1.2.1
几个常用函数的导数
【学习目标】
1.能根据导数定义，求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数.
2.熟记基本初等函数：幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，并会运用它们进行求导运算.
【重点难点】
重点：求导公式的记忆与应用.
难点：用定义推导常见函数的导数公式．
【学法指导】
熟练八个导数公式。
【学习过程】
一．课前预习
1.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．
1.函数的增量
( http: / / www.21cnjy.com )
；平均变化率
( http: / / www.21cnjy.com )
．
2.导数的概念：函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数
( http: / / www.21cnjy.com )，就是当
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数的增量
( http: / / www.21cnjy.com )与自变量的增量
( http: / / www.21cnjy.com )的比
( http: / / www.21cnjy.com )的
，
即
( http: / / www.21cnjy.com )＝
＝
．
3.八个基本求导公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
；（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
( http: / / www.21cnjy.com )
；(
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
．
二．课堂学习与研讨1
例1.根据导数定义求下面几个函数的导数．
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.求下列函数的导（函）数
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
(
2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )
（5）
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）
( http: / / www.21cnjy.com )
（7）
( http: / / www.21cnjy.com )
动动手：求下列函数的导数
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )．
小结：利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数．
例3.（1）
求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程；
（3）已知直线
( http: / / www.21cnjy.com )，点
( http: / / www.21cnjy.com )为
( http: / / www.21cnjy.com )上任意一点，求
( http: / / www.21cnjy.com )在什么位置时到直线距离最短．
小结：本题也可以用直线与抛物
( http: / / www.21cnjy.com )线的位置关系的方法解决，即用点斜式设出切线方程，代入抛物线方程中，由判别式等于零，求出斜率，即可求得切线方程和切点坐标．
动动手：
（1）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程．
【当堂检测】
1．函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数为
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数为
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
．
4．设
( http: / / www.21cnjy.com )，则它的导函数为
．
【课堂小结】
1.
导数的几何意义：设函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率．
2．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、瞬时速度、加速度等问题打下理论基础.
3．在求一类曲线的切线
( http: / / www.21cnjy.com )方程时，若有切点，则可以直接通过导数得到斜率，若没有切点，则需要设出切点，求出切点坐标，再求切线方程（如例3）．
【课后作业】
( http: / / www.21cnjy.com )
2．设y=e3,则y'等于( )
A.3e2
B.e2
C.0
D.以上都不是
3.
下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A.f(x)=ex
B.f(x)=x3
C.f(x)=ln
x
D.f(x)=
sin
x
4.
已知在曲线y=
( http: / / www.21cnjy.com )上存在一点P,曲线在点P处的切线的倾斜角为135°,则点P的坐标为 .
5.
求
函数
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程是1.1.2
导数的概念（2）
【学习目标】
1．了解极限是学习导数概念的起点.
2．理解导数的概念的基本方法.
3．掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.
4．会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【重点难点】
重点：导数的概念以及求导数．
难点：导数的概念．
【学法指导】
运用变化的观点，从瞬时速度的实际背景去理解导数的概念．
【学习过程】
一．课前预习：阅读课本1.1.2节找出疑惑之处．
二．课堂学习与研讨一
探究点一 瞬时速度
问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：
( http: / / www.21cnjy.com ))与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
新知1.瞬时速度定义：物体在某一时刻（
某一位置）的速度，叫做瞬时速度．
课堂学习与研讨二
导数：
问题2：瞬时速度是平均速度
( http: / / www.21cnjy.com )当
( http: / / www.21cnjy.com )趋近于
( http: / / www.21cnjy.com )时的．
导数的定义：函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的瞬时变化率是
( http: / / www.21cnjy.com )，我们称它为函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )的导数，
记作
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．
注意：（1）函数应在点
( http: / / www.21cnjy.com )的附近有定义，否则导数不存在．
（2）在定义导数的极限式中，
( http: / / www.21cnjy.com )趋于
( http: / / www.21cnjy.com )可正、可负、但不为
( http: / / www.21cnjy.com )，而
( http: / / www.21cnjy.com )可以为
( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )是函数
( http: / / www.21cnjy.com )对自变量
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上点
( http: / / www.21cnjy.com )及点
( http: / / www.21cnjy.com )的割线斜率．
（4）导数
( http: / / www.21cnjy.com )是函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的瞬时变化率，它反映函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )变化的快慢程度．
小结：由导数定义，高度
( http: / / www.21cnjy.com )关于时间
( http: / / www.21cnjy.com )的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积
( http: / / www.21cnjy.com )的导数就是气球的瞬时膨胀率．
课堂学习与研讨三
例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．
如果在第
( http: / / www.21cnjy.com )时，原油的温度（单位：
( http: / / www.21cnjy.com )
）为
( http: / / www.21cnjy.com )，
计算第
( http: / / www.21cnjy.com )
和第
( http: / / www.21cnjy.com )时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
小结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢．
例2.已知质点
( http: / / www.21cnjy.com )按规律
( http: / / www.21cnjy.com )做直线运动（位移单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，时间单位：
( http: / / www.21cnjy.com )）．
（1）当
( http: / / www.21cnjy.com )时，求
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）求质点
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )时的瞬时速度．
动动手：一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是
( http: / / www.21cnjy.com )（位移单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，时间单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，求小球在
( http: / / www.21cnjy.com )时的瞬时速度．
例3.利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
跟踪训练2 已知y＝f(x)＝，求f′(2)．
【当堂检测】
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx
( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不等于0
2．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是
( )
A．at0
B．－at0C．at0
D．2at0
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是
( )
A．3
B．－3C．2
D．－2
4．已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )＝________
【课堂小结】
1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．
2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
（2）求平均变化率；
（2）取极限得导数f′(x0)＝.
【课后作业】
1.已知物体的运动方程是s=-4t2+16t(s的单位为m;t的单位为s),则物体在t=2
s时的瞬时速度为( )
A.3
m/s
B.2
m/s
C.1
m/s
D.0
m/s
2.已知
( http: / / www.21cnjy.com ),若f'(a)=
( http: / / www.21cnjy.com ),则a的值等于( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3．求函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数．
【课后作业】
1.已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
（2）曲线过点P(3,9)的切线方程．
2.课本P10页
5,61.3.2 函数的极值与导数
【学习目标】
1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会应用.
2．掌握函数极值的判定及求法.
【重点、难点】：
1．函数极值的判定及求法.
2．函数在某一点取得极值的条件．
【学法指导】:
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.
【学习过程】
一．课前预习
阅读教材P26-29完成下列问题：
1．极值的概念
已知函数y＝f(x)，设x0
( http: / / www.21cnjy.com )是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有
，则称函数f(x)在点x0处取
，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个
．如果都有
，则称函数f(x)在点x0处取
，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个
．极大值与极小值统称为
．
极大值点与极小值点统称为
2．求可导函数f(x)的极值的方法
（1）求导数f′(x)；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极
值．
②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极
值．
③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)
二．课堂学习与研讨
探究点一 函数的极值与导数的关系
问题1 如图观察，函数y＝f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
例1 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
跟踪训练1 求函数f(x)＝＋3ln
x的极值．
探究点二 利用函数极值确定参数的值
问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
探究点三 函数极值的综合应用
例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x
( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
三．【当堂检测】
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列函数存在极值的是
( )
A．
y＝
B．y＝x－ex
C．y＝x3＋x2＋2x－3
D．y＝x3
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
( )
A．－1
B．－3C．a<－1或a>2
D．a<－3或a>6
4．设a∈
( http: / / www.21cnjy.com )，若函数y＝ex＋ax，x∈
( http: / / www.21cnjy.com )有大于零的极值点，则a的取值范围为__________
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________
四．【课堂小结】
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
五．【课后作业】
1．已知三次函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )时取极值，且
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的表达式；（2）求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间和极值
2．若函数
( http: / / www.21cnjy.com )，当
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数
( http: / / www.21cnjy.com )极值
( http: / / www.21cnjy.com )，
（1）求函数的解析式；（2）若函数
( http: / / www.21cnjy.com )有3个解，求实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围1.5.3
定积分的概念
【学习目标】
1.
