2017-2018高一数学人教A版必修2教案：第1章章末复习
课题
第1章
空间几何体复习
修改与创新
教学目标
通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学
( http: / / www.21cnjy.com )生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力.
教学重、难点
教学重点：①空间几何体的结构特征.②由三视图还原为实物图.③面积和体积的计算.教学难点：①由三视图还原为实物图.②组合体的结构特征.
教学准备
多媒体课件
教学过程
一、导入新课：我们生活的世界，存在各式各样的物体，它们大
( http: / / www.21cnjy.com )多是由具有柱、锥、台、球等形状的物体组成的.认识和把握柱体、锥体、台体、球体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础.教师引出课题.二、讲授新课：提出问题1.本章接触到的空间几何体是单一的柱体、锥体、台体、球体，或者是它们的简单组合体.你能说出较复杂的几何体（如你身边的建筑物）的结构吗？2.对于空间几何体，可以有不同的分类标准.你能从不同的方面认识柱、锥、台、球等空间几何体吗？你分类的依据是什么？3.为了研究空间几何体，我们需要在平面上画出空间几何体.空间几何体有哪些不同的表现形式？4.利用斜二测画法，我们可以画出空间几何体的直观图.你能回顾用斜二测画法画空间几何体的基本步骤吗？5.计算空间几何体的表面积和体积时，要充分
( http: / / www.21cnjy.com )利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别是柱、锥、台体侧面展开图.请同学们回顾柱、锥、台体的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？柱、锥、台体的体积之间是否存在一定的关系？6.球是比较特殊的空间几何体，它的表面积公式和体积公式是什么？7.画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知
( http: / / www.21cnjy.com )识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果：1.略.以实际情况来确定.2.按围成几何体的面是否是平面分为：
按底面的情况分为：
3.空间几何体有两种表现形式：三视图和直观图.4.略.5.结构特征棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球侧面展开图平行四边形由三角形拼接成由梯形拼接成矩形扇形扇环不可展开表面积的计算方法各个面的面积之和就是表面积
柱、锥、台体的体积之间的关系：
柱体和锥体可以看作由台体变化得
( http: / / www.21cnjy.com )到.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.柱体和锥体的体积公式都可以看作由台体的体积公式演变而来.6.半径为R的球，其表面积为S表=4πR2，体积V=.7.本章的知识结构图如图1所示.
( http: / / www.21cnjy.com )图1应用示例例1
下列几何体是台体的是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )图2活动：学生回顾台体的结构特征.分析：A中的“侧棱”没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是台体.答案：D点评：本题主要考查台体的结构特征.像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握.变式训练1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（
）A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥分析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面，而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体，因此得到一个圆柱、两个圆锥.答案：D2.下列三视图表示的几何体是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )图3A.圆台
B.棱锥
C.圆锥
D.圆柱分析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又侧视图和正视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台.答案：A3.下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的棱长都相等；②棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；③棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；④棱柱的上、下底面形状、大小相同.正确的有______________.分析：棱柱的所有面都是平的，所有侧
( http: / / www.21cnjy.com )棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知③④正确.答案：③④例2
(2006福建高考，理5)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（
）A.
B.
C.
D.活动：学生思考交流正方体和球的结构特征，教师可以借助于信息技术，展示图形.分析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径.设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有2R=，所以R=，则，解得a=.答案：D点评：球与其他几何体的简单组合体问
( http: / / www.21cnjy.com )题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解.
空间几何体的表面积和体积问题是高考考
( http: / / www.21cnjy.com )查的热点之一.主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题.其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解.变式训练1.（2005全国高考卷Ⅰ
( http: / / www.21cnjy.com )，理5）如图4（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（
）A.
B.
C.
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )(1)
(2)图4分析：如图4(2)所示，过B作BG⊥EF于G，连接CG，则CG⊥EF，BF=1，△BCG中，
BG=，BC边上的高为，而S△BCG=×1×=,∴VF—BCG=.同理过A作AH⊥EF于H，则有VE—AHD=，显然BCG—ADH为三棱柱，∴VBCG—ADH=×1=，则由图4(2)可知VADE—BCF=VF—BCG
+VE—AHD+VBCG—ADH=.答案：A点评：本题求几何体体积的
( http: / / www.21cnjy.com )方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积.割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则.因此可以说割补法是一种综合的方法，这和我们高考的理念和命题原则是相通的，高考题中出现这样的问题也是很正常的，所以这将是高考对立体几何这部分知识命题的方向.2.（2007广东中山高三期末统考，文6）某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图5所示，则这个容器的容积为（
）
( http: / / www.21cnjy.com )图5A.
