3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（2）
【学习目标】
1.会制作
( http: / / www.21cnjy.com )列联表；2．了解随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的含义以及观测值
( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式；3．掌握独立性检验的初步应用的一般步骤.
【能力目标】
1.能通过问题收集和采集数据;2.利用数据制作等高图和列联表;3.通过数据加工和处理,能对问题做出适当的阐述.
【重点难点】
1.观测值
( http: / / www.21cnjy.com )的计算；2.
掌握独立性检验的初步应用的一般步骤.3．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法.
【学法指导】
掌握独立性检验的初步应用的一般步骤：①制列联表，②写出假设，③计算观测值，④会查表求出概率，⑤回答问题.
【学习过程】
一.【课前预习】
阅读教材P94-P96;知识要点:
①列联表
一般地，假设有两个分类变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )，它们的可能取值分别为
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )，其样本频数列联表（称为
( http: / / www.21cnjy.com )列联表）如下表．
YX
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
②假设：
( http: / / www.21cnjy.com )两个分类变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )无关；
③观测值的计算
( http: / / www.21cnjy.com )，（计算时注意约分）
④通过观测值查表找出临界值
( http: / / www.21cnjy.com )，（使得满足
( http: / / www.21cnjy.com )的最大的临界值
( http: / / www.21cnjy.com )），从而确定临界值
( http: / / www.21cnjy.com )对应的概率
( http: / / www.21cnjy.com )。
⑤回答问题：变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )无关的可信程度是
( http: / / www.21cnjy.com )；变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )有关的可信程度是
( http: / / www.21cnjy.com )；变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )有关其犯错误的概率不超过
( http: / / www.21cnjy.com )，
二．【课堂学习与研讨】
类型2
独立性检验
例2.为了探究学生选报文
( http: / / www.21cnjy.com )、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？
【归纳】运用独立检验的方法:①制列联表，②写出假设，③计算观测值，④会查表求出概率，⑤结论.
试一试：在两个学习基础相当的班级实
( http: / / www.21cnjy.com )行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施
( )
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A.有关
B．无关
C．关系不明确
D．以上都不正确
三．【课堂检测】
1．若用独立性检验的方法，我们得到能有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为变量X与Y有关系，则( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
( )
①若K2的观测值满足
( http: / / www.21cnjy.com )，我们有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能患有肺病；③从统计量中得知有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性使得推断出现错误
A．①
B．①③
C．③
D．②
3．某校为了研究初一学生吃零食是否与性别有关，从初一年级抽取了100名学生调查购买零食的费用，规定每月在零食上花费不低于30元的为吃零食较多，每月在零食上花费不满30元的为吃零食较少.根据收集的数据得到了一个
( http: / / www.21cnjy.com )列联表，并计算得出
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值为
( http: / / www.21cnjy.com )，则下列结论正确的是
（
）
A.有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
B.
有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
C.
该校初一学生中有
( http: / / www.21cnjy.com )的学生吃零食较多
D.
该校初一学生中有
( http: / / www.21cnjy.com )的女生吃零食较多
4．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①
( http: / / www.21cnjy.com )的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出
( http: / / www.21cnjy.com )，则有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为两个分类变量有关系，即有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的
( http: / / www.21cnjy.com )小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
5．某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：
专业性别
非统计专业
统计专业
男生
13
10
女生
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值为
( http: / / www.21cnjy.com ).因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．
四．【课堂小结】
1．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率．
2．利用独立性检验解决问题的基本步骤①制列联表，②写出假设，③计算观测值，④会查表求出概率，⑤回答问题．
【课外作业】
1．有两个分类变量x，y，其
( http: / / www.21cnjy.com )列联表如下表．其中a，
( http: / / www.21cnjy.com )均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过
( http: / / www.21cnjy.com )的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为
（
）
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15-a
30＋a
A.5或6
B.
6或7
C．7
或8
D．8或9
2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算
( http: / / www.21cnjy.com )________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别__________.
多动症
无多动症
总计
男生
98
82
180
女生
2
50
52
总计
100
132
232
3．某小学对232名小学
( http: / / www.21cnjy.com )生调查发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别_______（填“有关”或“无关”）．
.
4.
某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________________
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )
5.某教育科研机构研发了一款新的学习软
( http: / / www.21cnjy.com )件，为了测试该软件的受欢迎程度，该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取部分学生进行了调研.已知这四所学校在校学生有9000人，其中小学生5400人，参加调研的初中生有180人.