了解定积分的概念
2.
理解定积分的几何意义
【重点难点】
重点：定积分的几何意义；
难点：定积分的概念
【学法指导】
从前一节的实际背景抽象出定积分的定义
【学习过程】
一.
课前预习
预习教材1.5.2节,
思考两个问题:
①定积分的的概念,
②定积分的几何意义
二．课堂学习与研讨
1.一般地,
对于区间上的的连续函数f(x),
用分点a=x0把区间
平均分成n个小区间,
在第i个小区间上任意取一点
( http: / / www.21cnjy.com ),
作和
( http: / / www.21cnjy.com ),
当n
→∞时,
上
述和式就无限接近某个常数,
这个常数就叫做函数f(x)在区间上的定积分,
记作
( http: / / www.21cnjy.com ),
即
( http: / / www.21cnjy.com )=______________________.
其中
叫做积分下限，
叫做积分上限，_______叫做被积函数,
______叫做积分变量,
________叫做被积式,
f(
( http: / / www.21cnjy.com ))是小矩形的高(不唯一),
( http: / / www.21cnjy.com )是小矩形的宽.
2.
定积分的性质
①
( http: / / www.21cnjy.com )=______________
②
( http: / / www.21cnjy.com )=_________________________
③当a( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=_________________________________________
【当堂检测】
探究点一 定积分的概念
问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
问题2 怎样正确认识定积分
( http: / / www.21cnjy.com ) 利用定积分的定义，
【做一做】
将由
( http: / / www.21cnjy.com )所围成的图形的面积写成定积分的形式___________________.
用定义求
( http: / / www.21cnjy.com )
(提示:
13+23+33+…+n3
=
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )取右端点
( http: / / www.21cnjy.com ))
．
跟踪训练1 用定义计算 (1＋x)dx.
探究点二 定积分的几何意义
问题1 从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么
( http: / / www.21cnjy.com )表示什么？
问题2
当f(x)在区间上连续且恒有f(x)≤0时，
( http: / / www.21cnjy.com )表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？
例2 利用几何意义计算下列定积分：
（1） dx；
（2） (3x＋1)dx.
跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
（1） xdx；
（2） cos
xdx；
（3） |x|dx.
探究点三 定积分的性质
问题1 定积分的性质可作哪些推广？
问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
计算
的值．
跟踪训练3 已知 x3dx＝， x3dx＝， x2dx＝， x2dx＝，求：
（1） 3x3dx；
（2） 6x2dx；
（3） (3x2－2x3)dx.
【当堂检测】
1.
在近似代替中,
f(x)在第i个小区间上近似地等于(
)
A.
只能是左端点函数值f(xi–1)
B.
只能是右端点函数值f(xi)
C.
可以是该区间内任一函数值f(
( http: / / www.21cnjy.com ))
D.
以上都
2.
已知连续函数f(x)>0且a则(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx>0
B.
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx<0
C.
当a( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx<0
D.
以上都不对
3.
下列命题不正确的是(
)
A.
若f(x)是奇函数,
则
( http: / / www.21cnjy.com )=
0
B.
若f(x)是偶函数,
则
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
若
( http: / / www.21cnjy.com )>0
(a则在区间(a,
b)上f(x)
>0
D.
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
4．下列结论中成立的个数是
( )
① x3dx＝·；
② x3dx＝·；
③ x3dx＝·.
A．0
B．1
C．2
D．3
5．定积分
( http: / / www.21cnjy.com )的大小
( )
A．与f(x)和积分区间有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间无关
D．与f(x)、积分区间和ξi的取法都有关
6．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
（1） xdx________ x2dx；
（2） dx________ 2dx.
7．已知
( http: / / www.21cnjy.com )sin
xdx＝
( http: / / www.21cnjy.com )sin
xdx＝1，
( http: / / www.21cnjy.com )x2dx＝，求下列定积分：
（1） sin
xdx；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )(sin
x＋3x2)dx.
【课堂小结】
1．定积分
( http: / / www.21cnjy.com )是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
【课后作业】
1.定积分
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx的大小( )
A.与f(x)和积分区间有关,与
( http: / / www.21cnjy.com )的取法无关
B.与f(x)有关,与区间以及
( http: / / www.21cnjy.com )的取法无关
C.与f(x)以及
( http: / / www.21cnjy.com )的取法有关,与区间无关
D.与f(x)、区间和
( http: / / www.21cnjy.com )的取法都有关
2设f(x)是上的连续函数,则
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx-
( http: / / www.21cnjy.com )f(t)dt的值( )
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不能确定
3.设f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx的值是( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )x2dx
B.
( http: / / www.21cnjy.com )2xdx
C.
( http: / / www.21cnjy.com )x2dx+
( http: / / www.21cnjy.com )2xdx
D.
( http: / / www.21cnjy.com )2xdx+
( http: / / www.21cnjy.com )x2dx
4.已知函数f(x)=sin5x+1,根据定积分的性质和几何意义,探求
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)dx的值,结果是( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.π
C.1
D.0
5.若
( http: / / www.21cnjy.com )cos
xdx=1,则由x=0,x=π,f(x)=sin
x及x轴围成的图形的面积为 . 1.6.1
微积分基本定理(1)
【学习目标】
了解微积分基本定理，
会求最简单函数的定积分。
【能力目标】
掌握求定积分的基本方法
【重点、难点】
定积分的求法，微积分基本定理.
【学法指导】
求f(x)的定积分,关键是找出哪个函数的导数是f(x),
【学习过程】
一.课前预习
阅读预习教材1.6节,
思考下列列问题:
①微积分基本定理,
②定积分的求法,
③基本初等函数的求导公式
二.
课堂学习与研讨
1.
复习求导公式:
①(C)’=0__________,
(xn)’=http://www.21cnjy.com/__________
②(sinx)’=________,
(cosx)’=http://www.21cnjy.com/_________
③(ex)’=_________,
(ax)’=http://www.21cnjy.com/
④(lnx)’=________,
(logax)’=http://www.21cnjy.com/___________
2.
微积分基本定理:
一般地,
如果f
(x)是区间[a,
b]上的的连续函数且F’(x)=f(x),
则f(x)dx=F(b)–F(a),
简记为f(x)dx=F(x).
3.常见的积分公式:
①http://www.21cnjy.com/(C为常数)
②http://www.21cnjy.com/()
③http://www.21cnjy.com/
④http://www.21cnjy.com/
⑤http://www.21cnjy.com/()
⑥http://www.21cnjy.com/
⑦http://www.21cnjy.com/(且http://www.21cnjy.com/)
4.
求定积分:
求f(x)的定积分,
关键是找出哪个函数的导数是f(x),
所以,一定要熟练掌握基本初等函数的求导分式.
三.【课堂检测】
1.
(
)http://www.21cnjy.com/
A.
1
B.
2
C.
–2
D.
0
2.
(
)http://www.21cnjy.com/
A.
t(b–a)
B.
b–a
C.
D.
2(b2–a2)
3.
http://www.21cnjy.com/
4.
http://www.21cnjy.com/
2.
http://www.21cnjy.com/
5.
求
http://www.21cnjy.com/
6.
求http://www.21cnjy.com/
7.
(
)http://www.21cnjy.com/
A.(1+cos2x)dx
B.
