3.1.3
导数的几何意义
1.函数y=x2的导数为 ( )
A.x
B.2x
C.2
D.4
【解析】选B.=(2x+Δx)=2x.
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x+y+5=0,则 ( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选B.由y=-3x-5知f′(x0)=-3<0.
3.直线与曲线有唯一公共点,则直线与曲线的位置关系是 ( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【解析】选D.由切线的定义可知:当直线与曲线有一个公共点时,该直线与曲线可能相交也可能相切.
4.若函数f(x)在某点处的切线方程为x-y+1=0,则函数在该点处的导数值为________.
【解析】由题意,函数在该点处的切线斜率k=1,
故在该点处的导数值为1.
答案:1
5.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2.求f(1)与
f′(1)的值.
【解析】由题意得f(1)=×1+2=.
由导数的几何意义得f′(1)=k=.3.1.1
变化率问题
3.1.2
导数的概念
1.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为 ( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选C.Δy=-=.
2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
3.函数在某一点的导数是 ( )
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.
4.在雨季潮汛期间,某水文观察员观察千岛湖水位的变化,在24h内发现水位从102.7m上涨到105.1
m,则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
【解析】水位涨幅的平均变化率为=0.1(m/h).
答案:0.1
5.若f′(x0)=2,则的值为________.
【解析】==f′(x0)=2.
答案:2
6.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为,哪一点附近的平均变化率最大
【解析】设函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率分别为k1,k2,k3,则
k1===
=2+Δx,
k2===
=4+Δx,
k3===
=6+Δx.
取Δx=时,k1=2+=,k2=4+=,k3=6+=,所以k1
所以函数y=x2在x=3附近的平均变化率最大.1.1.1
命题
1.下列语句是命题的是 (
)
A.2015是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.对数函数是增函数吗？
D.a≤2015
【解析】选B.A不能判断真假，故A错，而C不是陈述句，D不能判断真假，故不是命题；B是陈述句，且能判断真假.
2.下列命题中，是真命题的是 ( )
A.若ab=0，则a2+b2=0
B.若a>b，则<
C.若M∩N=M，则N M
D.若M N，则M∩N=M
【解析】选D.A中，a=0，b≠0时，a2+b2=0不成立；B中，a=2，b=-1时，a>b，但<-1不成立；C中，M∩N=M，说明M N；D中，M N，则M∩N=M成立.
3.命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的条件是__________________，结论是________________.
【解析】该命题写成“若p，则q”的形式为：若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等.故其条件为：角平分线上的点；结论为：该点到角两边的距离相等.
答案：角平分线上的点 该点到角两边的距离相等
4.下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy=0，则|x|+|y|=0；
③若a>b，则ac2>bc2；
④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的序号是________.
【解析】①面积相等的三角形，不一定全等；②当x=0，y≠0时，|x|+|y|≠0；③当c=0时，ac2=bc2；④矩形的对角线不一定垂直，故①②③④皆为假命题.
答案：①②③④
5.把下列命题改写为“若p，则q”的形式，指出条件和结论.
(1)直角三角形的两个锐角互余.
(2)正弦值相等的两个角的终边相同.
【解析】(1)“若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”.
(2)“若两个角的正弦值相等，则它们的终边相同”，条件是“两个角的正弦值相等”，结论是“它们的终边相同”.1.4.3
含有一个量词的命题的否定
1.若命题p： x0>0，-3x0+2>0，则命题p为 ( )
A. x0>0，-3x0+2≤0
B. x0≤0，-3x0+2≤0
C. x>0，x2-3x+2≤0
D. x≤0，x2-3x+2≤0
【解析】选C.命题p是一个特称命题，p为： x>0，x2-3x+2≤0.
2.已知集合A={x|x>0},则命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是 ( )
A.任意x∈A,x2-|x|≤0
B.任意x A,x2-|x|≤0
C.存在x0 A,-|x0|>0
D.存在x0∈A,-|x0|≤0
【解析】选D.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是存在x0∈A,-|x0|≤0.
