13.1.2线段的垂直平分线（第1课时）
【当堂达标】
选择题：
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．
AB垂直平分CD
B．
CD垂直平分AB
C．
AB与CD互相垂直平分
D．
CD平分∠ACB
3．下列说法中错误的是（ ）
A．
过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线
B．
线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等
C．
线段有且只有一条垂直平分线
D．
线段的垂直平分线是一条直线
4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．
三边垂直平分线的交点
B．
三条角平分线的交点
C．
三条高的交点
D．
三边中线的交点
5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（ ）
A．
100°
B．
105°
C．
115°
D．
120°
6．（2016 南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM=BM
B．AP=BN
C．∠MAP=∠MBP
D．∠ANM=∠BNM
填空题：
7、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，
则△ABD的周长为 _________ cm．
如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于
D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．
三、解答题：
9．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
【拓展应用】
10．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：AD垂直平分EF．
自评
师评
【学习评价】
参考答案：
1．B
2．A
3．A
4．
A
5．C
6.解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，故选B．
7.13,8.6；
9.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；
（2）证明△ABC≌△ADC．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．
10.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF
PAGE第十三章
轴对称
13.1.2线段的垂直平分线（第1课时）
【教材分析】
教学目标
知识技能
1．理解线段垂直平分线的性质．2．能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题．3．能用尺规作线段的垂直平分线,了解作图的道理．
过程方法
在探索问题的过程中体会知识间的相互转化关系
情感态度
培养学生的应用意识和探究精神。
重点
线段垂直平分线性质定理及其逆定理.
难点
运用线段垂直平分线的性质及其逆定理解决有关问题．
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
在某公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？
教师提出问题，学生思考教师书写课题
自主探究合作交流自主探究合作交流
[探究1]如图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…推理论证：已知：PC垂直平分AB求证：PA=PB
证明：
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC
∴
PA=PB.线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB，P点在l上，∴
PA
=PB．
[探究2]猜想：反过来，如果PA
=PB，那么点P
是否在线段AB
的垂直平分线上语言叙述：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知： PA
=PB，求证：点P
在AB
的垂直平分线上．
证明：过点P
作PC⊥AB
，垂足为C．则∠PCA
=∠PCB
=90°．在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，∵ PA
=PB，PC
=PC，∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．∴
AC
=BC．又
PC⊥AB，∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上
两个定理是什么关系？
教师追问：你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？
线段垂直平分线是到线段两端点的距离相等的所有点的集合例1、尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它过C点作法：
1.在直线AB的另一侧任取一点K.2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.3.分别以点D和E为圆心，以大于
DE长为半径画弧，两弧相交于F.4.作直线CF.直线C
F就是所求的垂线.
教师出示问题，引导学生观察、测量、思考、交流、猜想引导学生画图、测量、讨论、猜想、发现规律叙述规律；教师点拨、引导、帮组、鼓励教师引导学生分析题意、画出符合题意的图形，写出已知、求证；分析，写出证明过程，师生共同评价教师出示问题，学生独立思考，并小组讨论，辅助线的做法是关键，必要时由老师引导学生得出答案，完成证明过程。学生完成符号语言的书写，归纳两个定理的关系，教师指出在线段AB
的垂直平分线l
上的点与A，B
的距离都相等；反过来，与A，B
的距离相等的点都在直线l上，所以直线l
可以看成与两点A、B
的距离相等的所有点的集合．教师用问题串提问学生，学生作答。并在黑板上板书作图过程，口述做法，学生观察并思考问题。最后在学案上完成作图。
尝试应用
1.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有
（
）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2.如图，NM是线段AB的垂直平分线,下列说法正确的有：
.①AB⊥MN,②AD=DB，
③MN⊥AB，
④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.3.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=_____
.4、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
教师出示问题，引导组织学生练习学生先自主思考，再合作交流，师生共同评价C①②③4cm10;20o
成果展示
欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？
师引导学生归纳总结.梳理知识，并建立知识体系.
补偿提高
5.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D.求△BCD的周长.
教师出示问题，引导组织学生练习学生先自主思考，再合作交流，师生共同评价
5、解：∵ED是线段AB的垂直平分线.∴
BD=AD∵
△BCD的周长=BD+DC+BC∴
△BCD的周长=AD+DC+BC=AC+BC=12+7=19
作业设计
习题13.1
课本P65
6题课本P66
9题
12题（选做）
学生认定作业，课下独立完成
PAGE13.1.2线段的垂直平分线的性质（第1课时）
【学习目标】
1．理解线段垂直平分线的性质．
2．能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题．
3．能用尺规作线段的垂直平分线．了解作图的道理．
【重点难点】
重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理.