C.cosxdx
D.–cosxdx
四.【课堂小结】
①熟记导数公式，
②微积分基本定理F’(x)=f(x),
则f(x)dx=F(b)–F(a),
简记为f(x)dx=F(x)
.
③常见的积分公式;
④求f(x)的定积分时,当不好找哪个函数的导数是f(x)时,应先对f(x)化简,直到能找出哪个函数的导数是f(x)为止,所以,一定要熟练掌握基本初等函数的求导公式.
五．【课后作业】
1.教材P55，习题A组，第1题;
2.①http://www.21cnjy.com/
②http://www.21cnjy.com/
请把对本课内容的学习心得体会写下来．1.5.1
曲边梯形的面积
1.5.2
汽车行驶的路程
【学习目标】
1.
了解曲边梯形面积的求法和变速运动行驶的路程的求法.
2.
体会“以曲代直”,
“以不变代变”的思想方法.
【重点难点】
重点：以曲代直”,
“以不变代变”的思想方法.
难点：
“以曲代直”,
“以不变代变”的思想方法.
【学法指导】
注意体会“以曲代直”,
“以不变代变”的思想方法
【学习过程】
一.课前预习
预习教材1.5.1节思考下列问题:
①面积的分割求和,
以直代曲的原则
②路程的分割求和,
以不变代变的原则
二．课堂学习与研讨1：
探究点一 求曲边梯形的面积
问题1 如何计算下列两图形的面积？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2 如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S
思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
思考3 在“近似代替”中，如果认为
( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？
1.
分割:
把区间[0,
1]平均分成n等份,
得到n个曲边梯形,
每部份的宽都是____,
2.
近似代替:
在第
( http: / / www.21cnjy.com )i个部份取f(xi)作为这部份的"高",
从而分成了n个小矩形,这样n个小矩形的面积之和就近似地等于曲边梯形的面积S
3.
求和:
第i个小矩形的面积=
( http: / / www.21cnjy.com ),
则n个小矩形的面积之和
Sn
=
( http: / / www.21cnjy.com ),
xi取右端点时Sn
=
( http: / / www.21cnjy.com )
。
4.
取极限:
我们可以想象,
( http: / / www.21cnjy.com )随着n的不断增大,
小矩形的面积之和与相应的曲边梯形的面积的误差会越来越小,
当n→∞时,
误差→0,
所以当n→∞时Sn的极限就是曲边梯形的面积S,
即
S=
( http: / / www.21cnjy.com )Sn=
( http: / / www.21cnjy.com )
（二）.
汽车行驶的位移:
汽车以速度v
( http: / / www.21cnjy.com )作匀速直线运动时,
经过时间t所行驶的位移S=vt.
如果汽车作变速运动,
在时刻t的速度为v(t)=-t2+2（t的单位：h，v的单位：km/h），
那么在[a,
b]这段时间内汽车行驶的位移怎样求呢
为了直观,
我们求时间[0,
1]这段时间内的路程s（单位：km）.
1.
分割:
把区间[0,
1]平均分成n等份,
每个时间段的长度都是____
2.
近似代替:在第i个区间取v(xi)作为这段时间内汽车的平均速度,
则第i个时间段行驶的路程
=
__________
3.
求和:
这n段时间内汽车行驶的路程Sn
=________________
4.
取极限:
当n不断增大时,
Sn与汽车实际行驶的路程S的误差不断缩小,
当n→∞时,
误差→0,
所以当n→∞时Sn的极限就是汽车行驶的路程S,
即S=
( http: / / www.21cnjy.com )Sn=
( http: / / www.21cnjy.com )
课堂学习与研讨2
用定义求曲边梯形:
x=0,
x=1,
y=0,
y=-x2
+1的面积.
(提示:
12+22+32+…+n2
=
( http: / / www.21cnjy.com ),
xi取右端点
( http: / / www.21cnjy.com ))
【当堂检测】
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为
( )
A．
B．
C．
D．
2．函数f(x)＝x2在区间上
( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
【课堂小结】
求曲边梯形面积和变力做功的步骤
（1）分割：n等分区间[a，b]；
（2）近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
（3）求和：(ξi)·；
（4）取极限：
S＝eq
\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
【课后作业】
1.求曲边梯形:
x=0,
x=2,
y=0,
y=x2的面积的近似值,
其中平均分成10个小区间,
xi取区间的中点.
2.在区间
( http: / / www.21cnjy.com )内插入9个等分点后,每个小区间的长度等于 ,第4个小区间是 .
3.
由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x2+2x围成的图形的面积为 .
将区间
( http: / / www.21cnjy.com )n等分,每个区间长度为
( http: / / www.21cnjy.com ),区间右端点函数值y=
( http: / / www.21cnjy.com )+2·
( http: / / www.21cnjy.com ).
作和
( http: / / www.21cnjy.com )i2+
( http: / / www.21cnjy.com )i=
( http: / / www.21cnjy.com )n(n+1)(2n+1)+
( http: / / www.21cnjy.com ),故所求面积S=
( http: / / www.21cnjy.com ).
4.
有一辆汽车在笔直的公路上变速行
( http: / / www.21cnjy.com )驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少
(1)分割.
在时间区间
( http: / / www.21cnjy.com )上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为
( http: / / www.21cnjy.com )(i=1,2,…,n),其长度为Δt=
( http: / / www.21cnjy.com ),每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),则显然有s=
( http: / / www.21cnjy.com )Δsi.
(2)近似代替.
取ξi=
( http: / / www.21cnjy.com )(i=1,2,…,n).于是Δsi≈v
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )·Δt=
( http: / / www.21cnjy.com )(i=1,2,…,n).
(3)求和.
sn=
( http: / / www.21cnjy.com )(12+22+…+n2)+4=
( http: / / www.21cnjy.com )+4=8
( http: / / www.21cnjy.com )1+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )1+
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )+4.
(4)取极限.
s=
( http: / / www.21cnjy.com )sn=
( http: / / www.21cnjy.com )=8+4=12.
所以这段时间内行驶的路程为12
km.
y=x2
o
1
x
y1.7.1
定积分在几何中的应用
【学习目标】
1.理解定积分的概念与性质，掌握定积分的计算方法.
2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.
【重点难点】
重点：用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.
难点：如何用定积分来表示平面曲线围成图形的面积.
【学法指导】
用定积分的几何意义解决相关问题
【学习过程】
一．课前预习
阅读课本1.7.1节，记下疑惑之处，讨论下列问题：
1.复习
(1).求曲边梯形的思想方法是什么？
(2)定积分的几何意义是什么？
(3).微积分基本定理是什么？
【问题探究】
探究点一 求不分割型图形的面积
问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
点评:在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.用微积分基本定理求定积分。
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
探究点二 分割型图形面积的求解
问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
例2.计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.
跟踪训练2 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
点评:利用定积分求面积时要注意定积分与面积的关系，一般地：轴上方部分的面积等于定积分，轴下方部分的面积等于定积分的相反数。
【补充例题】
3．已知函数，
（1）求函数的图象在点处的切线的方程；
（2）求由曲线、直线、x轴、y轴所围成的封闭图形的面积.
【当堂检测】
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝
dx
S＝ (2－2x＋8)dx
①
②
S＝ f(x)dx－ f(x)dx
S＝
dx＋
dx
③
④
A．①③
B．②③
C．①④
D．③④
2．曲线y＝cos
x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是
( )
A．2
B．3
C．
D．4
3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为_______
4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________
5.由定积分的几何意义计算出的结果是（
）
A.
0
【课堂小结】
1.求平面图形面积的方法与步骤：
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
2.几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
图（1）
图（2）
图（3）
【作业】
1.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.
2.在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求切点A的坐标以及切线方程.
