1.3.1
二项式定理(2)
【学习目标】
（1）会证明二项式定理
（2）掌握二项式定理，并能简单应用
（3）能够区分二项式系数与二项展开式中项的系数
【能力目标】
能利用观察，联想采取适当的方法进行求解。
【重点难点】
展开式的特征，通项公式，赋值法。
【学法指导】
采取适当的方法，寻求目标，关键是通项公式及怎样用通项公式。
【学习过程】
一.【课前复习】
1．
( http: / / www.21cnjy.com )的二项展开式是
( http: / / www.21cnjy.com )。
2．通项公式是
( http: / / www.21cnjy.com )
。
3．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
。
4．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
5．在
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的常数项是210
。
二．【课堂学习与研讨】
例1计算
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
解:原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
解:原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
例2．求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中的
( http: / / www.21cnjy.com )系数
解:原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
因为
( http: / / www.21cnjy.com )的通项公式是
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))
所以
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中的
( http: / / www.21cnjy.com )系数是
( http: / / www.21cnjy.com ),即是8.
例3．已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则求
①
( http: / / www.21cnjy.com )的值;
②
( http: / / www.21cnjy.com )的值;
③
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解:在
( http: / / www.21cnjy.com )中,
令
( http: / / www.21cnjy.com ),得
( http: / / www.21cnjy.com );再令
( http: / / www.21cnjy.com ),得
( http: / / www.21cnjy.com ),…………………
(1
)
所以,
( http: / / www.21cnjy.com ).
令
( http: / / www.21cnjy.com ),得
( http: / / www.21cnjy.com )……………………………(2
)
由(1
)(2
)等式得:
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
试一试：若
( http: / / www.21cnjy.com )，
求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
解：令
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )……………………………
(1
)
令
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )……………………………………
(2
)
由(1
)式减(2
)式得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，
( http: / / www.21cnjy.com )
三．【课堂检测】
1.已知
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
( http: / / www.21cnjy.com )，则常数
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
。
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，由已知得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，所以有
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
2.已知
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中含
( http: / / www.21cnjy.com )的项的系数为12，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
。
解：由
( http: / / www.21cnjy.com )知，
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )
3.在
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.297
D.207
解：由
( http: / / www.21cnjy.com )的通项
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以，
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数是
( http: / / www.21cnjy.com )，即207.选D
4.
( http: / / www.21cnjy.com )中含
( http: / / www.21cnjy.com )的项的系数是
解：
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),要求含
( http: / / www.21cnjy.com )的项,则
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以
( http: / / www.21cnjy.com ),又
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式通项为
( http: / / www.21cnjy.com ),要求含
( http: / / www.21cnjy.com )的项,则
( http: / / www.21cnjy.com ),因此
( http: / / www.21cnjy.com ),故
( http: / / www.21cnjy.com )中含
( http: / / www.21cnjy.com )的项的系数是
( http: / / www.21cnjy.com ),
即252.
四．【课堂小结】
1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．
2．要牢记
( http: / / www.21cnjy.com )是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．
3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.
4．会通过观察，用赋值法求解。
【课外作业】
1．求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，
（1）第
( http: / / www.21cnjy.com )项的二项式系数及系数；
（2）含
( http: / / www.21cnjy.com )的项及项的系数．
解：（1）第
( http: / / www.21cnjy.com )项的二项式系数为
( http: / / www.21cnjy.com )，
又
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以第
( http: / / www.21cnjy.com )项的系数为
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )，
令
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以含
( http: / / www.21cnjy.com )的项为第
( http: / / www.21cnjy.com )项，且
( http: / / www.21cnjy.com )，系数为
( http: / / www.21cnjy.com )。
2．已知m，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的系数的最小值及此时展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数．
解：由题设知
( http: / / www.21cnjy.com )，又m，
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以当
( http: / / www.21cnjy.com )或10时，
( http: / / www.21cnjy.com )的系数的最小值的81，此时
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
( http: / / www.21cnjy.com ).
3．已知
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值分别是
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
依题意
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
解之，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去
( http: / / www.21cnjy.com )）．
故
( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）证明：若
( http: / / www.21cnjy.com )为常数项，当且仅当
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )，因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )不可能成立．
故展开式中没有常数项．
（2）若
( http: / / www.21cnjy.com )为有理项，当且仅当
( http: / / www.21cnjy.com )为整数，
因为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
此时展开式中的有理项共有三项，它们是
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).1.3.2
“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)
【学习目标】
1.了解杨辉三角各行数字的特点及
( http: / / www.21cnjy.com )其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力；2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用；3．理解和初步掌握赋值法.
【能力目标】
能识别和计算两个系数,并会利用不等式求最大值.
【重点难点】
体会用函数知识研究问题的方法
( http: / / www.21cnjy.com )，理解二项式系数的性质，结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质
【学法指导】
二项展开式中的二项式系数都是一
( http: / / www.21cnjy.com )些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
【学习过程】
一.【课前预习】
阅读教材P32-P35,
二．【课堂学习与研讨】
二项定理:一般地,对于
( http: / / www.21cnjy.com )有
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的二项式系数，如下表所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
1
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
2
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
3
3
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
4
6
4
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
5
10
10
5
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1
6
15
20
15
6
1
( http: / / www.21cnjy.com )
…………
……
……
( http: / / www.21cnjy.com )
………………………………
( http: / / www.21cnjy.com )
二项式系数的性质:
( http: / / www.21cnjy.com )展开式的二项式系数依次是
( http: / / www.21cnjy.com )
从函数角度看，
( http: / / www.21cnjy.com )可看成是以
( http: / / www.21cnjy.com )为自变量的函数
( http: / / www.21cnjy.com )
,其定义域是：
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，其图象是右图中的7个孤立点
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；
这一性质可直接由公式
( http: / / www.21cnjy.com )得到，图象的对称轴
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）增减性与最大值
由于：
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )相对于
( http: / / www.21cnjy.com )的增减情况由
( http: / / www.21cnjy.com )决定。
由
( http: / / www.21cnjy.com )知，当
( http: / / www.21cnjy.com )时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当
( http: / / www.21cnjy.com )为偶数时，中间一项的二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )取得最大值；当
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数时，中间两项的二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )相等，且同时取得最大值；
(3)各二项式系数的和
在二项式定理中，令
( http: / / www.21cnjy.com )，则：
( http: / / www.21cnjy.com )，这就是说，
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式的各二项式系数的和等于
( http: / / www.21cnjy.com )。同时由于
( http: / / www.21cnjy.com )，上式还可以写成：
( http: / / www.21cnjy.com )，这是组合总数公式。
一般地，
( http: / / www.21cnjy.com )展开式的二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )有如下性质：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
例.在
( http: / / www.21cnjy.com )中，求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数绝对值最大的项；
解:
（1）二项式系数最大的项是第
( http: / / www.21cnjy.com )项，为
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）设系数绝对值最大的项是第
( http: / / www.21cnjy.com )项，
又
( http: / / www.21cnjy.com )，依题意得
于是
( http: / / www.21cnjy.com )
化简得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com ).