3.下列命题的否定为假命题的是 ( )
A. x0∈R，+2x0+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D. x∈R，sin2x+cos2x=1
【解析】选D.因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，原命题为假，则其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数都是奇数，如整数6，它是偶数，故原命题为假，其否定为真命题； x∈R，sin2x+cos2x=1正确，所以D的否定是假命题.
4.若命题p“ x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，则实数m的取值范围是______________.
【解析】因为命题p：“ x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，
所以p：“ x∈R，x2+mx+2m-3≥0”为真命题，
所以Δ≤0，即m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6.
所以实数m的取值范围是[2，6].
答案：[2，6]
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定.
(1)p：对任意的x∈R，cosx≤1都成立.
(2)q： x0∈R，+1>3x0.
(3)r：所有的正方形都是矩形.
(4)s：有些三角形是锐角三角形.
【解析】命题(1)(3)为全称命题，命题(2)(4)为特称命题.
(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以为全称命题，因此其否定为特称命题，所以p： x0∈R，使cosx0>1成立.
(2)由于“ x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为q： x∈R，x2+1≤3x.
(3)为全称命题，把全称量词改为存在量词，并把结论否定，故r：至少存在一个正方形不是矩形.
(4)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故s：所有的三角形都不是锐角三角形.3.3.1
函数的单调性与导数
1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-12.函数y=x3+x的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,+∞)
【解析】选D.因为y′=3x2+1>0恒成立,
所以函数y=x3+x在(-∞,+∞)上是增函数.
3.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.y′=3x2+2x+m,由条件知y′≥0在R上恒成立,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥.
4.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有 ( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
【解析】选A.因为在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,所以函数f(x)在区间(a,b)内是递增的,且f(x)>f(a)≥0.
5.求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.
【解析】由题设知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=4x-=,
由f′(x)>0,得x>,由f′(x)<0,
得0所以函数f(x)=2x2-lnx的单调递增区间为,单调递减区间为.3.3.3
函数的最大（小）值与导数
1.下列是函数f(x)在[a,b]上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的是 ( )
【解析】选D.在开区间(a,b)上,只有D选项所示函数f(x)无最大值.
2.下列说法正确的是 ( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最大、小值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.
3.给出下列四个命题:
①若函数f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值一定是[a,b]上的极大值;
②若函数f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值一定是[a,b]上的极小值;
③若函数f(x)在[a,b]上有最值,则最值一定在x=a或x=b处取得;
④若函数f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有最大值与最小值.
其中真命题共有 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.当函数在闭区间上的最值在端点处取得时,其最值一定不是极值,①②不正确;函数在闭区间上的最值可以在端点处取得,也可以在内部取得,③不正确;单调函数在开区间(a,b)内无最值,④不正确.
4.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为________.
【解析】因为f(x)=3x+sinx,x∈[0,π],
所以f′(x)=3+cosx>0,
所以f(x)=3x+sinx在[0,π]上为增函数.
所以f(x)min=f(0)=3×0+sin0=0.
答案:0
5.已知f(x)=x3-x2-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)【解析】因为f(x)=x3-x2-2x+5,所以f′(x)=3x2-x-2.
令f′(x)=0,即3x2-x-2=0,所以x=1或x=-.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如表:
x
-
1
(1,2)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
单调递减↘
单调递增↗
所以当x=-时,f(x)取得极大值f=;
当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=.
又f(-1)=,f(2)=7.
所以f(x)在x∈[-1,2]上的最大值为f(2)=7.
所以要使f(x)7.
所以所求实数a的取值范围是(7,+∞).3.2
导数的计算
第1课时
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
1.设y=e3,则y′等于 ( )
A.3e2
B.e2
C.0
D.以上都不是
【解析】选C.因为y=e3是一个常数,所以y′=0.
2.常数函数在任何一点处的切线是 ( )
A.上升的
B.下降的
C.垂直于y轴的
D.以上都有可能
【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零,所以其切线的斜率等于零,即任何一点处的切线垂直于y轴.
3.下列结论不正确的是
( )
A.若y=3,则y′=0
B.若y=,则y′=-
C.若y=-,则y′=-
D.若y=3x,则y′=3
【解析】选B.y′=′=()′=-=-.
4.求两曲线y=与y=在交点处的两切线的斜率之积.
【解析】两曲线y=与y=的交点坐标为(1,1).