3.课本P60页B组
1
x
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
PAGE
11.3.4习题课—导数的综合应用
【学习目标】
掌握利用导数研究方程的根或函数零点的一般方法，利用导数解决不等式恒成立问题基本方法。
【能力目标】
用导数研究函数的综合问题的方法。
【重点、难点】
掌握用导数方法解决有关问题的方法，解决函数的综合问题。
【学法指导】
理解相关概念，熟记导数公式，掌握用相关知识解决几种常见的类型的方法步骤。
【学习过程】
一．回顾相关知识
1导数的几何意义
2基本初等函数的八个导数公式
3导数的运算法则：和差积商
4复合函数求导的法则
5利用导数研究方程的根或函数零点
(1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标.
(2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标.
(3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.
6.利用导数解决不等式恒成立问题
(1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max.
(2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.
二．复习检测
1．方程x3-6x2+9x-4=0实根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:利用导数,求出函数的极大值为0,极小值为-4,再结合函数的单调性,通过数形结合可得.
答案:C
2．已知函数f(x)=x3-x2-2x+5,若当x∈[-1,2]时,f(x)( )
A.[7,+∞)
B.(7,+∞)
C.(-∞,7)
D.(-∞,7]
解析:利用导数可求得x∈[-1,2]时,f(x)max=7,故实数m的取值范围为m>7.
答案:B
3.设函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.
解：（1），
由于，解得或，所以的单调递增区间是（）和（）；
由于，解得，所以的单调递减区间是（）。
（2）令，所以和为极值点，而，，，所以，，故。
三．典型题例
【例1】
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;(2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围.
分析:方程f(x)=0只有一个实数根就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解.
解：（1）由已知条件，令，得或，当变化时，，变化情况如下表：
（）
（）
（）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值是，极小值是。
（2）由函数解析式可知，当x取足够大的正数时，有，当x取足够小的负数时，有，所以曲线与x轴至少有一个交点。再结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点。它在上。
当的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点。它在上
故当时，因此曲线与x轴仅有一个交点，方程只有一个实数根。
【归纳解题步骤】
第1步:确定函数定义域
第2步:求导数
第3步:分析极值情况
第4步:得到最值
【例2】已知，。
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
【归纳解题步骤】
第1步:假设结论成立
第2步:将所给不等式转化
第3步:构造新函数g(x)
第4步:将问题转化为g(x)在(0,+∞)上为增函数
第5步:利用导数转化为g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
第6步:分离参数求最值
第7步:得到结果
四．目标检测
1．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上
( )
A．单调递增
B．单调递减
C．有最大值
D．有最小值
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为
( )
A．－1
B．0
C．－
D．
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为
( )
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．
五．课后练习
1．等差数列中的是函数的极值点，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____
3．已知函数（），若函数在区间上是单调减函数，则的最小值是
4．已知函数
（1）求函数的单调区间；（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；
（3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.1.4生活中的优化问题举例(1)
【学习目标】
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
【重点难点】
重点：是数学建模，将生活中的问题数学化.
难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
【学法指导】
1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．
2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
【学习过程】
一．课前预习
预习教材1.4节的内容．
二.课堂学习与研讨
题型一 面积、体积的最值问题
例1.海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示竖向张贴的海报，要求版心面积为
( http: / / www.21cnjy.com )，上、下两边各空
( http: / / www.21cnjy.com )，左、右两边各空
( http: / / www.21cnjy.com )．如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
题型二 利润最大问题
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
( http: / / www.21cnjy.com )分，其中
( http: / / www.21cnjy.com )是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售
( http: / / www.21cnjy.com )的饮料，制造商可获利
0.2
分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为
( http: / / www.21cnjy.com )
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【当堂检测】
1.长为
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
2.
已知某商品生产成本
( http: / / www.21cnjy.com )与产量
( http: / / www.21cnjy.com )的函数关系式为
( http: / / www.21cnjy.com )，价格
( http: / / www.21cnjy.com )与产量
( http: / / www.21cnjy.com )的函数关系式为
( http: / / www.21cnjy.com )．求产量
( http: / / www.21cnjy.com )为何值时，利润
( http: / / www.21cnjy.com )最大？
分析：利润
( http: / / www.21cnjy.com )等于收入
( http: / / www.21cnjy.com )减去成本
( http: / / www.21cnjy.com )，而收入
( http: / / www.21cnjy.com )等于产量乘价格．由此可得出利润
( http: / / www.21cnjy.com )与产量
( http: / / www.21cnjy.com )的函数关系式，再用导数求最大利润．
【课堂小结】
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；
（2）列模型：列出实际问题的数学模型；
（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
（6）结论：根据比较值写出答案．
2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.
【作业】
课本P37页
B组1,21.6.2
微积分基本定理(2)
【学习目标】
1.熟练掌握简单函数的定积分的求法.2.理解定积分的几何意义.
【能力目标】
1.画函数图像。2识别定积分与面积的对应关系。3.积分的运算
【重点难点】
简单函数的定积分，定积分的几何意义.
【学法指导】
理解微积分基本定理。
【学习过程】
一.
课前准备
复习:
1.
微积分基本定理,2.初等函数的求导分式,3.定积分基本性质:
①.
,
②.
③.
二.
课堂学习与研讨1
以下由各学习小组交流后完成：
1.
2.
3.
课堂学习与研讨2
1.求定积分
2.若，求解：1.
。2.
3.
用几何意义求
解：是单位圆与数轴在第一象限围成的面积，即，
所以4．已知若,求实数的值.
解：∵，∴，即，∴或，
三.
【课堂检测】
1.
2.
3.
4.
利用定积分的几何意义求
=4
5.已知,(其中为自然对数的底数),求的值。
解：
6.
下列不等式成立的有多少个
(
C
)
①
②
③
④
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
7.
求
四.
【课堂小结】
1.理解定积分的几何意义
2.识别求定积分的不同类型，单一积分，分段积分，复合函数积分
3.区分含参数积分的变量和参数。
五．【课后作业】
1.
解：
2．
解：
3．已知，求的最大值。
解：由于，因此,
,所以,当时,
有最大值.
4．已知,且,,,求a,b,c的值.
解：由得………………………………①；
由得………………………………………………②；
由，有，
即………………………………………………③
由①②③式子组成方程组得。
请把对本课内容的学习心得体会写下来．
PAGE
11.1.1
变化率问题（1）
【学习目标】
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程
体会数学的博大精深以及学习数学的意义.
2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
【重点难点】
重点：掌握平均变化率的概念.
难点：对平均变化率的概念的理解
【学法指导】
认真阅读课本，从日常生活中体会平均变化率.
【学习过程】
一．课前预习
阅读课本1.1.1节找出疑惑.
二．课堂学习与研讨1
问题1.气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？
问题2高台跳水，求平均速度.
新知1.
平均变化率
( http: / / www.21cnjy.com ).
试试：设
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
是数轴上的一个定点，在数轴
( http: / / www.21cnjy.com )
上另取一点
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
与
( http: / / www.21cnjy.com )
的差记为
( http: / / www.21cnjy.com )
，即
( http: / / www.21cnjy.com )
或者
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )就表示示从
( http: / / www.21cnjy.com )
到
( http: / / www.21cnjy.com )的变化量或增量，相应地，函数的变量或增量记为
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )
；
如果它们的比值
( http: / / www.21cnjy.com )
，则上式就表示为
，
此比值就称为平均变化率.
思考：
1.
所谓平均变化率也就是
的增量与
的增量的比值.
2.
观察图形，你能看出平均变化率的几何意义吗？
课堂学习与研讨2
例1
．过
曲
线
( http: / / www.21cnjy.com )上
两
点
( http: / / www.21cnjy.com )
和
( http: / / www.21cnjy.com )
作曲线的割线，求出当
( http: / / www.21cnjy.com )时割线的斜率.