（1）参加调研的小学生有多少人
（2）该科研机构将调研的情况统计后得到下表：
喜爱使用该学习软件
不太喜爱使用该学习软件
合计
初中生
60
120
180
小学生
90
合计
请将上表填写完整，并据此说明是否有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关？3.1回归分析的基本思想及其初步应用
第2课时
残差分析
【学习目标】
1.了解残差平方和、相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )的概念；
2.了解回归分析的基本步骤；
3.会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判；
【重点难点】
重点：了解残差平方和、相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )的概念,
会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判。
难点：了解回归分析的基本步骤,
【学习过程】
一.课前预习
阅读课本P82—86，记下困惑处并完成下列问题
1、`线性回归模型
( http: / / www.21cnjy.com )是y（真实值）与
( http: / / www.21cnjy.com )之间的误差。通常e是随机变量，称为。
2.残差
对于样本点
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，…，
( http: / / www.21cnjy.com )，它们的随机误差
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，…，
( http: / / www.21cnjy.com )，其估计值为
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )称为相应于点
( http: / / www.21cnjy.com )的.
温馨提示：正确理解随机误差：随机误差是
( http: / / www.21cnjy.com )客观存在的，主要原因是：（1）所用的函数不恰当引起误差；（2）除了两个变量之间的影响之外，还会受到其他因素的影响；（3）由于观测方面的原因出现的误差.
3.残差图及相关指数
（1）残差图：我们可以利用图形来分析残差特征，作图时纵坐标为，横坐标可以选为，或解释变量或预报变量等，这样作出的图形称为.
（2）相关指数：计算公式是
( http: / / www.21cnjy.com )，其中残差平方和为，总偏差平方
和为.
( http: / / www.21cnjy.com )越大说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，
( http: / / www.21cnjy.com )表示解释变量对于预报变量变化的，
( http: / / www.21cnjy.com )越接近于，表示回归的效果越好.
温馨提示：相关指数的计算公式中，分子是残差平方和，分母是总偏差平方和，计算时不要弄错，同时要清楚
( http: / / www.21cnjy.com )的大小与拟合效果的关系.
二.课堂学习与研讨
类型1
线性回归分析
【典例1】为研究重量x（单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
（1）作出散点图，并求线性回归方程：
（2）求相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )，并判断模型的拟合效果；
（3）进行残差分析．(
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ))
【归纳升华】一般地，求出回归直线方程后，通常可以计算处残差的平方和以及相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )的值来对回归模型的好坏作出评判，由
( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式知，残差平方和越小，
( http: / / www.21cnjy.com )就越大，拟合效果就越好；残差平方和越大，
( http: / / www.21cnjy.com )就越小，拟合效果就越差.
.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.6
6.5
7.0
若由资料知，y与x呈线性相关关系．
试求：（1）线性回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )的回归系数
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）求残差平方和；
（3）求相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )
类型2线性回归模型拟合的效果
例2、关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，试比较哪一个模型拟合的效果更好。
（分析：方法1，分别计算两个模型的残差，进行比较；方法2，分别计算两个模型的相关指数，进行比较。参考数据：
( http: / / www.21cnjy.com )，①
( http: / / www.21cnjy.com )②
( http: / / www.21cnjy.com )）
【当堂检测】
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．第四个 B．第五个 C．第六个 D．第八个
5．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是
( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【课堂小结】
1．线性回归分析中拟合效果的评判问题：
（1）求出线性回归模型（即线性回归直线方程）、残差平方和
( http: / / www.21cnjy.com )、以及相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )，则：①残差平方和
( http: / / www.21cnjy.com )越小，拟合效果越好；②
( http: / / www.21cnjy.com )越大（越接近于
( http: / / www.21cnjy.com )），拟合效果越好．
（2）对于同一个问题可以有几个不同
( http: / / www.21cnjy.com )的拟合模型，要分别求出各个模型的线性回归直线方程、残差平方和、相关指数，残差平方和小的拟合效果好，相关指数大的，拟合效果好．
【作业】
1.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.58
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
（1）以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
（2）求y与x之间的回归直线方程，对于基本苗数56.7预报其有效穗；
（3）计算各组残差，并计算残差平方和；
（4）求
( http: / / www.21cnjy.com )，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．3.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）
【学习目标】
1、了解相关关系的概念及其与函数的区别。
2、掌握线性回归方程的求法及步骤，了解回归方程中的参数的意义。
3、用相关系数r分析两个变量之间线性相关关系的强弱，以科学的态度评价两个变量的相关关系。
【重点难点】
重点：熟练掌握线性回归方程的求法及步骤。
难点：求线性回归方程
【学习过程】
一.课前预习:阅读课本P80—82，记下困惑处并完成下列问题
1、相关关系与函数关系的区别是什么？
是一种确定性关系，
是一种非确定性关系.
