九年级第21章一元二次方程 教案
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第二十一章
一元二次方程
备课时间：
2017.8.25
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
了解一元二次方程及有关概念，会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义
过程与方法
通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型，根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
情感态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型
教学内容
21.1一元二次方程（1）
重点难点
(1)
重点：一元二次方程及其它有关的概念；(2)
难点：一元二次方程的概念；
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无
教学课时
2课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。2、下列方程哪些是一元一次方程（ ）（1）5ｘ＋3＝0，（2）2ｘ＋ｙ＝3（3）
（4） （5）ｘ2－2ｘ＋１＝0二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解一元二次方程的概念；
2、了解一元二次方程的根自主学习：自学课本Ｐ2思考下列问题：1、在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？2、什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。3、一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？4、对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？5、若方程ax2+bx+c=0中a＝0、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？三、合作探究展示点拨（二段）１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．3、
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
4、
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：判断下列方程，哪些是一元二次方程（
）（1）x3－２ｘ2＋5＝0；
（2）ｘ2＝１；（3）；
（4）2（ｘ＋１）2＝3（ｘ＋１）；（5）ｘ2－2ｘ＝ｘ2＋１；（6）ax2＋bx＋c＝0总结反思：知道一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项。五、布置作业教材P4习题22.1第1题【第2课时】一、课题引入1、解方程：3x=2(x+5)
2试说出什么是方程的解？3、下列各数是方程解的是（
）A、6 Ｂ、2 Ｃ、4 Ｄ、0二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：了解一元二次方程的根自主学习：自学课本Ｐ2---P3思考下列问题：1、对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x=
-7不符合题意？方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？什么叫一元二次方程的根？怎样尝试求一元二次方程的根？5、一元二次方程的根有几个呢？三、合作探究展示点拨（二段）1、一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、2、认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。（1）、x2-16=0
(2)、(x+3)(x-2)=0(3)、(x-2)2=49
(4)、x2-2x+1=25.3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？总结反思：满足一元二次方程的根有两个，由实际问题确定方程根。五、布置作业教材P4习题22.1第3题第7题
板书设计
21.1一元二次方程一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
二、一元二次方程的根
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
22.2降次——解一元二次方程
备课时间：
2017.8.25
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
(1)
运用开平方法解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程(2)
探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程(3)
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程。（4）应用分解因式法解一些一元二次方程。
过程与方法
(1)
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程．(2)
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况。
情感态度与价值观
(1)
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
解一元二次方程
重点难点
(1)
解二元一次方程解法(2)
配方法
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无
教学课时
5课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入1、什么叫做平方根 平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．记作x=，即x=或x=．如：9的平方根是；的平方根是．平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根．2、x2=4，则x=±2.想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解“直接开平方解一元二次方程”
的方法。并会用此种解一些形式较简单的一元二次方程。
2、体会“降次”的这种数学化归思想.自主学习：自学课本Ｐ2---P3思考下列问题：对于有关盒子的棱长问题，我们得出的方程是10×6x2=1500,符合实际意义的答案是什么？为什么x=
-5不符合题意？三、合作探究展示点拨（二段）直接开平方法解一元二次方程一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：解方程：
总结反思：如果能化成：的形式，那么可得：（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．（3）当时，方程没有实数根用直接开平方法求一元二次方程的解五、布置作业教材P16习题22.2第1题（1）、（2）、（3）【第2课时】一、课题引入请同学们解下列方程（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0
（3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解掌握什么是配方法；
2、能正确运用配方法解一元二次方程；自主学习：自学课本Ｐ6---P7思考下列问题：利用什么公式来进行配方？三、合作探究展示点拨（二段）要使一块矩形场地的长比宽多6
cm，并且面积为16
cm2，场地的长和宽分别是多少？分析：考虑设场地的宽为x
m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16
cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x2－8x
+
1
=
0；（2）；（3）．总结反思：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．五、布置作业教材P17习题22.2第3题【第3课时】一、课题引入1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=522、总结用配方法解一元二次方程的步骤。（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解掌握如何用公式法解一元二次方程；
2、理解掌握一元二次方程根的判别式，并会判别一元二次方程根的情况。自主学习：自学课本Ｐ9---P10思考下列问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根。三、合作探究展示点拨（二段）已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=这里