动动手。已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象上一点
( http: / / www.21cnjy.com )及邻近一点
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
例2
.已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )
，分别计算
( http: / / www.21cnjy.com )
在下列区间上的平均变化率：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com ).
动动手。1.
某婴儿从出生到第12
个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3
个月与第
6个月到第12
个月该婴儿体重的平均变化率.
.
2.
已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )
分别计算在区间
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )上
( http: / / www.21cnjy.com )及
( http: / / www.21cnjy.com )
的平均变化率.
探究点三 平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
【当堂检测】
1．函数f(x)＝5－3x2在区间
[1,2]上的平均变化率为__________
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．
4．设函数
( http: / / www.21cnjy.com )，当自变量
( http: / / www.21cnjy.com )由
( http: / / www.21cnjy.com )改变到
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数的改变量
( http: / / www.21cnjy.com )为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【课堂小结】
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
（2）计算平均变化率＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
【课后作业】
1.函数f(x)=4x-3在区间[-5,-2]上的平均变化率为a,在区间[0,3]上的平均变化率为b,则有( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b大小不确定
2．质点运动动规律
( http: / / www.21cnjy.com )，则在时间
( http: / / www.21cnjy.com )中，相应的平均速度为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )附近的平均变化率是
.
1.1.2
导数的概念（2）
【学习目标】
1．了解极限是学习导数概念的起点.
2．理解导数的概念的基本方法.
3．掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.
4．会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【重点难点】
重点：导数的概念以及求导数．
难点：导数的概念．
【学法指导】
运用变化的观点，从瞬时速度的实际背景去理解导数的概念．
【学习过程】
一．课前预习：阅读课本1.1.2节找出疑惑之处．
二．课堂学习与研讨一
探究点一 瞬时速度
问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：
( http: / / www.21cnjy.com ))与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
新知1.瞬时速度定义：物体在某一时刻（
某一位置）的速度，叫做瞬时速度．
课堂学习与研讨二
导数：
问题2：瞬时速度是平均速度
( http: / / www.21cnjy.com )当
( http: / / www.21cnjy.com )趋近于
( http: / / www.21cnjy.com )时的
．
导数的定义：函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的瞬时变化率是
( http: / / www.21cnjy.com )，我们称它为函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )的导数，
记作
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．
注意：（1）函数应在点
( http: / / www.21cnjy.com )的附近有定义，否则导数不存在．
（2）在定义导数的极限式中，
( http: / / www.21cnjy.com )趋于
( http: / / www.21cnjy.com )可正、可负、但不为
( http: / / www.21cnjy.com )，而
( http: / / www.21cnjy.com )可以为
( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )是函数
( http: / / www.21cnjy.com )对自变量
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上点
( http: / / www.21cnjy.com )及点
( http: / / www.21cnjy.com )的割线斜率．
（4）导数
( http: / / www.21cnjy.com )是函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的瞬时变化率，它反映函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )变化的快慢程度．
小结：由导数定义，高度
( http: / / www.21cnjy.com )关于时间
( http: / / www.21cnjy.com )的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积
( http: / / www.21cnjy.com )的导数就是气球的瞬时膨胀率．
课堂学习与研讨三
例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．
如果在第
( http: / / www.21cnjy.com )时，原油的温度（单位：
( http: / / www.21cnjy.com )
）为
( http: / / www.21cnjy.com )，
计算第
( http: / / www.21cnjy.com )
和第
( http: / / www.21cnjy.com )时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
小结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢．
例2.已知质点
( http: / / www.21cnjy.com )按规律
( http: / / www.21cnjy.com )做直线运动（位移单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，时间单位：
( http: / / www.21cnjy.com )）．
（1）当
( http: / / www.21cnjy.com )时，求
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）求质点
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )时的瞬时速度．
动动手：一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是
( http: / / www.21cnjy.com )（位移单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，时间单位：
( http: / / www.21cnjy.com )，求小球在
( http: / / www.21cnjy.com )时的瞬时速度．
例3.利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
跟踪训练2 已知y＝f(x)＝，求f′(2)．
【当堂检测】
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx
( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不等于0
2．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是
( )
A．at0
B．－at0
C．at0
D．2at0
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是
( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
4．已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )＝________
【课堂小结】
1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．
2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
（2）求平均变化率；
（2）取极限得导数f′(x0)＝
.
【课后作业】
1.已知物体的运动方程是s=-4t2+16t(s的单位为m;t的单位为s),则物体在t=2
s时的瞬时速度为( )
A.3
m/s
B.2
m/s
C.1
m/s
D.0
m/s
2.已知
( http: / / www.21cnjy.com ),若f'(a)=
( http: / / www.21cnjy.com ),则a的值等于( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3．求函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数．
1.1.3导数的几何意义
【学习目标】
1．理解导数的几何意义.
2．掌握平均变化率与割线的斜率之间的关系.
3．体会从形的角度探究导数的几何意义.
【重点难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合”的思想方法.
难点：发现、理解及应用导数的几何意义.
【学法指导】
学习过程中注意紧扣定义.
【学习过程】
注意运用“数形结合”的
思想方法.
一.课前预习
阅读课本1.1.3，找出疑惑之处.
学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题1、当点
( http: / / www.21cnjy.com )
沿着曲线
( http: / / www.21cnjy.com )趋近于点
( http: / / www.21cnjy.com )时，割线的变化趋势是什么？
新知1：当割线
( http: / / www.21cnjy.com )无限地趋近于某一极限位置
( http: / / www.21cnjy.com ).我们就把极限位置上的直线
( http: / / www.21cnjy.com )，叫做曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线.
割线的斜率是：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，当点
( http: / / www.21cnjy.com )沿曲线趋近于点
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )无限趋近于切线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率．因此，函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数就是切线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
新知2：函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数的几何意义是曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处切线的斜率，即
( http: / / www.21cnjy.com ).
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
二.课堂学习与研讨
例1.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象，根据图象，请描述、比较曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )附近的变化情况.
例2.求函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率，并写出切线方程．
动动手:
1．求
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数.
2．求双曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率，并写出切线方程.
【当堂检测】
1．已知曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上一点，则点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线斜率为（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______
3．8.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则
( http: / / www.21cnjy.com )= .
【课堂小结】
1．导数f′(x0)的几何意
( http: / / www.21cnjy.com )义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是
( http: / / www.21cnjy.com )一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知
( http: / / www.21cnjy.com )点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
【课后作业】
1.已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
（2）曲线过点P(3,9)的切线方程．
2.课本P10页
5,61.3.1 函数的单调性与导数
【学习目标】：
结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
【能力目标】：
1．能利用导数研究函数的单调性.
2．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【重点、难点】：
单调性与导数，单调性证明不等式
【学法指导】:
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.
【学习过程】
一．课前预习
教材P22-26
二．知识要点
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递___
f′(x)<0
单调递____
f′(x)＝0
常函数
三．【问题探究】
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
问题3 （1）如果一个函数具有相同单调性的单
( http: / / www.21cnjy.com )调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
例1 已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，
f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
( http: / / www.21cnjy.com )
例2 求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(ex－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln
x.
