2017_2018学年高中物理第一章静电场学案（打包12套）新人教版选修3_1

习题课：电场力的性质
[目标定位]　1.会处理电场中的平衡问题.2.会处理电场力与牛顿第二定律结合的综合问题．
一、电场力作用下的平衡
1．共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零．
2．处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法．选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用．
例1　如图1所示，光滑水平面上相距为L的A、B两个带正电小球，电荷量分别为4Q和Q.要在它们之间引入第三个带电小球C，使三个小球都只在电场力相互作用下而处于平衡，求：
图1
(1)小球C带何种电荷？
(2)C与A之间的距离x为多大？
(3)C球的电荷量q为多大？
解析　(1)要使三个小球都只在电场力相互作用下而处于平衡，且A、B为两个带正电小球，故小球C带负电荷．
(2)对C，设C与A之间的距离为x，
则：＝，解得：x＝L.
(3)对A球，由平衡条件知，
＝，解得：q＝Q.
答案　(1)小球C带负电荷　(2)L　(3)Q
同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，电荷间的关系为：“两同夹异”、“两大夹小”、“近小远大”．
例2　如图2所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为m，分别用绝缘细线悬挂于绝缘天花板上同一点，平衡时，B球偏离竖直方向θ角，A球竖直且与墙壁接触，此时A、B两球位于同一高度且相距L.求：
图2
(1)每个小球带的电荷量q；
(2)B球所受绳的拉力FT.
(3)墙壁对A球的弹力FN.
解析　(1)对B球受力分析如图所示：B球受三个力且处于平衡状态，其中重力与库仑力的合力大小等于绳子拉力的大小，方向与绳子拉力方向相反，由图可知：F库＝mgtanθ＝，①
解得：q＝L
(2)由B球的受力分析知，
FT＝②
(3)分析A球的受力情况知FN＝F库＝k③
结合①得FN＝mgtanθ.
答案　(1)L　(2)　(3)mgtanθ
二、两等量电荷电场线的特点
等量同种点电荷和等量异种点电荷的电场线的比较
比较项目
等量同种点电荷
等量异种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强
为零
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小
O点最小，向外先变大后变小
O点最大，向外逐渐减小
关于O点对称的A与A′、B与B′的场强
等大反向
等大同向
例3　如图3所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中心，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的电场力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
B．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D．Fd、Fc、Fe的大小都相等
解析　根据场强叠加原理，等量异种点电荷连线及中垂线上的电场线分布如图所示，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点电荷在各点所受电场力方向与场强方向可得到A正确，B、C错误；连线上场强由a到b先减小后增大，中垂线上由O到无穷远处逐渐减小，因此O点场强是连线上最小的(但不为0)，是中垂线上最大的，故Fd＞Fc＞Fe，故D错误．
答案　A
三、电场线与运动轨迹
1．物体做曲线运动的条件：合力在轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向．
2．由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断运动电荷加速度的大小．
例4　如图4所示，实线为电场线(方向未画出)，虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动轨迹，轨迹为一条抛物线．下列判断正确的是(　　)
图4
A．电场线MN的方向一定是由N指向M
B．带电粒子由a运动到b的过程中速度一定逐渐减小
C．带电粒子在a点的速度一定小于在b点的速度
D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
解析　由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，物体所受外力指向轨迹内侧，所以粒子所受电场力一定是由M指向N，但是由于粒子的电荷性质不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力与速度成锐角，粒子做加速运动，速度增大，故B错误，C正确；b点的电场线比a点的密，所以带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故D错误，故选C.
答案　C
电场线决定力 或加速度 的方向，轨迹显示速度的方向，注意电场力的方向指向轨迹内侧.
针对训练　一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的．关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)(　　)
答案　D
解析　负电荷所受的电场力与电场强度方向相反，曲线运动中质点所受的合力(本题是电场力)方向指向轨迹的凹侧．所以正确选项是D.
四、电场力与牛顿第二定律的结合
例5　如图5所示，光滑斜面倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)求：
图5
(1)原来的电场强度；
(2)小物块运动的加速度；
(3)小物块2s末的速度和2s内的位移．
解析　(1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则mgsin37°＝qEcos37°，E＝＝.
(2)当场强变为原来的时，小物块受到的合外力F合＝mgsin37°－qEcos37°＝0.3mg，又F合＝ma，所以a＝3m/s2，方向沿斜面向下．
(3)由运动学公式v＝at＝3×2m/s＝6
m/s
x＝at2＝×3×22m＝6m
答案　(1)　(2)3m/s2，方向沿斜面向下　(3)6
m/s　6m
1．(电场力作用下的平衡)(多选)两个通电小球带电后相互排斥，如图6所示．两悬线跟竖直方向各有一个夹角α、β，且两球在同一水平面上．两球质量用m和M表示，所带电荷量用q和Q表示．若已知α＞β，则一定有关系(　　)
图6
A．两球一定带同种电荷
B．m一定小于M
C．q一定大于Q
D．m受到的电场力一定大于M所受的电场力
答案　AB
2．(电场力作用下的平衡)如图7所示，把A、B两个相同的导电小球分别用长为0.10
m的绝缘细线悬挂于OA和OB两点．用丝绸摩擦过的玻璃棒与A球接触，棒移开后将悬点OB移到OA点固定．两球接触后分开，平衡时距离为0.12
m．已测得每个小球质量是8.0×10－4
kg，带电小球可视为点电荷，重力加速度g＝10
m/s2，静电力常量k＝9.0×109
N·m2/C2，则(　　)
图7
A．两球所带电荷量相等
B．A球所受的静电力为1.0×10－2
N
C．B球所带的电荷量为4×10－8
C
D．A、B两球连线中点处的电场强度为0
答案　ACD
解析　两相同的小球接触后电量均分，故两球所带电荷量相等，选项A正确；A球所受的电场力由几何关系，两球分开后，悬线与竖直方向的夹角为37°，F＝mgtan
37°＝8.0×
10－4×10×0.75
N＝6.0×10－3
N，选项B错误；根据库仑定律得，F＝k＝k，解得qB＝＝
C＝4×10－8
C，选项C正确；A、B两球带等量的同种电荷，故在A、B两球连线中点处的电场强度为0，选项D正确．
3．(两等量电荷电场的特点)(多选)如图8所示，两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是(　　)
图8
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
答案　AD
解析　在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，故正电荷受电场力沿连线的中垂线运动时，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大；由O点到无穷远处时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性．如果P、N相距很近，加速度则先减小，再增大．
4．(电场线与运动轨迹)(多选)一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图9中虚线所示．不计粒子所受重力，则(　　)
图9
A．粒子带正电荷
B．粒子加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度
D．粒子的初速度不为零
答案　BCD
解析　带电粒子所受合外力(即电场力)指向轨迹内侧，知电场力方向向左，粒子带负电荷，故A项错误．根据EA＞EB，知B项正确．粒子从A到B受到的电场力为阻力，C项正确．由图可知，粒子从A点运动到B点，速度逐渐减小，故粒子在A点速度不为零，D正确．
5．(电场力与牛顿第二定律的结合)如图10所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2kg，所带电荷量为＋2.0×10－8C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直方向成30°角，绳长L＝0.2m，取g＝10m/s2，求：
图10
(1)这个匀强电场的电场强度大小．
(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？
答案　(1)×107N/C　(2)做匀加速直线运动
m/s2　与绳子拉力方向相反
解析　(1)根据共点力平衡得，
qE＝mgtan30°
解得E＝×107N/C.
(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动．
F合＝＝ma
a＝m/s2
加速度方向与绳子拉力方向相反.
题组一　电场强度及矢量的叠加
1．(多选)如图所示，下列为电场中某点的电场强度E与放在该点处的试探电荷q及所受电场力F之间的函数关系图象，其中正确的是(　　)
答案　AD
解析　电场中某点的电场强度与试探电荷无关，所以A正确，B错误；由F＝qE知，F－q图象为过原点的倾斜直线，故D正确，C错误．
2．(多选)如图1所示，金属板带电荷量为＋Q，质量为m的金属小球带电荷量为＋q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上，且距离为L.下列说法正确的是(　　)
图1
A．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
B．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
C．＋q在O点产生的场强为E2＝
D．＋q在O点产生的场强为E2＝
答案　BC
解析　金属板不能看做点电荷，在小球处产生的场强不能用E＝计算，故A错误；根据小球处于平衡得小球受电场力F＝mgtanα，由E＝得：E1＝，B正确；小球可看做点电荷，在O点产生的场强E2＝，C正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的电场力大小为F＝mgtanα，但金属板不能看做试探电荷，故不能用E＝求场强，D错误．故选B、C.
3．直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图2所示．M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为(　　)
图2
A.，沿y轴正向
B.，沿y轴负向
C.，沿y轴正向
D.，沿y轴负向
答案　B
解析　因正电荷Q在O点时，G点的场强为零，则可知两负电荷在G点形成的电场的合场强与正电荷Q在G点产生的场强等大反向，大小为E合＝k；若将正电荷移到G点，则正电荷在H点的场强为E1＝k＝，因两负电荷在G点的场强与在H点的场强等大反向，则H点的合场强为E＝E合－E1＝，方向沿y轴负向，故选项B正确．
题组二　电场线、运动轨迹
4．如图3为真空中两点电荷A、B形成的电场中的一簇电场线，该电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连接的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是(　　)
图3
A．A、B可能带等量异号的正、负电荷
B．A、B可能带不等量的正电荷
C．a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零
D．同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反
答案　D
解析　根据题图中的电场线分布可知，A、B带等量的正电荷，选项A、B错误；a、b两点处虽然没有画电场线，但其电场强度一定不为零，选项C错误；由题图可知，a、b两点处电场强度大小相等，方向相反，同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反，选项D正确．
5．(多选)用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的强弱．如图4甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称．则(　　)
图4
A．B、C两点场强大小和方向都相同
B．A、D两点场强大小相等，方向相反
C．E、O、F三点比较，O点场强最弱
D．B、O、C三点比较，O点场强最弱
答案　AD
解析　根据等量异种点电荷的电场特点可知：两电荷连线上各点的场强方向向右且大小关于O点对称，中点场强最小，向两侧场强逐渐增大．两电荷连线中垂线上各点的场强方向相同，都向右，且大小关于O点对称，中点场强最大，向两侧场强逐渐减小．故A、D正确．
6.(多选)如图5所示，实线表示匀强电场中的电场线，一带电粒子(不计重力)经过电场区域后的轨迹如图中虚线所示，a、b是轨迹上的两点，关于粒子的运动情况，下列说法中可能的是(　　)
图5
A．该粒子带正电荷，运动方向为由a至b
B．该粒子带负电荷，运动方向为由a至b
C．该粒子带正电荷，运动方向为由b至a
D．该粒子带负电荷，运动方向为由b至a
答案　BD
7．(多选)如图6所示的电场中，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则(　　)
图6
A．粒子一定带正电
B．粒子一定是从a点运动到b点
C．粒子在c点加速度一定大于在b点加速度
D．粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
答案　AC
解析　曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A正确；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点所受的力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c运动到a，电场力与速度成锐角，则粒子做加速运动；若粒子从a运动到c，电场力与速度成钝角，则粒子做减速运动，故在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误；故选A、C.
8.(多选)如图7所示，在负点电荷Q的电场中，a、b两点位于Q为圆心的同一圆周上，a、c两点位于同一条电场线上，则以下说法中正确的是(　　)
图7
A．a、b两点场强大小相等
B．同一试探电荷在a、b两点所受电场力相同
C．a、c两点场强大小关系为Ea＞Ec
D．a、c两点场强方向相同
答案　AD
解析　负点电荷形成的电场中，各点的场强方向都由该点指向场源电荷，a、c两点在同一条电场线上，因此两点的场强方向相同，即选项D正确；场强大小可以根据电场线的疏密程度加以判定，由于c处电场线比a处密，故a、c两点场强大小关系为Ec＞Ea，C项错误；a、b两点处在同一圆周上，电场线疏密程度相同，因此a、b两点场强大小相等，但方向不同，放同一试探电荷在a、b两点所受电场力大小相等，方向不同，故A项正确，B项错误．
题组三　带电体在电场中的平衡和加速
9．在雷雨云下沿竖直方向的电场强度为104V/m.已知一半径为1
mm的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为10
m/s2，水的密度为103kg/m3.该雨滴携带的电荷量的最小值约为(　　)
A．2×10－9C
B．4×10－9C
C．6×10－9C
D．8×10－9C
答案　B
解析　带电雨滴在电场力和重力作用下保持静止，根据平衡条件，电场力和重力必然等大反向，即mg＝Eq，则q＝＝＝C≈4×10－9C.
10．如图8所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在同一直线上，q2与q3间距离为2r,
q1与q2间距离为r，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为(　　)
图8
A．(－9)∶4∶(－36)
B．9∶4∶36
C．(－3)∶2∶(－6)
D．3∶2∶6
答案　A
解析　分别取三个点电荷为研究对象，由于三个点电荷只在静电力(库仑力)作用下保持平衡，所以这三个点电荷不可能是同种电荷，这样可立即排除B、D选项，故正确选项只可能在A、C中．若选q2为研究对象，由库仑定律知k＝k知：q3＝4q1.选项A恰好满足此关系，显然正确选项为A.
11．如图9所示，在光滑绝缘的水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为L的正三角形的三个顶点上：a、b带正电，电荷量均为q，c带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k，若三个小球均处于静止状态，试求该匀强电场的场强以及c的带电荷量．
图9
答案　　2q
解析　设c小球带电荷量为Q，以c小球为研究对象进行受力分析，根据平衡条件得a、b对c的合力与匀强电场对c的力等值反向，即2××cos30°＝E·Q；
所以匀强电场场强的大小为.以a小球为研究对象进行受力分析，根据平衡条件得b、c对a的合力与匀强电场对a的力等值反向．
即：＝×cos60°.
所以c球的带电荷量为Q＝2q.
12．如图10所示，在一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B，A带电荷量＋Q，B带电荷量－9Q.现在A、B所在的直线上引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷处于平衡状态，问：C应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？
图10
答案　负电　A的左边0.2m处　－Q
解析　根据平衡条件判断，C应带负电荷，放在A的左边且和AB在一条直线上．设C带电荷量为q，与A点相距为x，由平衡条件：
以A为研究对象，则
k＝k①
以C为研究对象，则k＝k②
联立①②解得x＝r＝0.2m，q＝－Q
故C应带负电荷，放在A的左边0.2m处，带电荷量为－Q.
13．如图11所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104N/C，一根长L＝1.5m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6C，质量m＝1.0×10－2kg.再将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．(静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2，取g＝10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
图11
(1)小球B开始运动时的加速度为多大？
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？
答案　(1)3.2m/s2　(2)0.9m
解析　(1)如图所示，开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得mgsinθ－－qEcosθ＝ma.解得：a＝gsinθ－－，代入数据解得：a＝3.2m/s2.
(2)小球B速度最大时合力为零，即mgsinθ－－qEcosθ＝0
解得：r＝，代入数据解得：r＝0.9m.第11讲
带电粒子在电场中的运动
[目标定位]　1.会从力和能量角度分析计算带电粒子在电场中加速和偏转的有关问题.2.知道示波管的主要构造和工作原理．
一、带电粒子的加速
如图1所示，初速度为零、质量为m、带电荷量为q的带正电粒子，由静止开始从正极板通过电势差为U的电场到达负极板，求其速度时可根据qU＝mv2，得v＝.
图1
深度思考
(1)若上述粒子从两极板的中点由静止开始运动到负极板，则粒子到达负极板的速度是多少？
(2)若上述粒子以速度v0从正极板运动到负极板，其速度又是多少？
答案　(1)
.两极板的中点与负极板的电势差为.由动能定理q＝mv2，
得v＝
(2)
，由动能定理qU＝mv2－mv，得v＝
例1　如图2所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是(　　)
图2
A.
B．v0＋
C.
D.
解析　qU＝mv2－mv，v＝，选C.
答案　C
1．两类带电体
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除特殊说明外，一般忽略粒子的重力(但并不忽略质量)．
(2)带电微粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除特殊说明外，一般不忽略重力．
2．处理加速问题的分析方法
(1)根据带电粒子所受的力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等．
(2)一般应用动能定理来处理问题，若带电粒子只受电场力作用：
①若带电粒子的初速度为零，则它的末动能mv2＝qU，末速度v＝.
②若粒子的初速度为v0，则mv2－mv＝qU，末速度v＝.
针对训练1　如图3所示，两平行的带电金属板水平放置．若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将(　　)
图3
A．保持静止状态
B．向左上方做匀加速运动
C．向正下方做匀加速运动
D．向左下方做匀加速运动
答案　D
解析　两平行金属板水平放置时，带电微粒静止有mg＝qE，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°后，两板间电场强度方向逆时针旋转45°，电场力方向也逆时针旋转45°，但大小不变，此时电场力和重力的合力大小恒定，方向指向左下方，故该微粒将向左下方做匀加速运动，选项D正确．
二、带电粒子的偏转
如图4甲所示，质量为m、电荷量为q的粒子，以初速度v0垂直于电场方向进入两平行板间场强为E的匀强电场，极板间距离为d，两极板间电势差为U，板长为l.
　　　
图4
1．运动性质
(1)沿初速度方向：做速度为v0的匀速直线运动．
(2)沿电场力方向：做初速度为零，加速度为a＝＝的匀加速直线运动．
2．运动规律
(1)偏转距离：由t＝，a＝，所以y＝at2＝()2.
(2)偏转角度：因为vy＝at＝，所以tanθ＝＝.
3．结论
由＝，可知x＝.
如图乙所示，粒子射出电场时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，即粒子就像是从极板间处射出的一样．
深度思考
质子H和α粒子He由静止经同一电场加速后再垂直进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时偏移量相同吗？为什么？
答案　相同．若加速电场的电压为U0，有
qU0＝mv①
偏移量y＝at2＝()2②
①②联立，得y＝.
即偏移量与m、q均无关．
例2　一束电子流在经U＝5000V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图5所示．若两板间距离d＝1.0cm，板长l＝5.0cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
图5
解析　加速过程中，由动能定理有：
eU＝mv
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速直线运动
l＝v0t
在垂直于板面的方向电子做匀加速直线运动，
加速度a＝＝
偏移的距离y＝at2
电子能飞出的条件y≤
联立解得U′≤＝V＝4.0×102V
即要使电子能飞出，两极板上所加电压最大为400V.
答案　400V
针对训练2　装置如例2.如果质子经同一加速电压加速(U＝5000V，但加速电场方向与例2相反，如图6)，从同一位置垂直进入同一匀强电场(d＝1.0cm，l＝5.0cm)，偏转电压U′＝400V．质子能飞出电场吗？如果能，偏移量是多大？
图6
答案　能　0.5cm
解析　在加速电场：qU＝mv①
在偏转电场：l＝v0t②
a＝＝③
偏移量y＝at2④
由①②③④得：y＝
上式说明y与q、m无关，解得y＝0.5cm＝
即质子恰好从板的右边缘飞出
无论粒子的质量m、电荷量q如何，只要经过同一电场U1加速，再垂直进入同一偏转电场U2，它们飞出的偏移量y相同 y＝ ，偏转角θ tanθ＝自己证明 也相同.所以同性粒子运动轨迹完全重合.