因为
( http: / / www.21cnjy.com )为整数，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )是系数绝对值最大的项．
三．【课堂检测】
1.已知
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )
。(用
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )表示)
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，二项式系数的最大值是
。
解:当
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数时，中间两项的二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )相等，且同时取得最大值,所以
( http: / / www.21cnjy.com )相等且最大,是126.
3.若
( http: / / www.21cnjy.com )得展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则
( http: / / www.21cnjy.com )
。
解:即
( http: / / www.21cnjy.com )相等且最大,则
( http: / / www.21cnjy.com ).
4.
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，系数绝对值最大的项是（D）
A第4项
B第4、5项
C第5项
D第3、4项
5.若
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中第6项的系数最大，则不含
( http: / / www.21cnjy.com )的项等于（A）
A210
B120
C461
D416
四．【课堂小结】
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊
( http: / / www.21cnjy.com )的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
【课外作业】
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.
（
）
（2）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.
（
）
（3）二项展开式的二项式系数和为
( http: / / www.21cnjy.com ).
（
）
解:
（1）对，由杨辉三角观察可知结论正确.
（2）错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的两个概念，所以最大项也不相同.
（3）错，二项展开式的二项式系数和为
( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）√（2）×（3）×
2．关于
( http: / / www.21cnjy.com )的说法，错误的是
( )
A．展开式中的二项式系数之和为1
024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解:根据二项式系数的性质进行判
( http: / / www.21cnjy.com )断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
C
3．
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中系数最小的项为
( )
A．第九项
B．第八项
C．第七项
D．第六项
解:展开式中共有14项，
( http: / / www.21cnjy.com )中间两项（第七、八项）的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．
B
4．在
( http: / / www.21cnjy.com )的二项展开式中，若只有
( http: / / www.21cnjy.com )的系数最大，则
( http: / / www.21cnjy.com )
（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
解:由题意
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中，
( http: / / www.21cnjy.com )的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
5．
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．
解:令展开式左、右两边
( http: / / www.21cnjy.com )，得各项系数和为
( http: / / www.21cnjy.com )；各二项式系数之和为：
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
6.
①P37页第4题
②
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解:
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，依题意有
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，二项式系数最大的项为
( http: / / www.21cnjy.com ).
设第k＋1项系数最大，则有
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com ).
又因为
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以系数最大的项为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).1.3.2
“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)
【学习目标】
通过体验“发现规律、寻找联
( http: / / www.21cnjy.com )系、探究证明、性质运用”的学习过程，掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的过程，培养问题意识，提高思维能力，孕育创新精神，激发探索、研究数学的热情。
【能力目标】
掌握二项式系数的性质，培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
【重点难点】
利用二项展开式证明或说明整除性和余数问题。二项式定理的正反应用；
【学法指导】
加深理解“杨辉三角数与二项式系数”关系，增加二项展开式的特征印象，联想其相关的方法与应用范围和场合。
【学习过程】
一.【课前复习】
复习:
一般地,
( http: / / www.21cnjy.com )展开式的二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )有如下性质
①
( http: / / www.21cnjy.com );
②
( http: / / www.21cnjy.com );
③当
( http: / / www.21cnjy.com )为偶数时,
( http: / / www.21cnjy.com )最大,当
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数时,
( http: / / www.21cnjy.com )且最大;
④
( http: / / www.21cnjy.com );
二．【课堂学习与研讨】
例1:求证:
( http: / / www.21cnjy.com )能被64整除.
证明：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，能被64整除；
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )每一项都可以被64整除，因此，
( http: / / www.21cnjy.com )能被64整除。
还能其他方法证明吗？数学归纳法
试一试:
①今天是星期五,那么
( http: / / www.21cnjy.com )后的这一天是星期几
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
余数是1,所以是星期六.若
( http: / / www.21cnjy.com )天后的这一天是星期几
例2.在
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为多少？
解：
( http: / / www.21cnjy.com )；在
( http: / / www.21cnjy.com )中的常数项和
( http: / / www.21cnjy.com )的项分别是1，
( http: / / www.21cnjy.com )；
在
( http: / / www.21cnjy.com )中的常数项和
( http: / / www.21cnjy.com )的项分别是32，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以，在
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数是
( http: / / www.21cnjy.com )，即240.
三．【课堂检测】
1.
( http: / / www.21cnjy.com )除以7的余数是
.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，
( http: / / www.21cnjy.com )除以7的余数是5.
2.
( http: / / www.21cnjy.com )除以8的余数是
.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，
( http: / / www.21cnjy.com )除以8的余数是0
3.
( http: / / www.21cnjy.com )等于(C
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),故选C。
4.求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )项的系数
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )项的系数是1820.
5.求值：
①
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
②
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
四．【课堂小结】
1．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．
2（1）形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准、记熟二项式
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提．
（2）逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如果项的系数是正负相间，则是
( http: / / www.21cnjy.com )的形式．
3.
解决与杨辉三角有关的问题的一
( http: / / www.21cnjy.com )般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察
【课外作业】
1．
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是
（
）
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解：因为
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数，所以展开式中中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是
n＋1，n＋2.
C
2．已知
( http: / / www.21cnjy.com )，若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )等于
（
）
A．5
B．3
C．4
D．7
解：令
( http: / / www.21cnjy.com )得
( http: / / www.21cnjy.com )得
( http: / / www.21cnjy.com ).
C
3．
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中奇数项系数和为
( http: / / www.21cnjy.com )，则展开式的第八项
( http: / / www.21cnjy.com )________.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
4．
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是__________．
解：因为
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com ).所以
( http: / / www.21cnjy.com ).所以展开式共有5项，系数最大的项为
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
5.求
( http: / / www.21cnjy.com )精确到
( http: / / www.21cnjy.com )的近似值.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
6.在二项式
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和．
解：
设
( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）二项式系数之和
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）各项系数之和
( http: / / www.21cnjy.com )，
令
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
（3）由（2）知
( http: / / www.21cnjy.com )，
令
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，可得
( http: / / www.21cnjy.com )，
以上两式相加可得
( http: / / www.21cnjy.com ).
（4）方法一
( http: / / www.21cnjy.com ).
方法二
( http: / / www.21cnjy.com )即为
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中各项系数之和，
令
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )得，
( http: / / www.21cnjy.com ).
【归纳】“赋值法”是解决二项展开式中项的系
( http: / / www.21cnjy.com )数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．1.2.2组合与组合数公式（1）
【学习目标】
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．课前预习
(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素___________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_________.
(2)如果两个组合中的元素完全
( http: / / www.21cnjy.com )相同,那么不管元素的_________,都是相同组合,只有当两个组合中的元素至少有一个不同时,才是不同的组合.
(3)从n个不同元素中取出m（
( http: / / www.21cnjy.com )m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号______________
表示.
(4)组合数公式:
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，我们规定
( http: / / www.21cnjy.com )
二．课堂学习与研讨
问题1.
从甲、乙、丙3名
( http: / / www.21cnjy.com )同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2.
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
思考：你能说出这两个问题的异同点吗
练一练：
判断下列问题是组合问题还是排列问题
设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
例1.
写出从a,b,c,d
四个元素中任取三个元素的所有组合
例2.
计算：⑴
⑵
（3）已知：
，求n的值
例3.
例4．例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
【当堂检测】
1.
