第一讲 命题与充分必要条件(解析版）（选修2-1）

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第一讲 命题与充分必要条件
A组
一、选择题
1．下列四个命题中的真命题是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过任意两个不同点、的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点的直线都可以用方程表示
【答案】B
【解析】由题意得，A中，直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，所不正确；C中，直线的截距式方程，不能表示与坐标轴平行的直线和过原点的直线，所以不正确；D中直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线，所以不正确，故选B．21·世纪*教育网
2．两条直线，互相垂直的充分必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】两直线垂直满足斜率之积为，不能写成分式，因为这样会漏掉斜率不存在与斜率为时也成立，即.2-1-c-n-j-y
3．设，且，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，由，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．
B．，使得函数是偶函数
C．，使得
D．，使是幂函数，且在上递减
【答案】A
【解析】当时，，A错．故选A．
5．给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①存在 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )成立；
②对于任意的三个平面向量、、，总有成立；
③相关系数 ( http: / / www.21cnjy.com ) （ ( http: / / www.21cnjy.com )）， ( http: / / www.21cnjy.com )值越大，变量之间的线性相关程度越高.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为，，故①为假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为1，故选B．21*cnjy*com
6．下列命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题，使得，则，均有；
②是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件；
③命题“若，则”的逆否命题为真命题；
④“”是“直线与直线垂直”的充要条件．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①中，均有，④中两直线垂直的充要条件是 ，故①、④错误，②、③正确，因此选B.
7．设原命题为：“若空间两个向量与（）共线，则存在实数，使得”则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．2 C．3 D．4
( http: / / www.21cnjy.com )8．一元二次不等式的解集为的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次不等式的解集为，，因此其必要不充分条件是.
9．下列判断错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若为真命题，则，均为假命题
D．若，则
【答案】C
【解析】由，得，进而可得，而成立时，不一定成立（）,因此A正确；对于B,符合全称命题的否定原则，也正确；对于D,，故正确；因为为真命题，所以为假命题，而一真一假也合题意，故C不正确，故选C.www-2-1-cnjy-com
10．下列说法正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )，“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件
B．“ ( http: / / www.21cnjy.com )为真命题”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )为真命题”的必要不充分条件
C．命题“ ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是：“ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )”
D．命题 ( http: / / www.21cnjy.com )：“ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )”，则是真命题
【答案】A
【解析】对于A，由于当 ( http: / / www.21cnjy.com )时一定有 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的必要条件，又因为 ( http: / / www.21cnjy.com )时不能推出 ( http: / / www.21cnjy.com )，如，所以所以“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的不充分条件，综上可知“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件，故可知选A.【来源：21cnj*y.co*m】
11．给出下列三个命题：
①若“或”为假命题，则均为真命题；
②命题“若且，则”的逆否命题为假命题；
③在中，“”是“”的充要条件，
其中正确的命题个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 “或”为假命题，两个都是假命题，故①正确；对于②，原命题为真命题，故逆否命题为真命题，②错误；对于③，在三角形，“”与“”可互推，正确.一共有个正确，选B.【出处：21教育名师】
12．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题
B．命题（是自然对数的底数），命题，则为真
C．“”是“”成立的必要不充分条件
D．若为假命题，则均为假命题
【答案】C
【解析】很容易验证都是正确的,对于答案当时, 也不一定成立,故不必要,因此该答案C是错误的,应选C.21·cn·jy·com
13．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天拉萨要下雨”是必然事件
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】三个球全部放入两个盒子，两个盒子中球的个数为，①正确；当为某一实数时，，②正确；“明天拉萨要下雨”是随机事件，③错误；从100个灯泡中取出5个，有可能5个都是次品，④正确；选D.【版权所有：21教育】
二、填空题
14．有下列4个说法
①集合，，若，则；
②方程的解的个数为3个；
③函数与函数的图象关于直线对称；
④函数的值域为时，则
其中正确的题号为___________．（写出所有正确说法的题号）
( http: / / www.21cnjy.com )15．下列四个命题：
① 命题“若,则” 的否命题是“若,则” ；
②若命题,则;
③若命题“” 与命题“或” 都是真命题, 则命题一定是真命题;
④命题“若,则” 是真命题.
其中正确命题的序号是 ．（把所有正确的命题序号都填上）
【答案】② ③
【解析】命题“若,则” 的否命题是“若,则” ；①错；若命题,则;②对；③若命题“” 与命题“或” 都是真命题, 则命题一定是假，因此命题一定是真命题; ③对；“若,则，④错.21教育名师原创作品
16．设直线系，对于下列四个命题：
A．中所有直线均经过一个定点
B．存在定点不在中的任一条直线上
C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在中的直线上
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【答案】BC
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
17．用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：
①若函数，则的值域为；
②若，则方程有三个根；
③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；
④若，则的概率为.
则下列正确命题的序号是______________.
【答案】①②④
【解析】由定义,所以其值域为,故①正确；由于,因此可求得,所以②正确；对于③,如取数列成等差数列,但不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.