三、示波管的原理
1．构造
示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和荧光屏组成，如图7所示．
图7
2．原理
(1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压．
(2)灯丝被电源加热后，发射热电子，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如在Y偏转电极板上加一个信号电压，在X偏转电极板上加一周期相同的扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图象．
深度思考
示波管荧光屏上的亮线是怎样产生的？所加的扫描电压和信号电压的周期要满足什么条件才能得到待测信号在一个周期内的稳定图象？
答案　电子打在荧光屏上将出现一个亮点，若电子打在荧光屏上的位置快速移动，由于视觉暂留效应，能在荧光屏上看到一条亮线．所加的扫描电压和信号电压的周期相等才能得到待测信号在一个周期内的稳定图象．
例3　示波管的内部结构如图8甲所示．如果在偏转电极XX′、YY′之间都没有加电压，电子束将打在荧光屏中心．如果在偏转电极XX′之间和YY′之间加上图丙所示的几种电压，荧光屏上可能会出现图乙中(a)、(b)所示的两种波形．则(　　)
图8
A．若XX′和YY′分别加电压(3)和(1)，荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
B．若XX′和YY′分别加电压(4)和(1)，荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
C．若XX′和YY′分别加电压(3)和(2)，荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
D．若XX′和YY′分别加电压(4)和(2)，荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
解析　若XX′和YY′分别加电压(3)和(1)，则横轴自左向右移动，纵轴则按正弦规律变化，荧光屏上可以出现如图(a)所示波形，A对．若XX′和YY′分别加电压(4)和(1)则横轴不变，即波形只在纵轴上，不管纵轴上面波形如何变化始终只能在横轴出现一条线，(a)、(b)都不可能出现，B错．若XX′和YY′分别加电压(4)和(2)，同理，D错．若XX′和YY′分别加电压(3)和(2)则横轴自原点先向正方向运动后返回向负方向运动，到负方向一定位置后又返回，纵轴则先为负的定值后为正的定值，荧光屏上可以出现如图(b)所示波形，C对．
答案　AC
1．(带电粒子的直线运动)(多选)如图9所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则(　　)
图9
A．当增大两板间距离时，v增大
B．当减小两板间距离时，v增大
C．当改变两板间距离时，v不变
D．当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
答案　CD
解析　根据动能定理研究电子由静止开始从A板向B板运动列出等式：
eU＝mv2，得v＝
所以当改变两板间距离时，v不变，故A、B错误，C正确；由于两极板之间的电压不变，所以极板之间的场强为
E＝，
电子的加速度为a＝＝，
电子在电场中一直做匀加速直线运动，
由d＝at2＝t2
得电子加速的时间为t＝d
由此可见，当增大两板间距离时，电子在两板间的运动时间增大，故D正确．故选C、D.
2．(带电粒子的偏转)如图10所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为(　　)
图10
A．U1∶U2＝1∶8
B．U1∶U2＝1∶4
C．U1∶U2＝1∶2
D．U1∶U2＝1∶1
答案　A
解析　由y＝at2＝··，得U＝，所以U∝，可知A项正确．
3．(对示波管原理的认识)如图11是示波管的原理图．它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空．给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点．
图11
(1)带电粒子在________区域是加速的，在________区域是偏转的．
(2)如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的(　　)
A．极板X应带正电B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电D．极板Y′应带正电
答案　(1)Ⅰ　Ⅱ　(2)AC
4．(带电粒子的偏转)如图12为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与A板间的电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点．已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力．
图12
(1)求电子穿过A板时速度的大小；
(2)求电子从偏转电场中射出时的偏移量；
(3)若要电子打在荧光屏上P点的上方，可采取哪些措施？
答案　(1)
　(2)　(3)见解析
解析　(1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，由动能定理有eU1＝mv
解得v0＝.
(2)电子沿极板方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动．设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的偏移量为y.由牛顿第二定律和运动学公式有t＝
a＝
y＝at2
解得y＝
(3)减小加速电压U1或增大偏转电压U2.
题组一　带电粒子的加速
1．如图1所示，在点电荷＋Q激发的电场中有A、B两点，将质子和α粒子分别从A点由静止释放到达B点时，它们的速度大小之比为(　　)
图1
A．1∶2
B．2∶1
C.∶1
D．1∶
答案　C
解析　质子和α粒子都带正电，从A点释放将受静电力作用加速运动到B点，设A、B两点间的电势差为U，由动能定理可知，对质子：mHv＝qHU，
对α粒子：mαv＝qαU.
所以＝＝＝∶1.
2．(多选)图2为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空．A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出时的速度大小为v.下面的说法中正确的是(　　)
图2
A．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度仍为v
B．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为
C．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为v
D．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为
答案　AC
解析　电子在两个电极间的加速电场中进行加速，由动能定理eU＝mv2－0得v＝，当电压不变，A、K间距离变化时，不影响电子的速度，故A正确；电压减半，则电子离开K时的速度为v，C正确．
3.如图3，一充电后的平行板电容器的两极板相距l.在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q＞0)的粒子；在负极板附近有另一质量为m、电荷量为－q的粒子．在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动．已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面．若两粒子间相互作用力可忽略．不计重力，则M∶m为(　　)
图3
A．3∶2
B．2∶1
C．5∶2
D．3∶1
答案　A
解析　因两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面，电荷量为q的粒子通过的位移为l，电荷量为－q的粒子通过的位移为l，由牛顿第二定律知它们的加速度分别为a1＝、a2＝，由运动学公式有l＝a1t2＝t2①，l＝a2t2＝t2②，由①②得＝.B、C、D错误，A对．
题组二　带电粒子的偏转
4．(多选)有一种电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图4所示．其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符．不必考虑墨汁的重力，为了使打在纸上的字迹缩小，下列措施可行的是(　　)
图4
A．减小墨汁微粒的质量
B．减小墨汁微粒所带的电荷量
C．增大偏转电场的电压
D．增大墨汁微粒的喷出速度
答案　BD
解析　墨汁微粒在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则L＝v0t；竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则偏移距离y＝at2；且qE＝ma，E＝，联立，解得y＝()2.为了使打在纸上的字迹缩小，可减小墨汁微粒所带的电荷量、减小偏转电压、增大墨汁微粒的质量和增大墨汁微粒的喷出速度，故选项B、D正确．
5．如图5所示，a、b两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则(　　)
图5
A．a的电荷量一定大于b的电荷量
B．b的质量一定大于a的质量
C．a的比荷一定大于b的比荷
D．b的比荷一定大于a的比荷
答案　C
解析　粒子在电场中做类平抛运动，h＝·()2得：x＝v0.由v0＜v0得＞.
6．(多选)三个α粒子在同一地点沿同一方向垂直飞入偏转电场，出现了如图6所示的运动轨迹，由此可判断(　　)
图6
A．在B飞离电场的同时，A刚好打在负极板上
B．B和C同时飞离电场
C．进入电场时，C的速度最大，A的速度最小
D．动能的增加量C最小，A和B一样大
答案　ACD
解析　由题意知，三个α粒子在电场中的加速度相同，A和B有相同的偏转位移y，由公式y＝at2得，A和B在电场中运动的时间相同，由公式v0＝得vB>vA，同理，vC>vB，故三个粒子进入电场时的初速度大小关系为vC>vB>vA，故A、C正确，B错误；由题图知，三个粒子的偏转位移大小关系为yA＝yB>yC，由动能定理可知，三个粒子的动能的增加量C为最小，A和B一样大，D正确．
题组三　综合应用
7．如图7所示的示波管，当两偏转电极XX′、YY′电压为零时，电子枪发射的电子经加速电场加速后会打在荧光屏上的正中间(图示坐标系的O点，其中x轴与XX′电场的场强方向重合，x轴正方向垂直于纸面向里，y轴与YY′电场的场强方向重合，y轴正方向竖直向上)．若要电子打在图示坐标系的第Ⅲ象限，则(　　)
图7
A．X、Y极接电源的正极，X′、Y′接电源的负极
B．X、Y′极接电源的正极，X′、Y接电源的负极
C．X′、Y极接电源的正极，X、Y′接电源的负极
D．X′、Y′极接电源的正极，X、Y接电源的负极
答案　D
解析　若要使电子打在题图所示坐标系的第Ⅲ象限，电子在x轴上向负方向偏转，则应使X′接正极，X接负极；电子在y轴上也向负方向偏转，则应使Y′接正极，Y接负极，所以选项D正确．
8．如图8所示，平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°角，上极板带正电．一电荷量为q(q>0)的粒子在电容器中靠近下极板处．以初动能Ek0竖直向上射出．不计重力，极板尺寸足够大．若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为(　　)
图8
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　根据电荷受力可以知道，粒子在电场中做曲线运动，如图所示．当电场足够大时，粒子到达上极板时速度恰好与上极板平行，如图，将粒子初速度v0分解为垂直极板的vy和平行极板的vx，根据运动的合成与分解，当分速度vy＝0时，则粒子的速度正好平行上极板，则根据运动学公式：－v＝－2d，由于vy＝v0cos
45°，Ek0＝mv，联立整理得到E＝，故选项B正确．
9．一束正离子以相同的速率从同一位置，沿垂直于电场方向飞入匀强电场中，所有离子的运动轨迹都是一样的，这说明所有粒子(　　)
A．都具有相同的质量
B．都具有相同的电荷量
C．具有相同的比荷
D．都是同一元素的同位素
答案　C
解析　由偏移距离y＝·()2＝可知，若运动轨迹相同，则水平位移相同，偏移距离y也应相同，已知E、l、v0是相同的，所以应有相同．
10．(多选)如图9所示，水平放置的平行板电容器，上极板带负电，下极板带正电，带电小球以速度v0水平射入电场，且沿下极板边缘飞出．若下极板不动，将上极板上移一小段距离，小球仍以相同的速度v0从原处飞入，则带电小球(　　)
图9
A．将打在下极板中央
B．仍沿原轨迹由下极板边缘飞出
C．不发生偏转，沿直线运动
D．若上极板不动，将下极板上移一段距离，小球可能打在下极板的中央
答案　BD
解析　将电容器上极板或下极板移动一小段距离，电容器带电荷量不变，由公式E＝＝＝可知，电容器产生的场强不变，以相同速度入射的小球仍将沿原轨迹运动．当上极板不动，下极板向上移动时，小球可能打在下极板的中央．
11．如图10所示，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0垂直射入场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中，射出电场的瞬时速度的方向与初速度方向成30°角．在这一过程中，不计粒子重力．求：
图10
(1)该粒子在电场中经历的时间；
(2)粒子在这一过程中电势能的增量．
答案　(1)　(2)－mv
解析　(1)分解末速度vy＝v0tan30°，在竖直方向vy＝at，a＝，联立三式可得
t＝.
(2)射出电场时的速度v＝＝v0，由动能定理得电场力做功为
W＝mv2－mv＝mv，
根据W＝Ep1－Ep2得
ΔEp＝－W＝－mv.
12．两个半径均为R的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d，极板间的电势差为U，板间电场可以认为是匀强电场．一个α粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心．已知质子电荷量为e，质子和中子的质量均视为m，忽略重力和空气阻力的影响，求：
(1)极板间的电场强度E；
(2)α粒子在极板间运动的加速度a；
(3)α粒子的初速度v0.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)极板间场强E＝
(2)α粒子电荷量为2e，质量为4m，所受电场力F＝2eE＝，α粒子在极板间运动的加速度a＝＝
(3)由d＝at2，得t＝＝2d，v0＝＝
13．一束电子从静止开始经加速电压U1加速后，以水平速度射入水平放置的两平行金属板中间，如图11所示，金属板长为l，两板距离为d，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L.若在两金属板间加直流电压U2时，光点偏离中线打在荧光屏上的P点，求.
图11
答案　(＋L)
解析　电子经U1的电场加速后，由动能定理可得
eU1＝①
电子以v0的速度进入U2的电场并偏转
t＝②
E＝③
a＝④
v⊥＝at⑤
由①②③④⑤得射出极板的偏转角θ的正切值tanθ＝＝.
所以＝(＋L)tanθ＝(＋L)．库仑定律
[目标定位]　1.明确点电荷是个理想化模型，知道带电体简化为点电荷的条件.2.理解库仑定律的内容及公式，会用库仑定律进行有关的计算.3.了解库仑扭秤实验．
一、点电荷
1．定义：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体就可以看做点电荷．
2．点电荷是理想化的物理模型，只有电荷量，没有大小、形状，类似于力学中的质点，实际不存在．(填“存在”或“不存在”)
深度思考
(1)只有体积很小或电荷量很小的带电体才可以看做点电荷吗？
(2)点电荷就是元电荷吗？
答案　(1)不是．一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，与体积大小和电荷量大小无关．
(2)不是．点电荷是一种理想化的物理模型，元电荷是最小电荷量．
例1　关于点电荷，下列说法中正确的是(　　)
A．点电荷就是体积小的带电体
B．球形带电体一定可以视为点电荷
C．带电少的带电体一定可以视为点电荷
D．大小和形状对作用力的影响可忽略的带电体可以视为点电荷
解析　点电荷不能理解为体积很小的带电体，也不能理解为电荷量很少的带电体．同一带电体，如要研究它与离它较近的电荷间的作用力时，就不能看成点电荷，而研究它与离它很远的电荷间的作用力时，就可以看做点电荷．带电体能否看成点电荷，要依具体情况而定，A、B、C均错．
答案　D
1 一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状确定.
2 点电荷的电荷量可能较大也可能较小，但一定是元电荷的整数倍.
二、库仑定律和库仑的实验
1.内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．公式：F＝k，其中k＝9.0×109N·m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件：(1)在真空中；(2)点电荷．
4．库仑的实验
(1)库仑扭秤实验是通过悬丝扭转的角度比较静电力F的大小．实验结果发现静电力F与距离r的二次方成反比．
(2)库仑在实验中为研究F与q的关系，采用的是用两个完全相同的金属小球接触后电荷量平分的方法，发现F与q1和q2的乘积成正比．
5．静电力的确定
(1)大小计算：利用库仑定律计算静电力时不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1和q2的绝对值即可．
(2)方向判断：利用同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引来判断．
深度思考
当电荷q1、q2间的距离r→0时，由公式F＝k可知，两电荷间的相互作用力F→∞.这种说法正确吗？为什么？
答案　不正确．因为当电荷q1、q2间的距离r→0时，已不能将q1、q2视为点电荷了，库仑定律不再适用．
例2　两个完全相同的金属小球A、B(均可视为点电荷)带有相等的电荷量，相隔一定距离，两小球之间相互吸引力的大小是F.今让第三个不带电的相同金属小球先后与A、B两小球接触后移开．这时，A、B两小球之间的相互作用力的大小是(　　)
A.B.C.D.
解析　设A、B两球间的距离为r，因为开始时A、B两球间的作用力是吸引力，所以设A所带电荷量为Q，B所带电荷量为－Q，由库仑定律知，开始时A、B两球之间的作用力F＝k.当第三个不带电的小球与A接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电荷量为Q.
当第三个小球与B球接触时，两球均带电荷量为×(Q－Q)＝－Q.
故这时A、B两球间的作用力大小F′＝k＝F.
答案　A
(1)库仑定律只适用于真空中点电荷之间的相互作用，一般没有特殊说明的情况下，都可按真空来处理．
(2)两个点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定律，即不论电荷量大小如何，两点电荷间的库仑力大小总是相等的．
例3　如图1所示，两个半径均为r的金属球放在绝缘支架上，两球面最近距离为r，带等量异种电荷，电荷量为Q，两球之间的静电力为下列选项中的哪一个(　　)
图1
A．等于k
B．大于k
C．小于k
D．等于k
解析　由于两金属球带等量异种电荷，电荷间相互吸引，因此电荷在金属球上的分布向两球靠近的一面集中，电荷间的距离就要比3r小．根据库仑定律，静电力一定大于k，正确选项为B.
答案　B
两个形状规则的均匀球体相距较远时可以看做点电荷；相距较近时不能看做点电荷，此时球体间的作用力会随着电荷的分布而变化.
三、静电力的叠加
1.两个点电荷间的作用力不会(选填“会”或“不会”)因为第三个点电荷的存在而有所改变．
2．两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和．
例4　如图2所示，在A、B两点分别放置点电荷Q1＝＋2×10－14C和Q2＝－2×10－14C，在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m．如果有一个电子在C点，它所受到的库仑力的大小和方向如何？
图2
解析　电子在C点同时受A、B点电荷对其的作用力FA、FB，如图所示，
由库仑定律F＝k得FA＝FB＝k＝9.0×109×N＝8.0×10－21N．由平行四边形定则和几何知识得：静止在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21N，方向平行于AB向左．
答案　8.0×10－21N　方向平行于AB向左
1 库仑力也称为静电力，它具有力的共性.它与学过的重力、弹力、摩擦力是并列的.它具有力的一切性质.
2 当多个带电体同时存在时，每两个带电体间的库仑力都遵守库仑定律.某一带电体同时受到多个库仑力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力.
四、静电力作用下的平衡问题
例5　如图3所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有Q＝3.0×10－6C的正电荷．两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2.A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2kg(重力加速度取g＝10m/s2；静电力常量k＝9.0×109
N·m2/C2，A、B球可视为点电荷)．求：
图3
(1)两线上的拉力F1和F2的大小；
(2)支架对地面的压力FN的大小．
解析　(1)对A进行受力分析，如图所示
由平衡条件，可得
竖直方向F1cos60°＋F2cos60°＝mAg＋k
水平方向F1sin60°＝F2sin60°
联立以上两式解得，F1＝F2＝1.9N
(2)设地面对支架的支持力大小为FN′，对B和支架进行受力分析，如图所示
由平衡条件，可知FN′＋k＝mBg
解得，FN′＝mBg－k＝1.1N
由牛顿第三定律得支架对地面的压力大小FN＝FN′＝1.1N
答案　(1)1.9N　1.9N　(2)1.1N
分析静电力平衡的基本方法： 1 明确研究对象； 2 画出研究对象的受力分析图； 3 根据平衡条件列方程； 4 代入数据计算或讨论.
1．(对点电荷的理解)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是不存在的
B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体
C．根据F＝k可知，当r→0时，F→∞
D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计
答案　AD
解析　点电荷是一种理想化模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小和所带电荷量多少，而是应具体问题具体分析，是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计．因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是错误的，所以选项A、D正确，B错误；r→0时已经不能看成点电荷，C错误．
2.(库仑定律的理解和应用)两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F.两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为(　　)
A.FB.FC.FD．12F
答案　B
解析　根据库仑定律可得F＝k＝3k，两球先接触再分开后电荷量均为＝Q，此时两球间库仑力的大小为F′＝k＝4k＝F，故B正确．
3．(静电力的叠加)如图4，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点．已知放在P、Q连线上某点R处的点电荷q受力为零，且PR＝2RQ.则(　　)
图4
A．q1＝2q2
B．q1＝4q2
C．q1＝－2q2
D．q1＝－4q2
答案　B
解析　由于R处的点电荷q受力平衡，
根据库仑定律得＝，PR＝2RQ
解得：q1＝4q2.
4．(库仑力作用下的平衡)如图5所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上．其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l.当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k.则(　　)
图5
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力大小F＝
C．细线拉力大小FT＝
D．细线拉力大小FT＝mg
答案　B
解析　带电小球A受力如图所示，OC＝l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l.由库仑定律知A、B间库仑力大小F＝，细线拉力FT＝F＝，选项A、C错误；根据平衡条件得Fcos
30°＝mg，得F＝，绳子拉力FT＝，选项B正确，D错误.