判断下列问题是否为组合问题 并求出相应结果
(1)
10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
(2)
从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,由小到大排列,构成一个三位数,这样的三位数共有多少个
2下列问题中是排列问题的是___________
①从全班50人中选出7人组成班委会;
②从全班50人中选出7人分别担任班委中的7个不同的职务;
③从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的真分数;
④从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的差.
3.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种
取法
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法
4(1)解方程
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
(2)解不等式
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com ).
【课堂小结】
理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.
理解组合数的的定义与公式
【课后作业】
教材p25练习
1.2.2组合(2)
【学习目标】
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．复习巩固
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
3、组合数公式:
( http: / / www.21cnjy.com )
二．课堂学习与研讨
探究
组合数
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？
问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
探究2.组合数性质2：
( http: / / www.21cnjy.com )
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
（1）口袋里取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
从引例中可以发现一个结论：
( http: / / www.21cnjy.com )
对上面的发现(等式)作怎样解释？
( http: / / www.21cnjy.com )
组合数性质2：
( http: / / www.21cnjy.com )
试用代数法证明性质2？
例1
计算
例2.
一位教练的足球队共有
( http: / / www.21cnjy.com )17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例3.
(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
【当堂检测】
2.
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
【课堂小结】
进一步熟悉组合数的公式；了解组合数性质推导时的思维方法，掌握组合数的两个性质
【课后作业】
训练测评P7
1.2.2组合(3)
【学习目标】
1理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
2会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．复习巩固
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
二．课堂学习与研讨
（一）等分组与不等分组问题
例1.
6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本；
（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
(二)不相邻问题插空法
例2.
某城新建的一
( http: / / www.21cnjy.com )条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（
）
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )种
(三)混合问题，先“组”后“排”
例3
对某种产品
( http: / / www.21cnjy.com )的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
（四）分类组合,隔板处理
例4
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法
【当堂检测】
1.(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,
二份各1件,另一份4件,
有多少种分法
(2)
今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法
2.某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
3.
3名医生和6护士被分配到
3
所学校为学生体检,每校分配
1
名医生和
2
名护士,不同的分配方法共有多少种
4.将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
5.从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
【课堂小结】
针对不同类型的问题做出恰当处理;
读懂题目，分类讨论时要做到补充不漏。
【课后作业】
1、把6个学生分到一个工厂的三个车
( http: / / www.21cnjy.com )间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有
种
。
2、从6位同学中选出4位
( http: / / www.21cnjy.com )参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为
。
3、要从8名男医
( http: / / www.21cnjy.com )生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )1.1计数原理（1）
【学习目标】
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理
分析和解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重
点:
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
难
点:
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以掌握.
【学习过程】
一．课前预习
1.分类加法计数原理:
（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分类加法计数原理的推广：完成一件事有
( http: / / www.21cnjy.com )类不同的方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
温馨提示：正确应用分类加法计数原理的关键是正确分类，要做到不重不漏.
2.
分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有m种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成
( http: / / www.21cnjy.com )个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
温馨提示：正确应用分步乘法计数原理的关键是正确分步以及弄清每一步的方法数.
二．课堂学习与研讨
问题1.用A~Z或0~9给教室的座位编号总共能够编出多少种不同的号码？
问题2.从甲地到乙地
( http: / / www.21cnjy.com )，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4
班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
思考：你能说出这两个问题的共同特征吗
试归纳总结出加法计数原理的概念.
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多种选择呢？
问题3.用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编号，有多少不同的号码
问题4.
如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
思考：你能说出这两个问题的共同特征吗
试归纳总结出乘法计数原理的概念.
例2．设某班有男生30名,女生2
( http: / / www.21cnjy.com )4名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法 若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共有多少种选法
例3．书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法
例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法
【当堂检测】
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.
（
）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
（
）
（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.
（
）
2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有
( http: / / www.21cnjy.com )名同学只会用综合法证明，有
( http: / / www.21cnjy.com )名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com ) B．
( http: / / www.21cnjy.com ) C．
( http: / / www.21cnjy.com ) D．
( http: / / www.21cnjy.com )
A
3．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有
( http: / / www.21cnjy.com )个班次，特快列车
( http: / / www.21cnjy.com )个班次，汽车有
( http: / / www.21cnjy.com )个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )种
B．
( http: / / www.21cnjy.com )种
C．
( http: / / www.21cnjy.com )种
D．
( http: / / www.21cnjy.com )种
D
4．一个礼堂有
( http: / / www.21cnjy.com )个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为
.
( http: / / www.21cnjy.com )
【课堂小结】
1.应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．
（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必
( http: / / www.21cnjy.com )须满足：一、完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；二、分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．
2.应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算完成了这件事．
（2）完成这件事情需要分成n个步骤，每一步骤都不能完成这件事情，只有各个步骤都完成了，这件事情才能完成．
（3）选取的标准不同，分的“步”也不同，完成这件事的任何一种方法，都要分成若干个步骤．
【课后作业】
教材p6练习
1.1计数原理（2）
【学习目标】
用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重
点:
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用.
难
点:
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理的综合应用.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.
【学习过程】
一．课前预习
1.分类加法计数原理:
（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分类加法计数原理的推广：完成一件事有
( http: / / www.21cnjy.com )类不同的方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
2.
分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有m种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成
( http: / / www.21cnjy.com )个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（3）分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答
( http: / / www.21cnjy.com )的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，其中前者的各种方法之间相互独立，后者各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
二．学习过程
例1.
给程序模块命名，需要3个字符，期中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9.问最多可以给多少个程序命名？
例2.核糖核酸（RNA）
( http: / / www.21cnjy.com )分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？
例3.电子元件很容易实现电路
( http: / / www.21cnjy.com )的通与断、点位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
计算机汉子国标码（GB码）包含了6763个汉子，一个汉子为一个字符，要对这些汉字进
行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
例4.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽
( http: / / www.21cnjy.com )车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
【当堂检测】
1．从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，有多少种不同的种植方法？
答案 分黄瓜种在第一，二，三块土地上讨
( http: / / www.21cnjy.com )论，黄瓜种在第一块土地上，第二步第二块土地有3种种法，第三块土地有2种种法，有1×3×2＝6(种)种法．同理黄瓜种在二，三两块土地上都有6种法，故总的种植方法是6×3＝18(种)．
2．
(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？
(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，求有多少种不同分配方案？
答案(1)
N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)．
(2)
N＝5×5×5＝53＝125(种)．
【变式】集合A＝{a，b，c，d，e}有5个元素，集合B＝{m，n，f，h}有4个元素，则：
(1)从集合A到集合B可以建立________个不同的映射．
(2)从集合B到集合A可以建立________个不同的映射．
答案 (1)45 (2)54
3．王华同学有一些课外参考书．其中有5
( http: / / www.21cnjy.com )本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
答案 选1本外语书和选1本数学书，有5×4＝20(种)选法；
选1本外语书和选1本物理书，有5×3＝15(种)选法；
选1本数学书和选1本物理书，有4×3＝12(种)选法．
故共有20＋15＋12＝47(种)不同的选法．
【课堂小结】
两个基本原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，表解如下：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区
别
一
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区
别
二
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
课后作业：
P13B组1,2
1.1计数原理（3）
【学习目标】
对两类计数原理的应用加以分类.