令f(x)=,g(x)=,
则f′(x)=-,g′(x)=.
所以k1=f′(1)=-1,
k2=g′(1)=.
所以k1·k2=-.3.4
生活中的优化问题举例
1.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0A.30
B.40
C.50
D.20
【解析】选B.V′(x)=60x-x2=0,x=0或x=40.
x
(0,40)
40
(40,60)
V′(x)
+
0
-
V(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
可见当x=40时,V(x)达到最大值.
2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),当00;当x>9时,y′<0.所以当x=9时,y取得最大值.
3.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.
( )
现有下列四种说法:
①前四年该产品产量增长速度越来越快;
②前四年该产品产量增长速度越来越慢;
③第四年后该产品停止生产;
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有 ( )
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.
4.把长60cm的铁丝围成矩形,当长为________cm,宽为________cm时,矩形面积最大.
【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,所以面积S=x(30-x)=-x2+30x,
由S′=-2x+30=0,得x=15,30-x=15.
答案:15 15
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若需其体积是27π,且用料最省,则此时圆柱的底面半径为多少
【解析】设底面半径为r,则高h=.
所以S=2πr·h+πr2=2πr·+πr2=+πr2,S′=2πr-,令S′=0,得r=3.
经验证,当r=3时,S最小.
因此,圆柱的底面半径为3时用料最省.2.2.1
双曲线及其标准方程
1.双曲线-=1的焦距为10，则实数m的值为 ( )
A.-16
B.4
C.16
D.81
【解析】选C.因为2c=10，所以c2=25.
所以9+m=25，所以m=16.
2.在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
【解析】选D.方程可变为-=1，又m·n<0，
所以又可变为-=1.
所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
3.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为
( )
A.-1B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1
【解析】选A.由题意得解得即-14.已知双曲线-=1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离为________.
【解析】由题意可知，a=4，b=，
设焦点为F1，F2且|MF1|=6，
则|MF2|-|MF1|=±2a=±8，
所以|MF2|=6+8=14或|MF2|=6-8=-2(舍去).
答案：14
5.双曲线中c=，经过点(-5，2)，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程是________.
【解析】因为c=，且焦点在x轴上，
故可设标准方程为-=1(a2<6).
因为双曲线经过点(-5，2)，
所以-=1，
解得a2=5或a2=30(舍去).
所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.
答案：-y2=1
6.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|-|PF2|=4.
求动点P的轨迹E的方程.
【解析】由椭圆的方程可化为+=1得
|F1F2|=2c=2=8，|PF1|-|PF2|=4<8.
所以动点P的轨迹E是以F1(-4，0)，F2(4，0)为焦点，
2a=4，a=2的双曲线的右支，
由a=2，c=4得b2=c2-a2=16-4=12，
故其方程-=1(x≥2).2.2.2
双曲线的简单几何性质
第2课时
双曲线方程及性质的应用
1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点，则a的值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
【解析】选A.因为双曲线-y2=1中，x≥2或x≤-2，
所以若x=a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<-2，故只有A选项符合题意.
2.过双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________.
【解析】因为∠AOB=120° ∠AOF=60° ∠AFO=30° c=2a，所以e==2.
答案：2
3.设双曲线C：-y2=1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率的取值范围是________.
【解析】由C与l相交于两个不同点，
故知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
所以
解得0双曲线的离心率e==，
因为0，且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(，+∞).
答案：∪(，+∞)
4.双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点(3，-2).
(1)求双曲线的方程.
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3，-2)，代入方程可得λ=6，
所以所求双曲线的方程为-=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3)，
联立，
得x2-18x+33=0，
由根与系数的关系得x1+x2=18，x1x2=33，
所以|AB|=|x1-x2|=·
=2=16，
即弦长|AB|=16.2.1.2
椭圆的简单几何性质
第1课时
椭圆的简单几何性质
1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于 ( )
A.
B.2
C.4
D.
【解析】选D.由已知得2=2×2，所以m=.
2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是__________.
【解析】由6x2+y2=6，得x2+=1.故a=.
所以长轴的端点坐标为(0，-)和(0，).
答案：(0，-)，(0，)
3.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为__________.
