，则cosα的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：将cosα表示成tan的关系式，代入求值．
cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－.
6．在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，则sinB等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：∵在△ABC中，＝(－，1)，∴cosB＝＝＝－，∴sinB＝.
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)等于(　　)
A．－8
B.
C．－
D．8
答案：C
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e，
由e1、e2为单位向量知|e2|2＝|e1|2＝1，e1·e2＝，
∴原式＝－6＋7×－2＝－.故选C.
8．函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin2x－2
B．y＝2cos3x－1
C．y＝sin(2x－)－1
D．y＝1－sin(2x－)
答案：D
解析：把x＝，y＝1；x＝，y＝0代入检验知y＝1－sin(2x－)．
9．若函数y＝f(x)的图像和函数y＝sin(x＋)的图像关于P(，0)对称，则f(x)解析式为(　　)
A．f(x)＝sin(x－)
B．f(x)＝－sin(x－)
C．f(x)＝－cos(x＋)
D．f(x)＝cos(x－)
答案：B
解析：设函数y＝f(x)的图像上任意点为(x，y)，由对称性可得：－y＝f(π－x)，y＝－f(π－x)＝－sin(π－x＋)＝－sin(x－)．
10．已知α、β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：因为＋4tanβ≥4，
所以tanα＝tan[(α＋β)－β]
＝＝＝≤，
所以当且仅当tanβ＝时，等号成立．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|＝________.
答案：1
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋3＋b2＝8，∴|b|＝1.
12．函数y＝2sinxcosx－1(x∈R)的值域是______．
答案：[－2,0]
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，
∴y∈[－2,0]．
13．给出下列命题：
(1)f(x)＝－2cos(π－2x)是奇函数；
(2)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
(3)x＝－π是函数y＝3sin(2x－π)的图像的一条对称轴；
(4)已知函数f(x)＝3sin2x＋1，使f(x＋c)＝f(x)对任意x∈R都成立的正整数c的最小值是2.
其中正确命题的序号是________．
答案：(1)(3)(4)
解析：必须逐个解决才能得出正确答案．
(1)f(x)＝－2cos(π－2x)＝2sin2x是奇函数，∴(1)正确．
(2)α＝30°，β＝－300°时，α＞β，但tanα＜tanβ，∴(2)错误．
(3)将x＝－π代入y＝3sin(2x－π)后，y取最大值3.∴(3)正确．
(4)f(x)＝3×＋1＝－cosπx.f(x)的最小正周期是2，而f(x＋c)＝f(x)对任意x∈R都成立，则说明正整数c是f(x)的周期，∴c的最小值是2.∴(4)正确．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值．
解：∵tanα＝＝－
∴
＝＝tanα＝－.
15．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个实根，且α，β∈(，)，求α＋β的值．
解：由于tanα，tanβ是方程x2＋3
x＋4＝0的两个实根，
于是
∵α，β∈(，)，由②知tanα与tanβ同号，结合①知tanα<0，tanβ<0，
∴<α<π，<β<π，
∴π<α＋β<2π
而tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝.
16．已知＝(－1,1)，＝(0，－1)，＝(1，m)(m∈R)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)证明：对任意实数m，恒有·≥1成立．
解：(1)＝(－2,1－m)，＝(1，－2)，∵A，B，C三点共线，∴－2＝，∴m＝－3.
(2)∵＝(－2,1－m)，＝(－1，－1－m)，∴·＝2－(1－m2)＝m2＋1≥1，
∴恒有·≥1成立．
17．已知cosx＋cosy＝，求cosx－sin2y的最大值和最小值．
解：∵cosy＝－cosx，
cosx＝－cosy≥－1，
∴－≤cosx≤1，
由cosx－sin2y＝cosx－(1－cos2y)
＝cosx＋(－cosx)2－1
＝cos2x＋cosx－
＝(cosx＋)2－.
∴当cosx＝－时，cosx－sin2y的最小值为－；
当cosx＝1时，cosx－sin2y的最大值为.
18．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图像，求方程g(x)＝1在x∈[0，π]上的解集．
解：(1)f(x)＝sin(2x＋)＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：kπ－≤x≤kπ＋，
∴f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由已知，g(x)＝sin(2x－)＋1，由g(x)＝1，得sin(2x－)＝0，
∴x＝＋(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴x＝或，∴方程的解集为{，}．