2.回归分析
回归分析是针对具有
( http: / / www.21cnjy.com )
的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的
，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报.
3、课本中对两个具有线性相关关系的变量利用回
( http: / / www.21cnjy.com )归分析的方法进行研究有哪些步骤？
①
，②
，③
。
4、相关系数计算公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
注：（1）
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，相关性很强；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，相关性一般；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，相关性较弱。（2）
( http: / / www.21cnjy.com )称为总偏差平方和
5、回归直线
( http: / / www.21cnjy.com )必过样本点的中心
。
( http: / / www.21cnjy.com )
类型1
变量间的相关性检验（自主研析）
例1关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
试判断y与x是否线性相关．（
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )）
.
，
【归纳升华】变量间是否具有线性相关关系，可通过散点图或相关系数作出判断，散点图只是粗略作出判断，用相关系数能够较准确的判断相关的程度．
现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
请问：这10个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性的线性相关关系？
（
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，）
类型2
线性回归模型
例2.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示。
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。（按回归分析的3个步骤求解）
(
( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com );
( http: / / www.21cnjy.com ))
【归纳升华】求回归直线方程的一般步骤
（1）作出散点图，依据问题所
( http: / / www.21cnjy.com )给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系．
（2）当两变量具有线性相关关系时，利用公式求回归系数
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，写出回归直线方程．
变式训练(2011广东)某数学老师身
( http: / / www.21cnjy.com )高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm
．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．
【当堂检测】
1.下列结论正确的是
(
)
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
A.
①②
B.
①②③
C.
①②④
D.
①②③④
2．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（
）
A.y平均增加2.5个单位
B.y平均增加2个单位
C.y平均减少2.5个单位
D.y平均减少2个单位
3．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )及其回归系数
( http: / / www.21cnjy.com )，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4.
已知x与y之间的一组数据：
( http: / / www.21cnjy.com )
0
1
2
3
( http: / / www.21cnjy.com )
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为
( http: / / www.21cnjy.com )必过（
）
A.（2，2）点
B.（1.5，0）点
C.（1，2）点
D.（1.5，4）点
【课堂小结】
求解线性回归模型问题的一般步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；
（3）由经验确定回归方程的类型（如果呈线性关系，则选用线性回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数；（5）根据回归直线方程对变量作出预测.
【作业】
1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
( http: / / www.21cnjy.com )(吨)与相应的生
产能耗
( http: / / www.21cnjy.com )
(吨标准煤)的几组对照数据
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
( http: / / www.21cnjy.com )关于
( http: / / www.21cnjy.com )的线性回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )；
(3)已知该厂技改前100吨甲
( http: / / www.21cnjy.com )产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
(参考数值：
( http: / / www.21cnjy.com ))3.1回归分析的基本思想及其初步应用
第3课时
非线性回归分析
【学习目标】
1、结合案例进一步体会回归分析的基本思想及其应用，掌握线性回归模型与线性回归方程的关系及其参数、变量的意义。
2、会通过残差分析研究模型的拟合精度以及回归方程的预报精度。
【重点难点】
重点：掌握线性回归模型与线性回归方程的关系及其参数、变量的意义。
难点：了解回归分析的基本步骤,
了解简单的非线性回归分析方法
【学习过程】
一.课前预习
1、当回归方程不是形如
( http: / / www.21cnjy.com )时，称之为方程。
2、对于非线性回归模型相应的回归方程，可以做适当的变换，使之成为线性回归方程吗？请试试看。
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )令
( http: / / www.21cnjy.com )，可得。
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )令，可得。
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )，令，可得。
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )，令，可得。
3、若可能有几种模型同时可以拟合散点，则需利用来优选，
，说明模型的拟合精度越高。
二．典型例题
类型3
非线性回归分析
【典例2】下表为收集到的一组数据：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325
（1）作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系；
（2）建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
（3）利用所得模型，预报x=40时y的值．
【归纳升华】非线性回归问题有时并不给
( http: / / www.21cnjy.com )出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．
以模型
( http: / / www.21cnjy.com )去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
( http: / / www.21cnjy.com )，其变换后得到线性回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )________.