【解析】依题意，得b=3，a-c=1.
又a2=b2+c2，解得a=5，c=4，
所以椭圆的离心率为e==.
答案：
4.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P(2，-6)，则椭圆的方程是__________.
【解析】设椭圆的标准方程为+=1或+=1(a>b>0).
由已知得a=2b.①
因为椭圆过点P(2，-6)，所以+=1或+=1.②
由①②得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13.
故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
答案：+=1或+=1
5.求椭圆4x2+9y2=1的长轴长和焦距，焦点坐标，顶点坐标和离心率.
【解析】将椭圆方程变形为+=1.
所以a=，b=，所以c==.
所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a=1，2c=.
焦点坐标为F1，F2.
顶点坐标为A1，A2，
B1，B2.
离心率e==.1.2.1
充分条件与必要条件
1.“x<0或x>4”的一个必要条件是 ( )
A.x<0
B.x>4
C.x<0或x>2
D.x<-1或x>5
【解析】选C.当x<0或x>4时一定有x<0或x>2.
2.“x2=4”是“x=m”的必要条件，则m的一个值可以是 ( )
A.0
B.2
C.4
D.16
【解析】选B.由“x=2”能得出“x2=4”，选项B正确.
3.已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)为奇函数的________条件是f(0)=0.
【解析】若函数f(x)为奇函数，则必有f(0)=0，故函数f(x)为奇函数的必要条件是f(0)=0.
答案：必要
4.下面四个条件中，使“a>b”成立的充分条件是________.(填写序号)
①a>b-1；②a>b+1；③a2>b2；④a3>b3.
【解析】取a=0.5，b=1，则a>b-1但a≤b，不是充分条件，故①不正确；
当a>b+1时，因为b+1>b，所以a>b成立；“a>b+1”是“a>b”成立的充分条件，②正确；
取a=-2，b=1，满足“a2>b2”，但“a>b”不成立，
故“a2>b2”不是“a>b”的充分条件，故③不正确；
根据立方的意义，当“a3>b3”成立时，必定有“a>b”成立，故“a3>b3”是“a>b”的充分条件，④正确.
答案：②④
5.已知P={x|a-4【解析】由题意知，Q={x|1所以解得-1≤a≤5，
故实数a的取值范围是[-1，5].2.1.2
椭圆的简单几何性质
第2课时
椭圆方程及性质的应用
1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于 ( )
A.4
B.2
C.1
D.4
【解析】选C.因为+y2=1中a2=4，b2=1，
所以c2=3，所以右焦点坐标F(，0)，
将x=代入+y2=1得，y=±，故|AB|=1.
2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是 ( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
3.椭圆+=1中，以点M(-1，2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①-②得
+=0，
又因为弦中点为M(-1，2)，
所以x1+x2=-2，y1+y2=4，
所以+=0，
所以k==.
4.已知点M(，0)，椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A，B，则△ABM的周长为________.
【解析】因为直线过椭圆的左焦点(-，0)，所以△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=4a=8.
答案：8
5.设椭圆C：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.
(1)求C的方程.
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
【解析】(1)将(0，4)代入C的方程得=1，所以b=4.
又由e==，得=，
即1-=，所以a=5.
所以C的方程为+=1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得
+=1，即x2-3x-8=0，
x1+x2=3.
设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，
则x′==，
y′==(x1+x2-6)=-，
即中点坐标为.1.4.1
全称量词
1.4.2
存在量词
1.下列命题中，不是全称命题的是 ( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
【解析】选D.A，B，C中都含全称量词，D中含“存在”，为存在量词，所以不是全称命题.
2.下列全称命题为真命题的是 ( )
A.所有的质数是奇数
B. x∈R，x2+1≥1
C.对每一个无理数x，x2也是无理数
D.所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
【解析】选B.2是质数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2+1≥1 x2≥0，显然 x∈R，x2≥0，故B为真命题，C，D均为假命题.
3.下列语句是特称命题的是 ( )
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0，使n0能被11整除
C.若4x-3=0，则x=
D. x∈M，p(x)成立
【解析】选B.B中含存在量词“存在”.
4.已知命题：“存在x0∈[1，2]，使+2x0+a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.
