2017--2018高一数学人教A版必修2教案：4.1.2+圆的一般方程
课题
4.1.2
圆的一般方程
修改与创新
教学目标
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解
( http: / / www.21cnjy.com )记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件,通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化
( http: / / www.21cnjy.com )为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
教学重、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.③指出:如果D=-2a,E=-
( http: / / www.21cnjy.com )2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢 这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法 ②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢 ③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点 讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学
( http: / / www.21cnjy.com )习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.因此式子(x+)2+(y+)2=.(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+E
( http: / / www.21cnjy.com )y+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.
我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
⑤圆的一般方程形式上的特点:
x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例例1
判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax2+By2
( http: / / www.21cnjy.com )+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练
求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2
求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-),
①AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-),
②联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x－a)2＋
( http: / / www.21cnjy.com )(y－b)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即解此方程组得所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准
( http: / / www.21cnjy.com )方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3
已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思
( http: / / www.21cnjy.com )考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
( http: / / www.21cnjy.com )图1解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N,则N为OP的中点,即N(5,0).因为|MN|=|OQ|=2(定长).所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上
( http: / / www.21cnjy.com )的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).因为M是PQ的中点,所以
(
)又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(
)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).②求出点M与点Q坐标间的关系
(Ⅰ)③从(Ⅰ)中解出
(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.
①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.所以点M的轨迹是以(,)为圆心,半径长为1的圆.知能训练课本练习1、2、3.拓展提升问题：已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),由消去y得5x2+4m-60=0.
①由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.由韦达定理因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2
( http: / / www.21cnjy.com )-(y1+y2)+2=0.
②因为y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F＞0时,方程表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业习题4.1
A组1、6,B组1、2、3.
板书设计
4.1.2
圆的一般方程圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
例1D2+E2-4F＞0
变式
例2
例3
变式
教学反思
这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被
( http: / / www.21cnjy.com )动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.2017--2018高一数学人教A版必修2教案：4.1.1+圆的标准方程
课题
4.1.1
圆的标准方程
修改与创新
教学目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半
( http: / / www.21cnjy.com )径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的
( http: / / www.21cnjy.com )标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.
教学重、难点
教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课同学们,我们知道直线可以用
( http: / / www.21cnjy.com )一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢 这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离 若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离 ②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
( http: / / www.21cnjy.com )图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么 ⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程 ⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式,得|AB|=,|CD|=.②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知
( http: / / www.21cnjy.com ),点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy
( http: / / www.21cnjy.com )项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么 ②确定圆的方程的方法和步骤是什么 ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系 如何判断 讨论结果：①圆的标准方程(x－a)
( http: / / www.21cnjy.com )2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.应用示例例1
写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|==5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2
写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标
( http: / / www.21cnjy.com )与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3
△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的
( http: / / www.21cnjy.com )标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程
(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6).
①同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3
( http: / / www.21cnjy.com ).5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).
②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的
( http: / / www.21cnjy.com )外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路..变式训练
一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以解得所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(,),所以弦OP的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-5=0.因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,所以由解得,即圆心坐标为C(-,).又因为圆的半径r=|OC|=,所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3
求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r==.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d==.又直线y=x-1被圆截得弦长为2,所以由弦长公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆
( http: / / www.21cnjy.com )心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d==2,所以半径为r==1.方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=,得,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x组成的方程组得,因此圆心坐标为(,).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程组因此圆心坐标为(,).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1
A组第2、3题.
板书设计
4.1.1
圆的标准方程圆的标准方程的推导
例1圆的标准方程
例2点与圆的位置关系
变式
教学反思
圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标
( http: / / www.21cnjy.com )准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.