【重点难点】
重
点:
掌握两类计数原理的分类.
难
点:如何对两类分类计数题型进行计数.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.
【学习过程】
一．课前预习
正确区分和理解两个原理
(1)分类加法计数原理和分步
( http: / / www.21cnjy.com )乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
(2)用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，确定需要分类还是分步．
①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”——完
( http: / / www.21cnjy.com )成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
③对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，
( http: / / www.21cnjy.com )又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．
二．学习过程
利用模型法解决计数问题
3个人要坐在一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同坐法有多少种？
解 3个人在一排8个空座位上坐
( http: / / www.21cnjy.com )下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位形成的空座位当中．
如图所示：
(1)○○○○○ (2)○○□○○○
(3)○○□○○□○ (4)○□○□○○□○
○表示没有坐人的空位 □表示已经坐人的位置
由于每人左右都要有空位子，因此将第一个人
( http: / / www.21cnjy.com )连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法(如图中的(1)到(2))；然后将第二个人连同他的座位插入时，只有3种插法了(如图中的(2)到(3))；最后将第三个人连同他的座位插入时，只有2种插入的方法了(如图中的(3)到(4))．这时，我们再根据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同的方法共有4×3×2＝24(种)．
【反思感悟】 本题用“○”表示没
( http: / / www.21cnjy.com )有坐人的空位，用“□”表示已经坐人的位置，画图分析为我们构建分步乘法计数原理的模型铺平了道路．模型法就是通过构建相关图形，利用形象直观的图形来构建两个原理的模型．模型法不仅可以帮助我们准确理解题意，而且还可以帮助我们有效地分析问题，从而建立两个原理的模型，使问题顺利地解决．
二、利用转化法解决计数问题
例2
把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有________种．
答案 120
解析 不妨设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入了x1，x2，x3个小球，依题意有
问题转化为在条件②下求不定方程①的解的个数，可考虑用分类计数的方法．
当x1＝1时，x2＝2,3，…，16，这时x3随之而定，从而共有15种放法．
当x1＝2时，x2＝2,3，…，15，这时x3随之而定，从而共有14种放法．
……
当x1＝15时，只有x2＝2，x3＝3，仅有一种放法．
根据分类原理，符合要求的放法共有
N＝15＋14＋…＋2＋1＝120(种)．
【反思感悟】 将问题转化为不定方程的整数解组数问题，利用计数原理计数．
三、涂色问题
例3
用5种不同的颜色(给如图所示的5个区域涂色)，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，所有不同的涂色方法有多少种？
解 第1步涂A区域有5种
( http: / / www.21cnjy.com )不同的涂法，第2步涂B区域有4种不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E区域，都有3种不同涂法．依据分步乘法原理，所有不同的涂色方法有5×4×3×3×3＝540(种)．
【课堂小结】
1．对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行
( http: / / www.21cnjy.com )“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题．首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．
2．一些非常规计数问题的解决方法
(1)枚举法
将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．
(2)间接法
若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数，即正难则反．
(3)转换法
转换问题的角度或转换成其他已知的问题．
在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理．
(4)模型法
模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型法是解决计数问题的重要方法．
【当堂检测】
1.某赛季足球比赛的计分规则
( http: / / www.21cnjy.com )是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
答案 A
解析 设该队胜x场，平y场，
则负(15－x－y)场，由题意，得3x＋y＝33.
∵y＝33－3x≥0，∴x≤11且x＋y≤15，
因此，有以下三种情况
， ， ，
∴应有3种情况．
1
3
2
4
2.
用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
解 完成该件事可分步进行．
涂区域1，有5种颜色可选．
涂区域2，有4种颜色可选．
涂区域3和区域4可先分类：若区域3的颜色与
( http: / / www.21cnjy.com )2相同，则区域4有4种颜色可选；若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．
所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)涂色方法．
3．如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
【课后作业】
P12习题1.1A组1.1计数原理（2）
【学习目标】
用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重
点:
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用.
难
点:
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理的综合应用.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.
【学习过程】
一．课前预习
1.分类加法计数原理:
（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分类加法计数原理的推广：完成一件事有
( http: / / www.21cnjy.com )类不同的方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
2.分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有m种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成
( http: / / www.21cnjy.com )个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（3）分类加法计数原理和
( http: / / www.21cnjy.com )分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，其中前者的各种方法之间相互独立，后者各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
二．学习过程
例1.给程序模块命名，需要3个字符，期中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9.问最多可以给多少个程序命名？
例2.核糖核酸（RNA）分子是
( http: / / www.21cnjy.com )在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？
例3.电子元件很容易实现电路的通与断
( http: / / www.21cnjy.com )、点位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
计算机汉子国标码（GB码）包含了6763个汉子，一个汉子为一个字符，要对这些汉字进
行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
例4.随着人们生活水平的提高，某城市家
( http: / / www.21cnjy.com )庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
【当堂检测】
1．从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，有多少种不同的种植方法？
答案 分黄瓜种在第一，二，三
( http: / / www.21cnjy.com )块土地上讨论，黄瓜种在第一块土地上，第二步第二块土地有3种种法，第三块土地有2种种法，有1×3×2＝6(种)种法．同理黄瓜种在二，三两块土地上都有6种法，故总的种植方法是6×3＝18(种)．
2．
(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？
(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，求有多少种不同分配方案？
答案(1)
N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)．
(2)
N＝5×5×5＝53＝125(种)．
【变式】集合A＝{a，b，c，d，e}有5个元素，集合B＝{m，n，f，h}有4个元素，则：
(1)从集合A到集合B可以建立________个不同的映射．
(2)从集合B到集合A可以建立________个不同的映射．
答案 (1)45 (2)54
3．王华同学有一些课外参考书．其中有5
( http: / / www.21cnjy.com )本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
答案 选1本外语书和选1本数学书，有5×4＝20(种)选法；
选1本外语书和选1本物理书，有5×3＝15(种)选法；
选1本数学书和选1本物理书，有4×3＝12(种)选法．
故共有20＋15＋12＝47(种)不同的选法．
【课堂小结】
两个基本原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，表解如下：
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区
别
一
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区
别
二
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
课后作业：
P13B组1,21.2.3导数的运算法则（2）
【学习目标】
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
【重点难点】
重点：复合函数求导法则.
难点：简单复合函数求导法则的应用.
【学法指导】
复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．
【学习过程】
一.课前预习
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.
复合函数的求导法则
复合函数y＝f
(g(x
( http: / / www.21cnjy.com )))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝.
即y对x的导数等于___________________________________.
探究点一 复合函数的定义
问题1 观察函数y＝2xcos
x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
问题3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
（1）y＝(3＋5x)2；
（2）y＝log3(x2－2x＋5)；
（3）y＝cos
3x.
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：
（1）y＝ln
；
（2）y＝esin
x；
（3）y＝cos
(x＋1)．
探究点二 复合函数的导数
问题 如何求复合函数的导数？
例2 求下列函数的导数：
（1）y＝(2x－1)4；
（2）y＝；
（3）y＝sin(－2x＋)；
（4）y＝102x＋3.