【解析】若存在x0∈[1，2]，使+2x0+a≥0，
则等价为存在x0∈[1，2]，使+2x0≥-a，
当存在x0∈[1，2]时，设y=+2x0=(x0+1)2-1，则3≤y≤8，
所以要使x2+2x≥-a，则8≥-a，即a≥-8.
答案：[-8，+∞)
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1) x0，x0-2≤0.
(2)三角形两边之和大于第三边.
(3)有些整数是偶数.
【解析】(1)特称命题.x0=1时，x0-2=-1≤0，故特称命题“ x0，x0-2≤0”是真命题.
(2)全称命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)特称命题.2是整数，2也是偶数.故特称命题“有些整数是偶数”是真命题.2.3.1
抛物线及其标准方程
1.抛物线x=y2的焦点坐标为 ( )
A.(，0)
B.(a，0)
C.(0，)
D.(0，a)
【解析】选B.抛物线x=y2可化为y2=4ax.它的焦点坐标是(a，0).
2.顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(-2，3)的抛物线方程是 ( )
A.y2=x
B.x2=y
C.y2=-x或x2=-y
D.y2=-x或x2=y
【解析】选D.因为点(-2，3)在第二象限，
所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p′y(p′>0)，又点(-2，3)在抛物线上，所以p=，p′=，
所以抛物线方程为y2=-x或x2=y.
3.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为 ( )
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,所以(2)2=2m,所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线的距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.
4.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点为F,则△MPF的面积为________.
【解析】设P(x0,y0),因为|PM|=5,所以x0=4,所以y0=±4,
所以=|PM|·|y0|=10.
答案:10
5.求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x-5y-36=0上的抛物线方程.
【解析】因为焦点在直线3x-5y-36=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点A的坐标为(12，0)，或(0，-)
设方程为y2=2px，求得p=24，所以此抛物线方程为y2=48x；
设方程为x2=-2py，求得p=，
所以此抛物线方程为x2=-y；
所以顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x-5y-36=0上的抛物线方程为y2=48x或x2=-y.2.3.2
抛物线的简单几何性质
第1课时
抛物线的简单几何性质
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点，则a等于 ( )
A.1
B.4
C.8
D.16
【解析】选C.根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0，2)，依题意则有=2，解得a=8.
2.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x1，y1)(x1>0，y1>0)，
由题意得，F(1，0)，所以|PF|=x1+1=4 x1=3，
所以y1=2，所以A(-1，2)，kAF==-，
所以倾斜角为π.
3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标是
( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选D.如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|+|BB′|=|AB|=4，|PQ|==2，
又|PQ|=y0+，所以y0+=2，所以y0=.
4.已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5，则p=________.
【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得=5.解得p=4.
答案：4
5.根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)过点P(2，-4).
【解析】(1)双曲线方程化为-=1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则-=-3，
所以p=6，所以抛物线方程为y2=-12x.
(2)由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2=mx或x2=ny，代入P点坐标求得m=8，n=-1，所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.2.1.1
椭圆及其标准方程
1.动点M到两点A(-1，0)，B(1，0)的距离和为2，则动点M的轨迹是 ( )
A.椭圆
B.线段
C.直线
D.不存在
【解析】选B.因为距离和为2等于|AB|，所以不是椭圆，而是线段AB.
2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+x2=1
【解析】选A.c=1，a==2，
所以b2=a2-c2=4-1=3，
所以椭圆的方程为+=1.
3.已知椭圆焦点在x轴上，且a=4，c=2，则椭圆方程为 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选B.依题意a2=16，b2=a2-c2=16-4=12，又焦点在x轴上，所以椭圆方程为+=1.
4.求两个焦点的坐标分别为(0，-2)，(0，2)，并且经过点的椭圆方程.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆定义知2a=+=2.
即a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6，
所以所求椭圆的方程为+=1.3.2
导数的计算
第2课时
导数的运算法
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为 ( )
A.3x2+3x
B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3
D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3xln3.
2.函数y=x·lnx的导数是 ( )
A.y′=x
B.y′=
C.y′=lnx+1
D.y′=lnx+x
【解析】选C.y′=x′·lnx+x·(lnx)′=lnx+x·=lnx+1.