题组一　库仑定律的理解
1．关于库仑定律，下列说法中正确的是
(　　)
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体
B．根据F＝k，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
C．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D．库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律
答案　D
解析　点电荷是实际带电体的理想化模型，只有带电体的大小和形状对电荷的作用力影响很小时，实际带电体才能视为点电荷，故选项A错误；当两个电荷之间的距离趋近于零时，不能再视为点电荷，公式F＝k不能用于计算此时的静电力，故选项B错误；q1和q2之间的静电力是一对相互作用力，它们的大小相等，故选项C错误；库仑定律与万有引力定律的表达式相似，研究和运用的方法也很相似，都是平方反比定律，故选项D正确．
2．要使真空中的两个点电荷间的库仑力增大到原来的4倍，下列方法可行的是
(　　)
A．每个点电荷的电荷量都增大到原来的2倍，电荷间的距离不变
B．保持点电荷的电荷量不变，使两个电荷间的距离增大到原来的2倍
C．一个点电荷的电荷量加倍，另一个点电荷的电荷量保持不变，同时使两个点电荷间的距离减小为原来的
D．保持点电荷的电荷量不变，将两个点电荷间的距离减小为原来的
答案　A
解析　根据库仑定律F＝k可知，当r不变时，q1、q2均变为原来的2倍，F变为原来的4倍，A正确；同理可求得B、C、D中F的变化均不满足条件，故B、C、D错误．
3．如图1所示，一带正电的物体位于M处，用绝缘丝线系上带正电的小球，分别挂在P1、P2、P3的位置，可观察到小球在不同位置时丝线偏离竖直方向的角度不同．则下面关于此实验得出的结论中正确的是(　　)
图1
A．此实验中采用了等效替代的方法
B．电荷之间作用力的大小与两电荷的性质有关
C．电荷之间作用力的大小与两电荷所带的电荷量有关
D．电荷之间作用力的大小与两电荷间的距离有关
答案　D
解析　在研究电荷之间作用力大小的决定因素时，采用控制变量的方法进行，如本实验，根据小球的摆角可以看出小球所受作用力逐渐减小，由于没有改变电性和电荷量，不能研究电荷之间作用力和电性、电荷量关系，故A、B、C错误，D正确．
4．A、B两个大小相同的金属小球，A带有6Q正电荷，B带有3Q负电荷，当它们在远大于自身直径处固定时，两球之间静电力大小为F.另有一大小与A、B相同的不带电小球C，若让C先与A接触，再与B接触，拿走C球后，A、B间静电力的大小变为(　　)
A．6FB．3FC．FD．零
答案　D
解析　C先后与A、B接触后，A、B带的电荷量分别为3Q、0，故此时A、B间的静电力为零．
5．半径为R、相距较近的两个较大金属球放在绝缘桌面上．若两球都带等量同号电荷Q时，它们之间的静电力为F1，两球带等量异号电荷Q与－Q时，静电力为F2，则(　　)
A．F1＞F2
B．F1＜F2
C．F1＝F2
D．不能确定
答案　B
解析　因为两个金属球较大，相距较近，电荷间的相互作用力使电荷分布不均匀，故不能简单地把两球看成点电荷．带等量同号电荷时，两球的电荷在距离较远处分布得多一些，带等量异号电荷时，两球的电荷在距离较近处分布得多一些，可见带等量同号电荷时两球电荷中心间距离大于带等量异号电荷时两球电荷中心间距离，所以有F1＜F2，故B项正确．
6．如图2所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是(　　)
图2
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
答案　C
解析　因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小．
题组二　库仑力的叠加
7．如图3所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10－9C和q2＝－9×10－9C，两者分别固定在相距20cm的a、b两点上，有一个点电荷q放在a、b所在直线上，且静止不动，该点电荷所处的位置是何处(　　)
图3
A．a的左侧40cm
B．a、b的中点
C．b的右侧40cm
D．无法确定
答案　A
解析　根据平衡条件，它应在q1点电荷的左侧，设距q1距离为x，有k＝k，将q1＝4×10－9C，q2＝－9×10－9C代入，解得x＝40cm，故选项A正确．
8．如图4所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是(　　)
图4
A．A带正电，QA∶QB＝1∶8
B．A带负电，QA∶QB＝1∶8
C．A带正电，QA∶QB＝1∶4
D．A带负电，QA∶QB＝1∶4
答案　B
解析　要使C处的正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以A带负电，B带正电．设AC间的距离为L，则FBsin30°＝FA即k·sin30°＝
解得＝，故选项B正确．
9．如图5所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9C、QB＝－4×10－9C、QC＝＋3×10－9C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的作用力的大小为(　　)
图5
A．9.9×10－4N
B．9.9×10－3N
C．1.17×10－4N
D．2.7×10－4N
答案　A
解析　点电荷A同时受到B和C的库仑力作用，因此作用在A上的力应为两库仑力的合力．可先根据库仑定律分别求出B、C对A的库仑力，再求合力．
A受到B、C电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有
FBA＝＝N
＝1.08×10－3N
FCA＝＝N＝9×10－5N
规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为
FA＝FBA－FCA＝(1.08×10－3－9×10－5)
N＝9.9×10－4N．故选项A正确．
题组三　库仑力作用下的平衡
10．(多选)A、B两个带电小球的质量分别为m1、m2，带电荷量分别为q1、q2.如图6所示，当A、B两小球静止时，两悬线与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，且两小球恰好处于同一水平面上．下列判断正确的是(　　)
图6
A．若q1＝q2，则θ1＝θ2
B．若q1＜q2，则θ1＞θ2
C．若m1＝m2，则θ1＝θ2
D．若m1＜m2，则θ1＞θ2
答案　CD
解析　A、B之间的静电力是作用力和反作用力关系，所以不论A、B哪个所带的电荷量大，它们受到的静电力都是大小相等、方向相反．由平衡条件得tanθ＝，可见若它们的质量相同，则悬线与竖直方向的夹角相同；质量越大，则悬线与竖直方向的夹角越小，故选项C、D正确．
11．如图7所示，把一带电荷量为Q＝－5×10－8C的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为q＝＋4×10－6C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm时，绳与竖直方向成45°角，取g＝10m/s2，k＝9.0×109
N·m2/C2，且A、B两小球均可视为点电荷，求：
图7
(1)A、B两球间的库仑力大小；
(2)A球的质量．
答案　(1)0.02N　(2)2×10－3kg
解析　(1)由库仑定律得：F＝k
代入数据得：F＝0.02N.
故A、B两球间的库仑力为0.02N.
(2)由牛顿第三定律知，B所受库仑力与A球所受库仑力的大小相等，对A球受力分析如图所示：
根据平衡条件得：F＝mgtanα
代入数据得：m＝2×10－3kg.
故A球的质量为：
m＝2×10－3kg.
12．如图8所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30g，则B带电荷量是多少？(取g＝10m/s2)
图8
答案　1.0×10－6C
解析　因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L.
依据题意可得：tan30°＝，
L＝＝cm＝10cm，
对B进行受力分析如图所示，依据物体平衡条件解得库仑力
F＝mgtan30°＝30×10－3×10×N＝0.3N.
依据库仑定律F＝k得：F＝k.
解得：Q＝＝×10×10－2C＝1.0×10－6C.电势能和电势
[目标定位]　1.知道静电力做功的特点，掌握静电力做功与电势能变化的关系.2.理解电势能、电势的概念，知道参考点的选取原则.3.知道什么是等势面，并能理解等势面的特点．
一、静电力做功、电势能及其关系
1．静电力做功的特点
如图1所示，在匀强电场中不论q经由什么路径从A点移动到B点，静电力做的功都相等．说明静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关(填“有关”或“无关”)．可以证明，对于非匀强电场也是适用的．
图1
2．电势能
(1)概念：电荷在电场中具有的势能．用Ep表示．
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：WAB＝EpA－EpB.
(3)电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功．
深度思考
(1)在电场中确定的两点移动等量的正、负电荷时，静电力做功和电势能的变化有何差异？
(2)电势能是标量还是矢量？它有正负之分吗？若有，其正负号表示什么？
答案　(1)静电力做功的绝对值相等，正负不同，电势能的变化量相等，增减情况相反．
(2)电势能是标量，有正负、无方向．电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能．
例1　将带电荷量为6×10－6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了3×10－5J的功，再从B移到C，电场力做了1.2×10－5J的功，则：
(1)电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能共改变了多少？
(2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
(3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？
解析　(1)WAC＝WAB＋WBC＝(－3×10－5＋1.2×10－5)
J＝－1.8×10－5J.
可见电势能增加了1.8×10－5J.
(2)如果规定A点的电势能为零，由公式得该电荷在B点的电势能为EpB＝EpA－WAB＝0－WAB＝3×10－5J.
同理，C点的电势能为EpC＝EpA－WAC＝0－WAC＝1.8×10－5J.
(3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点的电势能为：
EpA′＝EpB′＋WAB＝0＋WAB＝－3×10－5J.
C点的电势能为EpC′＝EpB′－WBC＝0－WBC＝－1.2×10－5J.
答案　见解析
1 电势能的系统性：电势能由电场和电荷共同决定，但我们习惯说成电场中的电荷所具有的势能.
2 电势能的相对性：电势能是一个相对量，其数值与零势能点的选取有关.
例2　在电场强度大小为E的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为＋q的物体从A点开始以某一初速度沿电场反方向做匀减速直线运动，其加速度的大小为，物体运动距离l到B时速度变为零．下列说法正确的是(　　)
A．物体克服电场力做功qEl
B．物体的电势能减少了qEl
C．物体的电势能增加了qEl
D．若选A点的电势能为零，则物体在B点的电势能为qEl
解析　物体所受电场力方向与运动方向相反，所以电场力做负功即克服电场力做功W＝qEl，选项A正确；由于电场力做功等于电势能的减少量，电场力做负功，所以电势能增加了qEl，选项B错误，选项C正确；由WAB＝EpA－EpB可知，当选A点的电势能为零时，EpB＝－WAB＝qEl，选项D正确．
答案　ACD
1 在匀强电场中，电场力做的功为W＝qEd，其中d为沿电场线方向的位移.
2 功是能量转化的量度，但要理解并区别电场力做功与电势能变化的关系、合外力做功与动能变化的关系 动能定理 ，即搞清功与能的变化的对应关系.
二、电势
1．概念：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
2．定义式和单位：φ＝，单位是伏特，符号是V.
3．相对性：电势也是相对的，常取离场源电荷无限远处的电势为零，或大地的电势为零，电势可以是正值，也可以是负值，没有方向，因此是标量．
4．与电场线的关系：沿电场线的方向电势降低．
深度思考
电荷在电势越高的位置电势能越大吗？
答案　不一定，正电荷在电势越高处电势能越大，负电荷在电势越高处电势能越小．
例3　如果把q＝1.0×10－8C的电荷从无限远移到电场中的A点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4J，那么：
(1)q在A点的电势能和A点的电势各是什么？
(2)q未移入电场前，A点的电势是多少？
解析　(1)静电力做负功，电势能增加，无限远处的电势为零，电荷在无限远处的电势能也为零，即φ∞＝0，Ep∞＝0.
由W∞A＝Ep∞－EpA得EpA＝Ep∞－W∞A＝0－(－1.2×10－4J)＝1.2×10－4J
再由φA＝得φA＝1.2×104V
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104V.
答案　(1)1.2×10－4J　1.2×104V　(2)1.2×104V
1 电势和电势能具有相对性，与零势面的选择有关.
2 φ＝是电势的定义式.电场中某点处φ的大小是由电场本身决定的，与在该点处是否放入试探电荷、电荷的电性、电荷量均无关.
3 由φ＝求电势时，可将各物理量的“＋”、“－”直接代入计算，这样更方便.
例4　有一电场的电场线如图2所示，电场中A、B两点电场强度的大小和电势分别用EA、EB和φA、φB表示，则(　　)
图2
A．EA>EB，φA>φB
B．EA>EB，φA<φB
C．EAφB
D．EA解析　由电场线的疏密可知EA答案　D
1 场强大小与电势高低之间无必然联系. 2 沿着电场线的方向电势降低.
三、等势面
1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．
2．等势面的特点
(1)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．
(2)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永不相交．
3．熟悉下面几种常见电场等势面的特点
深度思考
分析上面几种常见电场等势面的特点，我们是否可以根据等势面的分布情况比较各点场强的大小？
答案　可以．在电场线密集(稀疏)的地方，等差等势面也密集(稀疏)．因此由等差等势面的疏密，可以定性地比较各点场强的大小．
例5　关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
解析　若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错；电场线一定与等势面垂直，B对；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，C错；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，故D错．
答案　B
等势面的应用
(1)利用等势面和电场线垂直以及沿电场线电势降低的特点可判断电场线的方向．
(2)利用等势面的密集程度可以比较场强大小，密大疏小．
(3)在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功．
1．(电场力做功与电势能变化的关系)如图3所示，A、B、C为电场中同一电场线上的三点．设电荷在电场中只受电场力作用，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．若在C点无初速度地释放正电荷，则正电荷向B运动，电势能减少
B．若在C点无初速度地释放正电荷，则正电荷向A运动，电势能增加
C．若在C点无初速度地释放负电荷，则负电荷向A运动，电势能增加
D．若在C点无初速度地释放负电荷，则负电荷向B运动，电势能减少
答案　A
解析　若在C点无初速度地释放正电荷，正电荷所受电场力向右，则正电荷向B运动，电场力做正功，电势能减少；若在C点无初速度地释放负电荷，负电荷所受电场力向左，则负电荷向A运动，电场力做正功，电势能减少．
2．(电势的高低判断)关于静电场，下列说法正确的是(　　)
A．负电荷沿电场线方向移动时，电势能增加，电势降低
B．负电荷沿电场线方向移动时，电势能减小，电势降低
C．电场强度大的位置电势一定高，电场强度小的位置电势一定低
D．电场强度为零的点，电势一定为零
答案　A
解析　负电荷沿电场线方向移动时，电场力做负功，电势能增加，由φ＝可知电势降低，故A正确，B错误；电场强度与电势没有直接的关系，则电场强度大的位置电势不一定高，电场强度小的位置电势不一定低，电场强度为零的点，电势可能为零，也可能不为零，故C、D错误．
3．(电势能和电势的高低判断)在电场中，把电荷量为4×10－9
C的负点电荷从A点移到B点，克服静电力做功6×10－8
J，已知A点电势为零，则以下说法中正确的是(　　)
A．负点电荷在B点具有的电势能是6×10－8
J
B．B点电势是15
V
C．负点电荷的电势能增加了6×10－8
J
D．负点电荷的电势能减少了6×10－8
J
答案　AC
解析　由于负点电荷从A移到B的过程中克服静电力做功6×10－8
J，故负点电荷电势能增加了6×10－8
J，由于负点电荷在A点电势能为零，所以负点电荷在B点电势能为6×10－8
J，φB＝＝－15
V，故选项A、C正确，B、D错误．
4．(等势面的应用)(多选)如图4所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则(　　)
图4
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
答案　AD
解析　由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误．电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误．由题图中数据可知D正确.
题组一　电场力做功的特点和电势能变化的关系
1．(多选)一个电荷只在电场力作用下从电场中的A点移到B点时，电场力做了5×10－6J的功，那么(　　)
A．电荷在B处时将具有5×10－6J的电势能
B．电荷在B处时将具有5×10－6J的动能
C．电荷的电势能减少了5×10－6J
D．电荷的动能增加了5×10－6J
答案　CD
解析　电场力对电荷所做的功等于它的电势能的减少量，故电场力做了5×10－6J的功，电荷的电势能一定减少了5×10－6J，但电荷在B处的电势能无法确定，A错，C对；根据动能定理可知，电荷的动能一定增加了5×10－6J，但电荷在B处的动能无法确定，B错，D对．
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．电荷从电场中的A点运动到了B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B．电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则电场力做功为零
C．正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功
D．电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
答案　BC
解析　电场力做功和电荷运动路径无关，所以选项A错误；电场力做功只和电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点开始出发又回到了该点，电场力做功为零，B正确；正电荷沿电场线的方向运动，则正电荷受到的电场力和电荷的位移方向相同，故电场力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线的方向运动，电场力对负电荷做正功，C正确；电荷在电场中虽然有电场力做功，但是电荷的电势能和其他形式的能之间的转化满足能量守恒定律，D错．
3．(多选)如图1所示，两个等量的正点电荷分别置于P、Q两位置，在P、Q连线的垂直平分线上有M、N两点，另有一试探电荷q，则(　　)
图1
A．若q是正电荷，q在N点的电势能比在M点的电势能大
B．若q是负电荷，q在M点的电势能比在N点的电势能大
C．无论q是正电荷，还是负电荷，q在M、N两点的电势能都一样大
D．无论q是正电荷还是负电荷，q在M点的电势能都比在N点的电势能小
答案　AB
解析　由两个等量的正点电荷周围的电场线的分布情况可知，两点电荷连线的中垂线上的电场方向是：由连线的中点沿中垂线指向无穷远处．正电荷从N点移到M点，静电力做正功，电势能减小；负电荷从N点移到M点，静电力做负功，电势能增大．故选A、B.
题组二　电场线、等势面及应用
4．(多选)关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度的方向处处与等势面垂直
B．电场强度为零的地方，电势也为零
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度的方向总是指向该点电势降落最快的方向
答案　AD
解析　电场线(电场强度)的方向总是与等势面垂直，选项A正确．电场强度和电势是两个不同的物理量，电场强度等于零的地方，电势不一定等于零，选项B错误．沿着电场线方向，电势不断降落，电势的高低与电场强度的大小无必然关系，选项C错误．电场线(电场强度)的方向总是从高的等势面指向低的等势面，而且是电势降落最快的方向，选项D正确．
5．将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图2所示，金属球表面的电势处处相等，a、b为电场中的两点，则(　　)
图2
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小
C．带负电的电荷q在a点的电势能比在b点的小
D．带正电的电荷q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
答案　C
解析　a点所在的电场线从Q出发到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球的电势，而b点所在处的电场线从金属球发出到无穷远，所以金属球的电势高于b点的电势．故A错误；电场线的疏密表示场强的大小，故B错误；电势越高的地方，负电荷具有的电势能越小，即负电荷在a点的电势能较b点小，故C正确；正电荷在a点的电势能较b点大，则把带正电的电荷q从电势能大的a点移动到电势能小的b点，电势能减小，电场力做正功．故D错误．
6．(多选)如图3所示，O为两个等量异种电荷连线的中点，P为连线中垂线上的一点，对O、P两点的比较正确的是(　　)
图3
A．φO＝φP，EO>EP
B．φO>φP，EO＝EP
C．负电荷在P点的电势能大
D．O、P两点所在直线为等势面
答案　AD
解析　等量异种电荷的中垂线是一条等势面，故φO＝φP，负电荷在O、P两点电势能相等，B、C错，D正确；由电场叠加可知从中点O到无穷远，电场强度越来越小，故EO>EP，A正确．
7．(多选)如图4甲所示的直线为某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点自由释放，负电荷沿电场线从A到B运动过程中的速度－时间图象如图乙所示，比较A、B两点电势φ的高低和场强E的大小可得(　　)
图4
A．φA＞φBB．φA＜φBC．EA＞EBD．EA＝EB
答案　BC
解析　负电荷的速度在增加，说明电场力方向由A指向B，场强方向由B指向A，所以φB＞φA，B对．又知加速度在减小，所以EA＞EB，C对．
8．(多选)如图5所示，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个负的试探电荷在这个电场中仅在电场力作用下运动的轨迹．若电荷是从a处运动到b处，以下判断正确的是(　　)
图5
A．电荷从a到b加速度减小
B．电荷从a到b动能减小
C．电荷从a到b电势能减小
D．电荷从a到b电势能增大
答案　ABD
解析　由电场线的疏密程度可知，Ea>Eb，再由a＝＝知，A项正确；电场力的方向指向曲线的内侧，即沿电场线指向左，粒子从a运动到b处，电场力做负功，动能减小，电势能增大，所以B、D项正确，C项错误.