类型4
弄不清回归模型的类型致误
【典例3】在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
【易错提示】本题易犯的错误是
( http: / / www.21cnjy.com )直接使用最小二乘法求出线性回归直线方程，实际上，本题中的数据在散点图上并不在某条直线附近，因此不能用线性回归模型求解.
【当堂检测】
1．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足
( http: / / www.21cnjy.com )，2，…，n），且
( http: / / www.21cnjy.com )恒为0，则
( http: / / www.21cnjy.com )为_____．
2．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了
( http: / / www.21cnjy.com )的体重变化，而随机误差贡献了剩余的
( http: / / www.21cnjy.com )，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多”.则求得的相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )
（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．
4、已知两相关变量x，y的三组观测值如下表：
x
1
3
4
y
1
7
15
根据经验知y对x的回归模型为
( http: / / www.21cnjy.com )，试求出该回归方程。
【课堂小结】
2.非线性回归分析中的问题：
（1）根据实验数据，画出散点图，从中观
( http: / / www.21cnjy.com )察其变化规律，并与已知函数的图象对比，看接近于什么函数，根据实践经验来决定选取公式的类型，所选的类型是否符合实际，还需要通过实践来检验．有时候还需要选择不同的模拟函数作比较．
（2）如果观察散点图，发现点的分布
( http: / / www.21cnjy.com )不呈条状分布，而是与某种曲线相近，这时可选择这条曲线对应的函数作为拟合函数，作恰当变换，转化为线性函数，用线性回归模型求解．
常见的非线性回归模型：
①反比例函数
( http: / / www.21cnjy.com )可作变换
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
②幂函数型
( http: / / www.21cnjy.com )可作变换
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则有：
( http: / / www.21cnjy.com ).
③指数型函数
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，可作变换
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则有：
( http: / / www.21cnjy.com ).
【作业】
某公司为确定下一年度投入
( http: / / www.21cnjy.com )某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1 6
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
其中wi＝，w＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
( http: / / www.21cnjy.com )3.1回归分析的基本思想及其初步应用
第4课时
习题课
【学习目标】
1、掌握线性回归方程的求法及步骤，了解回归方程中的参数的意义。
2、会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判；
【重点难点】
重点：1.熟练掌握线性回归方程的求法及步骤；
2.会用残差平方和与相关指数对回归模型拟合度进行评判
难点：求线性回归方程
【学习过程】
练习：
1、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )=1.23x＋4
B、
( http: / / www.21cnjy.com )=1.23x+5
C、
( http: / / www.21cnjy.com )=1.23x+0.08
D、
( http: / / www.21cnjy.com )=0.08x+1.23
2、在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（
）
A、模型1的相关指数R2为0.98
B、模型2的相关指数R2为0.90
C、模型3的相关指数R2为0.60
D、模型4的相关指数R2为0.25
3、设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )关于
( http: / / www.21cnjy.com )的回归直线的回归系数为
( http: / / www.21cnjy.com )，回归截距是
( http: / / www.21cnjy.com )，那么必有（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的符号相同
B、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的符号相同
C、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的符号相反
D、
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的符号相反
4．（2015·福建高考）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程
( http: / / www.21cnjy.com )，其中
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为
( )
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万
二．例题选讲
例1．（本题满分12分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地
( http: / / www.21cnjy.com )年的粮食需求量．
例2．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
（1）作出散点图；
（2）求出回归方程；
（3）作出残差图；
（4）计算相关指数
( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）试预测该运动员训练
( http: / / www.21cnjy.com )次及
( http: / / www.21cnjy.com )次的成绩．
例3．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量（单位：千万吨）与资金投入量
( http: / / www.21cnjy.com )（单位：千万元）有如下统计数据：
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
资金投入量
( http: / / www.21cnjy.com )（千万元）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
垃圾处理量
( http: / / www.21cnjy.com )（千万吨）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有一年不低于
( http: / / www.21cnjy.com )（千万吨）的概率；
（2）由表中数据求得线性回归方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，该垃圾处理厂计划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获悉2017年的资金投入量约为
( http: / / www.21cnjy.com )千万元，请你预测2017年能否完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？
【当堂检测】
1、有下列关系
（1）人的年龄与其拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）学生与他的学号之间的关系；
（5）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系。
其中有相关关系的是。
2、已知x与y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程
( http: / / www.21cnjy.com )必过点。
3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
56
58
60
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
31.4
33.5
35.2
通过计算得到回归方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为
( http: / / www.21cnjy.com )，那么数据
( http: / / www.21cnjy.com )的意义是( )
A．某人年龄