（）是一元二次方程的求根公式四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、利用公式法解下列方程：（1）（2）（3）2、不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0总结反思：解方程步骤：1、先将一元二次方程化为一般式:2、确定的值；3、算出的值、代入求根公式求解五、布置作业教材P17习题22.2第5题【第4课时】一、课题引入解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：
1、理解掌握什么是因式分解法，并会用因式分解法解一元二次方程；
2、体会“降次”的新方法---因式分解法解二元一次方程的广泛应用自主学习：自学课本Ｐ12---P13思考下列问题：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？三、合作探究展示点拨（二段）在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：解下列方程；（1）；（2）；（3）；（4）．总结反思：因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．五、布置作业教材P17习题22.2第6题【第5课时】一、课题引入1、一元二次方程的一般形式是_______________.2、
一元二次方程的求根公式是______________________.3、判别式与一元二次方程根的情况：是一元二次方程的根的判别式设，则（1）当时，__________________________________；（2）当时，___________________________________（3）当时，原方程____________________________.4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、
理解掌握一元二次方程的根与系数的关系；2、会运用一元二次方程的根与系数的关系，处理一些应用问题。自主学习：自学课本Ｐ12---P13思考下列问题：1、回忆：一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的求根公式是__________________.由求根公式可知,
一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。2、(1)方程（x-x1）(x-x2)=
0
与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_____(答“是”或“否”)。(2)方程（x-x1）(x-x2)=
0的两个根据是_________________.
方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________>(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_______,
一次项系数p=________,
常数项q=________,反之，方程x2+px
+q
=0
两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.3、一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1=__________,x2
=___________.(1)
计算x1+
x2和
x1x2的值。（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。三、合作探究展示点拨（二段）1、若一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于___
____,两根的积等于______
___.2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。总结反思：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；前提条件是；在使用时，注意“-”不要漏掉．五、布置作业教材P17习题22.2第7题
板书设计
22.2降次——解一元二次方程一、开平方法解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程二、配方法三、一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）；
x1=，x2=四、因式分解法五、若一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+
x2=__
______,
x1x2=_____
_____
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
21.3
实际问题与一元二次方程
备课时间：
2017.9.5
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
(1)
“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．(2)
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题(3)
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。(4)
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
过程与方法
培养学生的抽象概括能力。
情感态度与价值观
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
21.3
实际问题与一元二次方程
重点难点
(1)
用“倍数关系”建立数学模型．(2)
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b(3)
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无渗透《传染病防治法》第1、2、19、31条
教学课时
3课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：能根据实际问题中的数量关系,正确列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识；
自主学习：阅读课本探究1：思考下列问题：1、开始有多少人患流感？
2、经过几轮传染？共多少人患流感？
3、每轮传染中平均一个人传染了几个人？三、合作探究展示点拨（二段）探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有
个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有
个人患了流感．列方程
1＋x＋x(x＋1)＝121，
整理，得
x2＋2x－120＝0．解方程，得
x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗 后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？总结反思：“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．五、布置作业教材P22习题21.3第4题【第2课时】一、课题引入我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：
1、能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；
2、能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；
自主学习：阅读课本探究2：思考下列问题：有几种药品？甲从多少下降到多少？乙从多少下降到多少？甲、乙年平均下降率各是多少？三、合作探究展示点拨（二段）两年前生产1
t甲种药品的成本是5
000元，生产1
t乙种药品的成本是6
000元，随着生产技术的进步，现在生产1
t甲种药品的成本是3
000元，生产1
t乙种药品的成本是3
600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5
000－3
000)÷2＝1
000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6
000－3
600)÷2＝1
200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5
000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5
000(1－x)2
元，于是有5
000(1－x)2＝3
000．解方程，得x
1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6