9．一个带电粒子在匀强电场中运动的轨迹如图6中曲线AB所示，平行的虚线a、b、c、d表示该电场中的四个等势面．不计粒子重力，下列说法中正确的是(　　)
图6
A．该粒子一定带正电
B．四个等势面中a等势面的电势一定最低
C．该粒子由A到B过程中动能一定逐渐减小
D．该粒子由A到B过程中电势能一定逐渐减小
答案　D
解析　根据电场线垂直于等势面，可画出电场线．再由粒子的运动轨迹可知，粒子受向上的电场力，由于粒子带电正负不确定，所以无法判断电场线的方向，无法判断电势高低，A、B错；由A到B的运动过程中，电场力做正功，所以粒子的动能增大，电势能减小．C错，D正确．
题组三　电势能和电势的计算
10．将一正电荷从无穷远处移至电场中M点，电场力做功为6.0×10－9J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无穷远处，电场力做功为7.0×10－9J，则M、N两点的电势φM、φN有(　　)
A．φM＜φN＜0
B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0
D．φM＞φN＞0
答案　C
解析　取无穷远处电势φ∞＝0.
对正电荷：W∞M＝0－EpM＝－qφM，
φM＝＝－；
对负电荷：WN∞＝EpN－0＝－qφN，
φN＝＝－；
所以φN＜φM＜0，选项C正确．
11．如图7所示，把电荷量为－5×10－9C的电荷，从电场中的A点移到B点，其电势能如何变化？若A点的电势φA＝15V，B点的电势φB＝10V，则此过程中电场力做的功为多少？
图7
答案　增大　－2.5×10－8J
解析　电荷由A点移到B点，电场力做负功，故电势能增大．由电场力做功与电势能变化的关系知，电场力做的功为WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝(－5×10－9)×(15－10)
J＝－2.5×10－8J.
12．将一个电荷量为－2×10－8C的点电荷，从零电势点S移到M点要克服静电力做功4×10－8J.
(1)q在M点的电势能和M点的电势各是多少？
(2)q移入电场前，M点的电势是多少？
(3)若将该电荷从M点移至N点，静电力做功1.4×10－7J，则N点的电势能和电势分别为多少
答案　(1)4×10－8J　－2V　(2)－2V　(3)－1×10－7J　5V
解析　(1)由WSM＝EpS－EpM得EpM＝EpS－WSM＝4×10－8J
由EpM＝qφM得φM＝＝V＝－2V
(2)电势与电荷无关，故q移入电场前φM＝－2V
(3)WMN＝EpM－EpN，得EpN＝EpM－WMN＝－1×10－7J
由EpN＝qφN得φN＝＝V＝5V习题课：带电粒子在电场中的运动
[目标定位]　1.加深对电场中带电粒子的加速和偏转的理解和应用.2.掌握电场中带电粒子的圆周运动问题的分析方法．
一、带电粒子在电场中的直线运动
例1　如图1所示，水平放置的A、B两平行板相距h，上极板A带正电，现有质量为m、电荷量为＋q的小球在B板下方距离B板为H处，以初速度v0竖直向上从B板小孔进入板间电场．
图1
(1)带电小球做何种运动？
(2)欲使小球刚好打到A板，A、B间电势差为多少？
解析　(1)带电小球在电场外只受重力的作用做匀减速直线运动，在电场中受重力和电场力作用做匀减速直线运动．
(2)整个运动过程中小球克服重力和电场力做功，由动能定理得
－mg(H＋h)－qUAB＝0－mv
解得UAB＝
答案　见解析
二、带电粒子在电场中的类平抛运动
例2　长为L的平行金属板竖直放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，以初速度v0紧贴左极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从右极板边缘射出，射出时速度恰与右极板成30°角，如图2所示，不计粒子重力，求：
图2
(1)粒子末速度的大小；
(2)匀强电场的场强；
(3)两板间的距离．
解析　(1)粒子离开电场时，合速度与竖直方向夹角为30°，
由速度关系得合速度：v＝＝，
vy＝v0tan30°＝
(2)粒子在匀强电场中做类平抛运动，
在竖直方向上：L＝v0t，
在水平方向上：vy＝at，
由牛顿第二定律得：qE＝ma
解得：E＝；
(3)粒子做类平抛运动，
在水平方向上：d＝at2，
解得：d＝L
答案　(1)　(2)　(3)L
三、带电粒子在交变电场中运动
例3　在如图3甲所示平行板电容器A、B两极板上加上如图乙所示的交变电压，开始B板的电势比A板高，这时两极板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是(不计电子重力)(　　)
甲　　　　　　　　乙
图3
A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性来回运动
B．电子一直向A板运动
C．电子一直向B板运动
D．电子先向B板运动，然后向A板运动，再返回B板做周期性来回运动
解析　由运动学和动力学规律画出如图所示的v－t图象可知，电子一直向B板运动，C正确．
答案　C
(1)当空间存在交变电场时，粒子所受电场力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性．
(2)研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v－t图象特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期．
四、带电粒子在电场中的圆周运动
电学知识与圆周运动结合的综合问题是近几年高考热点．解决这类问题的基本方法和力学中的情形相同，但处理时要充分考虑到电场力的特点，明确向心力的来源，灵活应用等效法、叠加法等分析解决问题．
例4　如图4所示，一绝缘细圆环半径为r，其环面固定在水平面上，电场强度为E的匀强电场与圆环平面平行，环上穿有一电荷量为＋q、质量为m的小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动，若小球经A点时速度vA的方向恰与电场线垂直，且圆环与小球间沿水平方向无作用力，则速度vA＝________.当小球运动到与A点对称的B点时，小球对圆环在水平方向的作用力FB＝______.
图4
解析　在A点时，电场力提供向心力qE＝
解得vA＝
在B点时，FB′－qE＝m，FB＝FB′
小球由A到B的过程中，由动能定理得：
qE·2r＝mv－mv
由以上各式解得FB＝6qE.
答案　　6qE
1．(带电粒子在电场中的直线运动)(多选)如图5所示，在等势面沿竖直方向的匀强电场中，一带负电的微粒以一定初速度射入电场，并沿直线AB运动，由此可知(　　)
图5
A．电场中A点的电势低于B点的电势
B．微粒在A点时的动能大于在B点时的动能
C．微粒在A点时的电势能大于在B点时的电势能
D．微粒在A点时机械能大于在B点时的机械能
答案　BD
解析　带负电微粒受重力、电场力，合外力与运动方向在同一条直线上，可知所受电场力方向水平向左，场强方向水平向右，沿电场线电势在降低，所以A点的电势高于B点的电势，故A错误；由A到B，微粒做减速运动，所以动能减小，电场力做负功，电势能增加，即微粒在A点的动能大于在B点时的动能，在A点时的电势能小于在B点时的电势能，故B正确，C错误；微粒从A向B运动，除重力外电场力做负功，机械能减小，选项D正确．
2．(带电粒子在电场中的类平抛运动)如图6所示，阴极A受热后向右侧空间发射电子，电子质量为m，电荷量为e，电子的初速率为v，且各个方向都有．与A极相距l的地方有荧光屏B，电子击中荧光屏时便会发光．若在A和B之间的空间里加一个水平向左、与荧光屏面垂直的匀强电场，电场强度为E，求B上受电子轰击后的发光面积．
图6
答案　
解析　阴极A受热后发射电子，这些电子沿各个方向射向右边匀强电场区域，取两个极端情况如图所示．
沿极板竖直向上且速率为v的电子，受到向右的电场力作用做类平抛运动打到荧光屏上的P点．
竖直方向上y＝vt，
水平方向上l＝·t2.解得y＝v.
沿极板竖直向下且速率为v的电子，受到向右的电场力作用做类平抛运动打到荧光屏上的Q点，同理可得y′＝v.
故在荧光屏B上的发光面积S＝y2π＝.
3．(带电粒子在交变电场中的运动)在空间有正方向水平向右、大小按如图7所示的图线变化的电场，位于电场中A点的电子在t＝0时速度为零，在t＝1s时，电子离开A点的距离大小为l.那么在t＝2s时，电子将处在(　　)
图7
A．A点
B．A点左方l处
C．A点右方2l处
D．A点左方2l处
答案　D
解析　第1s内电场方向向右，电子受到的电场力方向向左，电子向左做匀加速直线运动，位移为l，第2s内电子受到的电场力方向向右，由于电子此时有向左的速度，因而电子继续向左做匀减速直线运动，根据运动的对称性，位移也是l，t＝2s时总位移为2l，向左．
4．(电场中粒子的圆周运动)如图8所示，半径为R的环形塑料管竖直放置，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及以下部分处于水平向左的匀强电场中，管的内壁光滑．现将一质量为m、带电荷量为＋q的小球从管中A点由静止释放，已知qE＝mg.求：
图8
(1)小球释放后，第一次经过最低点D时的速度和对管壁的压力；
(2)小球释放后，第一次经过最高点C时管壁对小球的作用力．
答案　(1)2　5mg，方向竖直向下　(2)mg，方向竖直向下
解析　(1)A至D点，由动能定理得
mgR＋qER＝mv，v1＝2
由牛顿第二定律FN－mg＝m，FN＝5mg
由牛顿第三定律FN＝FN′
小球对管壁的压力为5mg，方向竖直向下．
(2)第一次经过C，－mgR＋qE·2R＝mv
设管壁对小球的作用力方向竖直向下，
mg＋FC1＝m
FC1＝mg，方向竖直向下.
题组一　带电微粒在电场中的直线运动
1．下列带电粒子均从静止开始在电场力作用下做加速运动，经过相同的电势差U后，哪个粒子获得的速度最大(　　)
A．质子H
B．氘核H
C．α粒子He
D．钠离子Na＋
答案　A
解析　四种带电粒子均从静止开始在电场力作用下做加速运动，经过相同的电势差U，故根据动能定理，
qU＝mv2－0得v＝
由上式可知，比荷越大，速度越大；显然A选项中质子的比荷最大，故A正确．
2．如图1所示，一个平行板电容器充电后与电源断开，从负极板处释放一个电子(不计重力)，设其到达正极板时的速度为v1，加速度为a1.若将两极板间的距离增大为原来的2倍，再从负极板处释放一个电子，设其到达正极板时的速度为v2，加速度为a2，则(　　)
图1
A．a1∶a2＝1∶1，v1∶v2＝1∶2
B．a1∶a2＝2∶1，v1∶v2＝1∶2
C．a1∶a2＝2∶1，v1∶v2＝∶1
D．a1∶a2＝1∶1，v1∶v2＝1∶
答案　D
解析　电容器充电后与电源断开，再增大两极板间的距离时，场强不变，电子在电场中受到的电场力不变，故a1∶a2＝1∶1.由动能定理Ue＝mv2得v＝，因两极板间的距离增大为原来的2倍，由U＝Ed知，电势差U增大为原来的2倍，故v1∶v2＝1∶.
3．(多选)平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图2所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子(　　)
图2
A．所受重力与电场力平衡
B．电势能逐渐增加
C．动能逐渐增加
D．做匀变速直线运动
答案　BD
解析　带电粒子在平行板电容器之间受到两个力的作用，一是重力mg，方向竖直向下；二是电场力F＝Eq，方向垂直于极板向上．因二力均为恒力，已知带电粒子做直线运动，所以此二力的合力一定在粒子运动的直线轨迹上，根据牛顿第二定律可知，该粒子做匀减速直线运动，选项D正确，选项A、C错误；从粒子运动的方向和电场力的方向可判断出，电场力对粒子做负功，粒子的电势能增加，选项B正确．
题组二　带电粒子在电场中的类平抛运动
4．如图3所示，两极板与电源相连接，电子从负极板边缘垂直电场方向射入匀强电场，且恰好从正极板边缘飞出，现在使电子入射速度变为原来的两倍，而电子仍从原位置射入，且仍从正极板边缘飞出，则两极板的间距应变为原来的(　　)
图3
A．2倍B．4倍C.D.
答案　C
解析　电子在两极板间做类平抛运动．
水平方向：l＝v0t，所以t＝.
竖直方向：d＝at2＝t2＝，
故d2＝，即d∝，故C正确．
5．(多选)如图4所示，一电子沿x轴正方向射入匀强电场，在电场中的运动轨迹为OCD，已知O＝A，电子过C、D两点时竖直方向的分速度为vCy和vDy；电子在OC段和OD段动能的变化量分别为ΔEk1和ΔEk2，则(　　)
图4
A．vCy∶vDy＝1∶2
B．vCy∶vDy＝1∶4
C．ΔEk1∶ΔEk2＝1∶3
D．ΔEk1∶ΔEk2＝1∶4
答案　AD
解析　电子沿Ox轴射入匀强电场，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，已知＝，则电子从O到C与从C到D的时间相等．电子在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，则有vCy＝atOC，vDy＝atOD，所以vCy∶vDy＝tOC∶tOD＝1∶2，故A正确，B错误；根据匀变速直线运动的推论可知，在竖直方向上：yOC∶yOD＝1∶4，根据动能定理得ΔEk1＝qEyOC，ΔEk2＝qEyOD，则得，ΔEk1∶ΔEk2＝1∶4.故C错误，D正确．
6．如图5所示，质量相同的两个带电粒子P、Q以相同的速度沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，P从两极板正中央射入，Q从下极板边缘处射入，它们最后打在同一点(重力不计)，则从开始射入到打到上极板的过程中(　　)
图5
A．它们运动的时间tQ＞tP
B．它们运动的加速度aQ＜aP
C．它们所带的电荷量之比qP∶qQ＝1∶2
D．它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝1∶2
答案　C
解析　设两板距离为h，P、Q两粒子的初速度为v0，加速度分别为aP和aQ，粒子P到上极板的距离是，它们做类平抛运动的水平距离为l.则对P，由l＝v0tP，＝aPt，得到aP＝；同理对Q，l＝v0tQ，h＝aQt，得到aQ＝.由此可见tP＝tQ，aQ＝2aP，而aP＝，aQ＝，所以qP∶qQ＝1∶2.由动能定理得，它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝maP∶maQh＝1∶4.综上所述，C项正确．
7．(多选)如图6所示，氕、氘、氚的原子核以初速度为零进入同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上，那么(　　)
图6
A．经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B．经过偏转电场的过程中，电场力对三种核做的功一样多
C．三种原子核打在屏上的速度一样大
D．三种原子核都打在屏的同一位置上
答案　BD
解析　同一加速电场、同一偏转电场，三种原子核带电荷量相同，故在同一加速电场中电场力对它们做的功都相同，在同一偏转电场中电场力对它们做的功也相同，A错，B对；由于质量不同，所以三种原子核打在屏上的速度不同，C错；再根据偏移距离公式或偏转角公式y＝，tanθ＝知，与带电粒子无关，D对．
8．如图7所示，场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h.质量均为m、带电荷量分别为＋q和－q的两粒子，由a、c两点先后沿ab和cd方向以速率v0进入矩形区域(两粒子不同时出现在电场中)．不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于(　　)
图7
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　根据对称性，两粒子轨迹的切点位于矩形区域abcd的中心，则在水平方向有s＝v0t，在竖直方向有h＝··t2，解得v0＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
题组三　带电粒子在交变电场中的运动
9．(多选)带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图8所示．带电微粒只在电场力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是(　　)
图8
A．微粒在0～1s内的加速度与1～2s内的加速度相同
B．微粒将沿着一条直线运动
C．微粒做往复运动
D．微粒在第1s内的位移与第3s内的位移相同
答案　BD
解析　微粒在0～1
s内的加速度与1～2
s内的加速度大小相等、方向相反，A项错误；带正电的微粒放在电场中，第1
s内加速运动，第2
s内减速至零，故B、D项正确，C项错误．
10．(多选)如图9所示，两金属板(平行)分别加上如下列选项中的电压，能使原来静止在金属板中央的电子(不计重力)有可能做往返运动的U－t图象应是(设两板距离足够大)(　　)
图9
答案　BC
解析　由A图象可知，电子先做匀加速运动，T时速度最大，从T到T内做匀减速运动，T时速度减为零．然后重复一直向一个方向运动不往返．
由B图象可知，电子先做匀加速运动，T时速度最大，从T到T内做匀减速运动，T时速度减为零；从T到T反向匀加速运动，T时速度最大，从T到T内做匀减速运动，T时速度减为零，回到出发点．然后重复往返运动．
由C图象可知，电子先做加速度减小的加速运动，T时速度最大，从T到T内做加速度增大的减速运动，T时速度减为零；从T到T反向做加速度减小的加速运动，T时速度最大，从T到T内做加速度减小的减速运动，T时速度减为零，回到出发点．然后重复往返运动．
由D图象可知，电子先做匀加速运动，T时速度最大，从T到T内做匀速运动，然后重复加速运动和匀速运动一直向一个方向运动．故选B、C.
题组四　综合应用
11．如图10，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力．求A、B两点间的电势差．
图10
答案　
解析　设带电粒子在B点的速度大小为vB.粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin30°＝v0sin60°①
由此得vB＝v0②
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有
qUAB＝m(v－v)③
联立②③式得UAB＝.
12．中国科学家2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加速器．加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用．
如图11所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极．质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变．设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107
m/s，电源频率为1×107
Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的1/2，质子的荷质比取1×108
C/kg.求：
图11
(1)漂移管B的长度；
(2)相邻漂移管间的加速电压．
答案　(1)0.4
m　(2)6×104
V
解析　(1)设质子进入漂移管B的速度为vB，电源频率、周期分别为f、T，漂移管B的长度为L，则
T＝①
L＝vB·②
联立①②式并代入数据得L＝0.4
m③
(2)设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，电压对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到E电场做功W′，质子的电荷量为q、质量为m，则
W＝qU④
W′＝3W⑤
W′＝mv－mv⑥
联立④⑤⑥式并代入数据得U＝6×104
V⑦
13．如图12所示，ABCD为竖直放在场强为E＝104N/C的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的ABC部分是半径为R＝0.5
m的半圆环(B为半圆弧的中点)，轨道的水平部分与半圆环相切于C点，D为水平轨道的一点，而且CD＝2R，把一质量m＝100
g、带电荷量q＝10－4
C的带负电小球，放在水平轨道上的D点，由静止释放后，在轨道的内侧运动．g＝10
m/s2，求：
图12
(1)小球到达B点时的速度是多大？
(2)小球到达B点时对轨道的压力是多大？
答案　(1)2m/s　(2)5N
解析　(1)小球从D至B的过程中，由动能定理：
qE(2R＋R)－mgR＝mv
解得：vB＝2m/s
(2)在B点由牛顿第二定律得：
FN－qE＝
FN＝qE＋m＝5N.