3.函数y=的导数是 ( )
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′=′=
==-.
4.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为 ( )
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
【解析】选A.y′=3x2-2,因为点(1,0)在曲线上,
所以k=3-2=1,所以切线方程为y=x-1.
5.求曲线y=在点(1,-1)处的切线方程.
【解析】y′=′=.因为点(1,-1)在曲线上,
所以k=-2,所以切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.1.1.3
四种命题间的相互关系
1.命题“若a>-1，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为真，则其逆否命题为真，而逆命题为假，则其否命题为假，故选B.
2.如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
( )
A.若p，则q
B.若p，则q
C.若q，则p
D.以上都不对
【解析】选B.逆命题与否命题互为逆否命题，为等价命题，它们同真同假，故选B.
3.命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”与“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”的关系是________.
【解析】命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”.
答案：互为逆命题
4.命题“圆内接四边形是等腰梯形”的等价命题是________________.
【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.
答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆
5.判断命题“若m>0，则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆命题的真假.
【解析】原命题的逆命题为“若方程x2+2x-3m=0有实数根，则m>0”，若方程x2+2x-3m=0有实数根，则Δ=12m+4≥0，解得m≥-，所以原命题的逆命题为假命题.3.3.2
函数的极值与导数
1.下面说法正确的是 ( )
A.可导函数必有极值
B.函数在极值点一定有定义
C.函数的极小值不会超过极大值
D.以上都不正确
【解析】选B.因为函数y=x是可导函数,但它没有极值,所以A选项错误;函数的极值点一定有定义是正确的,所以选项B正确;显然函数的极小值有可能会大于它的极大值,所以选项C不正确.
2.函数y=x3+1的极大值是 ( )
A.1
B.0
C.2
D.不存在
【解析】选D.因为y′=3x2≥0在R上恒成立,
所以函数y=x3+1在R上是单调增函数,
所以函数y=x3+1无极值.
3.函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则f′(x0)=0是x0为函数y=f(x)的极值点的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.f′(x0)=0
y=f(x)在x0处有极值,但y=f(x)在x0处有极值
f′(x0)=0.
4.求函数y=x+的极值.
【解析】y′=1-=,令y′=0解得x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},所以当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
+
0
-
-
0
+
y
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以当x=-1时,y极大值=-2,当x=1时,y极小值=2.1.2.2
充要条件
1.“θ=0”是“sinθ=0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由θ=0可得sinθ=0，反之若sinθ=0，则θ不一定为0.
2.已知x=logmn，则mn>1是x>1的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.若m=2，n=1，满足mn>1，但x=logmn=0，则x>1不成立，
若m=，n=，则x=logmn=2>1，但mn=>1不成立，
故mn>1是x>1的既不充分也不必要条件.
3.已知a，b，c∈R，则“2b=a+c”是a，b，c成等差数列的__________条件.
【解析】因为2b=a+c，所以b-a=c-b，
所以a，b，c成等差数列.
又因为a，b，c成等差数列，
所以2b=a+c，
故为充要条件.
答案：充要
4.等差数列{an}的公差为d，则{an}为递增数列的充要条件是__________.
【解析】因为an+1-an=d，{an}为递增数列，
所以d>0，反之也成立.
答案：d>0
5.设函数f(x)=x|x-a|+b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
【证明】先证充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，
所以f(x)=x|x|.
因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)对一切x∈R恒成立，所以f(x)是奇函数.
再证必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，f(-x)=-f(x)恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b.令x=0，得b=-b，所以b=0；令x=a，得-a|2a|=0，所以a=0，即a2+b2=0.1.1.2
四种命题
1.命题“若a2≤b2，则a≤b”的逆命题是 ( )
A.“若aB.“若a>b，则a2>b2”
C.“若a≤b，则a2≤b2”
D.“若a≥b，则a2≥b2”
【解析】选C.原命题“若a2≤b2，则a≤b”的逆命题为“若a≤b，则a2≤b2”.
2.命题“若p，则q”的逆否命题是 ( )
A.若p，则q
B.若p，则q
C.若q，则p
D.若q，则p
【解析】选C.条件p的否定为p，结论q的否定为q，交换顺序得逆否命题“若q，则p”.
