江畔独步寻花(浙江省温州市)

河南省桐柏实验高中09-10学年高一上学期期末模拟（数学）
编辑：苏跃飞 校对：王思亮
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列命题正确的是( )
A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内
B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内
C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内
D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点
2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A. B. C. D.2
3在正方体ABCD—A1B1C1D1中,与AD成异面直线的棱共有( )
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.-1C.a<-1或a>1 D.a=±1
5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.4倍
6下列命题:
①一条直线在平面内的射影是一条直线.
②在平面内射影是直线的图形一定是直线.
③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.
④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB的最小值是( )
A. B. C. D.
8正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后,下列结论不成立的是( )
A.AC⊥BD
B.△ADC为正三角形
C.AB、CD所成角为60°
D.AB与面BCD所成角为60°
9从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A.π B.2π C.4π D.6π
10a、b∈N*,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.多于3
11图2,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为…( )
图2
A. B.5 C.6 D.
12光线从点A(-1,1)射出经x轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( )
A.-2 B.8 C. D.10
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________.
14已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.
15在xOy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.
16如图3,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.
图3
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本题满分12分)如图4,A、B分别是异面直线a、b上两点,自AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P.
图4
求证:P是MN的中点.
18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S.
19(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC中,E、F依次是AB、AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G为垂足.若将正△ABC绕AD旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值为多少？
图6
20(本题满分12分)圆C:x2+y2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P、Q,且OP⊥OQ,求F的值.
21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F为CE的中点.
图7
(1)求证:BF⊥面CDE.
(2)求多面体ABCDE的体积.
(3)求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小.
22(本题满分14分)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1-12 CAAAC ACBBD DB
13思路解析:过P点且垂直于OP的直线为所求,方程为x+2y-5=0.
答案:x+2y-5=0
14思路解析:由于球心在截面ABC上的射影是△ABC的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为,最后利用球的面积公式得S=为所求.
答案:
15思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1).
答案:
16思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为(a+b).所求体积为它的一半.
答案:πr2(a+b)
17思路分析:连接AN交α于Q,连结OQ、PQ,
从而在△ABN和△AMN中利用中位线的性质求解.
证明:连接AN交α于Q,连结OQ、PQ,
∵b∥α,OQ是过直线b的平面ABN与α的交线,
∴b∥OQ.同理PQ∥a.
在△ABN中,O是AB的中点,OQ∥BN,
∴Q是AN的中点.
又∵PQ∥a,
∴P是MN的中点.
18思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式.
解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1?x=±1或y=±1.
它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.
图5
19思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算.
解:设圆锥的高为h,底面半径为r,
则圆柱的高为,底面半径为.
所以,.
20思路分析:P,Q两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解.
解:设P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有
5x2+2x+4F-27=0.
根据根与系数的关系,有
根据题意,有PO⊥OQ=-1x1x2+y1y2=0x1x2+
5x1x2-3(x1+x2)+9=05×.
21思路分析:(1)如图6,取CD的中点G,DE的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF⊥面CDE证明成立的话,则必然有BF⊥CE,考虑到F为CE的中点,我们的目标就是要证明△BCE是等腰三角形.另外由于BF在平面ACD上的射影AG是△ADC的边CD上的高,所以BF⊥CD.这样BF就垂直于平面ACD上的两条相交直线,从而BF⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE在平面ACD上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解.
解:(1)证明:∵AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,
由AB=a,AC=2a,得BC=a.
同理,在直角梯形ABDE中,AB⊥AD,DE⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=a.
又F是CE的中点,∴BF⊥CE.
∵BF在面ACD上的射影是等边△ADC的边CD上的高,
∴BF⊥CD.
∴BF⊥平面CDE.
(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B—ACD与三棱锥B—CDE.
VB—ACD=AB·SACD=·a·(2a)2=a3.
∵CE=a,CF=a,
而BC=a,∴BF=a,
∴VB—CDE=BF·SCDE=·a··(2a)2=.
故所求多面体ABCDE的体积为a3.
(3)解:设面BCE与面ACD所成的角为θ.
∵△BCE在面ACD上的射影为△ACD,
∴cosθ=,
∴θ=
22思路分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A和B的坐标值.但不必解出A和B坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB为直径的圆可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
解:假设直线存在,设l的方程为y=x+m,
由
得2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+y2=-(m+1),x1x2=.
∵以AB为直径的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,
若它经过原点,则x1x2+y1y2=0.
又y1·y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.
∴2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
∴m2+3m-4=0,m=-4或m=1.
∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0,
∴所求直线l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.