B.
C.3π
m3
D.12π
m3分析：由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为1
m，高为2
m，圆锥的底面半径为1
m，高为1
m.则圆柱的体积为2π
m3，圆锥的体积为m3，所以该容器的容积为.答案：A点评：三视图是新课标高考的新增内容，在
( http: / / www.21cnjy.com )高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视.此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握.3.（2007广东佛山一模，理4）如图
( http: / / www.21cnjy.com )6所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（
）
( http: / / www.21cnjy.com )图6A.
B.
C.
D.分析：根据三视图可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为正视图等边三角形的高，所以体积为.答案：B课堂小结：本节课复习了：1.第一章知识及其结构图.2.三视图和体积、面积的有关问题.3.空间几何体的概念.布置作业：课本本章复习参考题A组
7、8、9.
板书设计
教学反思2017-2018高一数学人教A版必修2教案：第3章章末复习
课题
本章复习（1课时）
修改与创新
教学目标
通过总结和归纳直线与方程的知识
( http: / / www.21cnjy.com )，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力.能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
教学重、难点
教学重点：①直线的倾斜角和斜率.②直线的方程和两直线的位置关系的应用.③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解.②处理直线综合问题的策略.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题.提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率，需要注意什么？②第二节是直线的方程，有几种形式？各自的适用范围怎样？③第三节是两直线的位置关系，分为哪些内容？如何判断？④画出本章的知识结构图.活动：
让学生自己回顾所学知识或结合教
( http: / / www.21cnjy.com )材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类.对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图.讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k):倾斜角范围:0°≤α＜180°,斜率：k∈R.k与α的关系：k=,α∈［0°,90°)∪(90°,180°).注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论).②直线方程的五种形式及适用范围:(a)斜截式：y=kx+b,不含与x轴垂直的直线.(b)点斜式：y-y0=k(x-x0),不含与x轴垂直的直线.(c)两点式：,不含与x轴、y轴垂直的直线.(d)截距式：=1,不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线.(e)一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0),无限制(可表示任何直线).注：两点式的“改良”(x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0,可表示任何直线.③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离.判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合).设l1:y=k1x+b1,A1x+B1y+C1=0;l2:y=k2x+b2,A2x+B2y+C2=0.(a)l1∩l2=Pk1≠k2或仅有一个不存在A1B2-A2B1≠0;l1⊥l2k1k2=-1或一个为零一个不存在A1A2+B1B2=0.(b)l1∥l2k1=k2且b1≠b2或k1,k2均不存在A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0.(c)l1与l2重合k1=k2且b1=b2或k1,k2均不存在A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0.④第三章的知识结构图如图1所示.从几何直观到代数表示(建立直线的方程)
( http: / / www.21cnjy.com )从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )图1应用示例例1
求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5)经过点N(-1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.解:(1)2x+3y-1=0.(2)2x-y+5=0.(3)x+y-1=0或3x+2y=0.(4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0.(5)3x+y=0或x-y+4=0.变式训练
求经过点P(2，3)且被两条平行直线3x＋4y－7=0和3x＋4y+8=0截得线段长为3的直线方程.解:因为已知两条平行直线间的距离d==3,所以所求直线与直线3x＋4y－7=0的夹角为45°.设所求直线的斜率为k，则tan45°=.解得k=或k=-7.因此x－7y＋19=0或7x＋y－17=0为所求.例2
已知直线l与直线3x+4y－7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程.解:设l:3x+4y+m=0,则当y=0时,x=-;当x=0时,y=-.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24,∴·|-|·|-|=24.∴m=±24.∴直线l的方程为3x+4y±24=0.变式训练1.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0，根据下列条件求m的值.(1)直线l的斜率为1；(2)直线l经过定点P(-1,-1).解:(1)由题意得-(m2-2m-3)=2m2+m-1,即3m2-m-4=0，解之,得m=-1(舍去)或m=.(2)由题意得(m2-2m-3)×(-1)+(2m2+m-1)×(-1)-2m+6=0，即3m2+m-10=0，解之,得m=-2或m=.2.过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)和(0,b)，且a、b∈N
，则可作出的l的条数为(
)A.1
B.2
C.3
D.多于3解析:(方法一)设过点(1,3)的直线l的方程为=1，则+=1.∴a=.由a、b∈N
逐步试解可得或,所以选B.(方法二)设过点(1,3)的直线l的方程为y-3=k(x-1)，则a=-+1,b=3-k.由a、b∈N
得k=-1或k=-3，相应的有或所以选B.答案：B知能训练1.如果直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行，则a等于(
)A.0
B.