跟踪训练2 求下列函数的导数．
（1）y＝ln
；
（2）y＝e3x；
（3）y＝5log2(2x＋1)．
探究点三 导数的应用
求曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．
跟踪训练3 曲线y＝e2xcos
3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【当堂检测】
1．函数y＝(3x－2)2的导数为
( )
A．2(3x－2)
B．6xC．6x(3x－2)
D．6(3x－2)
2．若函数y＝sin2x，则y′等于
( )
A．sin
2x
B．2sin
xC．sin
xcos
x
D．cos2x
3．若y＝f(x2)，则y′等于
( )
A．2xf′(x2)
B．2xf′(x)C．4x2f(x)
D．f′(x2)
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
【课堂小结】
1.求简单复合函数f(ax＋b)的导数
2.求简单复合函数的导数
( http: / / www.21cnjy.com )，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
【课后作业】
1.求下列函数的导数:
2.求下列函数的导数
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
求下列函数的导数
(1)y=lg
5;(2)y=2-2x;(3)y=
( http: / / www.21cnjy.com );
(4)y=2cos2
( http: / / www.21cnjy.com )-1;(5)y=cos
x·sin
3x;(6)y=log2
( http: / / www.21cnjy.com ).1.2.2组合与组合数公式（1）
【学习目标】
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．课前预习
(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素___________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_________.
(2)如果两个组合中的元素完全相同,那么
( http: / / www.21cnjy.com )不管元素的_________,都是相同组合,只有当两个组合中的元素至少有一个不同时,才是不同的组合.
(3)从n个不同元素中取出m（m≤n
( http: / / www.21cnjy.com )）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号______________
表示.
(4)组合数公式:
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，我们规定
( http: / / www.21cnjy.com )
二．课堂学习与研讨
问题1.
从甲、乙、丙3名同
( http: / / www.21cnjy.com )学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2.
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
思考：你能说出这两个问题的异同点吗
练一练：
判断下列问题是组合问题还是排列问题
设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
例1.
写出从a,b,c,d
四个元素中任取三个元素的所有组合
例2.
计算：⑴
⑵
（3）已知：
，求n的值
例3.
例4．例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
【当堂检测】
1.
判断下列问题是否为组合问题 并求出相应结果
(1)
10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
(2)
从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,由小到大排列,构成一个三位数,这样的三位数共有多少个
2下列问题中是排列问题的是___________
①从全班50人中选出7人组成班委会;
②从全班50人中选出7人分别担任班委中的7个不同的职务;
③从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的真分数;
④从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的差.
3.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种
取法
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法
4(1)解方程
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
(2)解不等式
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com ).
【课堂小结】
理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.
理解组合数的的定义与公式
【课后作业】
教材p25练习1.1计数原理（3）
【学习目标】
对两类计数原理的应用加以分类.
【重点难点】
重
点:
掌握两类计数原理的分类.
难
点:如何对两类分类计数题型进行计数.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.
【学习过程】
一．课前预习
正确区分和理解两个原理
(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原
( http: / / www.21cnjy.com )理的区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
(2)用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，确定需要分类还是分步．
①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”——完成了所有
( http: / / www.21cnjy.com )步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
③对于较为复杂的既要用分类
( http: / / www.21cnjy.com )加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．
二．学习过程
利用模型法解决计数问题
3个人要坐在一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同坐法有多少种？
解 3个人在一排8个空座位上坐下后，
( http: / / www.21cnjy.com )只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位形成的空座位当中．
如图所示：
(1)○○○○○ (2)○○□○○○
(3)○○□○○□○ (4)○□○□○○□○
○表示没有坐人的空位 □表示已经坐人的位置
由于每人左右都要有空位子，因此
( http: / / www.21cnjy.com )将第一个人连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法(如图中的(1)到(2))；然后将第二个人连同他的座位插入时，只有3种插法了(如图中的(2)到(3))；最后将第三个人连同他的座位插入时，只有2种插入的方法了(如图中的(3)到(4))．这时，我们再根据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同的方法共有4×3×2＝24(种)．
【反思感悟】 本题用“○”表示没有坐人的空位
( http: / / www.21cnjy.com )，用“□”表示已经坐人的位置，画图分析为我们构建分步乘法计数原理的模型铺平了道路．模型法就是通过构建相关图形，利用形象直观的图形来构建两个原理的模型．模型法不仅可以帮助我们准确理解题意，而且还可以帮助我们有效地分析问题，从而建立两个原理的模型，使问题顺利地解决．
二、利用转化法解决计数问题
例2把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有________种．
答案 120
解析 不妨设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入了x1，x2，x3个小球，依题意有
问题转化为在条件②下求不定方程①的解的个数，可考虑用分类计数的方法．
当x1＝1时，x2＝2,3，…，16，这时x3随之而定，从而共有15种放法．
当x1＝2时，x2＝2,3，…，15，这时x3随之而定，从而共有14种放法．
……
当x1＝15时，只有x2＝2，x3＝3，仅有一种放法．
根据分类原理，符合要求的放法共有
N＝15＋14＋…＋2＋1＝120(种)．
【反思感悟】 将问题转化为不定方程的整数解组数问题，利用计数原理计数．
三、涂色问题
例3
用5种不同的颜色(给如图所示的5个区域涂色)，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，所有不同的涂色方法有多少种？
解 第1步涂A区域有5种不同的涂法，第2
( http: / / www.21cnjy.com )步涂B区域有4种不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E区域，都有3种不同涂法．依据分步乘法原理，所有不同的涂色方法有5×4×3×3×3＝540(种)．
【课堂小结】
1．对于有些计数问题的解
( http: / / www.21cnjy.com )决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题．首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．
2．一些非常规计数问题的解决方法
(1)枚举法
将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．
(2)间接法
若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数，即正难则反．(3)转换法
转换问题的角度或转换成其他已知的问题．
在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理．
(4)模型法
模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型法是解决计数问题的重要方法．
【当堂检测】
1.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3
( http: / / www.21cnjy.com )分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
答案 A
解析 设该队胜x场，平y场，
则负(15－x－y)场，由题意，得3x＋y＝33.
∵y＝33－3x≥0，∴x≤11且x＋y≤15，
因此，有以下三种情况
， ， ，
∴应有3种情况．
1
3
2
4
2.
用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
解 完成该件事可分步进行．
涂区域1，有5种颜色可选．
涂区域2，有4种颜色可选．
涂区域3和区域4可先分类：若区域3的颜
( http: / / www.21cnjy.com )色与2相同，则区域4有4种颜色可选；若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．
所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)涂色方法．
3．如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
【课后作业】
P12习题1.1A组1.
2.1
排列的概念
【教学目标】
1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；
2.能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。
3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。
【教学重难点】
教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用
教学难点：排列数公式的推导
【教学过程】
一、课前准备
（预习教材P14~
P18，找出疑惑之处）
合作探究一
排列的定义：
问题1
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2
从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
概念形成
1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2、排列：从n个 元素中取出m(m≤n)个元素,按照 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的 .
说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列；
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )说明这里既没有重复元素又没有重复抽取同一元素的情况；
(3)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.