由牛顿第三定律知
FN′＝FN＝5N．电势差
[目标定位]　1.理解电势差的概念，知道电势差与电势零点的选择无关.2.掌握两点间电势差的表达式，知道两点之间电势差的正、负号与这两点的电势高低之间的对应关系.3.会用UAB＝φA－φB及UAB＝进行有关计算．
一、电势差
1．定义：电场中两点间电势的差值．也叫电压．
2．电场中两点间的电势差与零电势点的选择无关(填“有关”或“无关”)．
3．公式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，可见UAB＝－UBA.
4．电势差是标量，UAB为正值，A点的电势比B点的电势高；UAB为负值，A点的电势比B点的电势低．
5．电势差的单位和电势的单位相同，均为伏特，符号是V.
深度思考
选取不同的零电势点，电场中某点的电势会改变吗？两点之间的电势差会改变吗？
答案　该点的电势会改变；两点之间的电势差不变．
例1　下列说法正确的是(　　)
A．电场中两点间的电势差大小与零电势点的选取有关
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝UAB
解析　由电势差的概念知B、D正确．
答案　BD
例2　如图1所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10V、6V和－2V，则UAB＝__________，UBC＝________，UCA＝__________.
图1
解析　由电势差的基本定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，故有φA＝φB＝10V，φC＝－2V，所以
UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0.
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)]V＝12V.
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φA＝(－2－10)
V＝－12V.
答案　0　12V　－12V
1 对电势差要注意角标的排序，如：UAB＝－UBA，UAB＋UBC＝UAC.
2 若求某点的电势，必须明确规定零电势点在哪里，但两点间电势差的数值与零电势点的选取无关.
二、静电力做功与电势差的关系
1．关系：WAB＝qUAB，UAB＝.
2．适用范围：任意电场．
例3　在电场中把一个电荷量为－6×10－8C的点电荷从A点移到B点，电场力做功为－3×10－5J，将此电荷从B点移到C点，电场力做功4.5×10－5J，求A点与C点间的电势差．
解析　求解电势差可有两种方法：一种是电场力所做的功与电荷量的比值，另一种是两点电势的差值．
法一　把电荷从A移到C电场力做功
WAC＝WAB＋WBC
＝(－3×10－5＋4.5×10－5)J＝1.5×10－5J.
则A、C间的电势差
UAC＝＝V＝－250V.
法二　UAB＝＝V＝500V.
UBC＝＝V＝－750V.
则UAC＝UAB＋UBC＝(500－750)V＝－250V.
答案　－250V
1 电场力做功与路径无关，只与始、末两点的位置有关，故WAC＝WAB＋WBC.
2 在利用公式UAB＝进行有关计算时，有两种处理方案，方案一：各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同.WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低.计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA.方案二：绝对值代入法.WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低.
针对训练　电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8J，在B点的电势能为8.0×10－9J．已知A、B两点在同一条电场线上，如图2所示，该点电荷的电荷量为1.0×10－9C，那么(　　)
图2
A．该电荷为负电荷
B．该电荷为正电荷
C．A、B两点的电势差UAB＝4.0V
D．把电荷从A移到B，电场力做功为W＝4.0J
答案　A
解析　点电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，从A到B电场力做正功，所以该电荷一定为负电荷，且WAB＝EpA－EpB＝1.2×10－8J－8.0×10－9J＝4.0×10－9J，故A项正确，B、D项错误；UAB＝＝V＝－4.0V，所以C选项错误．
1．(对电势差的理解)下列说法正确的是(　　)
A．电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压
B．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
C．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以UAB＝UBA
答案　A
解析　电势差的大小与零电势点的选取无关，B错误；电势差可以反映出两点电势的高低，UAB＝φA－φB＝－UBA，而电压只是电势差的大小，C、D错误．
2．(电场力做功与电势差的关系)关于电势差和电场力做功的说法中，正确的是(　　)
A．电势差是矢量，电场力做的功是标量
B．在两点间移动电荷，电场力不做功，则两点间的电势差为零
C．在两点间被移动的电荷的电荷量越少，则两点间的电势差越大
D．在两点间移动电荷时，电场力做正功，则两点间的电势差大于零
答案　B
解析　电势差是标量，其正、负号不表示方向，故A错．两点间的电势差与被移动电荷的电荷量无关，故C错．若在两点间移动负电荷时，电场力做正功，则这两点间电势差为负值，故D错，只有B对．
3．(电势差与电场力的功)如图3所示，在处于O点的点电荷＋Q形成的电场中，试探电荷＋q由A点移到B点，电场力做功为W1；以OA为半径画弧交OB于C，再把试探电荷由A点移到C点电场力做功为W2，由C点移到B点电场力做功为W3.则3次电场力做功的大小关系为(　　)
图3
A．W1＝W2＝W3＜0
B．W1＞W2＝W3＞0
C．W1＝W3＞W2＝0
D．W3＞W1＝W2＝0
答案　C
解析　因为A、C在同一等势面上，所以UAB＝UCB，UAC＝0，W1＝W3，W2＝0.选C.
4．(电场力做功与电势差的关系)有一电荷量为q＝－3×10－6C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10－4J．从B点移到C点电场力做功9×10－4J.
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
答案　(1)UAB＝200V　UBC＝－300V　UCA＝100V
(2)φA＝200V　φC＝300V　EpA＝－6×10－4J　EpC＝－9×10－4J
解析　(1)法一　先求电势差的绝对值，再判断正、负
|UAB|＝＝V＝200V.
因负电荷从A移到B克服电场力做功，必是从高电势点移向低电势点，即
φA＞φB，UAB＝200V.
|UBC|＝＝V＝300V.
因负电荷从B移到C电场力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即
φB＜φC，UBC＝－300V，
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝(300－200)
V＝100V.
法二　直接代入数值符号求解
电荷由A移向B克服电场力做功即电场力做负功，
WAB＝－6×10－4J.
UAB＝＝V＝200V.
电荷由B移到C电场力做正功，
UBC＝＝V＝－300V.
故UCA＝UCB＋UBA＝100V
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＋φB＝200V.
由UBC＝φB－φC得
φC＝φB－UBC＝0－(－300)
V＝300V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200J＝－6×10－4J
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300J＝－9×10－4J.
题组一　对电势差的理解
1．对于电场中A、B两点，下列说法正确的是(　　)
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点电场力所做的功
C．将1C电荷从A点移到B点，电场力做1J的功，这两点间的电势差为1V
D．电荷由A点移到B点的过程中，除受电场力外，还受其它力的作用，电荷电势能的变化就不再等于电场力所做的功
答案　C
解析　UAB反映电场本身的性质，与试探电荷无关，不能说两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比，故A错误；根据电势差的定义式UAB＝可知：A、B两点间的电势差等于将单位正电荷从A点移到B点电场力所做的功，故B错误；根据电势差的定义式UAB＝可知：将1C电荷从A点移到B点，电场力做1J的功，这两点间的电势差UAB＝1V，故C正确；电荷由A点移到B点的过程中，电荷电势能的变化仍等于电场力所做的功，故D错误．
2．(多选)若在某电场中将5.0×10－8C的电荷由A点移到B点，静电力做功6.0×10－3J，则(　　)
A．A、B两点间的电势差是1.2×105V
B．A、B两点间的电势差是3.0×10－10V
C．若在A、B两点间移动2.5×10－8C的电荷，则静电力做功3.0×10－3J
D．若在A、B两点间移动1.0×10－7C的电荷，则静电力做功3.0×10－17J
答案　AC
解析　由公式W＝qU可得，电势差U＝＝V＝1.2×105V，选项A正确，选项B错误；若移动2.5×10－8C的电荷，静电力做功W2＝q2U＝2.5×10－8×1.2×105J＝3.0×10－3J，选项C正确；若移动1.0×10－7C的电荷，静电力做功W3＝q3U＝1.0×10－7×1.2×105J＝1.2×10－2J，选项D错误．
3．在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60V，B、C两点间的电势差UBC＝－50V，则A、B、C三点电势高低关系是(　　)
A．φA＞φB＞φC
B．φA＜φC＜φB
C．φA＞φC＞φB
D．φC＞φB＞φA
答案　C
解析　因为UAB＝φA－φB＝60V＞0，所以φA＞φB，又UBC＝φB－φC＝－50V＜0，所以φB＜φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60V＋(－50V)＝10V＞0，所以φA＞φC，故φA＞φC＞φB.正确选项为C.
4．如图1所示，正点电荷电场中有A、B两点，将一电荷量q＝＋3.2×10－19C的试探电荷从电场中的A点移至B点，电场力做功W＝＋6.4×10－20J，则A、B两点间的电势差U等于(　　)
图1
A．0.5V
B．0.2V
C．5V
D．2V
答案　B
解析　A、B两点间的电势差U＝＝V＝0.2V，故选B.
题组二　电场力做功与电势能、电势差的关系
5．(多选)如图2所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较(　　)
图2
A．WAB＞WAC　　
B．WAD＞WAB
C．WAC＝WAD　　
D．WAB＝WAC
答案　CD
解析　点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UAB＝UAC＝UAD，将同一试探电荷从A点分别移到B、C、D各点，由功的计算公式W＝qU可得电场力做功相同．
6．在静电场中，一个电子由a点移到b点时静电力做功为5eV(1eV＝1.60×10－19J)，则以下说法中正确的是(　　)
A．电场强度的方向一定由b沿直线指向a
B．a、b两点间电势差Uab＝5V
C．电子的电势能减少5eV
D．电子的电势能减少5J
答案　C
解析　电场强度的方向与运动路径无关，A错；Uab＝＝＝－5V，B错；静电力做5eV的正功，电势能减少5eV，C对，D错．
7．(多选)空间存在匀强电场，有一电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从O点以速率v0射入电场，运动到A点时速率为2v0.现有另一电荷量为－q、质量为m的粒子以速率2v0仍从O点射入该电场，运动到B点时速率为3v0.若忽略重力的影响，则(　　)
A．在O、A、B三点中，B点电势最高
B．在O、A、B三点中，A点电势最高
C．O、A间的电势差比B、O间的电势差大
D．O、A间的电势差比B、A间的电势差小
答案　AD
8．在电场中将一带电荷量q＝－1×10－9C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×10－6J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6J，则BC间的电势差大小为(　　)
A．5000V
B．3000V
C．2000V
D．1000V
答案　A
解析　电荷由B移到C，电场力做功为
WBC＝WBA＋WAC＝－2×10－6J－3×10－6J＝－5×10－6J
由UBC＝得：
由UBC＝V＝5000V
所以BC间的电势差大小为5000V.
题组三　综合应用
9．如图3中虚线所示，为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0，一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过A、B点时的动能分别为26eV和5eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8eV时，它的动能应为(　　)
图3
A．8eV　　
B．13eV
C．20eV　　
D．34eV
答案　C
解析　由于正电荷由A到B动能减少了21eV，而电场中机械能和电势能总和不变，故在等势面3时动能应为12eV，总能量E＝12eV＋0eV＝12eV，当在某一位置，电势能Ep＝－8eV时，动能Ek＝12eV－(－8eV)＝20eV，故应选C.
10．(多选)如图4所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设a、b所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则(　　)
图4
A．带电粒子带负电
B．a、b两点间的电势差Uab＝
C．b点场强大于a点场强
D．a点场强大于b点场强
答案　ABC
解析　带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时动能没有增大，说明静电力做负功．根据动能定理有：mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝.因为a点电势高于b点电势，Uab＞0，所以粒子带负电，选项A、B正确．带电粒子由a运动到b过程中，在重力和静电力的共同作用下，先加速运动后减速运动．因为重力为恒力，所以静电力为变力，且静电力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强，选项C正确，D错误．
11．带电荷量为q＝＋5.0×10－8C的点电荷从A点移到B点时，克服静电力做功3.0×10－6J．已知B点的电势为φB＝20V．求：
(1)A、B间的电势差；
(2)A点的电势；
(3)q从A到B的电势能变化．
答案　(1)－60V　(2)－40V
(3)电势能增加3.0×10－6J
解析　(1)从A到B静电力做的功为：
WAB＝－3.0×10－6J
A、B两点间的电势差UAB＝＝V＝－60V，B点电势高于A点电势．
(2)根据UAB＝φA－φB得A点的电势为：φA＝UAB＋φB＝(－60V)＋20V＝－40V.
(3)q从A到B克服静电力做功，电势能一定增加，ΔEp＝|WAB|＝3.0×10－6J.
12．如图5所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10－5C的正电荷由A点移到B点，其电势能改变了0.2J，求：
图5
(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB；
(2)A、B两点间的电势差UAB.
答案　(1)0.2J　(2)1×104V
解析　(1)因正电荷由A移到B的过程中，正电荷的电势能减少了ΔEp减＝0.2J，所以这个过程中电场力对正电荷所做的功WAB＝ΔEp减＝0.2J.
(2)A、B两点间的电势差UAB＝＝1×104V.习题课：电场能的性质
[目标定位]　1.会分析带电粒子在电场中的运动特点.2.能求解电场力做的功和电场中的电势．
一、电场线、等势线和运动轨迹
例1　如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知(　　)
图1
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
解析　根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．
答案　A
(1)速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．
(2)电势能大小的判断方法
①电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．
②利用公式法：由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大．
例2　如图2，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc，则(　　)
图2
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
解析　由库仑定律F＝可知，粒子在a、b、c三点受到的电场力的大小关系为Fb>Fc>Fa，由a＝，可知ab>ac>aa.根据粒子的轨迹可知，粒子Q与场源电荷P的电性相同，二者之间存在斥力，由c→b→a整个过程中，电场力先做负功再做正功，且Wba>|Wcb|，结合动能定理可知，va>vc>vb，故选项D正确．
答案　D
已知等电势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直绘制电场线，再根据轨迹弯曲方向找电荷的受力方向，结合运动轨迹或路径，判断功的正负；由电场力做功正负确定动能及电势能的变化．
二、电场强度和电势的理解
例3　如图3所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C点为连线中垂线上距A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度E的大小、电势φ高低的比较，正确的是(　　)
图3
A．EA＝EC＞EB，φA＝φC＞φB
B．EB＞EA＞EC，φA＝φC＞φB
C．EA＜EB，EA＜EC，φA＞φB，φA＞φC
D．EA＞EB，EA＞EC，φA＞φB，φA＞φC
解析　等量异种点电荷周围的电场线如图所示，根据电场线的疏密分布知，A点的电场线比C点密，B点的电场线比A点密，则EB＞EA＞EC；等量异种点电荷的中垂线为等势线，则A点的电势与C点的电势相等，沿着电场线方向电势逐渐降低，则A点的电势大于B点电势．所以φA＝φC＞φB，故B正确，A、C、D错误．
答案　B
1 电场强度与电势没有直接关系.电场强度为零，电势不一定为零.电势为零，电场强度也不一定为零.电场强度大的地方，电势不一定高.
2 比较电势的高低，应主要把握沿电场线方向电势降低，若两点不在同一电场线上，应通过等势面，转化为同一电场线上的两点电势的比较.
三、电场力做功与电势差、电势能的综合
例4　如图4所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
图4
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参考点(零电势点)，试确定A点的电势．
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)．
又因为φC＝0，
可得φA＝－.
答案　(1)　(2)－
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.
(2)利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．
(3)利用公式WAB＝qUAB求解．
(4)利用动能定理求解.
1．(电场线、等势线和运动轨迹)(多选)如图5所示，图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带正电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定(　　)
图5
A．M点的电势高于N点的电势
B．M点的电势低于N点的电势
C．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
答案　AD
解析　沿着电场线的方向电势降低，故选项A正确，B错误；电场线越密，场强越大，同一粒子受到的电场力越大，故选项C错误；粒子从M点到N点电场力做正功，所以电势能减小，选项D正确．
2．(电场线、等势线和运动轨迹)一个电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图6中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是(　　)
图6
A．如果实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
B．如果实线是等势面，则a点的电势比b点的电势低
C．如果实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高
D．如果实线是等势面，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
答案　A
解析　若题图中实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场线方向水平向左，则a点的电势比b点低，C错误；由于从a点运动到b点电场力做正功，所以电子的电势能减小，所以电子在a点的电势能比在b点的电势能大，所以A正确；若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，则电场线方向向上，则a点的电势比b点高，从a到b电子做负功，所以电势能增加，则电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故B、D错误．
3．(对电场强度和电势的理解)下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是(　　)
答案　D
解析　匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.
4．(电场力做功、电势差等的综合应用)如图7所示．Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，求：
图7
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用Q和h表示)．
答案　(1)3g，方向竖直向上　(2)－
解析　(1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q.由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m·g.在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
题组一　电场线、等势面与运动轨迹
1．(多选)某静电场中的电场线如图1所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是(　　)
图1
A．粒子必定带正电
B．由于M点没有电场线，粒子在M点不受静电力的作用
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于在N点的动能
答案　ACD
解析　根据粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受静电力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A选项正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的静电力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N点的加速度大，B选项错误，C选项正确．粒子从M点运动到N点，静电力做正功，根据动能定理得此粒子在N点的动能大，故D选项正确．
2．一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则(　　)
图2
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案　B
解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
3.如图3，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则(　　)
图3
A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案　B
解析　电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，WMQ＝q(φM－φQ)＝0，电子由P点到Q点过程中，WPQ＝q(φP－φQ)＞0，故C、D错误．
4．(多选)图4中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子(　　)
图4
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
答案　CD
解析　根据轨迹弯曲方向判断出，粒子在a→b→c的过程中，一直受静电斥力作用，根据同性电荷相互排斥，故粒子带正电，A错误；点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷的距离越大，场强越小，粒子在c点受到的电场力最小，故B错误；根据动能定理，粒子由b到c，电场力做正功，动能增加，故粒子在b点电势能一定大于在c点的电势能，故C正确；a点到b点与b点到c点相比，由于点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷距离越大，场强越小，故a到b电场力做功较多，动能变化也较大，故D正确．
题组二　对电场强度和电势理解
5．在静电场中，关于场强和电势的说法正确的是(　　)
A．电场强度大的地方电势一定高
B．电势为零的地方场强也一定为零
C．场强为零的地方电势也一定为零
D．场强大小相同的点电势不一定相同
答案　D
解析　沿着电场线的方向电势逐渐降低，电场线密的地方，电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，电势高的地方电场强度不一定大，电场强度大的地方，电势不一定高，故A错误．电势为零是人为选取的，则电势为零的地方场强可以不为零，故B错误．场强为零的地方电势不一定为零，电势为零是人为选取的，故C错误．在匀强电场中，场强处处相等，但沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以场强大小相同的点电势不一定相同，故D正确．
6．(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图5所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则(　　)
图5
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
答案　ACD
解析　由题图知，a点处的电场线比b点处的电场线密集，c点处电场线比d点处电场线密集，所以A、C正确；过a点画等势线，与b点所在电场线的交点与b点位置比较知b点的电势高于a点的电势，故B错误；同理分析可得d点电势高于c点电势，故D正确．
7．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，下列正确描述电势φ随位置x变化规律的图象是(　　)
答案　A
解析　等量异种点电荷电场线如图所示，因为沿着电场线方向电势降低，所以以正电荷为参考点，左、右两侧电势都是降低的；因为逆着电场线方向电势升高，所以，以负电荷为参考点，左、右两侧电势都是升高的．可见，在整个电场中，正电荷所在位置电势最高，负电荷所在位置电势最低，符合这种电势变化的情况只有A选项．
8．(多选)带电粒子仅在电场力作用下以初速度v0从t＝0时刻开始运动，其v－t图象如图6所示．若粒子在2t0时刻运动到A点，5t0时刻运动到B点．以下说法中正确的是(　　)
图6
A．A、B两点的电场强度大小关系为EA＝EB
B．A、B两点的电势关系为φA＜φB
C．粒子从A点运动到B点时，电场力做的总功为正
D．粒子从A点运动到B点时，电势能先减少后增加
答案　AC
解析　由速度图象可知粒子整个运动过程中，加速度相同，所受的电场力相同，故A、B两点的电场强度大小相等：EA＝EB，A项正确；由v－t图象可知粒子在A点速度为零，在B点时速度大于零，故粒子从A点运动到B点的过程，电场力做正功，电势能减少，C项正确，D项错误；因为粒子的电性不确定，所以无法判断A、B两点的电势高低，B项错误．
题组三　电场力做功与电势差、电势能的综合
9．(多选)如图7是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分离并落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有(　　)
图7
A．带正电的矿粉落在右侧
B．静电力对矿粉做正功
C．带负电的矿粉电势能变大
D．带正电的矿粉电势能变小
答案　BD
解析　由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受静电力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受静电力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误；无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受静电力方向偏转，静电力均做正功，选项B正确；电势能均减少，选项C错误，选项D正确．
10．如图8，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点．不计重力．下列说法正确的是(　　)
图8
A．M带负电荷，N带正电荷
B．M在b点的动能小于它在a点的动能
C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
答案　ABC
解析　如题图所示，M粒子的轨迹向左弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向左，可知M带电粒子受到了引力作用，故M带负电荷，而N粒子的轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向下，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电荷，故选项A正确；由于虚线是等势面，故M粒子从a到b电场力对其做负功，故动能减小，故选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从d到e电场力不做功，故电势能不变，故选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，电场力做正功，故选项D错误．
11．如图9所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J．若AB边长为2cm，则电场强度的大小为多大？方向如何？
图9
答案　104V/m　为垂直B、C连线，由A指向BC
解析　正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得：UAB＝＝V＝300V.