000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6
000(1－x)2元，于是有6
000(1－x)2＝3
600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：某人将2
000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1
000元用于购物，剩下的1
000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1
320元，求这种存款方式的年利率．总结反思：“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
五、布置作业教材P22习题21.3第7题【第3课时】一、课题引入上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”．（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
（2）正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
（3）梯形的面积公式是什么？
（4）菱形的面积公式是什么？
（5）平行四边形的面积公式是什么？
（6）圆的面积公式是什么？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；；
2、利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题；
自主学习：阅读课本探究3：思考下列问题：
1、本题中有哪些数量关系？2、正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？3、如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？三、合作探究展示点拨（二段）现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x
cm，则左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央矩形的长为(27－18x)
cm，宽为(21－14x)
cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝，即x1≈2.8，x2≈0.2．
所以，9x1＝25.2
cm（不合题意，舍去），9x2＝1.8cm，7x2＝1.4cm．因此，上、下边衬的宽均为1.8
cm，左、右边衬的宽均为1.4
cm．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？
总结反思：正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程五、布置作业教材P22习题21.3第8题
板书设计
21.3
实际问题与一元二次方程一、探究1二、探究2三、探究3
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
一元二次方程
复习
备课时间：
2017.9.5
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
1、一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）2、一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
过程与方法
解一元二次方程
时，灵活运用不同的解法。2、实际问题与一元二次方程的应用。
情感态度与价值观
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
一元二次方程
复习
重点难点
一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件、导学测评
法制渗透
无
教学课时
2
课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程
二次方程：一元二次方程，二元二次方程
（4）有理方程
高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b2－4ac
＞0
方程有两个不相等实数根；②⊿=b2－4ac
=0
方程有两个相等实数根；③⊿=b2－4ac
＜0
方程没有实数根；④⊿=b2－4ac
≥0
方程有两个实数根。（3）应用：①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。
4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么（2）应用：①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=02、当m
时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4、根据下列表格的对应值：
x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为
，的值为
.9、已知方程的两根为，则的值为
。10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．12、解下列方程：⑴
⑵
⑶
⑷
13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少 19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间 （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少 （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s） 学习反思：本节课你有哪些收获？
布置作业：教材P25复习题21第1题
板书设计
一元二次方程
复习1、相关概念2、降次——解一元二次方程3、一元二次方程根的判别式5、实际问题与一元二次方程
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
一元二次方程
备课时间：
2017.8.25
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
了解一元二次方程及有关概念，会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义
过程与方法
通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型，根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
情感态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型
教学内容
21.1一元二次方程（1）
重点难点
(1)
重点：一元二次方程及其它有关的概念；(2)
难点：一元二次方程的概念；
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无
教学课时
2课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。2、下列方程哪些是一元一次方程（ ）（1）5ｘ＋3＝0，（2）2ｘ＋ｙ＝3（3）
（4） （5）ｘ2－2ｘ＋１＝0二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解一元二次方程的概念；
2、了解一元二次方程的根自主学习：自学课本Ｐ2思考下列问题：1、在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？2、什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。3、一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？4、对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？5、若方程ax2+bx+c=0中a＝0、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？三、合作探究展示点拨（二段）１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．3、
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
4、
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：判断下列方程，哪些是一元二次方程（
）（1）x3－２ｘ2＋5＝0；
（2）ｘ2＝１；（3）；
（4）2（ｘ＋１）2＝3（ｘ＋１）；（5）ｘ2－2ｘ＝ｘ2＋１；（6）ax2＋bx＋c＝0总结反思：知道一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项。五、布置作业教材P4习题22.1第1题【第2课时】一、课题引入1、解方程：3x=2(x+5)