难点：运用线段垂直平分线的性质及其逆定理解决有关问题．
【学习过程】
自主学习：
[探究1]如图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
合作探究：
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
．
推理论证：
已知：PC垂直平分AB
求证：PA=PB
证明：
线段垂直平分线的性质：
。
用符号语言表示为：
∵
，
∴
．
[探究2]
猜想：反过来，如果PA
=PB，那么点P
是否在线段AB
的垂直平分线上
已知： PA
=PB，
求证：点P
在AB
的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定：
。
符号语言：
∵
(已知),
∴
。
思考：你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？
结论：线段垂直平分线是
点的集合
三、例题探究：
例1、尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C
求作：AB的垂线，使它过C点
尝试应用
1.下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有
（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.如图，NM是线段AB的垂直平分线,下列说法正确的有：
.
①AB⊥MN,②AD=DB，
③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.
3.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=_____
.
4、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
五、补偿提高
5.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D.求△BCD的周长.
【学后反思】
参考答案：
线段垂直平分线的性质的证明
证明：
在△APC和△BPC中，
∴△APC≌△BPC
∴
PA=PB.
用符号语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB，P点在l上，
∴PA
=PB．
线段垂直平分线的性质的逆定理的证明：
证明：过点P
作PC⊥AB
，垂足为C．
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
∵ PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．
符号语言：
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
例1、作法：
1.在直线AB的另一侧任取一点K.
2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.
3.分别以点D和E为圆心，以大于
DE长为半径画弧，两弧相交于F.
4.作直线CF.
直线C
F就是所求的垂线.
尝试应用
C
①②③
4cm
10;20o
补偿提高
5、解：∵ED是线段AB的垂直平分线.
∴
BD=AD
∵
△BCD的周长
=BD+DC+BC
∴
△BCD的周长
=AD+DC+BC
=AC+BC=12+7=19
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欣赏图片
金门大桥，1937年完工，当时是世界上最长的悬挂桥，总长约2719米。金门大桥是世界上最著名的桥之一，位于美国旧金山，那时是一个建筑上的奇迹。
米约大桥，因坐落在法国西南的米约市而得名，它是斜拉长索式的长桥，它是目前世界第二高的大桥。
目前，世界最高的桥是湖北的沪蓉西四渡河特大桥，桥面与峡谷谷底高度差约为560米。
第十三章
轴对称
13.1.2线段的垂直平分线（第1课时）
A
B
L
问题情境
在某公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得医院到两个工厂的距离相等，问医院的院址应选在何处？
公
路
A
B
PA=PB
P1
P1A=P1B
……
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
P
M
N
C
动手操作：直线MN垂直平分线段AB；在MN上任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
由此你能得到什么规律？
证明：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
A
B
P
M
N
C
PA=PB
直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB.
已知：如图，
点P在MN上.
求证：
证明：∵MN⊥AB
∴
∠
PCA=
∠
PCB
在
ΔPAC和Δ
PBC中，
AC=BC
∠
PCA=
∠
PCB
PC=PC
∴
ΔPAC
≌Δ
PBC
∴PA=PB
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
用符号语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB，P点在l上，
∴
PA
=PB．
A
B
P
C
l
A
B
P
M
N
C
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
反过来，如果PA=PB，
那么点P是否在线段AB的垂
直平分线上呢？
已知： PA
=PB，
求证：点P
在AB
的垂直平分线上．
猜想：与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
P
A
B
推理论证：
P
A
B
C
证明：过点P
作PC⊥AB
，垂足为C．
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
∵ PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．
P
A
B
C
用数学符号表示为：
∵ PA
=PB，
∴ 点P
在AB
的垂直平分线上．
逆定理：与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
问题解决：现在你能找到开始的问题的解决方案了吗？医院的位置能确定了吗？
医院的位置应该选在线段AB的垂直平分线与公路的交汇处，如图：P为医院的位置
A
B
性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.
逆定理：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.
1.在直线AB的另一侧任取一点K.
2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.
3.分别以点D和E为圆心，以大于
DE长为半径画弧，两弧相交于F.
4.作直线CF.
直线C
F就是所求的垂线.
例1、尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C.
作法：
A
B
C
K
D
E
F
求作：AB的垂线，使它过C点
2.如图，NM是线段AB的垂直平分线,下列说
法正确的有：
.
①AB⊥MN,②AD=DB，
③MN⊥AB，
④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.
A
B
M
N
D
①②③
1.下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有
（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
尝试应用
3.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=_____
.
4cm
4、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
10
20°
D
C
B
E
A
5.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D.求△BCD的周长.
∵ED是线段AB的垂直平分线.
解:
∴
BD=AD
∵
△BCD的周长=BD+DC+BC
∴
△BCD的周长=AD+DC+BC
=AC+BC=12+7=19
补偿提高
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
小结
1、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点
的距离相等.
2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上.
3、线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等
的所有点的集合.
再
见！