C.0或1
D.0或2.已知直线l过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l的方程为_____________.3.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是_____________.4.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l
( http: / / www.21cnjy.com )与连接A(1,-2)、B(2,1)的线段没有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为_____________.5.直线l1:mx+(m-1)y+5=0与l2:(m+2)x+my-1=0互相垂直，则m的值是_____________.答案：1.D
2.x=5或3x-4y+25=0
3.［-2,0)∪(0,2］
4.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.m=0或m=-拓展提升问题：过点M(2,4)作l1交x正半轴于A，作l2交y正半轴于B，若l1⊥l2，且AB恰平分四边形OAMB面积，求直线AB方程.
( http: / / www.21cnjy.com )图2解:如图2,设l1:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,l2:y-2=-(x-1),即x+ky-2k-1=0.则A(1-,0)，B(0,2+).则|OA|·|OB|=|MA|·|MB|,∴|1-|·|2+|=·.解得k=或k=-.则A(-,0),B(0,)或A(,0),B(0,).∴AB方程为=1或=1,即6x-3y+10=0或2x+4y-10=0.课堂小结
本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法.作业课本本章复习参考题A组8、9、10.
板书设计
教学反思2017-2018高一数学人教A版必修2教案：第4章章末复习
课题
本章复习
（1课时）
修改与创新
教学目标
1.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识.2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题.3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距离公式.4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形成一定的分析问题和解决问题的能力.
教学重、难点
教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成.教学难点:整理形成本章的知识系统和网络.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
同学们,我们前面学习
( http: / / www.21cnjy.com )了圆、直线与圆、空间坐标系等知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的思想方法,哪些知识高考常考,应形成什么样的理念呢 为此我们利用一节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建知识系统和网络,掌握解题的思路和方法.推进新课新知探究提出问题①圆的方程有哪几种形式 它们各自有什么特点 ②点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系 如何判断 ③如何用坐标法解决平面几何问题 ④怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系 平面直角坐标系与空间直角坐标系中两点间的距离公式有何异同 讨论结果：①圆的方程有标准方程和一般方程两种形式.圆的标准方程:(x－a)2＋(y－b)
( http: / / www.21cnjy.com )2=r2.它给出了圆心位置和半径大小.圆的标准方程含有三个参数a、b、r,因此必须具备三个独立条件,才能确定圆的标准方程.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
( http: / / www.21cnjy.com )只有当D2+E2-4F＞0时才表示圆.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个参变数D、E、F,因此必须具备三个独立条件,才能确定圆的一般方程.②点与圆的位置关系有点在圆外、在圆上、在圆内.用点到圆心的距离和半径的大小及坐标与方程来说明的话应为:当点到圆心的距离大于半径,点在圆外
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;当点到圆心的距离等于半径,点在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;当点到圆心的距离小于半径,点在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交.判断方法有:一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.当Δ＞0时,直线和圆相交.当Δ=0时,直线和圆相切.当Δ＜0时,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.当d＜R时,直线和圆相交.当d=R时,直线和圆相切.当d＞R时,直线和圆相离.圆与圆的位置关系有相离、相切、相交.判断方法有:一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情
( http: / / www.21cnjy.com )况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.③用坐标法解决平面几何问题有三步曲:第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.④过平面直角坐标系的原点作一条垂直于坐标平面的直线,则就建立了空间直角坐标系,平面直角坐标系中两点之间的距离公式是d=,空间两点之间的距离公式是d=,它们形式上相同,其不同点是多了一项,即与竖坐标有关的一项.应用示例例1
求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,
2)和点B(3,-2)的圆的方程.活动：学生阅读题目,理解题意,相互交流或讨论
( http: / / www.21cnjy.com ),教师引导学生考虑解题的方法,注意总结,因为条件与圆心有关系,因此可设圆的标准方程,利用圆心在直线2x-y-3=0上,同时也在线段AB的垂直平分线上,由两直线的交点得出圆心坐标,再由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到方程.解:方法一:设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,由已知条件得解得所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2=10.方法二:因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心C的坐标为(a,b),则有解得所以圆心C(2,1),r=|CA|=所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2=10.点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程
( http: / / www.21cnjy.com ),利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程,结合其他条件可确定圆心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式,进而确定其中三个参数.变式训练
圆：x2+y2-4x+6y=0和圆：x2+y2-6x=0交于A、B两点,则AB的垂直平分线的方程是(
)A.x+y+3=0
B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0
D.4x-3y+7=0答案：C(由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线.)例2
两定点A、B相距为8,求到A、B的距离的平方和为50的点P的轨迹方程.