例1．判断下列问题是否是排列问题：
（1）从2，3，5，7，11中任取两数相乘可得多少个不同的积？
（2）从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的商？
（3）某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
（4）某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
练习：1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )是不同的两个排列.
（
）
（2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现.
（
）
（3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.
（
）
2．下面问题中，是排列问题的是
( )
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
合作探究二
排列数及排列数公式：
3、排列数：从
( http: / / www.21cnjy.com )个不同元素中，任取
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）个元素的所有排列的个数叫做从
( http: / / www.21cnjy.com )个元素中取出
( http: / / www.21cnjy.com )元素的排列数，用符号
( http: / / www.21cnjy.com )表示
议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
4、排列数公式推导
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数
( http: / / www.21cnjy.com )是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )呢？
( http: / / www.21cnjy.com )呢？
排列数公式:
( http: / / www.21cnjy.com )=
(
( http: / / www.21cnjy.com )).
即学即练:
1.计算
(1）
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2）
( http: / / www.21cnjy.com )
；(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
2.已知
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )则
( http: / / www.21cnjy.com )用排列数符号表示为(
)
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
5
、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。
此时在排列数公式中，
m
=
n
全排列数：
( http: / / www.21cnjy.com )（叫做n的阶乘）.
即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
想一想：由前面联系中（
2
)
(
3
）的结果我们看到，
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？
排列数公式的另一种形式：
( http: / / www.21cnjy.com )
另外，我们规定
0!
=1
.
想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？
例2．求解下列问题：
（1）计算
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）解方程：
( http: / / www.21cnjy.com ).
求解下列问题：
（1）计算
( http: / / www.21cnjy.com )______
__；
（2）方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解为________.
【当堂检测】
1．若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2．若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值为
（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
已知
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )
；
4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
答案：1、B；2、A；3、8；4、1680。
【归纳总结】1、是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于计算，阶乘形式多用于化简或证明。
【作业】
1．下列各式中与排列数
( http: / / www.21cnjy.com )相等的是（
）
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）n(n－1)(n－2)……(n－m)
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
2．若
n∈N且
n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（
）
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
3．若S=
( http: / / www.21cnjy.com )，则S的个位数字是（
）
（A）0
（B）3
（C）5
（D）8
4.已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则n=
。
5.计算
( http: / / www.21cnjy.com )
。
6．解不等式：2＜
( http: / / www.21cnjy.com )
1.2.1
排列(2)
【教学目标】
1.
进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算；
2.
能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。
3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。
【教学重难点】
教学重点：排列应用题常用的方法：直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法），间接法
教学难点：排列数公式的理解与运用
【教学过程】
一.课前预习
1.
排列的概念:
从
个不同
( http: / / www.21cnjy.com )元素中，任取
个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个排列.
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同.
2.排列数的概念:
从
( http: / / www.21cnjy.com )个不同元素中，任取
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）个元素的所有排列的个数叫做从
( http: / / www.21cnjy.com )个元素中取出
( http: / / www.21cnjy.com )元素的排列数，用符号
表示.
二.课堂学习与研讨
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂
( http: / / www.21cnjy.com )在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例3．将
( http: / / www.21cnjy.com )位司机、
( http: / / www.21cnjy.com )位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
变式训练:
有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（
）
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )种
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )种
例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
【当堂检测】
1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（
）
（A）24个
（B）30个
（C）40个
（D）60个
2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（
）
（A）12种
（B）18种
（C）24种
（D）96种
3．某天上午要排语文、数学、体育、计算四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（
）
（A）6种
（B）9种
（C）18种
（D）24种
4．5站成一排照相，甲不站在排头的排法有(
)
( http: / / www.21cnjy.com )．24种
( http: / / www.21cnjy.com )．72种
( http: / / www.21cnjy.com )．96种
( http: / / www.21cnjy.com )．120种
【归纳总结】
1、解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.
2、解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.
3、解有条件限制的排列问题思
( http: / / www.21cnjy.com )路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位
4、判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是.
5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性，所以一般应考虑用一种方法计算结果，用另一种方法检查核对，辨别正误．
【作业】
1．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？
2．学校要安排一场文艺晚会的11个节目
( http: / / www.21cnjy.com )的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？
3．某产品的加工需要经过5道工序，
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？
（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？
4．一天的课表有6节课，其中
( http: / / www.21cnjy.com )上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？
1.2.1
排列(3)
【学习目标】
1.切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题；
2．会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题；
3．进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解.
【重点难点】
重点：“捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法.
教学难点：排列数公式的理解与运用
【学法指导】
预习课文和学案、分析例题、归纳方法
【学习过程】
课前练习：
l，2，3，4，5这六个数字组
( http: / / www.21cnjy.com )成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为
（
）（A）
l：l
（B）2：3
（C）
12：13
（D）
21：23
2．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若
( http: / / www.21cnjy.com )快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有(
)种.
( http: / / www.21cnjy.com )．78
( http: / / www.21cnjy.com )．72
( http: / / www.21cnjy.com )．120
( http: / / www.21cnjy.com )．96
3从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有
种不
同的种植方法。
二.课堂学习与研讨
例1.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
例2．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起.
（5）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
（6）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
点评：
1）若要求某n个元素相邻，可采用“
( http: / / www.21cnjy.com )捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。
2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上．
例3、三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
解：
【当堂检测】
1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为(
)
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2．五种不同商品在货架上排成一排，其中
( http: / / www.21cnjy.com )两种必须连排，而
( http: / / www.21cnjy.com )两种不能连排，则不同的排法共有(
)
( http: / / www.21cnjy.com )．12种
( http: / / www.21cnjy.com )．20种
( http: / / www.21cnjy.com )．24种
( http: / / www.21cnjy.com )．48种
3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有
(
)
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4．某人射出8发子弹，命中4发，若
( http: / / www.21cnjy.com )命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有(
)
( http: / / www.21cnjy.com )．720种
( http: / / www.21cnjy.com )．480种
( http: / / www.21cnjy.com )．24种
( http: / / www.21cnjy.com )．20种
【归纳总结】
1、解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.
2、解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.
3、解有条件限制的排列问题思路：①
( http: / / www.21cnjy.com )正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位
4、判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是.
5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性，所以一般应考虑用一种方法计算结果，用另一种方法检查核对，辨别正误．
【作业】
1．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有多少种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种.
2．一部电影在相邻5个城
( http: / / www.21cnjy.com )市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有多少种（只列式，不计算）．
4．某商场中有10个展架排成一排，展示
( http: / / www.21cnjy.com )10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？
4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重
( http: / / www.21cnjy.com )复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？1.2.2组合(2)
【学习目标】
1理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
2会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．复习巩固
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
二．课堂学习与研讨
（一）等分组与不等分组问题
例1.
6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本；
（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
(二)不相邻问题插空法
例2.某城新建的一条道路
( http: / / www.21cnjy.com )上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（
）
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )种
(三)混合问题，先“组”后“排”
例3
对某种产品的6件不同的正品
( http: / / www.21cnjy.com )和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
（四）分类组合,隔板处理
例4
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法
【当堂检测】
1.(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,
二份各1件,另一份4件,
有多少种分法
(2)
今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法
2.某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
3.