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝x2－ln
x；（2）f(x)＝；（3）f(x)＝sin
x(1＋cos
x)(0≤x<2π)．
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
问题 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
例3 如图，设有圆C和定点O，当l从l0
( http: / / www.21cnjy.com )开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
跟踪训练3 （1）如图，水以常速(
( http: / / www.21cnjy.com )即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
四．【当堂检测】
1．函数f(x)＝x＋ln
x在(0,6)上是
( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在
( http: / / www.21cnjy.com )上是减函数，在
( http: / / www.21cnjy.com )上是增函数
D．在
( http: / / www.21cnjy.com )上是增函数，在
( http: / / www.21cnjy.com )上是减函数
2．
f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
3．函数f(x)＝ln
x－ax(a>0)的单调增区间为
( )
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．(0，＋∞)
D．(0，
a)
4．（1）函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为___________
（2）函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为_____________
五．【课堂小结】
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）求导数f′(x)；
（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
【课后作业】
1．函数f(x)的定义域为
( http: / / www.21cnjy.com )，且满足f(2)＝2，
( http: / / www.21cnjy.com )
>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_______
2．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______
3．设函数f(x)＝x－－aln
x.
（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，求a的值；
（2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；1.2.1
几个常用函数的导数
【学习目标】
1.能根据导数定义，求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数.
2.熟记基本初等函数：幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，并会运用它们进行求导运算.
【重点难点】
重点：求导公式的记忆与应用.
难点：用定义推导常见函数的导数公式．
【学法指导】
熟练八个导数公式。
【学习过程】
一．课前预习
1.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．
1.函数的增量
( http: / / www.21cnjy.com )
；平均变化率
( http: / / www.21cnjy.com )
．
2.导数的概念：函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数
( http: / / www.21cnjy.com )，就是当
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数的增量
( http: / / www.21cnjy.com )与自变量的增量
( http: / / www.21cnjy.com )的比
( http: / / www.21cnjy.com )的
，
即
( http: / / www.21cnjy.com )＝
＝
．
3.八个基本求导公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
；（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
( http: / / www.21cnjy.com )
；(
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
．
二．课堂学习与研讨1
例1.根据导数定义求下面几个函数的导数．
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.求下列函数的导（函）数
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
(
2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)
( http: / / www.21cnjy.com )
（5）
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）
( http: / / www.21cnjy.com )
（7）
( http: / / www.21cnjy.com )
动动手：求下列函数的导数
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )．
小结：利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数．
例3.（1）
求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程；
（3）已知直线
( http: / / www.21cnjy.com )，点
( http: / / www.21cnjy.com )为
( http: / / www.21cnjy.com )上任意一点，求
( http: / / www.21cnjy.com )在什么位置时到直线距离最短．
小结：本题也可以用直线与抛物
( http: / / www.21cnjy.com )线的位置关系的方法解决，即用点斜式设出切线方程，代入抛物线方程中，由判别式等于零，求出斜率，即可求得切线方程和切点坐标．
动动手：
（1）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线
( http: / / www.21cnjy.com )过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程．
【当堂检测】
1．函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数为
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数为
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
．
4．设
( http: / / www.21cnjy.com )，则它的导函数为
．
【课堂小结】
1.
导数的几何意义：设函数y＝
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率．
2．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、瞬时速度、加速度等问题打下理论基础.
3．在求一类曲线的切线方程
( http: / / www.21cnjy.com )时，若有切点，则可以直接通过导数得到斜率，若没有切点，则需要设出切点，求出切点坐标，再求切线方程（如例3）．
【课后作业】
( http: / / www.21cnjy.com )
2．设y=e3,则y'等于( )
A.3e2
B.e2
C.0
D.以上都不是
3.
下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A.f(x)=ex
B.f(x)=x3
C.f(x)=ln
x
D.f(x)=sin
x
4.
已知在曲线y=
( http: / / www.21cnjy.com )上存在一点P,曲线在点P处的切线的倾斜角为135°,则点P的坐标为 .
5.
求
函数
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程是
1.2.2
导数的四则运算（1）
【学习目标】
1理解两个函数的和、差、
积、商的导数法则，能用法则求一些函数的导数．
2．能够综合运用各种法则求函数的导数．
【重点难点】
重点：函数的和、差、积、商的求导法则．
难点：函数的积、商的求导法则的综合应用．
【学法指导】
熟练函数的和、差、积、商的求导法则
【学习过程】
一.课前预习
预习教材1.2.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．
1.八个基本求导公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
；（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
( http: / / www.21cnjy.com )
；(
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
．
2.导数的四则运算：
若y=f(x)，y=g(x)
的导数存在，则
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
；
( http: / / www.21cnjy.com )
．
二．课堂学习与研讨
例1.求下列函数的导数．
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )．
动动手：求下列函数的导数（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
例2.已知曲线
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求曲线在
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程.
例3.偶函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象过点
( http: / / www.21cnjy.com )，且在
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的解析式.
【当堂检测】
1．下列四组函数中导数相等的是
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．下列运算中正确的是
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．设
( http: / / www.21cnjy.com )则
( http: / / www.21cnjy.com )等于
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．对任意的
( http: / / www.21cnjy.com )，有
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则此函数解析式可以为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程为
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【课堂小结】
1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则．在求导之前，先利用代数或三角恒等变形等方法对函数进行化简，然后再求导．
2.函数和、差、积、商的导数运算法则可以推广到有限个函数的导数的四则运算法则．
【课后作业】
1已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
若函数f(x)=exsin
x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.0
C.钝角
D.锐角
3．已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=( )
A.0
B.-4
C.-2
D.2
4．设曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在x=1处的切线方程是
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )
.
5.设曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上一点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线
( http: / / www.21cnjy.com )平行于直线
( http: / / www.21cnjy.com )．
求：（1）切点
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）切线
( http: / / www.21cnjy.com )的方程．
1.2.3导数的运算法则（2）
【学习目标】
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
【重点难点】
重点：复合函数求导法则.
难点：简单复合函数求导法则的应用.
【学法指导】
复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．
【学习过程】
一.课前预习
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝
( http: / / www.21cnjy.com )g(x)，如果通过变量u，y可以表示成
，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作
.
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的
( http: / / www.21cnjy.com )导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
.
即y对x的导数等于___________________________________.
探究点一 复合函数的定义
问题1 观察函数y＝2xcos
x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
问题3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
（1）y＝(3＋5x)2；
（2）y＝log3(x2－2x＋5)；
（3）y＝cos
3x.
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：
（1）y＝ln
；
（2）y＝esin
x；
（3）y＝cos
(x＋1)．
探究点二 复合函数的导数
问题 如何求复合函数的导数？
例2 求下列函数的导数：
（1）y＝(2x－1)4；
（2）y＝；
（3）y＝sin(－2x＋)；
（4）y＝102x＋3.
跟踪训练2 求下列函数的导数．
（1）y＝ln
；
（2）y＝e3x；
（3）y＝5log2(2x＋1)．
探究点三 导数的应用
求曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．
跟踪训练3 曲线y＝e2xcos
3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【当堂检测】
1．函数y＝(3x－2)2的导数为
( )
A．2(3x－2)
B．6x
C．6x(3x－2)
D．6(3x－2)
2．若函数y＝sin2x，则y′等于
( )
A．sin
2x
B．2sin
x
C．sin
xcos
x
D．cos2x
3．若y＝f(x2)，则y′等于
( )
A．2xf′(x2)
B．2xf′(x)
C．4x2f(x)
D．f′(x2)
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
【课堂小结】
1.求简单复合函数f(ax＋b)的导数
2.求简单复合函数的导数，
( http: / / www.21cnjy.com )实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
【课后作业】
1.
求下列函数的导数:
2.求下列函数的导数
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
求下列函数的导数
(1)y=lg
5;
(2)y=2-2x;
(3)y=
( http: / / www.21cnjy.com );
(4)y=2cos2
( http: / / www.21cnjy.com )-1;
(5)y=cos
x·sin
3x;
(6)y=log2
( http: / / www.21cnjy.com ).1.7.2
定积分在物理中的应用
【学习目标】
1.理解定积分的概念与性质，掌握定积分的计算方法.
2.掌握定积分的物理意义并能计算变速直线运动的路程与变力作功这两类问题.
