13.1轴对称同步练习（解析版）
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新人教版八年级数学上册同步练习
13.1轴对称
一、单选题
1、如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A、24° B、30° C、32° D、36°
2、等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A、过顶点的直线 B、底边上的高
C、顶角的平分线所在的直线 D、腰上的高所在的直线
3、下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A、线段 B、等边三角形 C、正方形 D、圆
4、如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A、9 B、10 C、11 D、12
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；
②作图依据是SAS；
③∠ADC=60°；
④点D在AB的垂直平分线上．
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2 ．
A、4 B、8 C、12 D、16
7、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BC分别交BC，BD与点E，F，连接CF并延长，交AB于点G，若CG⊥AB，则∠FCB的度数为（ ）
A、30° B、35° C、40° D、45°
8、平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个．
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题
9、如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________．
10、如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1 ， P2 ， 连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为________．
11、到线段两个端点的距离相等的点有________．
12、证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴________ =________（________）．
同理可得，PB=________．
∴________ =________（等量代换）．
∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________）
∴AB、BC、AC的垂直平分线________．
13、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是________度．
14、如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题
15、判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
16、如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
17、如图，D为AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．
求证：EF=EC．
18、解决下面问题：
如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且 ， BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．
图a 图b 图c
小新同学是这样思考的：
在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．
请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．
参考答案与试题解析
一、单选题
1、C
解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
2、C
解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线， A、过顶点的直线，错误；B、底边上的高，错误；C、顶角的平分线所在的直线，正确；D、腰上的高所在的直线错误，错误．
故选C．
3、D
解：A、线段有两条对称轴；
B、等边三角形有三条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、圆有无数条对称轴．
故选D．
4、D
解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D.
5、C
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故③正确；④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故④正确；
故选：C．
6、B
解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=S正方形 ，
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴阴影部分的面积=×42=8cm2 ．
故选B．
7、A
解：∵EF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBC=∠GBF，
∵CG⊥AB，
∴∠BGC=90°，
∴∠FCB=30°，
故选：A．
8、C
解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．
故是轴对称图形的有3个．
故选：C．
二、填空题
9、60°
解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故答案为：60°．
10、15
解：∵P点关于OA的对称是点P1 ， P点关于OB的对称点P2 ， ∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
故答案为：15
11、无数个
解：到线段两个端点的距离相等的点有无数个．
12、证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
∴PA=PC（等量代换）．
∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
13、10
解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°， ∴∠BCN=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣90°﹣40°=50°，
∵DN是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，∠A=∠DCA=40°，∠BCD=∠BCN﹣∠DCA=50°﹣40°=10°，
∠BCD的度数是10度．
故答案为：10．
14、10
解：由作图可知CD是线段AB的中垂线， ∵AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∵AB=4，CD=5，
∴S菱形ACBD= ×AB×CD= ×4×5=10，
故答案为：10．
三、解答题
15、解答：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，可完成此题．解：（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．
16、解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC
17、解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，
∴∠B=∠DFB，
∵∠ADF=∠B+∠DFB，即∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AE=EC，
∴EF=EC．
18、BD=CE．理由如下：
如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．
在△BDC和△CFB中，
∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∵∠DCB=∠EBC=∠A，
∴∠DCB+∠EBC=∠A．
∵∠DCB+∠EBC=∠FOC，
∴∠FOC=∠A．
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠CFB=∠A+∠ACD．
∴∠CFB=∠FOC+∠ACD．
∵∠FEC=∠FOC+∠ACD，
∴∠CFB=∠CEF，
∴CE=CF．
∴BD=CE．
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13.1轴对称
一、单选题
1、如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A、24° B、30° C、32° D、36°
2、等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A、过顶点的直线 B、底边上的高
C、顶角的平分线所在的直线 D、腰上的高所在的直线
3、下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A、线段 B、等边三角形 C、正方形 D、圆
4、如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A、9 B、10 C、11 D、12
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；
②作图依据是SAS；
③∠ADC=60°；
④点D在AB的垂直平分线上．
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2 ．
A、4 B、8 C、12 D、16
7、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BC分别交BC，BD与点E，F，连接CF并延长，交AB于点G，若CG⊥AB，则∠FCB的度数为（ ）
A、30° B、35° C、40° D、45°
8、平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个．
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题
9、如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为________．
10、如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1 ， P2 ， 连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为________．
11、到线段两个端点的距离相等的点有________．
12、证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴________ =________（________）．
同理可得，PB=________．
∴________ =________（等量代换）．
∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________）
∴AB、BC、AC的垂直平分线________．
13、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是________度．
14、如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题
15、判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
16、如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
17、如图，D为AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．
求证：EF=EC．
18、解决下面问题：
如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且 ， BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．
图a 图b 图c
小新同学是这样思考的：
在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．
请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．
参考答案与试题解析
一、单选题
1、C
解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
2、C
解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线， A、过顶点的直线，错误；B、底边上的高，错误；C、顶角的平分线所在的直线，正确；D、腰上的高所在的直线错误，错误．
故选C．
3、D
解：A、线段有两条对称轴；
B、等边三角形有三条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、圆有无数条对称轴．
故选D．
4、D
解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D.
5、C
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故③正确；④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故④正确；
故选：C．
6、B
解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=S正方形 ，
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴阴影部分的面积=×42=8cm2 ．
故选B．
7、A
解：∵EF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBC=∠GBF，
∵CG⊥AB，
∴∠BGC=90°，
∴∠FCB=30°，
故选：A．
8、C
解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．
故是轴对称图形的有3个．
故选：C．
二、填空题
9、60°
解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故答案为：60°．
10、15
解：∵P点关于OA的对称是点P1 ， P点关于OB的对称点P2 ， ∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
故答案为：15
11、无数个
解：到线段两个端点的距离相等的点有无数个．
12、证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
∴PA=PC（等量代换）．
∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
13、10
解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°， ∴∠BCN=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣90°﹣40°=50°，
∵DN是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，∠A=∠DCA=40°，∠BCD=∠BCN﹣∠DCA=50°﹣40°=10°，
∠BCD的度数是10度．
故答案为：10．
14、10
解：由作图可知CD是线段AB的中垂线， ∵AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∵AB=4，CD=5，
∴S菱形ACBD= ×AB×CD= ×4×5=10，
故答案为：10．
三、解答题
15、解答：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，可完成此题．解：（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．
16、解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC
17、解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，
∴∠B=∠DFB，
∵∠ADF=∠B+∠DFB，即∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AE=EC，
∴EF=EC．
18、BD=CE．理由如下：
如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．
在△BDC和△CFB中，
∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∵∠DCB=∠EBC=∠A，
∴∠DCB+∠EBC=∠A．
∵∠DCB+∠EBC=∠FOC，
∴∠FOC=∠A．
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠CFB=∠A+∠ACD．
∴∠CFB=∠FOC+∠ACD．
∵∠FEC=∠FOC+∠ACD，
∴∠CFB=∠CEF，
∴CE=CF．
∴BD=CE．
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