3名医生和6护士被分配到
3
所学校为学生体检,每校分配
1
名医生和
2
名护士,不同的分配方法共有多少种
4.将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
5.从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
【课堂小结】
针对不同类型的问题做出恰当处理;
读懂题目，分类讨论时要做到补充不漏。
【课后作业】
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有种
。
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（
）
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4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（
）
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( http: / / www.21cnjy.com )1.2.5排列组合综合应用(1)
【教学目标】
1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。
2、认识分组分配和分组组合问题的区别。
3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
【教学重难点】
重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用
难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题。
【教学过程】
类型1.分组分配问题
将3件不同的礼品
（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？
（2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？
例1：将6件不同的礼品
（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？
（2）分给甲乙丙三人，甲得1件，乙得2件，丙得3件，有多少种分法？
（3）分成三堆，一堆1件，一堆2件，一堆3件，有几种分法？
（4）分给三人，一人1件，一人,2件，一人,3件，有几种分法？
（5）平均分成三堆，每堆2件，有几种分法？
点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的
( http: / / www.21cnjy.com )问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。其中：⑴均匀不定向分配问题⑵非均匀定向分配问题⑶非均匀不定向分配问题⑷非均匀分配问题⑸均匀分配问题。这是一个典型的问题，要认真体会。
变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
（1）各组人数分别为2，4，6人；
（2）平均分成3个小组；
（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。
变式训练2、2014年某地春季高考有10所高校招生，如果某3位学生恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有
中。
类型2分组组合问题。
例2：6名男医生，4名女医生
⑴选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？
⑵把10名医生分成2组，每组5
( http: / / www.21cnjy.com )人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？
点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。
变式训练3、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？
类型3.
相同元素的分组分配问题
例3：某校高二年级有6个班
( http: / / www.21cnjy.com )级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？
点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法。
变式训练4、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
【当堂检测】
1、若9名同学中男生5名，女生4名
（1） 若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？
（2） 若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？
（3） 若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？
（4） 若男女生相间，有多少种排法？
2、
6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
（1） 分成四堆，一堆三本，其余各一本
（2）分给三人每人至少一本。
3、把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？
【归纳总结】
1、解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
2、解排列、组合综合问题时
( http: / / www.21cnjy.com )要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题；②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
【作业】
1、六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？
2．有5个男生和3个女生，从中选5
个担任5
( http: / / www.21cnjy.com )门学科代表，求符合下列条件的选法数。⑴有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。⑶某男生必须在内，但不担任数学科代表。⑷某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。
3、把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？
4、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有多少种？
1.2.5排列组合综合应用(2)
【教学目标】
（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；
（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；
（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；
（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。
【教学重难点】
重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用
难点：解题思路的分析。
【教学过程】
类型4.
定位定元问题
例1．（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？
（5）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？
点评：上述问题归结为能排不能排问题，从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．
变式训练1、(2014重庆)某次联欢会要安排
( http: / / www.21cnjy.com )3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（
）
A.72
B.120
C.144
D.3
变式训练2、（2005北京
( http: / / www.21cnjy.com )卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(
)
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )种
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )种
类型5
某些元素顺序确定的排列问题
例2、6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．
变式训练3：
( http: / / www.21cnjy.com )位男生和
( http: / / www.21cnjy.com )位女生共
( http: / / www.21cnjy.com )位同学站成一排，男生甲和女生乙顺序固定的概率是
．
例3、有编号分别为1,2,3，4的四个盒子和四个盒子，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有多少种放法？
变式训练4（2012安徽06位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到
( http: / / www.21cnjy.com )份纪念品的同学人数为（
）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
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( http: / / www.21cnjy.com )或
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( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
例4、某校7名选手准备参加2015
( http: / / www.21cnjy.com )年高中数学联赛，把他们分到1～3考场，若每个考场的选手人数不少于该考场的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
变式训练5.把同一排6张座位编号为1,2,3
( http: / / www.21cnjy.com ),4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法有多少种？
【当堂检测】
1．甲、乙两人从
( http: / / www.21cnjy.com )门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有
( http: / / www.21cnjy.com )门相同的选法有（
）
A．6种
B．12种
C．24种
D．30种
2.
3张卡片正反面分别标有数字1和2，
( http: / / www.21cnjy.com )和4，5和7，若将
( http: / / www.21cnjy.com )张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为
( )
A．30
B．48
C．60
D．96
3.
将4个颜色互不相同
( http: / / www.21cnjy.com )的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
（
）
A．10种
B．20种
C．36种
D．52种
4．某校开设9门课程供学生选修，其中
( http: / / www.21cnjy.com )A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案．(用数字作答)
5．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
一、解与排列有关的应用题时应注意以下几点
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏．
2．对受限制条件的位置与元素应首先排列，并适当选择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
二、组合问题常见类型及解题思路
（1）无条件限制的组合应用题，其解题步骤：①判断；②转化；③求值；④作答.
（2）有限制条件的组合应用题：
①“含”与“不含”问题，其解题思路是将
( http: / / www.21cnjy.com )限制条件视为特殊元素和特殊位置．一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
②“至多”与“至少”问题，这类问题通常采用排除法，也可以用直接法．
五、作业布置：
1、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有
多少个.
2．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、
( http: / / www.21cnjy.com )悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
多少种。
3、从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个？
4．有五张卡片，它们的正、反面分别写
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？1.3.1
二项式定理(1)
【学习目标】
1.能从特殊到一般理解二项式定理；
2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项,有理项)；
3.能正确区分项,项的系数,项的二项式系数等概念；
【能力目标】
提高分析问题和解决问题的能力，会利用二项式定理解决与之相关的问题。
【重点难点】
1.能用计数原理证明二项式定理；
2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式；
3.能解决与二项式定理有关的简单问题；
【学法指导】
要耐心和细心的理解二项式定理的内容和作用及应用范围。
【学习过程】
一.【课前预习】
阅读教材P29-P31
1.当
( http: / / www.21cnjy.com )时,写出
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2.二项式定理:
①公式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
②
( http: / / www.21cnjy.com )叫做二项式系数.
③
( http: / / www.21cnjy.com )叫做二项展开式的通项,用
( http: / / www.21cnjy.com )表示,它表示展开式的第
( http: / / www.21cnjy.com )项是:
( http: / / www.21cnjy.com ).
3.在二项式定理中,令
( http: / / www.21cnjy.com ),,则
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：
①二项展开式中的字母a，b不能交换位置，虽然
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )结果相同，但
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的.
②二项式系数
( http: / / www.21cnjy.com )与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.