( http: / / www.21cnjy.com )岁，他体内脂肪含量为
( http: / / www.21cnjy.com )
B．某人年龄
( http: / / www.21cnjy.com )岁，他体内脂肪含量为
( http: / / www.21cnjy.com )的概率最大
C．某人年龄
( http: / / www.21cnjy.com )岁，他体内脂肪含量的期望值为
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )是对年龄为
( http: / / www.21cnjy.com )岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计
【作业】
1、某同学6次考试的数学（x）、语文（y）成绩在班中的排名如下表：
数学成绩（x）
7
6
5
3
2
1
语文成绩（y）
13
11
9
6
4
2
对上述数据分别用
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )来拟合y与x之间的关系，分别用残差和相关指数分析两者的拟合效果。3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（1）
【学习目标】
能用等高条形图反应两个分类变量之间是否有关系，能够根据条件列出列联表，并会由公式求
( http: / / www.21cnjy.com )，能知道独立性检验的基本思想和方法。
【能力目标】
了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的初步应用
【重点难点】
1.会制作
( http: / / www.21cnjy.com )列联表；2．了解随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的含义以及观测值
( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式；3．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法
【学法指导】
能用等高条形图反应两个分类变量之间是否有关系，掌握独立性检验的初步应用的一般步骤。
【学习过程】
一.【课前预习】
阅读教材P91-P94，知识梳理:
1.分类变量和列联表
（1）分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的
，像这样的变量称为分类变量．
（2）列联表
①定义：两个分类变量的
称为列联表．
②
( http: / / www.21cnjy.com )列联表
一般地，假设有两个分类变量
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )，它们的可能取值分别为
和
，其样本频数列联表（称为
( http: / / www.21cnjy.com )列联表）如下表．
YX
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
温馨提示：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，所以，独立性检验的结果只能说成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论.
2.等高条形图
（1）等高条形图与表格相比，更
( http: / / www.21cnjy.com )能直观地反映出两个分类变量间是否
，常用
展示列联表数据的
．
（2）观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间
．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
温馨提示：等高条形图只能粗略判断两个分类变量是否有关系.
3.独立性检验
（1）定义：利用随机变量K2来判断
的方法称为独立性检验．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
，其中
( http: / / www.21cnjy.com ).
温馨提示：独立性检验是对两个
( http: / / www.21cnjy.com )分类变量有关系的可信度的判断，而不是对其是否有关系的判断.独立性检验的结论只能是有多大的把握认为两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系.
4.“两个分类变量有关系”犯错误的概率表数据(或无关的概率表数据)：
( http: / / www.21cnjy.com )
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
( http: / / www.21cnjy.com )
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
二．【课堂学习与研讨】
类型1
用等高条形图分析两变量间的关系
例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有
( http: / / www.21cnjy.com )人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外
( http: / / www.21cnjy.com )人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）试判断性别与休闲方式是否有关系．
三．【课堂检测】
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”，这就是指“有吸烟习惯的人必定会患慢性气管炎”
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )列联表中的4个数据可以是任意正数
2．在
( http: / / www.21cnjy.com )列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量之间的关系越强
( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
3．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是( )
A．三维柱形图
B．二维条形图
C．等高条形图
D．独立性检验
4．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：
死亡
存活
合计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是____________________．
5．某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：
专业性别
非统计专业
统计专业
男生
13
10
女生
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值为
( http: / / www.21cnjy.com ).因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．
四．【课堂小结】
1．等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．
2．在判断两个分类变量关系的可靠性时一般利用随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )来确定，把计算出的
( http: / / www.21cnjy.com )的值与相关的临界值作比较，确定出“X与Y有关系”的把握．
3．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率．
4．利用独立性检验解决问题的基本步骤
①根据相关数据作列联表；②求
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值；③与临界值作比较，得出结论．
【课外作业】
1．若用独立性检验的方法，我们得到能有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为变量X与Y有关系，则( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
3．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
( )
①若K2的观测值满足
( http: / / www.21cnjy.com )，我们有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能患有肺病；③从统计量中得知有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性使得推断出现错误
A．①
B．①③
C．③
D．②
5．某校为了研究初一学生吃零食是否与性别有关，从初一年级抽取了100名学生调查购买零食的费用，规定每月在零食上花费不低于30元的为吃零食较多，每月在零食上花费不满30元的为吃零食较少.根据收集的数据得到了一个
( http: / / www.21cnjy.com )列联表，并计算得出
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值为
( http: / / www.21cnjy.com )，则下列结论正确的是
（
）
A.有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
B.