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得：
UAC＝＝V＝300V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E＝＝V/m＝104
V/m.
12．一长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图10所示的水平向右的匀强电场中．开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零．试求：
图10
(1)A、B两点的电势差UAB；
(2)匀强电场的场强大小．
答案　(1)　(2)
解析　(1)小球由A到B过程中，由动能定理得
mgLsin60°－qUAB＝0，所以UAB＝
(2)E＝＝
13．如图11所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为.求：
图11
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、C两点间的电势差．
答案　(1)mgh　(2)－
解析　(1)因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆是一个等势线，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解．
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：静电力做功WAB和重力做功mgh，由动能定理得：
WAB＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得
静电力做功WAB＝m·3gh－mgh＝mgh
(2)因为B、C在同一等势线上，小球从B点到C点电场力不做功则WAC＝WAB
所以UAC＝＝＝－.电荷及其守恒定律
[目标定位]　1.知道自然界中的两种电荷及其相互作用的性质.2.知道使物体带电的三种方式.3.掌握电荷守恒定律及元电荷的概念．
一、电荷及其三种起电方式
1．两种电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电．同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．
2．摩擦起电：两个物体互相摩擦时，一些束缚得不紧的电子往往从一个物体转移到另一个物体，原来呈电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电．
3．接触起电：带电体接触导体时，电荷转移到导体上，使导体带上与带电体相同(填“相同”或“相反”)性质的电荷．
4．感应起电：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带异号电荷，远离带电体的一端带同号电荷，这种现象叫做静电感应．利用静电感应使金属导体带电的过程叫做感应起电．
深度思考
(1)带正电的物体A与不带电的物体B接触，使物体B带上了什么电荷？在这个过程中电荷是如何转移的？
(2)如图1所示，当将带正电荷的球C移近不带电的枕形金属导体时，由于电荷间的吸引，枕形金属导体中的自由电子向A端移动，而正电荷不移动，所以A端(近端)带电，B端带电．(填“正”或“负”)
图1
答案　(1)正电荷　在这个过程中，有电子从物体B转移到物体A，物体B的电子减少，使物体B带正电．
(2)负　正
例1　如图2所示，A、B为相互接触的用绝缘支柱支撑的金属导体，起初它们不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是(　　)
图2
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，先把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
解析　虽然A、B起初都不带电，但带正电的导体C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端带正电荷，其下部贴有的金属箔片分别带上了与A、B同种的电荷，所以金属箔片都张开，A正确．C只要一直在A、B附近，先把A、B分开，A、B上的电荷因受C的作用力不可能中和，因而A、B仍带等量异种的感应电荷，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确．但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以箔片都不会张开，C错．先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷会完全中和，金属箔片都不会张开，D错．故选A、B.
答案　AB
(1)静电感应中，电中性导体在两侧同时感应等量异种电荷，感应的过程，就是导体内电荷重新分布的过程．
(2)接触起电是由于电荷间作用使导体间的电荷发生转移．
二、电荷守恒定律
1．内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
2．三种起电方式的本质都是电子的转移，在转移的过程中电荷的总量不变．
注意　(1)电中性的物体内部也有电荷的存在，只是正、负电荷量的代数和为零，对外不显电性；
(2)电荷的中和是指带等量异种电荷的两物体接触时，经过电子的转移，最终达到电中性的过程．
深度思考
带等量异种电荷的两小球接触后都不带电了，是电荷消失了吗？此过程中电荷还守恒吗？
答案　没有消失，这是电荷的中和，是指两个带等量异种电荷的物体相互接触时，由于正、负电荷间的相互吸引作用，电荷发生转移，最后都达到电中性状态的一个过程.电荷仍然守恒．
例2　完全相同的两金属小球A、B带有相同的电荷量，相隔一定的距离，今让第三个完全相同的不带电金属小球C，先后与A、B接触后移开．
(1)若A、B两球带同种电荷，接触后两球的电荷量大小之比为多大？
(2)若A、B两球带异种电荷，接触后两球的电荷量大小之比为多大？
解析　(1)设A、B带同种电荷，且带电荷量均为q，则A、C接触后，A、C带电荷量为qA＝qC＝q.
C与B球接触后，B、C所带电荷量为qB＝qC′＝＝q.
故A、B带电荷量大小之比为＝＝.
(2)设qA′＝＋q，qB′＝－q.
则C与A接触后，A、C带电荷量为qA′＝qC″＝＋q.
C与B接触后，B、C带电荷量为qB′＝qC?＝＝－q，
故A、B带电荷量大小之比为＝＝.
答案　(1)2∶3　(2)2∶1
1 导体接触带电时电荷量的分配与导体的形状、大小有关，当两个完全相同的金属球接触后，电荷将平均分配，即最后两个球一定带等量的同种电荷.
2 若两个相同的金属球带同种电荷，接触后电荷量相加后均分；若带异种电荷，接触后电荷先中和再均分.
三、元电荷
1．电荷量：电荷的多少叫做电荷量，在国际单位制中它的单位是库仑，简称库．用符号C表示．
2．元电荷：电子所带的电荷量是科学实验发现的最小电荷量，质子、正电子所带的电荷量与它相同，但符号相反．这个最小的电荷量叫做元电荷．
3．元电荷的值：e＝1.60×10－19C.
4．比荷：电子的电荷量e与其质量me之比，叫做电子的比荷．
深度思考
(1)有人说：一个带电体所带的电荷量为4×10－19C，你认为他这种说法正确吗？为什么？
(2)质子和电子就是元电荷吗？它们的比荷相同吗？
答案　(1)不正确．任何带电体所带电荷量都是元电荷的整数倍，而4×10－19C不是元电荷的整数倍，所以这种说法不正确．
(2)不是．元电荷是最小的带电单位，不是带电粒子，没有电性之说．质子、电子的电荷量相同，但质子质量远大于电子，所以电子的比荷大于质子的比荷．
例3　关于元电荷，下列说法中正确的是(　　)
A．元电荷实质上是指电子和质子本身
B．所有带电体的电荷量一定等于元电荷的整数倍
C．元电荷的值通常取e＝1.60×10－19C
D．电荷量e的数值最早是由美国物理学家密立根用实验测得的
解析　所有带电体的电荷量或者等于e，或者是e的整数倍，这就是说，电荷是不能连续变化的物理量，电荷量e的数值最早是由美国物理学家密立根用实验测得的．由以上分析可知选项B、C、D正确．
答案　BCD
元电荷是自然界最小的电荷量，是跟电子或质子所带电荷量数值相等的电荷量，不是带电粒子.
四、验电器的使用
1．验电器(或静电计)(如图3)的金属球、金属杆和下面的两个金属箔片连成同一导体．
图3
2．当带电的物体与验电器上面的金属球接触时，有一部分电荷转移到验电器上，与金属球相连的两个金属箔片带上同种电荷，因相互排斥而张开，物体所带电荷量越多，电荷转移的越多，斥力越大，张开的角度也越大．
3．当带电体靠近验电器的金属球时，金属箔片也会张开．因为带电体会使验电器的上端感应出异种电荷，而金属箔片上会感应出同种电荷(感应起电)，两箔片在斥力作用下张开．
例4　使带电的金属球靠近不带电的验电器，验电器的箔片张开．下列各图表示验电器上感应电荷的分布情况，正确的是(　　)
解析　把带电金属球移近不带电的验电器，若金属球带正电荷，则将导体上的自由电子吸引上来，这样验电器的上部将带负电荷，箔片带正电荷；若金属球带负电荷，则将导体上的自由电子排斥到最远端，这样验电器的上部将带正电荷，箔片带负电荷．选项B正确．
答案　B
1．(对三种起电方式的理解)(多选)关于摩擦起电和感应起电的实质，下列说法中正确的是(　　)
A．摩擦起电现象说明机械能可以转化为电能，也说明通过做功创造出电荷
B．摩擦起电说明电荷可以从一个物体转移到另一个物体
C．感应起电说明电荷可以从物体的一部分转移到另一部分
D．感应起电说明电荷可以从带电的物体转移到原来不带电的物体
答案　BC
解析　摩擦起电的实质是电子在相互摩擦的物体间发生转移，失电子的显示正电，得电子的显示负电，此过程并非创造了电荷，而是总电荷量守恒，A错，B对；感应起电的实质是电荷从导体的一部分转移到另一部分，是电荷在同一导体内部发生了转移，C对，D错．
2．(对元电荷的理解)保护知识产权，抵制盗版是我们每个公民的责任与义务．盗版书籍影响我们的学习效率，甚至会给我们的学习带来隐患．小华同学有一次不小心购买了盗版的物理参考书，做练习时，他发现有一个带电质点的电荷量数字看不清，他只能看清是6.×10－18C，拿去问老师，如果你是老师，你认为该带电质点的电荷量可能是下列哪一个(　　)
A．6.2×10－18C
B．6.4×10－18C
C．6.6×10－18C
D．6.8×10－18C
答案　B
解析　任何带电体的电荷量是元电荷的整数倍，即是1.6×10－19C的整数倍，由计算可知，只有B选项是1.6×10－19C的整数倍，故B正确．
3．(电荷守恒定律的理解和应用)有两个完全相同的带电绝缘金属小球A、B，分别带有电荷量QA＝6.4×10－9C，QB＝－3.2×10－9C，让两绝缘金属小球接触，在接触过程中，电子如何转移并转移了多少？
答案　电子由B球转移到了A球，转移了3.0×1010个电子
解析　当两小球接触时，带电荷量少的负电荷先被中和，剩余的正电荷再重新分配．由于两小球完全相同，剩余正电荷必均分，即接触后两小球带电荷量QA′＝QB′＝＝C＝1.6×10－9C.
在接触过程中，电子由B球转移到A球，不仅将自身电荷中和，且继续转移，使B球带QB′的正电，这样，共转移的电子电荷量为ΔQB＝QB′－QB＝[1.6×10－9－(－3.2×10－9)]C＝4.8×10－9C.
转移的电子数n＝＝＝3.0×1010(个)．
4.(验电器及其原理)如图4所示，用丝绸摩擦过的玻璃棒和验电器的金属球接触，使验电器的金属箔片张开，关于这一现象下列说法正确的是(　　)
图4
A．两片金属箔片上带异种电荷
B．两片金属箔片上均带负电荷
C．箔片上有电子转移到玻璃棒上
D．将玻璃棒移走，则金属箔片立即合在一起
答案　C
解析　自然界只存在两种电荷，正电荷和负电荷．丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，即缺少电子，若将其接触验电器的金属球，此时两个箔片带同种电荷，正电；在此过程中，一部分电子会从验电器转移到玻璃棒；移走玻璃棒时，箔片仍带电，不会立即合在一起．选项C正确.
题组一　对元电荷的理解
1．关于对元电荷的理解，下列说法正确的是(　　)
A．元电荷就是电子
B．元电荷就是质子
C．元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量
D．元电荷是带电荷量最小的带电粒子
答案　C
解析　元电荷是自然界最小的电荷量，是与跟电子所带电荷量数值相等的电荷量，不是电子，不是质子，也不是带电荷量最小的带电粒子，选项C正确．
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．物体所带的电荷量可以为任意实数
B．电子带有最小的负电荷，其电荷量的绝对值叫元电荷
C．物体所带的电荷量只能是一些不连续的特定值
D．物体带电荷量的最小值为1.6×10－19C
答案　BCD
解析　元电荷是自然界最小的电荷量，其数值e＝1.6×10－19C，所有带电体的电荷量均为e的整数倍，只能是一些特定值，选项A错误，B、C、D正确．
题组二　对三种起电方式的理解及应用
3．关于摩擦起电和感应起电，下列说法正确的是(　　)
A．摩擦起电是电荷的转移，感应起电是创造了电荷
B．摩擦起电是创造了电荷，感应起电是电荷的转移
C．不论摩擦起电还是感应起电，都是电荷的转移
D．以上说法均不正确
答案　C
解析　无论哪种方式起电，都不是创造了电荷，而是电荷的转移，所以选项A、B、D错误，选项C正确．
4．(多选)如图1用棉布分别与丙烯塑料板和乙烯塑料板摩擦，实验结果如图所示，由此对摩擦起电说法正确的是(　　)
图1
A．两个物体摩擦时，表面粗糙的易失去电子
B．两个物体摩擦起电时，一定同时带上种类及数量不同的电荷
C．两个物体摩擦起电时，带上电荷的种类不同但数量相等
D．同一物体与不同种类的物体摩擦，该物体所带电荷种类可能不同
答案　CD
解析　两物体摩擦时是否得失电子取决于原子核对电子的束缚力大小，A错．由于摩擦起电的实质是电子的得失，所以两物体带电种类一定不同，数量相等，B错，C对．由题中例子不难看出，同一物体与不同种类的物体摩擦，带电种类可能不同，D对．
5．把两个完全相同的小球接触后分开，两球相互排斥，则两球原来的带电情况不可能是(　　)
A．一个小球原来带电，另一个小球原来不带电
B．两个小球原来分别带等量异种电荷
C．两个小球原来分别带同种电荷
D．两个小球原来分别带不等量异种电荷
答案　B
解析　两个完全相同的小球接触后分开，两球互相排斥，说明原来两球所带电荷量的代数和不等于零．若原来两小球分别带有等量的异种电荷，则接触后将发生中和，两球均不带电，不会发生排斥现象，故选项B正确．
6．(多选)用金属箔做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上．小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦后，将笔套自上向下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5cm时圆环被吸引到笔套上，如图2所示．对上述现象的判断与分析，下列说法正确的是(　　)
图2
A．摩擦使笔套带电
B．笔套靠近圆环时，圆环上、下部感应出异号电荷
C．圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力
D．笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
答案　ABC
解析　笔套与头发摩擦后，能够吸引圆环，说明笔套上带了电荷，即摩擦使笔套带电，选项A正确；笔套靠近圆环时，由于静电感应，会使圆环上、下部感应出异号电荷，选项B正确；圆环被吸引到笔套的过程中，有向上的加速度，故圆环所受静电力的合力大于圆环所受的重力，故选项C正确；笔套碰到圆环后，笔套上的部分电荷转移到圆环上，使圆环带上性质相同的电荷，选项D错误．
7．(多选)如图3所示，将带电棒移近两个不带电的导体球，甲、乙两个导体球开始时互相接触且对地绝缘．下述几种方法中能使两球都带电的是(　　)
图3
A．先把两球分开，再移走棒
B．先移走棒，再把两球分开
C．先将棒接触一下其中的一球，再把两球分开
D．移走棒，两导体球不分开
答案　AC
解析　感应起电应遵从以下几个步骤：(1)两导体彼此接触；(2)带电体移近两导体；(3)先分开两导体，再移走带电体．由此可知，A项可以使两球都带电；带电体与非带电体接触，电荷发生转移，使物体带电，C项可以使两球都带电．故正确选项为A、C.