3.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为真命题，
逆命题：“若xy≥0，则x≥0，y≥0”为假命题.
否命题：“若x<0或y<0，则xy<0”为假命题.
逆否命题：“若xy<0，则x<0或y<0”为真命题.
故有两个真命题.
4.“在△ABC中，若∠C=90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为________.
【解析】否命题为：△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角.
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
5.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假.
【解析】“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题.2.2.2
双曲线的简单几何性质
第1课时
双曲线的简单几何性质
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( )
A.2
B.2
C.4
D.4
【解析】选C.双曲线标准方程为-=1，故实轴长为4.
2.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是 ( )
A.m>
B.m≥1
C.m>1
D.m>2
【解析】选C.双曲线离心率e=>，所以m>1.
3.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标是________.
【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x，所以m=-3，求得双曲线方程为-=1，从而得到焦点坐标(，0)，(-，0).
答案：(，0)，(-，0)
4.根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3，2).
(2)与双曲线-=1有公共焦点，且过点(3，2).
【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0)，
将点(-3，2)代入得λ=，
所以双曲线方程为-=，
即-=1.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).
由题意易求c=2.
又双曲线过点(3，2)，
所以-=1.
又因为a2+b2=(2)2，所以a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.1.3
简单的逻辑联结词
1.已知命题p∧(q)是真命题，则下列命题中也是真命题的是 ( )
A.(p)∨q
B.p∨q
C.p∧q
D.(p)∧(q)
【解析】选B.命题p∧(q)是真命题，则p为真命题，q也为真命题，
可推出p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选B.
2.命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中的元素”是__________形式.(填“p∧q”“p∨q”“p”中的一种)
【解析】x∈A∩B，则x∈A且x∈B，填p∧q.
答案：p∧q
3.“m≥3”是__________形式.(填“p∧q”“p∨q”“p”中的一种)
【解析】“m≥3”的含义是“m>3或m=3”，填p∨q.
答案：p∨q
4.命题“矩形的对角线不相等”是__________形式.(填“p∧q”“p∨q”“p”中的一种)
【解析】“矩形的对角线不相等”是对“矩形的对角线相等”的全盘否定，填p.
答案：p
5.命题p：已知a>0，函数y=ax在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围.
【解析】若命题p为真，即函数y=ax在R上是减函数，
则0若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，
即则a≤-2，
因为p或q为真命题，p且q为假命题，
所以命题p与q中一真一假，
当p真q假时，则满足即0当p假q真时，则满足即a∈ ；
综上所述，a的取值范围为{a|0抛物线的简单几何性质
第2课时
抛物线方程及性质的应用
1.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k= ( )
A.2或-2
B.-1
C.2
D.3
【解析】选C.由得k2x2-4(k+2)x+4=0，则=4，即k=2或k=-1，又由Δ=16(k+2)2-16k2>0，知k=2.
2.已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|-|FB||的值等于 ( )
A.4
B.8
C.8
D.16
【解析】选C.依题意F(2，0)，所以直线方程为y=x-2，由消去y得x2-12x+4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|
=|x1-x2|===8.
3.若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=________.
【解析】由f(x)=log2(x+1)-1=0，知x=1，
抛物线x=ay2焦点的坐标是F，
由题设条件知=1，所以a=.
答案：
4.抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M(0，1)任作一直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1·x2=-4，则抛物线C的方程为________.
【解析】根据题意可设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，
过点M(0，1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都有x1·x2=-4，
考虑特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，可得A(-，1)，B(，1)，则有x1x2=-2p=-4，所以p=2，所以x2=4y
答案：x2=4y
5.已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是________.
【解析】过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|+|MF|=|MP|+|MN|=|PN|=4为所求最小值.
答案：4
6.已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y=x，△AOB的面积为6，求该抛物线的方程.
【解析】因为OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y=x，OB所在直线的方程为y=-x，
由得A点坐标为(，)，
由得B点坐标为(6p，-2p)，
所以|OA|=|p|，|OB|=4|p|，
又=p2=6，所以p=±.
所以该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.