【重点难点】
重点：用定积分计算变速直线运动的路程与变力作功.
难点：对积分物理意义的理解.
【学法指导】
复习物理中的变速直线运动的路程与变力作功等相关内容
【学习过程】
一．课前预习
阅读课本1.7.2节，记下疑惑之处，并回答下列问题：
1．已知路程函数，则物体在第3秒末时的速度是.
2．反过来，若已知速度函数，如何求物体在前3秒内的路程呢？
结论：
（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间上的定积分，即
。
（2）物体在变力
F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与
F
(x)
相同的方向从x
=a
移动到x=b
(a，那么变力F(x）所作的功。
二．课堂学习与研讨
例1．一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7
一3
所示．求汽车在这1
min
行驶的路程．
分析：要求路程，根据定积分的物理意义，只需求出速度函数即可。注意分段函数的表示方法.
动动手：1.一物体沿着直线以的速度运动，求该物体在间行进的路程。
2．以初速度垂直上抛一物体，时刻的速度为，求物体运动到最高点所经过的路程。
例2．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置m
处，求克服弹力所作的功．
动动手：一物体在力，（的单位：，的单位：N）的作用下，沿着与力F
相同的方向，从处运动到处，求力所作的功。
例3．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度紧急刹车至停止.求：
（1）从开始紧急刹车到火车停止所经过的时间；
（2）紧急刹车后至停止火车运行的路程.
【当堂检测】
1．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为，则在秒末时它所在的位置为（）
A．
B．C．
D．
2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（
）
A.
在时刻，甲车在乙车前面
B.
时刻后，甲车在乙车后面
C.
在时刻，两车的位置相同
D.
时刻后，乙车在甲车前面
3.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度v(t)=27-0.9t,则列车刹车后至停车时的位移为( )
A.405
B.540
C.810
D.945
4..由胡克定律知,弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比,现已知1
N的力能使一个弹簧伸长0.01
m,则把弹簧拉长0.1
m所做的功等于( )
A.200
J
B.100
J
C.50
J
D.0.5
J
【课堂小结】
（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v
(t)
(
v(t)
≥0)
在时间区间上的定积分，即
.
（2）物体在变力
F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与
F
(x)
相同的方向从x
=a
移动到x=b
(a，那么变力F(x）所作的功.
（3）要求路程，先找到速度函数，时间作为积分区间；要求作功，先找到变力关于位移的函数关系，位移作为积分区间.
【作业】
课本P60页4,5,6
PAGE
1第一章
导数及其应用
【学习目标】
1.
理清本章知识结构.
2.
体会重要的思想方法.
【重点难点】
重点：理解导数，定积分的概念.
难点：用导数的及定积分解决一些代数问题及实际问题.
【学法指导】
学会对常见解题方法的总结
【学习过程】
一.本章知识结构回顾
二．课堂学习与研讨1：
探究点一 利用导数的几何意义解决切线问题
1.导数的几何意义:函数在点x0处导数就是____________________,即=______.这使得导数与解析几何有了密切的联系,一般地,与曲线的切线有关的问题,都可以借助导数来解决.
2.利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上.若点在曲线上,__________________________
,如果所给点不在已知曲线上,则_____________________________________________________.
【变式训练】
探究点二 利用导数研究函数的单调性
1.求函数单调区间的步骤如下:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)由f'(x)>0(或f'(x)<0)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时f(x)在相应区间上是减函数.
2.已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于
f'(x)≥0(≤0)在区间I上恒成立,由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围.
3.利用导数求函数的单调区间,其实质就是解不等式,不等式的解集就是单调区间,但要注意两点:一是不能忽视函数的定义域,应在定义域的前提下解决问题;二是注意单调区间的写法,如果一个函数有多个增区间(或减区间),一般不能将这几个增(减)区间用符号“∪”连接起来.
【变式训练】
求函数y＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间．
探究点三 利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值与最值
1.应用导数求函数极值的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)解方程f'(x)=0的根;
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号.
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间上的最大值、最小值的方法与步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将①求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
特别地,当f(x)在上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得;当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以判定f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞).
【例3】
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f
(x)在闭区间上的最大值和最小值.
【变式训练】
探究点四 利用导数研究方程与不等式问题
用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式,比较大小,证明不等式等;用导数研究方程问题,主要是指根据方程,构造函数,然后利用导数,研究得到函数的单调性、极值、最值情况,从而结合函数图象来研究方程的根的个数问题、大小问题等.这是导数的重要应用之一,是高考的重点和热点内容.
【变式训练】
求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)
探究点五 函数与方程思想
【例5】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x
cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S
(cm2)最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V
(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【变式训练】 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3
700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5
000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
【课后作业】训练测评p16---p17
PAGE
11.3.3 函数的最值与导数
【学习目标】
理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
【重点、难点】
会用导数求某定义域上函数的最值．
【学法指导】
弄清极值与最值的区别是学好本节的
( http: / / www.21cnjy.com )关键．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.
【学习过程】
一．课前预习
阅读教材P29-31完成下列问题：
1．函数f(x)在闭区间上的最值
函数f(x)在闭区间上的图象是一条连续不
( http: / / www.21cnjy.com )间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在
处或
处取得．
2．求函数y＝f(x)在上的最大值与最小值的步骤：
（1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使
的点；
（2）计算函数f(x)在区间内
( http: / / www.21cnjy.com )
和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
二．课堂学习与研讨
探究点一 求函数的最值
问题1 如图，观察区间上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2 观察问题1的函数y＝f(x)，你能找
( http: / / www.21cnjy.com )出函数f(x)在区间上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
例1 求下列函数的最值：
（1）f(x)＝2x3－12x，x
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）f(x)＝x＋sin
x，x
( http: / / www.21cnjy.com )
跟踪训练1 求下列函数的最值：
（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）f(x)＝ex(3－x2)，x
( http: / / www.21cnjy.com )．
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
（1）若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
（2）求f(x)在区间上的最大值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
探究点三 函数最值的应用
问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
已知函数f(x)＝(x＋1)ln
x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
跟踪训练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈，都有f(x)三．【当堂检测】
1．函数y＝f(x)在上
( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)
( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
3．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是
( )
A．π－1
B．－1
C．π
D．π＋1
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间上的最大值为10，则其最小值为_______
四．【课堂小结】
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
五．【课后作业】
1．已知a≤＋ln
x对任意x∈恒成立，则a的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知函数
( http: / / www.21cnjy.com ),过曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上的点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）若函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处有极值，求
( http: / / www.21cnjy.com )的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )上的最大值；
（3）若函数
( http: / / www.21cnjy.com )在区间
( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增，求实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围1.2.2
导数的四则运算（1）
【学习目标】
1理解两个函数的和、差、积、商的导数法则，能用法则求一些函数的导数．
2．能够综合运用各种法则求函数的导数．
【重点难点】
重点：函数的和、差、积、商的求导法则．
难点：函数的积、商的求导法则的综合应用．
【学法指导】
熟练函数的和、差、积、商的求导法则
【学习过程】
一.课前预习
预习教材1.2.2节的内容，记下困惑处并完成下列问题．
1.八个基本求导公式：
( http: / / www.21cnjy.com )；（
( http: / / www.21cnjy.com )为常数）
( http: / / www.21cnjy.com )；(
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )．
2.导数的四则运算：
若y=f(x)，y=g(x)
的导数存在，则
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )．
二．课堂学习与研讨
例1.求下列函数的导数．
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )．
动动手：求下列函数的导数（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
例2.已知曲线
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求曲线在
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程；
（2）求曲线过点
( http: / / www.21cnjy.com )的切线方程.http://www./
例3.偶函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象过点
( http: / / www.21cnjy.com )，且在
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的解析式.