2试说出什么是方程的解？3、下列各数是方程解的是（
）A、6 Ｂ、2 Ｃ、4 Ｄ、0二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：了解一元二次方程的根自主学习：自学课本Ｐ2---P3思考下列问题：1、对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x=
-7不符合题意？方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？什么叫一元二次方程的根？怎样尝试求一元二次方程的根？5、一元二次方程的根有几个呢？三、合作探究展示点拨（二段）1、一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、2、认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。（1）、x2-16=0
(2)、(x+3)(x-2)=0(3)、(x-2)2=49
(4)、x2-2x+1=25.3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？总结反思：满足一元二次方程的根有两个，由实际问题确定方程根。五、布置作业教材P4习题22.1第3题第7题
板书设计
21.1一元二次方程一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
二、一元二次方程的根
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
22.2降次——解一元二次方程
备课时间：
2017.8.25
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
(1)
运用开平方法解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程(2)
探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程(3)
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程。（4）应用分解因式法解一些一元二次方程。
过程与方法
(1)
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程．(2)
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况。
情感态度与价值观
(1)
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
解一元二次方程
重点难点
(1)
解二元一次方程解法(2)
配方法
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无
教学课时
5课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入1、什么叫做平方根 平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．记作x=，即x=或x=．如：9的平方根是；的平方根是．平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根．2、x2=4，则x=±2.想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解“直接开平方解一元二次方程”
的方法。并会用此种解一些形式较简单的一元二次方程。
2、体会“降次”的这种数学化归思想.自主学习：自学课本Ｐ2---P3思考下列问题：对于有关盒子的棱长问题，我们得出的方程是10×6x2=1500,符合实际意义的答案是什么？为什么x=
-5不符合题意？三、合作探究展示点拨（二段）直接开平方法解一元二次方程一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：解方程：
总结反思：如果能化成：的形式，那么可得：（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义．（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”．（3）当时，方程没有实数根用直接开平方法求一元二次方程的解五、布置作业教材P16习题22.2第1题（1）、（2）、（3）【第2课时】一、课题引入请同学们解下列方程（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0
（3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解掌握什么是配方法；
2、能正确运用配方法解一元二次方程；自主学习：自学课本Ｐ6---P7思考下列问题：利用什么公式来进行配方？三、合作探究展示点拨（二段）要使一块矩形场地的长比宽多6
cm，并且面积为16
cm2，场地的长和宽分别是多少？分析：考虑设场地的宽为x
m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16
cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x2－8x
+
1
=
0；（2）；（3）．总结反思：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．五、布置作业教材P17习题22.2第3题【第3课时】一、课题引入1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=522、总结用配方法解一元二次方程的步骤。（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、理解掌握如何用公式法解一元二次方程；
2、理解掌握一元二次方程根的判别式，并会判别一元二次方程根的情况。自主学习：自学课本Ｐ9---P10思考下列问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根。三、合作探究展示点拨（二段）已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=这里
（）是一元二次方程的求根公式四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、利用公式法解下列方程：（1）（2）（3）2、不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0总结反思：解方程步骤：1、先将一元二次方程化为一般式:2、确定的值；3、算出的值、代入求根公式求解五、布置作业教材P17习题22.2第5题【第4课时】一、课题引入解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：
1、理解掌握什么是因式分解法，并会用因式分解法解一元二次方程；
2、体会“降次”的新方法---因式分解法解二元一次方程的广泛应用自主学习：自学课本Ｐ12---P13思考下列问题：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？三、合作探究展示点拨（二段）在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：解下列方程；（1）；（2）；（3）；（4）．总结反思：因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．五、布置作业教材P17习题22.2第6题【第5课时】一、课题引入1、一元二次方程的一般形式是_______________.2、
一元二次方程的求根公式是______________________.3、判别式与一元二次方程根的情况：是一元二次方程的根的判别式设，则（1）当时，__________________________________；（2）当时，___________________________________（3）当时，原方程____________________________.4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、
理解掌握一元二次方程的根与系数的关系；2、会运用一元二次方程的根与系数的关系，处理一些应用问题。自主学习：自学课本Ｐ12---P13思考下列问题：1、回忆：一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的求根公式是__________________.由求根公式可知,
一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。2、(1)方程（x-x1）(x-x2)=
0
与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_____(答“是”或“否”)。(2)方程（x-x1）(x-x2)=
0的两个根据是_________________.
