2017--2018高一数学人教A版必修2教案：4.3.2+空间两点间的距离公式
课题
4.3.2
空间两点间的距离公式
修改与创新
教学目标
1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间
( http: / / www.21cnjy.com )两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.
教学重、难点
教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学
( http: / / www.21cnjy.com )生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.
( http: / / www.21cnjy.com )图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2
( http: / / www.21cnjy.com )=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.
( http: / / www.21cnjy.com )图2⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=.再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|==.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=.于是空间两点之间的距离公式是d=.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1
已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路
( http: / / www.21cnjy.com ),已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得x==2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3).根据两点间距离公式,得d(A,B)=,所以AB的长度为.(2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等,所以有下面等式：.化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两
( http: / / www.21cnjy.com )点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.变式训练
在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2
证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得：|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以△ABC是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练
三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师
( http: / / www.21cnjy.com )及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以|AB|==3,|BC|=,|CA|==3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.例3
已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为(
)A.0
B.
C.
D.活动：学生阅读题目,思考解决问
( http: / / www.21cnjy.com )题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|===.当x=时,|AB|的最小值为.故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法.知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P—ABC(如图4),PA⊥
( http: / / www.21cnjy.com )平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.
( http: / / www.21cnjy.com )图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(m,m,0),∴E(m,0,0).在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m,∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30°,即直线AB与x轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3
A组3,B组1、2、3.
板书设计
4.3.2
空间两点间的距离公式平面两点间的距离公式
例1空间两点间的距离公式
变式
例2
变式
教学反思
本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式
( http: / / www.21cnjy.com )入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.2017--2018高一数学人教A版必修2教案：4.2.2+圆与圆的位置关系
项目
内容
课题
4.2.2
圆与圆的位置关系
修改与创新
教学目标
使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定
( http: / / www.21cnjy.com )方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.
教学重、难点
教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.
教学准备
多媒体课件
教学过程
导入新课平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:
( http: / / www.21cnjy.com )第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系：外离外切相交内切内含d＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|
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在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：
教师引导学生回顾学过的知识、举例,
( http: / / www.21cnjy.com )并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一
( http: / / www.21cnjy.com )是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；
二是看两圆的方程组成的方程组的
( http: / / www.21cnjy.com )实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例例1
已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,
( http: / / www.21cnjy.com )判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组①-②得x+2y-1=0,
③由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0.
④方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交.方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8
( http: / / www.21cnjy.com )=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5;圆C2的圆心是点(2,
2),半径长r2=.圆C1与圆C2的连心线的长为=3,圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+,半径长之差为r1-r2=5-.而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2,所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观.变式训练
判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d==5.因为d=r1+r2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距d=.因为|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以两圆相交.例2
已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流
( http: / / www.21cnjy.com ),探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组①-②,得3x-4y+6=0.因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C1到直线的距离为d==.所以AB=2,即两圆的公共弦长为.点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.知能训练课堂练习P141练习题课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题4.2
A组8、9、10、11.
板书设计
4.2.2
圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系：
例1相离、外切、相交、内切、内含
变式
例2
教学反思
本节课研究圆与圆的位置关
( http: / / www.21cnjy.com )系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法,但用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的基本方法..前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解