【当堂检测】
1．下列四组函数中导数相等的是
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．下列运算中正确的是
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．设
( http: / / www.21cnjy.com )则
( http: / / www.21cnjy.com )等于
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．对任意的
( http: / / www.21cnjy.com )，有
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则此函数解析式可以为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程为
（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【课堂小结】
1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数
( http: / / www.21cnjy.com )的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则．在求导之前，先利用代数或三角恒等变形等方法对函数进行化简，然后再求导．
2.函数和、差、积、商的导数运算法则可以推广到有限个函数的导数的四则运算法则．
【课后作业】
1已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
若函数f(x)=exsin
x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( )
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.0
C.钝角
D.锐角
3．已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=( )
A.0
B.-4
C.-2
D.2
4．设曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在x=1处的切线方程是
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
5.设曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上一点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线
( http: / / www.21cnjy.com )平行于直线
( http: / / www.21cnjy.com )．
求：（1）切点
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）切线
( http: / / www.21cnjy.com )的方程．1.1.1
变化率问题（1）
【学习目标】
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程
体会数学的博大精深以及学习数学的意义.
2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
【重点难点】
重点：掌握平均变化率的概念.
难点：对平均变化率的概念的理解
【学法指导】
认真阅读课本，从日常生活中体会平均变化率.
【学习过程】
一．课前预习
阅读课本1.1.1节找出疑惑.
二．课堂学习与研讨1
问题1.气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？
问题2高台跳水，求平均速度.
新知1.
平均变化率
( http: / / www.21cnjy.com ).
试试：设
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
是数轴上的一个定点，在数轴
( http: / / www.21cnjy.com )
上另取一点
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
与
( http: / / www.21cnjy.com )
的差记为
( http: / / www.21cnjy.com )
，即
( http: / / www.21cnjy.com )
或者
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )就表示示从
( http: / / www.21cnjy.com )
到
( http: / / www.21cnjy.com )的变化量或增量，相应地，函数的变量或增量记为
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )
；
如果它们的比值
( http: / / www.21cnjy.com )
，则上式就表示为
，
此比值就称为平均变化率.
思考：
1.
所谓平均变化率也就是
的增量与
的增量的比值.
2.
观察图形，你能看出平均变化率的几何意义吗？
课堂学习与研讨2
例1
．过
曲
线
( http: / / www.21cnjy.com )上
两
点
( http: / / www.21cnjy.com )
和
( http: / / www.21cnjy.com )
作曲线的割线，求出当
( http: / / www.21cnjy.com )时割线的斜率.
动动手。已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象上一点
( http: / / www.21cnjy.com )及邻近一点
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
例2
.已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )
，分别计算
( http: / / www.21cnjy.com )
在下列区间上的平均变化率：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）
( http: / / www.21cnjy.com ).
动动手。1.
某婴儿从出生到第12
个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3
个月与第
6个月到第12
个月该婴儿体重的平均变化率.
.
2.
已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )
分别计算在区间
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )上
( http: / / www.21cnjy.com )及
( http: / / www.21cnjy.com )
的平均变化率.
探究点三 平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2
(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
【当堂检测】
1．函数f(x)＝5－3x2在区间上的平均变化率为__________
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在这段时间内的平均速度为________
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．
4．设函数
( http: / / www.21cnjy.com )，当自变量
( http: / / www.21cnjy.com )由
( http: / / www.21cnjy.com )改变到
( http: / / www.21cnjy.com )时，函数的改变量
( http: / / www.21cnjy.com )为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【课堂小结】
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
（2）计算平均变化率＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
【课后作业】
1.函数f(x)=4x-3在区间上的平均变化率为a,在区间上的平均变化率为b,则有( )
A.a>b
B.
aC.a=b
D.a与b大小不确定
2．质点运动动规律
( http: / / www.21cnjy.com )，则在时间
( http: / / www.21cnjy.com )中，相应的平均速度为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )附近的平均变化率是
.1.1.3导数的几何意义
【学习目标】
1．理解导数的几何意义.
2．掌握平均变化率与割线的斜率之间的关系.
3．体会从形的角度探究导数的几何意义.
【重点难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合”的思想方法.
难点：发现、理解及应用导数的几何意义.
【学法指导】
学习过程中注意紧扣定义.
【学习过程】
注意运用“数形结合”的
思想方法.
一.课前预习
阅读课本1.1.3，找出疑惑之处.
学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题1、当点
( http: / / www.21cnjy.com )
沿着曲线
( http: / / www.21cnjy.com )趋近于点
( http: / / www.21cnjy.com )时，割线的变化趋势是什么？
新知1：当割线
( http: / / www.21cnjy.com )无限地趋近于某一极限位置
( http: / / www.21cnjy.com ).我们就把极限位置上的直线
( http: / / www.21cnjy.com )，叫做曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线.
割线的斜率是：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，当点
( http: / / www.21cnjy.com )沿曲线趋近于点
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )无限趋近于切线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率．因此，函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数就是切线
( http: / / www.21cnjy.com )的斜率
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ).
新知2：函数
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数的几何意义是曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )处切线的斜率，即
( http: / / www.21cnjy.com ).
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
二.课堂学习与研讨
例1.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象，根据图象，请描述、比较曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在
( http: / / www.21cnjy.com )附近的变化情况.
例2.求函数
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率，并写出切线方程．
动动手:
1．求
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的导数.
2．求双曲线
( http: / / www.21cnjy.com )在点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的斜率，并写出切线方程.
【当堂检测】
1．已知曲线
( http: / / www.21cnjy.com )上一点，则点
( http: / / www.21cnjy.com )处的切线斜率为（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______
3．8.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则= .
【课堂小结】
1．导数f′(x0)的几何意义是曲
( http: / / www.21cnjy.com )线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是
( http: / / www.21cnjy.com )一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已
( http: / / www.21cnjy.com )知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.1.4生活中的优化问题举例(2)
【学习目标】
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
【重点难点】
重点：是数学建模，将生活中的问题数学化.
难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
【学法指导】
1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．
2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
【学习过程】
【双基自测】
1．函数f
(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上
( )
A．单调递增
B．单调递减
C．有最大值
D．有最小值
2.某公司的盈利y(元)和时间
( http: / / www.21cnjy.com )x(天)的函数关系是y=f(x),假设f(x)>0恒成立,且f'(10)=10,f'(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较( )
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小
3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间上的最小值为
( )
A．－1
B．0
C．－
D．
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为
( )
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题型三 省时高效、费用最低问题
例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，
( http: / / www.21cnjy.com )海岛离岸边最近点B的距离是150
km.在岸边距点B
300
km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50
km，船时速为30
km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？
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跟踪训练3 有甲、乙两城，甲城位于一直线形
( http: / / www.21cnjy.com )河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
跟踪训练4 某商场销售某种
( http: / / www.21cnjy.com )商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大
题型四 强度最大、用料最省问题
例4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
( http: / / www.21cnjy.com )时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用容积最大？
【当堂检测】
1.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为 .
2.三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,
OC=2x,OA=x,OB=y,且
( http: / / www.21cnjy.com ),则三棱锥O-ABC体积的最大值为
( )
A.4
B.8
C.
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D
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【课堂小结】
导数作为一种重要的工具，
( http: / / www.21cnjy.com )在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
【作业】
1．用长为90cm，宽为4
( http: / / www.21cnjy.com )8cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
2.
经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2016年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的费用,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”期间的销售量p万件与促销费用x(0≤x≤a,a为正常数)万元满足
( http: / / www.21cnjy.com )已知生产该批产品p万件需投入成本
( http: / / www.21cnjy.com )万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
( http: / / www.21cnjy.com )元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(2)投入促销费用多少万元时,厂家获得的利润最大
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