题组三　验电器及其原理
8．(多选)如图4所示，是一个带正电的验电器，当一个金属球A靠近验电器上的金属小球B时，验电器中金属箔片的张角减小，则(　　)
图4
A．金属球A可能不带电
B．金属球A一定带正电
C．金属球A可能带负电
D．金属球A一定带负电
答案　AC
解析　验电器上的金属箔片和金属球都带有正电荷，金属箔片之所以张开，是由于箔片上的正电荷互相排斥造成的．当验电器金属箔片的张角减小时，说明箔片上的正电荷一定比原来减少了，由于金属球A只是靠近验电器而没有与验电器上的金属球B发生接触，要考虑感应起电的影响．当金属球A靠近时，验电器的金属球B、金属杆包括金属箔片整体相当于一个导体，金属球A离金属球B较近，而离金属箔片较远．如果金属球A带正电，验电器上的正电荷一定向远处移动，则金属箔片上的电荷量不会减少，所以选项B是错误的．如果金属球A带负电，验电器上的正电荷会由于引力作用向近端移动，造成金属箔片上的电荷量减少，所以选项C是正确的．如果金属球A不带电，由于受到金属球B上正电荷的影响，金属球A上靠近B的部分也会由于静电力的作用出现负电荷，而这些负电荷反过来会使得验电器上的正电荷向金属球B移动，效果与金属球A带负电荷一样．所以选项A也是正确的，选项D是错误的．
9．如图5所示，用带正电的绝缘棒A去靠近原来不带电的验电器B，B的金属箔张开，这时金属箔带①电；若在带电棒A移开前，用手摸一下验电器的小球后离开，然后移开A，这时B的金属箔也能张开，它带②电．下列选项中正确的是(　　)
图5
A．①正　②负
B．①负　②负
C．①负　②正
D．①正　②正
答案　A
解析　(1)用带正电的绝缘棒A靠近原来不带电的验电器B，由于静电感应验电器(导体)两端出现等量正、负感应电荷，近端的金属球的电荷的电性与A的电性相反，带负电；远端的金属箔片电荷与A的电性相同，带正电荷；
(2)由于人和地球都是导体，用手瞬间接触金属球B时，人、地球和验电器构成一个整体，在带正电荷的棒A的影响下发生静电感应，近端带负电，金属箔片不带电；移开手后，验电器上的负电荷不变，故验电器带负电，再移开棒A后，验电器上的负电荷仍不变，金属箔片上此时也带负电．故A项正确．
题组四　对电荷守恒定律及电荷量的理解
10．如图6所示，导体A带电荷量为5q的正电荷，另一完全相同的导体B带电荷量为q的负电荷，将两导体接触一会儿后再分开，则B导体带的电荷量为(　　)
图6
A．－q
B．q
C．2q
D．4q
答案　C
解析　相同带电体接触后，电荷量先中和，后平分．故选项C正确．
11．(多选)A和B都是不带电的物体，它们互相摩擦后A带负电荷1.6×10－10C，下列判断中正确的是(　　)
A．在摩擦前A和B的内部电荷量为零
B．摩擦的过程中电子从A转移到了B
C．A在摩擦过程中一定得到了1×109个电子
D．A在摩擦过程中一定失去了1.6×10－19C电子
答案　AC
12．多少个电子的电荷量等于－32.0μC？干燥的天气中，一个人脱了鞋在地毯上行走，身上聚集的电荷量为－48.0μC.求共转移到此人身上多少个电子？(电子电荷量e＝－1.6×10－19C,1μC＝10－6C)
答案　2.0×1014个　3.0×1014个
解析　n1＝＝个＝2.0×1014个．
人身上聚集的电子个数n2＝＝个＝3.0×1014个．
13．如图7所示，通过调节控制电子枪产生的电子束，使其每秒有104个电子到达收集电子的金属瓶，经过一段时间，金属瓶上带有－8×10－12C的电荷量，求：
图7
(1)金属瓶上收集到多少个电子？
(2)实验的时间为多长？
答案　(1)5×107个　(2)5000s
解析　(1)金属瓶上收集的电子数目为：N＝＝＝5×107个．
(2)实验的时间：t＝s＝5000s.电容器的电容
[目标定位]　1.知道电容器的概念和平行板电容器的主要构造.2.理解电容的概念及其定义式和决定式.3.掌握平行板电容器电容的决定式，并能用其讨论有关问题．
一、电容器和电容
1．电容器
(1)电容器：两个彼此绝缘又相距很近的导体组成一个电容器．
(2)电容器的充电和放电
①充电：把电容器的一个极板与电池组的正极相连，另一个极板与负极相连，两个极板将分别带上等量的异号电荷，这个过程叫做充电．如图1甲所示．充电过程中由电源获得的电能储存在电容器中．
②放电：用导线把充电后的电容器的两极板接通，两极板上的电荷中和，电容器又不带电了，这个过程叫做放电．如图乙所示．放电过程电场能转化为其他形式的能量．
甲　　　　　　　　乙
图1
2．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，叫做电容器的电容．
(2)定义式：C＝.
(3)在国际单位制中，电容的单位是法拉，简称法，符号是F.常用单位还有微法(μF)和皮法(pF)，数量值关系：1F＝106μF＝1012pF.
深度思考
(1)电容器的带电荷量为两极板所带电荷量的绝对值之和吗？
(2)由于C＝，所以说电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电容器两极板间的电势差成反比，你认为这种说法正确吗？为什么？
答案　(1)不是．电容器的带电荷量是指其中一个极板所带电荷量的绝对值．
(2)不对．电容是电容器本身的一种属性，大小由电容器自身的构成情况决定，与电容器是否带电、带多少电荷量均无关．
例1　下列关于电容的说法正确的是(　　)
A．电容器简称电容
B．电容器A的电容比B的大，说明A的带电荷量比B多
C．电容在数值上等于使两极板间的电势差为1V时电容器需要带的电荷量
D．由公式C＝知，电容器的电容与电容器两极板间的电压成反比，与电容器所带的电荷量成正比
解析　电容器和电容是两个不同的概念，A错；电容器A的电容比B的大，只能说明电容器A容纳电荷的本领比B强，与是否带电无关，B错；电容器的电容大小和它所带的电荷量、两极板间的电压等均无关，D错．
答案　C
C＝为比值定义法.C的大小与Q、U无关，只跟电容器本身有关，当Q＝0时，U＝0，而C并不为零.
例2　有一充电的电容器，两板间的电压为3V，所带电荷量为4.5×10－4C，此电容器的电容是多少？将电容器的电压降为2V，电容器的电容是多少？所带电荷量变化多少？
解析　由C＝，得C＝F＝1.5×10－4F
电容器电压降为2V，电容不变，仍为1.5×10－4F.
此时带电荷量为Q′＝CU′＝1.5×10－4×2C＝3×10－4C
带电荷量减小ΔQ＝Q－Q′＝1.5×10－4C
答案　1.5×10－4F　1.5×10－4F　减小1.5×10－4C
电容器的电容是由电容器的自身结构决定的，计算电荷量变化时也可以根据C＝＝来计算.
二、平行板电容器的电容和常用电容器
1．平行板电容器的电容
(1)结构：由两块彼此绝缘、互相靠近的平行金属板组成，是最简单的，也是最基本的电容器．
(2)决定因素：平行板电容器的电容与两平行极板正对面积S成正比，与电介质的相对介电常数εr成正比，与极板间距离d成反比．
(3)表达式：C＝.式中k为静电力常量．
2．常用电容器
(1)分类：从构造上可分为固定电容器和可变电容器两类．
(2)额定电压和击穿电压
①额定电压：电容器正常工作时所能承受的电压，它比击穿电压要低．
②击穿电压：是电容器的极限电压，超过这个电压，电容器内的电介质将被击穿，电容器将被损坏．
深度思考
(1)公式C＝与C＝有什么区别？
(2)某电容器上标有“1.5μF,9V”的字样，9V指什么电压？
答案　(1)C＝是电容的定义式，对某一电容器来说，Q∝U但C＝不变，反映电容器容纳电荷的本领，C＝是电容器电容的决定式，C∝S，C∝εr，C∝，说明了电介质的材料、极板的正对面积和极板间的距离是电容大小的决定因素．
(2)额定电压．
例3　如图2所示，电路中A、B为两块竖直放置的金属板，C是一只静电计，开关S合上后，静电计指针张开一个角度，下述做法可使静电计指针张角增大的是(　　)
图2
A．使A、B两板靠近一些
B．使A、B两板正对面积减小一些
C．断开S后，使B板向右平移一些
D．断开S后，使A、B正对面积减小一些
解析　静电计显示的是A、B两极板间的电压，指针张角越大，表示两板间的电压越高．当合上S后，A、B两板与电源两极相连，板间电压等于电源电压，静电计指针张角不变；当断开S后，板间距离增大，正对面积减小，都将使A、B两板间的电容变小，而电容器所带的电荷量不变，由C＝可知，板间电压U增大，从而使静电计指针张角增大．所以本题的正确选项是C、D.
答案　CD
1 平行板电容器动态问题的分析方法：抓住不变量，分析变化量.其依据是：电容定义式C＝；匀强电场中E＝；平行板电容器电容决定式C＝.
2 平行板电容器的两类典型问题,①平行板电容器始终连接在电源两端：电势差U不变由C＝∝可知C随d、S、εr的变化而变化.
由Q＝UC＝U·，Q也随d、S、εr的变化而变化.由E＝∝可知，E随d的变化而变化.
②平行板电容器充电后，切断与电源的连接：电荷量Q保持不变
由C＝∝可知C随d、S、εr的变化而变化.
由U＝＝∝可知，U随d、S、εr的变化而变化.由E＝＝＝∝可知，E与d无关，只随S、εr变化而变化.
例4　如图3所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一固定在P点的点电荷，以E表示两板间的电场强度，Ep表示点电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角．若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则(　　)
图3
A．θ增大，E增大
B．θ增大，Ep不变
C．θ减小，Ep增大
D．θ减小，E不变
答案　D
解析　若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离，根据C＝可知，C变大；根据Q＝CU可知，在Q一定的情况下，两极板间的电势差减小，则静电计指针偏角θ减小；根据E＝，Q＝CU，C＝联立可得，E＝，可知E不变；P点离下极板的距离不变，E不变，则P点与下极板的电势差不变，P点的电势不变，故Ep不变；由以上分析可知，选项D正确．
(1)充电后的电容器断开和电源的连接，Q一定；
(2)Q一定时，由E＝＝知，两板间电场强度与d无关；
(3)接地板电势为0.
1．(对电容的理解)关于电容器的电容，下列说法正确的是(　　)
A．电容器不带电时，其电容为零
B．电容器带电荷量越多，其电容越大
C．电容器两极板间电压越低，其电容越小
D．电容器的电容只由它本身的性质决定
答案　D
解析　公式C＝是电容器电容的定义式，电容器的电容与U和Q均无关，只由它本身的性质决定，选项D正确．
2．(平行板电容器的两类典型问题)一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上．若将云母介质移出，则电容器(　　)
A．极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B．极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C．极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D．极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
答案　D
解析　由C＝可知，当云母介质移出时，εr变小，电容器的电容C变小；因为电容器接在恒压直流电源上，故U不变，根据Q＝CU可知，当C减小时，Q减小．再由E＝，由于U与d都不变，故电场强度E不变，选项D正确．
3．(平行板电容器的两类典型问题)(多选)如图4所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板间的电势差U，现使B板带正电，则下列判断正确的是(　　)
图4
A．增大两极板之间的距离，静电计指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
答案　AB
解析　电容器上所带电荷量一定，由公式C＝，当d变大时，C变小．再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当将A板拿走时，相当于使d变得更大，C更小，故U应更大，故选A、B.
4．(平行板电容器与力学综合)如图5所示，平行板电容器与电动势为E的直流电源(内阻不计)连接，下极板接地．一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态．现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，则(　　)
图5
A．带电油滴将沿竖直方向向上运动
B．P点的电势将降低
C．带电油滴的电势能将减小
D．电容器的电容减小，极板带电荷量将增大
答案　B
解析　上极板向上移动一小段距离后，板间电压不变，仍为E，故电场强度将减小，油滴所受电场力减小，故油滴将向下运动，A错；P点的电势大于0，且P点与下极板间的电势差减小，所以P点的电势减小，B对；油滴向下运动时电场力做负功，油滴的电势能应增加，C错；电容器的电容C＝，由于d增大，电容C应减小，极板带电荷量Q＝CU将减小，D错.
题组一　对电容器与电容的理解
1．(多选)关于电容器和电容的概念，下列说法正确的是(　　)
A．任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体都可以看成是一个电容器
B．用电源对平行板电容器充电后，两极板一定带有等量异种电荷
C．某一电容器带电荷量越多，它的电容就越大
D．某一电容器两极板间的电压越高，它的电容就越大
答案　AB
解析　电容器是容纳电荷的容器，电容是描述电容器容纳电荷本领大小的物理量．电容的大小与电容器所带电荷量多少及两极板间电压大小都无关．
2．(多选)下列关于电容器和电容的说法中，正确的是(　　)
A．根据C＝可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，跟两极板间的电压成反比
B．对于确定的电容器，其所带电荷量与两极板间的电压成正比
C．无论电容器的电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量与电压的比值都恒定不变
D．电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，其大小与加在两极板间的电压无关
答案　BCD
解析　由于电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是电容器的一种特性．一个电容器对应唯一的电容值，不能说电容器的电容与其所带电荷量成正比，与两极板间的电压成反比，因此A错误，C、D正确；由于电容是定值，由Q＝CU知，其所带电荷量与两极板间的电压成正比，故B正确．
3．如图1所示实验中，关于平行板电容器的充、放电，下列说法正确的是(　　)
图1
A．开关接1时，平行板电容器充电，且上极板带正电
B．开关接1时，平行板电容器充电，且上极板带负电
C．开关接2时，平行板电容器充电，且上极板带正电
D．开关接2时，平行板电容器充电，且上极板带负电
答案　A
解析　开关接1时，平行板电容器充电，上极板与电源正极相连而带正电，A对，B错；开关接2时，平行板电容器放电，放电结束后上、下极板均不带电，C、D错．
4．如图2所示，为某一电容器中所带电荷量和两端电压之间的关系图线，若将该电容器两端的电压从40V降低到36V，对电容器来说正确的是(　　)
图2
A．是充电过程
B．是放电过程
C．该电容器的电容为5.0×10－2F
D．该电容器所带电荷量的变化量为0.20C
答案　B
解析　由Q＝CU知，U降低，Q减小，故为放电过程，A错，B对；由C＝＝F＝5×10－3F，可知C错；ΔQ＝CΔU＝5×10－3×4C＝0.02C，D错．
5．有两个平行板电容器，它们的电容之比为5∶4，它们的带电荷量之比为5∶1，两极板间距离之比为4∶3，则两极板间电压之比和电场强度之比分别为(　　)
A．4∶1　1∶3
B．1∶4　3∶1
C．4∶1　3∶1
D．4∶1　4∶3
答案　C
解析　由U＝得：＝＝＝，
又由E＝＝得：＝＝＝，
所以选项C正确．
题组二　平行板电容器的两类典型问题
6．一充电后的平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C和两极板间的电势差U的变化情况是(　　)
A．C和U均增大
B．C增大，U减小
C．C减小，U增大
D．C和U均减小
答案　B
解析　由平行板电容器电容决定式C＝知，当插入电介质后，εr变大，则在S、d不变的情况下，C增大；由电容定义式C＝得U＝，又电荷量Q不变，故两极板间的电势差U减小，选项B正确．
7．(多选)如图3所示是一种通过测量电容器电容的变化来检测液面高低的仪器的原理图．电容器的两个电极分别用导线接到指示器上，指示器可显示出电容的大小．下列关于该仪器的说法正确的是(　　)
图3
A．该仪器中电容器的电极分别是金属芯柱和导电液体
B．金属芯柱外套的绝缘层越厚，该电容器的电容越大
C．如果指示器显示电容增大了，则说明电容器中的液面升高了
D．如果指示器显示电容减小了，则说明电容器中的液面升高了
答案　AC
解析　类似于平行板电容器的结构，金属芯柱和导电液体构成电容器的两个电极，金属芯柱的绝缘层就是极板间的电介质，其厚度d相当于两极板间的距离，所以厚度d越大，电容器的电容越小．浸入液体深度h越大，则S越大，C越大．C增大时，就表明h变大．故选项A、C正确．
8．(多选)如图4所示为“研究影响平行板电容器电容的因素”的实验装置，以下说法正确的是(　　)
图4
A．A板与静电计的指针带的是异种电荷
B．甲图中将B板上移，静电计的指针偏角增大
C．乙图中将B板左移，静电计的指针偏角不变
D．丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小
答案　BD
解析　静电计指针与A板连为一个导体，带电性质相同，A错误；根据C＝，C＝，B板上移，S减小，C减小，Q不变，U增大，B正确；B板左移，d增大，C减小，U增大，C错误；插入电介质，εr增大，电容C增大，U减小，D正确．
9．(多选)如图5所示，平行板电容器两极板A、B与电池两极相连，一带正电小球悬挂在电容器内部．闭合开关S，充电完毕后悬线偏离竖直方向夹角为θ，则(　　)
图5
A．保持S闭合，将A板向B板靠近，则θ增大
B．保持S闭合，将A板向B板靠近，则θ不变
C．断开S，将A板向B板靠近，则θ增大
D．断开S，将A板向B板靠近，则θ不变
答案　AD
解析　保持开关S闭合，电容器两端间的电势差不变，带正电的A板向B板靠近，极板间距离减小，电场强度E增大，小球所受的电场力变大，θ增大，故A正确，B错误；断开开关S，电容器所带的电荷量不变，C＝，E＝＝＝，知d变化，E不变，电场力不变，θ不变．故C错误，D正确．
题组三　电容器的综合应用
10.已知均匀带电的无穷大平面在真空中激发电场的场强大小为，其中σ为平面上单位面积所带的电荷量，ε0为常量．如图6所示的平行板电容器，极板正对面积为S，其间为真空，带电量为Q.不计边缘效应时，极板可看作无穷大导体板，则极板间的电场强度大小和两极板间相互的静电引力大小分别为(　　)
图6
A.和
B.和
C.和
D.和
答案　D
解析　由题意知，正极板所带电荷激发的电场的电场强度大小为E＝＝＝，同理负极板所带电荷激发的电场的场强E2＝，两板间的场强E＝E1＋E2＝，两极板间的静电引力大小F＝QE1＝，故D正确．
11．如图7所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电荷量为Q，上极板带正电荷．现将一个试探电荷q由两极板间的A点移动到B点，A、B两点间的距离为l，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷q所做的功等于(　　)
图7
A.B.C.D.
答案　C
解析　根据U＝、E＝可得E＝，所以，A→B电场力做功为W＝qElsin30°＝.
12．如图8所示，一平行板电容器的两极板与一电压恒定的电源相连，极板水平放置，极板间距为d；在下极板上叠放一厚度为l的金属板，其上部空间有一带电粒子P静止在电容器中．当把金属板从电容器中快速抽出后，粒子P开始运动．重力加速度为g.粒子运动的加速度为(　　)
图8
A.g
B.g
C.g
D.g
答案　A
解析　带电粒子在电容器两极板间时受到重力和电场力的作用，最初处于静止状态，由二力平衡条件可得：mg＝q；当把金属板从电容器中快速抽出后，电容器两极板间的电势差不变，但两极板间的距离发生了变化，引起电场强度发生了变化，从而电场力也发生了变化，粒子受力不再平衡，产生了加速度，根据牛顿第二定律ma＝mg－q，两式联立可得a＝g.
13．如图9所示，已知平行板电容器两极板间距离d＝4mm，充电后两极板电势差为120V．A板带正电，若它的电容为3μF，且P到A板距离为1mm.求：
图9
(1)电容器的电荷量；
(2)一个电子在P点具有的电势能；
(3)一个电子从B板出发到A板获得的动能．
答案　(1)3.6×10－4C　(2)－90eV　(3)120eV
解析　(1)由Q＝UC得Q＝120×3×10－6C＝3.6×10－4C.
(2)Ep＝－eφP＝－edPB＝－90eV.
(3)因为电子从B板出发到A板的过程中电场力做正功，电势能减小，动能增加，所以由动能定理得Ek－0＝－eUBA，Ek＝120eV.电场强度
[目标定位]　1.理解电场强度的概念及其定义式，并会进行有关计算.2.理解点电荷的电场强度及叠加原理.3.会用电场线表示电场，并熟记几种常见电场的电场线分布．
一、电场和电场强度
1．电场
(1)概念：存在于电荷周围的一种特殊的物质，由电荷产生．场和实物是物质存在的两种不同形式．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．电荷之间通过电场相互作用．
(3)静电场：静止电荷产生的电场．
2．电场强度
(1)场源电荷和试探电荷
场源电荷是激发或产生我们正在研究的电场的电荷．试探电荷是用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷．
(2)电场强度
①定义：放入电场中某点的点电荷所受静电力与它的电荷量的比值叫做该点的电场强度，简称场强．
②物理意义：表示电场的强弱和方向．
③定义式：E＝，单位为牛(顿)每库(仑)，符号为N/C.