有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
C.
该校初一学生中有
( http: / / www.21cnjy.com )的学生吃零食较多
D.
该校初一学生中有
( http: / / www.21cnjy.com )的女生吃零食较多3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（3）
【学习目标】
1.了解分类变量的意义，会制作
( http: / / www.21cnjy.com )列联表；2．了解随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的含义以及观测值
( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式；3．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法
【能力目标】
收集数据，制作列联表，制作等高条形图；利用列联表球观测值，解决两变量是否有关的程度；
【重点难点】
1.会制作
( http: / / www.21cnjy.com )列联表；2．了解随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )的含义以及观测值
( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式；3．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法
【学法指导】
独立性检验，要确认“两个分类变量有关系”这
( http: / / www.21cnjy.com )一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理,根据随机变量K2的含义,可以通过概率P(K2≥k)来评价该假设不合理的程度.由实际计算出的k>k0,说明该假设不合理的程度约为1-
P(K2≥k),即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为1-
P(K2≥k).
【学习过程】
一.【课前练习】
某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内就有部分工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取
( http: / / www.21cnjy.com )名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
防护服种类
阳性例数
阴性例数
总计
新
5
70
75
旧
10
18
28
总计
15
88
103
问这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．（注：显阴性即未患皮肤炎）
知识要点：1制作列联表，制作等高条形图；
2用列联表球观测值，解决两变量是否有得程度；
二．【课堂学习与研讨】
类型3
独立性检验的综合应用
例3.某校为了探索一种新的教
( http: / / www.21cnjy.com )学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两班均有50人，一年后对两班进行测试，成绩如下表(总分：150分)：
甲班
成绩
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
频数
4
20
15
10
1
乙班
成绩
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
频数
1
11
23
13
2
（1）现从甲班成绩位于（1）由三组数据存在差异确定抽样方法，计算抽样比，确定各区间抽取份数；
（2）累加各组的组中值与频率的积，计算乙班的平均分，进而得到两班的平均分的差；
（3）根据已知数据得到
( http: / / www.21cnjy.com )列联表，求出
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值
( http: / / www.21cnjy.com )，对照临界值表得出对应的概率的值.
【归纳】（1）独立性检验在实际中有
( http: / / www.21cnjy.com )着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．
（2）近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合，频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出
( http: / / www.21cnjy.com )列联表，计算
( http: / / www.21cnjy.com )的观测值，从而解决问题．
试一试：
甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件尺寸x
1.
01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件个数y
零件个数
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，其中合格零件尺寸为
( http: / / www.21cnjy.com )cm
( http: / / www.21cnjy.com )．完成下面列联表，并判断是否有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.
合格零件数
不合格零件数
合计
甲
乙
合计
三．【课堂检测】
1．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①
( http: / / www.21cnjy.com )的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出
( http: / / www.21cnjy.com )，则有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为两个分类变量有关系，即有
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件
( http: / / www.21cnjy.com )下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
2.
某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________________
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )
四．【课堂小结】
解决两变量是否有关的可信程度的步骤：①制列联表，②写出假设，③计算观测值，④会查表求出概率，⑤回答问题.
【课外作业】
1．为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服用药
20
30
50
总计
30
75
105
试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系．
2．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤
( http: / / www.21cnjy.com )疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果
(疱疹面积单位：mm2)．
表1 注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
频数
30
40
20
10
表2 注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表，并回答能否有
( http: / / www.21cnjy.com )的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3
疱疹面积小于70
mm2
疱疹面积不小于70
mm2
总计
注射药物A
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注射药物B
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总计
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