( http: / / www.21cnjy.com )(1)
(2)图1活动：学生先思考或讨论,回忆求轨迹方程的
( http: / / www.21cnjy.com )方法,教师及时引导,首先建立适当的直角坐标系,根据题中的等量关系即同一点出发的两切线间的关系,由直线与圆相切及勾股定理得出切线长,构成方程即可.解:方法一:以AB中点O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图1(1).设动点P(x,y)、A(-4,0)、B(4,0).∵PA2+PB2=50,∴(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=50.∴动点P的轨迹方程为x2+y2=9.方法二:以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图1(2).设动点P(x,y)、A(0,0)、(8,0).∵PA2+PB2=50,∴x2+y2+(x-8)2+y2=50.∴动点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=9.点评:求轨迹方程注意:(1)求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标为(x,y);(2)求轨迹方程与求轨迹有区别,求轨迹方程得出方程即可,求轨迹得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形;(3)建立的坐标系不同,同一曲线的轨迹方程不同,但轨迹图形相同.求轨迹方程的方法有两大类——直接法
( http: / / www.21cnjy.com )和间接法.本题为直接法,将几何关系式PA2+PB2=50,直接“翻译”为含x、y的方程,这是最基本最重要的方法.例3
用解析法证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.活动：学生审题,教师引导,解析法证明实质上是坐标法,建立适当的坐标系是关键,同时要紧扣坐标法解题的三步曲.
( http: / / www.21cnjy.com )图2解:建立如图2的直角坐标系,设边长为2a,则A(0,a)、B(-a,0)、C(a,0),直线AB的方程为x+y+a=0,直线AC的方程为x+y-a=0,直线BC的方程为y=0.设P(x0,y0)为△ABC内的任一点,则P在AC、AB的下方,在BC的上方,于是有|PD|+|PE|+|PF|=
=a.所以是定值.点评：注意坐标法解题的步骤.知能训练复习参考题A组2、4、6、8.拓展提升
设有半径为3
km的圆形村落
( http: / / www.21cnjy.com ),A、B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A出村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A、B两人在何处相遇？活动：学生阅读题目,理解题意,这是一个
( http: / / www.21cnjy.com )应用题,应首先建立适当的坐标系,结合几何知识解题.由于是圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,于是可以以村落中心为原点,以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴,建立坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件,然后再准确设元,列出方程.
( http: / / www.21cnjy.com )图3解:以开始时A、B两人的前进
( http: / / www.21cnjy.com )方向为x、y轴,建立坐标系,由题意可设A、B两人的速度分别为3v
km/h,v
km/h,再设A出发x0
h后在点P处改变前进方向,又经y0
h在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标为(3vx0,0),(0,v(x0+y0)),如图3所示.由于A从点P到Q行走的时间
( http: / / www.21cnjy.com )是y0
h,于是由勾股定理有|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,有(3vx0)2+［v(x0+y0)］2=(3vy0)2.化简整理得(x0+y0)
(5x0-4y0)=0.又x0+y0＞0,所以5x0=4y0.
( http: / / www.21cnjy.com )
①于是kPQ=.