二．【课堂学习与研讨】
1.二项式定理内容：
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式是：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2.定理的证明：
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )个
( http: / / www.21cnjy.com )相乘，每个
( http: / / www.21cnjy.com )在相乘时有两种选择，选
( http: / / www.21cnjy.com )或选
( http: / / www.21cnjy.com )。而且每个
( http: / / www.21cnjy.com )中的
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )选定后才能得到展开式的一项。由分步计数原理可知展开式共有
( http: / / www.21cnjy.com )项（包括同类项），其中每一项都是
( http: / / www.21cnjy.com )的形式，
( http: / / www.21cnjy.com )；对于每一项都是
( http: / / www.21cnjy.com )，它是由
( http: / / www.21cnjy.com )个
( http: / / www.21cnjy.com )选了
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )个
( http: / / www.21cnjy.com )选了
( http: / / www.21cnjy.com )得到的，它出现的次数相当于从
( http: / / www.21cnjy.com )个
( http: / / www.21cnjy.com )中取了
( http: / / www.21cnjy.com )个
( http: / / www.21cnjy.com )的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。
3.二项式定理说明：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
①上式右边为二项展开式，各项次数都等于二项式的次数；②展开式的项数为
( http: / / www.21cnjy.com )；③字母
( http: / / www.21cnjy.com )按降幂排列，次数由
( http: / / www.21cnjy.com )递减到0；字母
( http: / / www.21cnjy.com )按升幂排列，次数由0递增到
( http: / / www.21cnjy.com )；④二项式系数可写成组合数的形式，组合数的下标为二项式的次数，组合数的上标由0递增到
( http: / / www.21cnjy.com )；
⑤展开式中的第
( http: / / www.21cnjy.com )项，即
( http: / / www.21cnjy.com )；⑥二项式系数为
( http: / / www.21cnjy.com )，项的系数为二项式系数与数字系数的积。
4．特殊情况（赋值）：
在二项式定理中，令
( http: / / www.21cnjy.com )，则有：
( http: / / www.21cnjy.com )
上式中，若令
( http: / / www.21cnjy.com )，则有：
( http: / / www.21cnjy.com )。
5．例题展示：
例.①展开
( http: / / www.21cnjy.com )
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
②求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的第4项的系数；
解:∵
( http: / / www.21cnjy.com ),∴第4项的系数是280.
③求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数
解:∵
( http: / / www.21cnjy.com )，令
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，∴展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数是
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com ).
④求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中的常数项；
解:∵
( http: / / www.21cnjy.com )，令
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，展开式中的常数项是2268.
三．【课堂检测】
1概念与通项的计算：
①求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的第3项；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com );
②求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的第3项二项式系数；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com );
③求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的第3项的系数；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
④求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中的常数项；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
⑤求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的项；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
⑥求
( http: / / www.21cnjy.com )展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数；
参考答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
2求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式的第3项
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
3求
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式的第3项
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
4用二项式定理展开：
( http: / / www.21cnjy.com )
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
5化简
( http: / / www.21cnjy.com )；
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
四．【课堂小结】
1.
二项式定理的内容；
2.
掌握二项展开式的通项是解决问题的关键所在；
3.
正确区分二项式系数和系数;
【课外作业】
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中共有
( http: / / www.21cnjy.com )项.
（
×
）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )展开式的第
( http: / / www.21cnjy.com )项.
（
×
）
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式的二项式系数相同.
（
√
）
解:
（1）错，
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中共有
( http: / / www.21cnjy.com )项.
（2）错，
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )展开式的第
( http: / / www.21cnjy.com )项.
（3）对，这两个展开式的二项式系数都是
( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）×（2）×（3）√
2．
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式共有
( http: / / www.21cnjy.com )项，则n等于( )
A．9
B．10
C．11
D．8
解:因为
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式共有n＋1项，而
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式共有
( http: / / www.21cnjy.com )项，所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
C
3．
( http: / / www.21cnjy.com )为虚数单位）的二项展开式中第七项为
.
解:由通项公式得
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
4.（2015
( http: / / www.21cnjy.com )广东高考）在
( http: / / www.21cnjy.com )的展开式中，
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
.
解:由题可知
( http: / / www.21cnjy.com )，令
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )，所以展开式中
( http: / / www.21cnjy.com )的系数为
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
作业本上P37第2题。1.2.2组合(1)
【学习目标】
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.
2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
3.会解决一些简单的组合问题.
【重点难点】
重
点:
理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系；理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
难
点:
会用组合数解决一些简单的问题.
【学法指导】
区分组合与排列的异同点，并加以应用.
【学习过程】
一．复习巩固
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
3、组合数公式:
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二．课堂学习与研讨
探究
组合数
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？
问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
探究2.组合数性质2：
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一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
（1）口袋里取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
从引例中可以发现一个结论：
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对上面的发现(等式)作怎样解释？
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组合数性质2：
( http: / / www.21cnjy.com )
试用代数法证明性质2？
例1
计算
例2.
一位教练的足球队共有17名初级学
( http: / / www.21cnjy.com )员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例3.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
【当堂检测】
2.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
【课堂小结】
进一步熟悉组合数的公式；了解组合数性质推导时的思维方法，掌握组合数的两个性质
【课后作业】
训练测评P71.1计数原理（1）
【学习目标】
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理
分析和解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重
点:
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
难
点:
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
【学法指导】
区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以掌握.
【学习过程】
一．课前预习
1.分类加法计数原理:
（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分类加法计数原理的推广：完成一件事有
( http: / / www.21cnjy.com )类不同的方案，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，在第
( http: / / www.21cnjy.com )类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
温馨提示：正确应用分类加法计数原理的关键是正确分类，要做到不重不漏.
2.
分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有m种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
（2）分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成
( http: / / www.21cnjy.com )个步骤，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，…，做第
( http: / / www.21cnjy.com )步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么完成这件事共有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法．
温馨提示：正确应用分步乘法计数原理的关键是正确分步以及弄清每一步的方法数.
二．课堂学习与研讨
问题1.用A~Z或0~9给教室的座位编号总共能够编出多少种不同的号码？
问题2.从甲地到乙地，
( http: / / www.21cnjy.com )可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4
班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
思考：你能说出这两个问题的共同特征吗
试归纳总结出加法计数原理的概念.
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多种选择呢？
问题3.用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编号，有多少不同的号码
问题4.
如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
思考：你能说出这两个问题的共同特征吗
试归纳总结出乘法计数原理的概念.
例2．设某班有男生30名,女生24名.
( http: / / www.21cnjy.com )现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法 若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共有多少种选法
例3．书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法
例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法
【当堂检测】
1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.
（
）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
（
）
（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.
（
）
2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有
( http: / / www.21cnjy.com )名同学只会用综合法证明，有
( http: / / www.21cnjy.com )名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com ) B．
( http: / / www.21cnjy.com ) C．
( http: / / www.21cnjy.com ) D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有
( http: / / www.21cnjy.com )个班次，特快列车
( http: / / www.21cnjy.com )个班次，汽车有
( http: / / www.21cnjy.com )个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )种
B．
( http: / / www.21cnjy.com )种
C．
( http: / / www.21cnjy.com )种
D．
( http: / / www.21cnjy.com )种
4．一个礼堂有
( http: / / www.21cnjy.com )个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．
5．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为
.
【课堂小结】
1.应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．
（3）确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满
( http: / / www.21cnjy.com )足：一、完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一个类；二、分别在不同两类中的两种方法不能相同．即不重复，无遗漏．
2.应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算完成了这件事．
（2）完成这件事情需要分成n个步骤，每一步骤都不能完成这件事情，只有各个步骤都完成了，这件事情才能完成．
（3）选取的标准不同，分的“步”也不同，完成这件事的任何一种方法，都要分成若干个步骤．
【课后作业】教材p6练习
