2017-2018高一数学人教A版必修2教案：3.2.3+直线的一般式方程
课题
3.2.3
直线的一般式方程（1课时）
修改与创新
教学目标
1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直
( http: / / www.21cnjy.com )线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.
教学重、难点
教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A（
( http: / / www.21cnjy.com )1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、=1、、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程 ②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线 ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化 ④特殊形式如何化一般式 一般式如何化特殊形式 特殊形式之间如何互化 ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义 什么场合下需要化成其他形式 各种形式有何局限性 讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的
( http: / / www.21cnjy.com )方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-x-，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-，在y轴上的截距为-的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-，表示一条与y轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,
( http: / / www.21cnjy.com )y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必
( http: / / www.21cnjy.com )能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
( http: / / www.21cnjy.com )图1⑤列表说明如下：形
式方程局限各常数的几何意义点斜式y-y1=k(x-x1)除x=x0外(x1,y1)是直线上一个定点,k是斜率斜截式y=kx+b除x=x0外k是斜率,b是y轴上的截距两点式除x=x0和y=y0外(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点截距式=1除x=x0、y=y0及y=kx外a是x轴上的非零截距,b是y轴上的非零截距一般式Ax+By+C=0无当B≠0时,-是斜率,-是y轴上的截距应用示例
例1
已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-的直线方程的点斜式方程为y+4=-(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线 （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交 （3）系数满足什么条件时,只与x轴相交 （4）系数满足什么条件时,是x轴 （5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-例2
把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x－2y＋6=0，①移项，去系数得斜截式y=＋3.
②由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线l（图2）.
( http: / / www.21cnjy.com )图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练
直线l过点P(-6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.知能训练课本本节练习1、２、３.拓展提升求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组,得.∴直线恒过(2,3)点.课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.作业习题3.2
A组11.
板书设计
教学反思2017—2018高一数学人教
A版必修2教案：3.2.2+直线的两点式方程
课题
3.2.2
直线的两点式方程（1课时）
修改与创新
教学目标
1.让学生掌握直线方程两点式和截距
( http: / / www.21cnjy.com )式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重、难点
教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢 提出问题①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要
( http: / / www.21cnjy.com )求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x1≠x2,k=,∴直线的方程为y-y1=(x-x1).∴l的方程为y-y1=(x-x1).①当y1≠y2时,方程①可以写成.②由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的
( http: / / www.21cnjy.com )直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的
( http: / / www.21cnjy.com )两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程
( http: / / www.21cnjy.com )；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得.①就是=1.②注意：②这个方程形式对称、美观,其中a
( http: / / www.21cnjy.com )是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为.②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x1≠x2,y1≠y2).④=1.⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例例1
求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练
已知Rt△ABC的两直角边AC=3
( http: / / www.21cnjy.com )，BC=4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2
如图1,已知三角形的顶点是A(－5，
0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.
( http: / / www.21cnjy.com )图1活动:根据A、B、C三点坐标
( http: / / www.21cnjy.com )的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.解：AB所在直线的方程，由两点式,得,即3x+8y+15=0.BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.AC所在直线的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.变式训练
如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.
( http: / / www.21cnjy.com )图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以
( http: / / www.21cnjy.com )可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ，MN，x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ，MN应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=.因此A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).所以AB所在直线的方程是=1,即x+y-2=0.BC所在直线的方程是=1,即x-y+2=0.CD所在直线的方程是=1,即x+y+2=0.DA所在直线的方程是=1,即x-y-2=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.课堂小结
通过本节学习，要求大家：掌握直
( http: / / www.21cnjy.com )线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.作业课本习题3.2
A组9、10.
板书设计
教学反思2017--2018
高一数学人教A版必修2教案：3.2.1+直线的点斜式方程
课题
3.2.1
直线的点斜式方程
修改与创新
教学目标
1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，
( http: / / www.21cnjy.com )掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
教学重、难点
教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：
一次函数y=kx+b的图象是一条直
( http: / / www.21cnjy.com )线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程 ③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？⑥已知直线l的斜率k且l经过点（０，ｂ），如何求直线l的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k、b即可；b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.②设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得y－y1=k(x－x1).③方程导出的条件是直线l的斜率k存在.④a.x=0；b.x=x1.⑤启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直线l才是整条直线.⑥y=kx+b.应用示例例1
一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.
( http: / / www.21cnjy.com )图1解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练
求直线y=-(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2
如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论:（1）当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα
( http: / / www.21cnjy.com )1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1∥l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1≠b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，直线l1∥l2k1=k2且b1≠b2.(2)l1⊥l2k1k2=-1.变式训练
判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2)l1:y=x,
l2:y=-x.答案：(1)平行；(2)垂直.例3
已知直线l1：y=
( http: / / www.21cnjy.com )4x和点P(6，4)，过点P引一直线l与l1交于点Q，与x轴正半轴交于点R，当△OQR的面积最小时，求直线l的方程.活动:因为直线l过定点P(6，4)，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y－4=k(x－6),当l的方程为x=6时，△OQR的面积为S=72；当l的方程为y－4=k(x－6)时，有R(,0)，Q（,)，此时△OQR的面积为S=××=.变形为(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S有最小值40.因此，直线l的方程为y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.
( http: / / www.21cnjy.com )如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练
如图2，要在土地ABCDE
( http: / / www.21cnjy.com )上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1
m2）（单位：m）.
( http: / / www.21cnjy.com )图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.∵AB方程为=1,则设P(x,20-)(0≤x≤30),则S矩形=(100-x)［80-(20-)］=-(x-5)2+6
000+(0≤x≤30),当x=5时，y=，即P（5，）时，(S矩形)max=6
017(m2).例2
设△ABC的顶点A(1，3
( http: / / www.21cnjy.com ))，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC的中点为F，AC边上的中线BF：y=1.
( http: / / www.21cnjy.com )图3AB边的中点为E，AB边上中线CE：x－2y＋1=0.设C点坐标为(m，n),则F().又F在AC中线上,则=1,∴n=-1.又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m－2n＋1=0.∴m=－3.∴C点为(－3，－1).设B点为(a,1),则AB中点E(),即E(,2).又E在AB中线上,则-4+1=0.∴a=5.∴B点为(5，1).由两点式,得到AB，AC所在直线的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2
A组2、3、5.
板书设计
教学反思
