2017--2018高一数学人教A版必修2教案：3.3.1+两条直线的交点坐标
课题
3.3.1
两条直线的交点坐标（1课时）
修改与创新
教学目标
1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
教学重、难点
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线
( http: / / www.21cnjy.com )上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.提出问题①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ);
(ⅱ);
(ⅲ).如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax+By+C=0点A在直线上直线l1与l2的交点A②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即直线l1、l2联立得方程组
(代数问题)
(几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)≠;(ⅱ);(ⅲ)≠.一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组.注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合.应用示例例1
求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.解:解方程组得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2).变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组得所以l1与l2相交,交点是(,).(2)解方程组①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.(3)解方程组①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3
求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-，∴所求直线斜率为-.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0.解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m=0，∵l经过点A(1，－4),∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x＋3y＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握
( http: / / www.21cnjy.com ).解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0.变式训练
求与直线2x＋3y＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线方程.答案：2x+3y-1=0.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升问题：已知a为实数，两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围.解:解方程组,得.若＞0，则a＞1.当a＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有a2+1≥1＞0，故≠0.因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x轴上，交点(－)不在x轴上.课堂小结
本节课通过讨论两直线方程联立方程组
( http: / / www.21cnjy.com )来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.作业课本习题3.3
A组1、2、3,选做4题.
板书设计
教学反思2017--2018高一数学人教A版必修2教案：3.3.2+两点间的距离
课题
3.3.2
两点间的距离（1课时）
修改与创新
教学目标
1.使学生掌握平面内两点间
( http: / / www.21cnjy.com )的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.
教学重、难点
教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求 (2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求 ②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③
( http: / / www.21cnjy.com )图1
在直角坐标系中，已知两点P1(
( http: / / www.21cnjy.com )x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.
因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=.④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1
如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )图2解:设B(x，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢
( http: / / www.21cnjy.com )掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2
已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x，0)，于是有.由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|==2.知能训练课本本节练习.拓展提升已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式≥2中的等号成立的条件.答案：x=y=.课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.作业课本习题3.3
A组6、7、8；B组6.
板书设计
教学反思2017--2018高一数学人教A版必修2教案：3.3.4+两条平行直线间的距离
课题
3.3.4
两条平行直线间的距离（1课时）
修改与创新
教学目标
1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
教学重、难点
教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课点P(0,5)到直线y=2x的距离
( http: / / www.21cnjy.com )是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢 这节课我们就来专门研究这个问题.提出问题①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么 各种做法的优缺点是什么 ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d= 学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不
( http: / / www.21cnjy.com )变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).∴P′N=.
(
)∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(
)得|P′N|=即d=,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1
求点P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2
已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.|AB|=，AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=，因此，S△ABC=×=5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练
求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.例3
求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案：.知能训练课本本节练习.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，则直线MO′的方程为y-3=x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.作业课本习题3.3
A组9、10；B组2、4.
板书设计
教学反思