②把①代入②得kPQ=-.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=-x+b与圆相切时,求纵截距b的值”.利用圆心到切线的距离等于圆的半径,得=3,解得b=(b＞0).因此A、B两人相遇的位置是离村落中心正北3km处.课堂小结
本章的知识点主要是实现由形到数的一种
( http: / / www.21cnjy.com )转变,所以在今后的学习中要把握关键,寻求规律,掌握方法,要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用.作业复习参考题
B组2、3、5、6.
板书设计
本章复习本章知识结构框图
例1
变式
例2归纳、总结
教学反思
本节复习课是对已学知识进行归纳、总结,以形成
( http: / / www.21cnjy.com )更系统、更完整的知识体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识、再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力.以圆的方程与直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系和坐标法的复习来加深体会数与形的内在联系.变式训练在于考查、培养学生的应变能力,是否能抓住问题的本质举一反三；通过新旧知识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题,利用不同的方法解决问题的能力.在课堂上进行解题方法的讨论有助于活跃学生思维,促进发散思维的培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究方法.2017-2018高一数学人教A版必修2教案：第2章章末复习
课题
第二章
点、直线、平面之间的位置关系复习（1课时）
修改与创新
教学目标
1.理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系.2.熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题.3.通过本章学习逐步提高学生的空间想象能力，学会用数学方法认识世界改造世界.
教学重、难点
教学重点:总结证明平行问题和证明垂直问题的方法.教学难点:总结求二面角的方法.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
今天，我们在学习了空间点、
( http: / / www.21cnjy.com )直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质等内容的基础上，对本章知识、方法、数学思想进行全面系统的总结.提出问题①请同学们自己梳理本章知识结构.②回顾本章的主要内容.③找出本章有关平行的最重要的定理.④找出本章有关垂直的最重要的定理.⑤高考中经常考查的立体几何问题有那些？讨论结果：①本章知识结构：
( http: / / www.21cnjy.com )②本章的主要内容：1.刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、进行逻辑推理的基础.公理4是判断空间直线之间平行关系的一个依据.2.空间图形问题经常转化为平面问题.“确
( http: / / www.21cnjy.com )定平面”是将空间问题转化为平面问题的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决部分问题的重要思想方法.这种转化最基本的依据就是四个公理.3.本章的核心是空间中点、直线、平面
( http: / / www.21cnjy.com )之间的位置关系.从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难的顺序研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.我们利用直线与直线的位置关系研究直线与平面的位置关系,利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系.反过来,由平面与平面的位置关系可进一步
( http: / / www.21cnjy.com )掌握直线与平面的位置关系,由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系.这种方法,是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法.4.“平行”和“垂直”是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中两种最重要的位置关系.应用示例例1
如图1,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,点D是AB的中点，
( http: / / www.21cnjy.com )图1（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.（1）证明：直三棱柱ABC—A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，∴AC⊥BC.∵C1C⊥AC,∴AC⊥平面CDB.∴AC⊥BC1.（2）证明：如图1,设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.（3）解:∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角.在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∵△CED为等腰三角形，∴cos∠CED=.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.例2
如图2，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.
( http: / / www.21cnjy.com )图2(1)求证:OD∥平面PAB；(2)当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？(1)证明：∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA.又PA平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC.又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF.在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角的正弦值为.（3）解:由(2)知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影.∵D是PC的中点，若点F是△PBC的重心，则B、F、D三点共线.∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.∵OB⊥PC,∴PC⊥BD.∴PB=PC,即k=1.反之，当k=1时，三棱锥O—PBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.知能训练如图3，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥平面BCE.
( http: / / www.21cnjy.com )图3证明：∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.∵二面角DABE为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.∴CB⊥AE.∴AE⊥平面BCE.拓展提升如图4,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC是直二面角.动点D在斜边AB上.
( http: / / www.21cnjy.com )图4(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的大小;(3)求CD与平面AOB所成角的最大值.(1)证明：由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角BAOC的平面角.又∵二面角BAOC是直二面角,∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.又CO平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.在Rt△COE中,CO=BO=2,OE=BO=1,∴CE==.又DE=AO=,∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=.∴异面直线AO与CD所成角的大小为arctan.(3)解:由(1),知CO⊥平面AOB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,且tan∠CDO=.当OD最小时,∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,OD=,tan∠CDO=,∴CD与平面AOB所成角的最大值为arctan.课堂小结1.复习巩固.2.规律总结.3.思想升华.作业复习参考题A组2、3.
板书设计
教学反思