方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________>(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_______,
一次项系数p=________,
常数项q=________,反之，方程x2+px
+q
=0
两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.3、一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1=__________,x2
=___________.(1)
计算x1+
x2和
x1x2的值。（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。三、合作探究展示点拨（二段）1、若一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于___
____,两根的积等于______
___.2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。总结反思：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；前提条件是；在使用时，注意“-”不要漏掉．五、布置作业教材P17习题22.2第7题
板书设计
22.2降次——解一元二次方程一、开平方法解形如（m
x+
n）2=p（p≥0）的方程二、配方法三、一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）；
x1=，x2=四、因式分解法五、若一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+
x2=__
______,
x1x2=_____
_____
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
21.3
实际问题与一元二次方程
备课时间：
2017.9.5
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
(1)
“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．(2)
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题(3)
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。(4)
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
过程与方法
培养学生的抽象概括能力。
情感态度与价值观
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
21.3
实际问题与一元二次方程
重点难点
(1)
用“倍数关系”建立数学模型．(2)
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b(3)
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件
法制渗透
无渗透《传染病防治法》第1、2、19、31条
教学课时
3课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】一、课题引入师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：能根据实际问题中的数量关系,正确列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识；
自主学习：阅读课本探究1：思考下列问题：1、开始有多少人患流感？
2、经过几轮传染？共多少人患流感？
3、每轮传染中平均一个人传染了几个人？三、合作探究展示点拨（二段）探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有
个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有
个人患了流感．列方程
1＋x＋x(x＋1)＝121，
整理，得
x2＋2x－120＝0．解方程，得
x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗 后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？总结反思：“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．五、布置作业教材P22习题21.3第4题【第2课时】一、课题引入我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：
1、能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；
2、能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；
自主学习：阅读课本探究2：思考下列问题：有几种药品？甲从多少下降到多少？乙从多少下降到多少？甲、乙年平均下降率各是多少？三、合作探究展示点拨（二段）两年前生产1
t甲种药品的成本是5
000元，生产1
t乙种药品的成本是6
000元，随着生产技术的进步，现在生产1
t甲种药品的成本是3
000元，生产1
t乙种药品的成本是3
600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5
000－3
000)÷2＝1
000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6
000－3
600)÷2＝1
200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5
000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5
000(1－x)2
元，于是有5
000(1－x)2＝3
000．解方程，得x
1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6
000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6
000(1－x)2元，于是有6
000(1－x)2＝3
600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：某人将2
000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1
000元用于购物，剩下的1
000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1
320元，求这种存款方式的年利率．总结反思：“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
五、布置作业教材P22习题21.3第7题【第3课时】一、课题引入上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”．（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
（2）正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
（3）梯形的面积公式是什么？
（4）菱形的面积公式是什么？
（5）平行四边形的面积公式是什么？
（6）圆的面积公式是什么？二、目标呈现自主学习（一段）学习目标：1、能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；；
2、利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题；
自主学习：阅读课本探究3：思考下列问题：
1、本题中有哪些数量关系？2、正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？3、如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？三、合作探究展示点拨（二段）现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x
cm，则左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央矩形的长为(27－18x)
cm，宽为(21－14x)
cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝，即x1≈2.8，x2≈0.2．
所以，9x1＝25.2
cm（不合题意，舍去），9x2＝1.8cm，7x2＝1.4cm．因此，上、下边衬的宽均为1.8
cm，左、右边衬的宽均为1.4
cm．四、课堂检测总结反思（三段）课堂检测：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？
总结反思：正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程五、布置作业教材P22习题21.3第8题
板书设计
21.3
实际问题与一元二次方程一、探究1二、探究2三、探究3
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
一元二次方程
复习
备课时间：
2017.9.5
上课时间：
总备
课时
教学目标
知识与技能
1、一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）2、一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
过程与方法
解一元二次方程
时，灵活运用不同的解法。2、实际问题与一元二次方程的应用。
情感态度与价值观
通过组织学生讨论，合作交流激发他们的学习兴趣。
教学内容
一元二次方程
复习
重点难点
一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
教学方法
引导→讲解→训练。提出问题→解决问题→联系实际→拓展思维→充分想象→激发兴趣。
学习方法
整理--记忆--训练。合作与讨论。
教具准备
课件、导学测评
法制渗透
无
教学课时
2
课时
教学过程设计
备注
教学步骤及主要内容
【第1课时】本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程
二次方程：一元二次方程，二元二次方程
（4）有理方程
高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b2－4ac
＞0
方程有两个不相等实数根；②⊿=b2－4ac
=0
方程有两个相等实数根；③⊿=b2－4ac
＜0
方程没有实数根；④⊿=b2－4ac
≥0
方程有两个实数根。（3）应用：①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。
4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么（2）应用：①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。课堂检测总结反思（三段）课堂检测：1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1
④3x2-=02、当m
时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4、根据下列表格的对应值：
x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为
，的值为
.9、已知方程的两根为，则的值为
。10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．12、解下列方程：⑴
⑵
⑶
⑷
13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少 19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间 （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少 （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s） 学习反思：本节课你有哪些收获？
布置作业：教材P25复习题21第1题
板书设计
一元二次方程
复习1、相关概念2、降次——解一元二次方程3、一元二次方程根的判别式5、实际问题与一元二次方程
本课教学反思（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
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