三、解答题
18．已知实数满足，其中实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）对由得，
因为，所以
当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．
又为真时实数的取值范围是
若为真，则真且为真，
所以实数的取值范围是
（2）是的必要不充分条件 ，即，且，
设，则是的真子集
又；
所以有解得，所以实数的取值范围是
B组
一、选择题
1．给出下列命题：其中正确命题的序号是（ ）
①已知,若,则=1, =4
②不存在实数,使
③ 是函数的一个对称轴中心
④已知函数.
A．①② B．②④ C．①③ D． ④
【答案】B
【解析】①由题意得，即，解得.故错误；
②因为，即不存在，所以正确；
③因为函数的对称中心为，即,解得；当时，；所以是函数的一个对称中心.故错误；
④因为在锐角三角形中，，所以，；则有，；又因为函数在上为减函数，所以.故正确.
2．下列命题正确的是（ ）
A．已知实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，则“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的必要不充分条件
B．“存在 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )”的否定是“对任意 ( http: / / www.21cnjy.com )，均有 ( http: / / www.21cnjy.com )”
C．函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的零点在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )内
D．设 ( http: / / www.21cnjy.com )是两条直线， ( http: / / www.21cnjy.com )是空间中两个平面，若 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )则 ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】由不等式的性质知“ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“ ( http: / / www.21cnjy.com )”的既不必要也不充分条件．A错；全称命题和特称命题的否定,转换量词并且将结论否定,本题中否定应为对任意 ( http: / / www.21cnjy.com )，均有 ( http: / / www.21cnjy.com ),B错；两平行平面中存在两异面垂直的直线．D错．故本题答案选C．
3．给出下列四个命题：
（1）若 ( http: / / www.21cnjy.com )为假命题，则 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )均为假命题；
（2）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是；
（3）已知函数则；
（4）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是.
其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】（1）根据复合命题的真假关系可知，若 ( http: / / www.21cnjy.com )为假命题，则 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )均为假命题，故①正确
（2）命题“”为真命题，则，∵，
∴∈[1，4），则，则是命题为真命题的一个必要不充分条件，
故（2）错误，
（3）已知函数，则，则；故（3）正确，
（4）若函数的定义域为R，则等价为，当时，不等式，等价为，此时满足条件，故则实数的取值范围是错误．故（1）（3）正确21cnjy.com
4．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线与圆相切
或，故为充分不必要条件，选A.
5．“对任意的正数，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，对任意的正数，由均值不等式可知成立；当对任意的正数，恒成立时，对任意的正数恒成立，因为，所以有，由此可知对任意的正数，为的必要不充分条件，故选B.www.21-cn-jy.com
6．已知函数，则“”是“函数有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数有零点，即方程有根，，因为，所以；反之，有零点不能推出，如：，，所以是充分不必要条件.2·1·c·n·j·y
7．已知集合，有下列四个命题：；；；．其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程的焦点在轴的椭圆，其中，所以焦点,,椭圆上的点到点的距离为，即，所以正确，故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
8．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分条件，
所以由能推出，而由推不出，，
故选B．
9．已知奇函数，当时，.给出下列命题：
①； ②对，；
③，使得； ④，使得.
其中所有正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】当时，，只说明最大值，与定义域无关，故①错误；对于②，函数可能，则，故②错误；对于③，当不在其定义域内，且轴为渐近线时，不满足③；当为渐近线时，不满足④；故选项为A.
10．设，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A .或 B. C. D.
【答案】B
【解析】，当时，
，若，
则且，所以，故选B.
11．对于数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性显然成立，必要性不成立，如数列中，不满足
，故选B.
二、填空题
12．下列四个命题：
①“如果，则、互为相反数”的逆命题；
②“如果，则”的否命题；
③在△中，“”是“”的充分不必要条件；
④“函数为奇函数”的充要条件是“”.
其中真命题的序号是____________．
【答案】①②
【解析】对于①：其逆命题是“如果、互为相反数，则”，显然正确；对于②：否命题是“如果，则”，由得，此时显然成立，故②为真；对于③：当时，，不满足结论，故③为假；对于④：函数为奇函数，当时，或不存在，则应有或，，故不满足充分性，故④错误.21教育网
13．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的________条件．
【答案】充分而不必要
【解析】当时，，当时，可得或，所以“”是“”的充分而不必要条件.
三、解答题
14．已知数列的前项和，求数列是等比数列的充要条件.
( http: / / www.21cnjy.com )15．已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件
（2）当实数时，是的必要条件
【解析】.
（1）要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，
①当时，，解得；
②当时，，解得，
要使，则有（两个等号不同时成立），解得，所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．
16．求证：一元二次方程的两根都大于是的一个充分不必要条件．
【解析】证明：先证充分性：设两根为，即，，
可得成立；
再证不必要性：若成立，不一定有两根都大于.如：，时，，，但不成立，从而原命题得证．
17．已知集合，集合.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
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