④方向：电场强度的方向与正电荷所受静电力的方向相同，与负电荷所受静电力方向相反．
深度思考
(1)由于E＝，所以有人说电场强度的大小与放入的试探电荷受到的力F成正比，与电荷量q的大小成反比，你认为这种说法正确吗？为什么？
(2)这里定义电场强度的方法叫比值定义法，你还学过哪些用比值定义的物理量？它们都有什么共同点？
答案　(1)不正确．电场中某点的电场强度E是唯一的，由电场本身决定，与是否放入试探电荷以及放入试探电荷的正负、电荷量的大小无关．
(2)如加速度a＝，密度ρ＝等．用比值定义的新物理量可反映物质本身的某种属性，与用来定义的原有物理量并无直接关系．
例1　A为已知电场中的一固定点，在A点放一电荷量为q的试探电荷，所受电场力为F，A点的场强为E，则(　　)
A．若在A点换上－q，A点场强方向发生变化
B．若在A点换上电荷量为2q的试探电荷，A点的场强将变为2E
C．若在A点移去电荷q，A点的场强变为零
D．A点场强的大小、方向与q的大小、正负、有无均无关
解析　电场强度E＝是通过比值定义法得出的，其大小及方向与试探电荷无关；故放入任何电荷时电场强度的方向和大小均不变，故A、B、C均错误；故选D.
答案　D
例2　真空中O点放一个点电荷Q＝＋1.0×10－9C，直线MN通过O点，OM的距离r＝30cm，M点放一个点电荷q＝－1.0×10－10C，如图1所示．求：
图1
(1)q在M点受到的作用力；
(2)M点的场强；
(3)拿走q后M点的场强．
解析　(1)电场是一种物质，电荷q在电场中M点所受的作用力是电荷Q通过它的电场对q的作用力，根据库仑定律，得FM＝k＝N＝1.0×10－8N．因为Q为正电荷，q为负电荷，库仑力是吸引力，所以力的方向沿MO指向Q.
(2)M点的场强EM＝＝N/C＝100
N/C，其方向沿OM连线背离Q，因为它的方向跟正电荷所受电场力的方向相同．
(3)在M点拿走试探电荷q，有的同学说M点的场强EM＝0，这是错误的．其原因在于不懂得场强是反映电场的力的性质的物理量，它是由形成电场的电荷Q及场中位
置决定的，与试探电荷q是否存在无关．故M点的场强仍为100N/C，方向沿OM连线背离Q.
答案　(1)大小为1.0×10－8N　方向沿MO指向Q
(2)大小为100N/C　方向沿OM连线背离Q
(3)大小为100N/C　方向沿OM连线背离Q
1 公式E＝是电场强度的定义式，不是决定式.其中q是试探电荷的电荷量.
2 电场强度E的大小和方向只由电场本身决定，与是否放入的试探电荷以及放入试探电荷的正负、电荷量的大小无关.
二、点电荷的电场　电场强度的叠加
1．真空中点电荷周围的场强
(1)大小：E＝k.
(2)方向：Q为正电荷时，E的方向由点电荷指向无穷远；Q为负电荷时，E的方向由无穷远指向点电荷．
2．电场强度的叠加：电场强度是矢量．如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和．
深度思考
公式E＝与E＝k有什么区别？
答案　公式E＝是电场强度的定义式，适用于任何电场，E可以用来度量，但与F、q无关．其中q是试探电荷．
公式E＝k是点电荷场强的决定式，仅适用于点电荷的电场强度求解，Q是场源电荷，E与Q成正比，与r2成反比．
例3　真空中距点电荷(电荷量为Q)为r的A点处，放一个带电荷量为q(q Q)的点电荷，q受到的电场力大小为F，则A点的场强为(　　)
A.B.C．kD．k
解析　E＝中q指的是试探电荷，E＝中Q指的是场源电荷，故B、D正确．
答案　BD
例4　如图2所示，真空中带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距为r，则：
图2
(1)两点电荷连线的中点O的场强多大？
(2)在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的O′点的场强如何？
解析　求解方法是分别求出＋Q和－Q在某点的场强大小和方向，然后根据电场强度的叠加原理求出合场强．
(1)如图甲所示，A、B两点电荷在O点产生的场强方向相同，由A指向B.A、B两点电荷在O点产生的电场强度
EA＝EB＝＝.
故O点的合场强为EO＝2EA＝，方向由A指向B.
(2)如图乙所示，EA′＝EB′＝，由矢量图所形成的等边三角形可知，O′点的合场强EO′＝EA′＝EB′＝，方向与A、B的中垂线垂直，即EO′与EO同向．
答案　(1)，方向由A指向B
(2)，方向与AB连线平行，由A指向B
电场强度是矢量，合成时遵循矢量运算法则 平行四边形定则或三角形定则 ，常用的方法有图解法、解析法、正交分解法等；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算.
三、电场线和匀强电场
1．电场线的特点
(1)电场线是为了形象描述电场而假想的一条条有方向的曲线，曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向．
(2)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
(3)电场线在电场中不相交．
(4)在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密．
(5)匀强电场的电场线是间隔相等的平行线．
2．几种特殊的电场线(自己画出电场线)
答案
3．匀强电场
(1)定义：电场中各点电场强度的大小相等、方向相同的电场．
(2)特点：①场强方向处处相同，电场线是平行直线．
②场强大小处处相等，要求电场线疏密程度相同，即电场线间隔相等．
深度思考
(1)在相邻的两条电场线之间没画电场线的地方有电场吗？
(2)电场线是物体的运动轨迹吗？
答案　(1)电场线是假想的．如果在每个地方都画电场线也就无法对电场进行描述了，所以在相邻的两条电场线之间没画电场线的地方也有电场．
(2)电场线不是运动轨迹，运动轨迹由运动电荷的受力和初速度共同决定，运动轨迹的切线方向为速度方向；电场线上各点的切线方向为该点的场强方向，决定着电荷所受电场力方向．
例5　如图3所示是某静电场的一部分电场线分布情况，下列说法中正确的是(　　)
图3
A．这个电场可能是负点电荷的电场
B．点电荷q在A点处受到的电场力比在B点处受到的电场力大
C．正电荷可以沿电场线由B点运动到C点
D．点电荷q在A点处的瞬时加速度比在B点处的瞬时加速度小(不计重力)
解析　负点电荷的电场线是从四周无限远处不同方向指向负点电荷的直线，故A错；电场线越密的地方场强越大，由题图知EA＞EB，又因F＝qE，得FA＞FB，故B正确；由a＝知，a∝F，而F∝E，EA＞EB，所以aA＞aB，故D错；正电荷在B点受到的电场力的方向沿切线方向，故其轨迹不可能沿曲线由B到C，故C错误．
答案　B
1 电场线并不是粒子运动的轨迹.带电粒子在电场中的运动轨迹由带电粒子所受合外力与初速度共同决定.电场线上各点的切线方向是场强方向，决定着粒子所受电场力的方向.轨迹上每一点的切线方向为粒子在该点的速度方向.
2 电场线与带电粒子运动轨迹重合必须同时满足以下三个条件
①电场线是直线.
②带电粒子只受电场力作用，或受其他力，但其他力的方向沿电场线所在直线.
③带电粒子初速度的大小为零或初速度的方向沿电场线所在的直线.
1．(对电场强度的理解)电场中有一点P，下列说法中正确的有(　　)
A．若放在P点的试探电荷的电荷量减半，则P点的场强减半
B．若P点没有试探电荷，则P点场强为零
C．P点的场强越大，则同一试探电荷在P点受到的电场力越大
D．P点的场强方向就是放在该点的试探电荷所受电场力的方向
答案　C
解析　场强是表示电场本身性质的物理量，由电场本身决定，与是否有试探电荷以及试探电荷的电荷量均无关，选项A、B错误；由E＝得，F＝qE，q一定时F与E成正比，则知P点的场强越大，同一试探电荷在P点受到的电场力越大，故C正确；P点的场强方向为就是放在该点的正试探电荷所受电场力的方向，与放在该点的负试探电荷所受电场力的方向相反，故D错误．
2．(对电场强度的理解)如图4所示，在一带负电的导体A附近有一点B，如在B处放置一个q1＝－2.0×10－8C的电荷，测出其受到的静电力F1大小为4.0×10－6N，方向如图，则B处场强多大？如果换用一个q2＝＋4.0×10－7C的电荷放在B点，其受力多大？此时B处场强多大？
图4
答案　200N/C　8.0×10－5
N　200
N/C
解析　由场强公式可得EB＝＝N/C＝200
N/C，因为是负电荷，所以场强方向与F1方向相反．
q2在B点所受静电力F2＝q2EB＝4.0×10－7×200N＝8.0×10－5N，方向与场强方向相同，也就是与F1方向相反．
此时B处场强仍为200N/C，方向与F1相反．
3．(点电荷的电场　电场强度的叠加)如图5所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°.电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点处的点电荷移到P点，则O点的场强大小变为E2，E1与E2之比为(　　)
图5
A．1∶2B．2∶1C．2∶D．4∶
答案　B
解析　设半圆弧的半径为r，M、N点的点电荷的电荷量分别为Q和－Q，M、N两点的点电荷在O点所产生的场强均为E＝k，则O点的合场强E1＝k＋k＝2k.当N点处的点电荷移到P点时，O点场强如图所示，合场强大小为E2＝k，则E1与E2之比为2∶1.
4．(电场线的特点及应用)下列各电场中，A、B两点电场强度相同的是(　　)
答案　C
解析　A图中，A、B两点场强大小相等，方向不同；B图中，A、B两点场强的方向相同，但大小不等；C图中是匀强电场，则A、B两点场强大小、方向均相同；D图中A、B两点场强大小、方向均不相同．故选C.
题组一　对电场及电场强度的理解
1．(多选)下列关于电场和电场强度的说法正确的是(　　)
A．电荷间的相互作用是通过电场产生的，电场最基本的特征是对处在它里面的电荷有力的作用
B．电场是人为设想出来的，其实并不存在
C．某点的场强越大，则同一电荷在该点所受到的电场力越大
D．某点的场强方向为试探电荷在该点受到的电场力的方向
答案　AC
解析　电场是电荷周围客观存在的一种特殊物质，电荷间的相互作用是通过电场产生的，不是假想的，故A正确，B错误；由E＝得，F＝Eq，当q一定时，E越大，F越大，所以C正确；场强方向规定为正电荷在该点所受的电场力方向，与负电荷所受的电场力的方向相反，D错误．
2．(多选)关于电场强度的下列说法中，正确的是(　　)
A．电场强度与试探电荷所受电场力成正比
B．试探电荷的电荷量越大，电场强度越大
C．电场强度是电场本身的性质，与试探电荷的电荷量及其所受电场力大小无关
D．电场强度的方向就是正的试探电荷所受电场力的方向
答案　CD
解析　电场中某点的电场强度只与电场本身的性质有关，与试探电荷所带的电荷量及其所受电场力大小无关，A、B错，C对．人们规定电场强度的方向与正电荷所受电场力的方向相同，D对．
3．下列关于电场强度的说法中，正确的是(　　)
A．公式E＝只适用于真空中点电荷产生的电场
B．由公式E＝可知，电场中某点的电场强度E与试探电荷在电场中该点所受的静电力成正比
C．在公式F＝k中，k是点电荷q2产生的电场在点电荷q1处的电场强度大小；而k是点电荷q1产生的电场在点电荷q2处的电场强度大小
D．由公式E＝可知，在离点电荷非常近的地方(r→0)，电场强度E可达无穷大
答案　C
解析　电场强度的定义式E＝适用于任何电场，选项A错误；电场中某点的电场强度由电场本身决定，与电场中该点是否有试探电荷以及引入的试探电荷所受的静电力无关，选项B错误；点电荷间的相互作用力是通过电场产生的，选项C正确；公式E＝是点电荷产生的电场中某点电场强度的计算式，当r→0时，所谓的“点电荷”已不存在，该公式已不适用，选项D错误．
题组二　电场强度的叠加
4．如图1所示，AC、BD为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O，将带有等量电荷量q的正、负点电荷放在圆周上，它们的位置关于AC对称．要使圆心O处的电场强度为零，可在圆周上再放置一个适当电荷量的正点电荷＋Q，则该点电荷＋Q应放在(　　)
图1
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
答案　D
解析　由电场的叠加原理和对称性可知，＋q、－q在O点的合场强方向应沿OD方向，要使O点的合场强为零，放上的电荷＋Q在O点的场强方向应与＋q、－q在O点的合场强方向相反，所以D正确．
5．在一个等边三角形ABC顶点B和C处各放一个电荷量相同的点电荷时，测得A处的场强大小为E，方向与BC边平行沿B指向C，如图2所示．拿走C处的点电荷后，A处电场强度情况将是(　　)
图2
A．大小仍为E，方向由A指向B
B．大小仍为E，方向由B指向A
C．大小变为，方向不变
D．不能作出结论
答案　B
解析　设点电荷B、C在A产生的场强度大小均为E′，则E′＝E，拿走C处的点电荷后，A处电场强度大小为E，方向由B指向A，选项B正确．
题组三　电场线的特点及应用
6．(多选)以下关于电场和电场线的说法中正确的是
(　　)
A．电场线就是电荷在电场中的运动轨迹
B．在电场中，凡是有电场线通过的点，场强不为零，不画电场线的区域内的点，场强为零
C．同一试探电荷在电场线密集的地方所受静电力大
D．电场线是人们假想的，用以形象表示电场强度的大小和方向，客观上并不存在
答案　CD
解析　电场线是为了方便描述电场强度的大小及方向而引进的假想线，它一般不与电荷的运动轨迹重合，没画电场线的区域也有电场，场强不为零，A、B错误，D正确．在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电荷受到的电场力也较大，C正确．
7．如图3所示是点电荷Q周围的电场线，图中A到Q的距离小于B到Q的距离．以下判断正确的是(　　)
图3
A．Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
B．Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
C．Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度
D．Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度
答案　A
解析　正电荷的电场线向外辐射，电场线密的地方电场强度大，所以A正确．
8．(多选)某电场的电场线分布如图4所示，则(　　)
图4
A．电荷P带正电
B．电荷P带负电
C．a点的电场强度大于b点的电场强度
D．正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力
答案　AD
解析　电场线从正电荷出发，故A正确，B错误；从电场线的分布情况可知，b的电场线比a的密，所以b点的电场强度大于a点的电场强度，故C错误；c点的场强大于d点场强，所以正试探电荷在c点受到的电场力大于在d点受到的电场力，故D正确；故选A、D.
9．A、B是一条电场线上的两个点，一带负电的微粒仅在静电力作用下，以一定的初速度从A点沿电场线运动到B点，其v－t图象如图5所示．则此电场的电场线分布可能是(　　)
图5
答案　A
解析　从题图可以直接看出，粒子的速度随时间的增大逐渐减小，故微粒所受电场力做负功，图线的斜率逐渐增大，说明粒子的加速度逐渐变大，电场强度逐渐变大，从A到B电场线逐渐变密．综合分析知，微粒是顺着电场线运动，由电场线疏处到达密处，正确选项是A.
10．(多选)A、B两个点电荷在真空中所产生电场的电场线(方向未标出)，如图6所示．图中C点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，D为中垂线上的一点，电场线的分布关于MN左右对称．则下列说法中正确的是(　　)
图6
A．这两点电荷一定是同种电荷
B．这两点电荷一定是异种电荷
C．D、C两点电场强度相等
D．C点的电场强度比D点的电场强度大
答案　BD
解析　由题图可知，电场线关于中垂线对称，两点电荷一定是等量异种电荷，A错，B对．中垂线上，C点场强最大，离C点越远，场强越小，C错，D对．
题组四　综合应用
11．在一个点电荷Q的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2m和5m．已知放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量大小的关系图象如图7中直线a、b所示，放在A点的试探电荷带正电，放在B点的试探电荷带负电．求：
图7
(1)B点的电场强度的大小和方向．
(2)试判断点电荷Q的电性，并确定点电荷Q位置坐标．
答案　(1)2.5N/C，方向沿x轴负方向
(2)带负电，位置坐标x＝2.6m
解析　(1)由题图可得B点电场强度的大小EB＝＝N/C＝2.5
N/C.
因B点的试探电荷带负电，而受力指向x轴的正方向，故B点场强的方向沿x轴负方向．
(2)因A点的正电荷受力和B点的负电荷受力均指向x轴的正方向，故点电荷Q位于A、B两点之间，带负电．
设点电荷Q的坐标为x，则EA＝k，EB＝k
由题图可得EA＝40N/C，则＝＝
解得x＝2.6m或x＝1m(不符合题意舍去)．
12．竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场．其电场强度为E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图8所示．请问：
图8
(1)小球带电荷量是多少？
(2)若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间？
答案　(1)　(2)
解析　(1)由小球处于平衡状态，知小球带正电，对小球受力分析如图所示
FTsinθ＝qE①
FTcosθ＝mg②
由①②联立得tanθ＝，故q＝.
(2)由第(1)问中的方程②知FT＝，而剪断丝线后小球所受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线对小球的拉力大小相等、方向相反，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力等于.小球的加速度a＝＝，小球由静止开始沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板上时，它的位移为x＝，又由x＝at2，得t＝＝＝.静电现象的应用
[目标定位]　1.知道什么是静电平衡状态，能说出处于静电平衡状态的导体中电场的特征.2.知道静电平衡状态下导体上电荷的分布规律.3.了解尖端放电、静电屏蔽现象及其应用．
一、静电平衡状态下导体的电场和电荷分布
1．静电平衡状态
发生静电感应现象时，感应电荷的电场与原电场叠加，使导体内部电场减弱，直至为零，导体内部自由电子不再发生定向移动的状态．
2．处于静电平衡状态下导体中电场的特征
(1)处于静电平衡状态的导体，内部电场处处为0.
(2)处于静电平衡状态的导体，其外部表面附近任何一点的场强方向必跟该点的表面垂直．
(3)处于静电平衡状态的整个导体是个等势体，它的表面是个等势面．
3．导体上电荷的分布特点
(1)导体内部没有电荷，电荷只分布在导体的外表面．
(2)在导体表面，越尖锐的位置，电荷的密度越大，凹陷的位置几乎没有电荷．
深度思考
导体达到静电平衡状态后，导体内的电荷还在运动吗？
答案　达到静电平衡后，自由电子没有定向移动，而不是说导体内部的电荷不动，内部的电子仍在做无规则的运动．
例1　长为l的导体棒原来不带电，现将一带电荷量为＋q的点电荷放在距棒左端R处，如图1所示．当棒达到静电平衡后，棒上的感应电荷在棒内中点P处产生的电场强度大小等于________，方向为________．
图1
解析　导体棒在点电荷＋q的电场中发生静电感应，左端出现负电荷，右端出现正电荷，棒中任何一点都有两个电场，即外电场：＋q在该点形成的电场E0；附加电场：棒上感应电荷在该点形成的电场E′，达到静电平衡状态时E′＝E0.
题中所求的即为E′，于是我们通过上述等式转化为求E0.于是E′＝E0＝.E′和E0方向相反，方向向左．
答案　　向左
(1)当外电场、导体在电场中的位置或导体的形状发生变化时，感应电荷的分布会迅速变化，很快达到新的平衡．
(2)静电平衡时，感应电荷产生的电场与外电场在导体内部的合场强为零．
例2　如图2所示为一空腔球形导体(不带电)，现在将一个带正电的小金属球A放入空腔中，当静电平衡时，图中a、b、c三点的场强大小E和电势φ的关系是(　　)
图2
A．Ea＞Eb＞Ec，φa＞φb＞φc
B．Ea＝Eb＞Ec，φa＝φb＞φc
C．Ea＝Eb＝Ec，φa＝φb＝φc
D．Ea＞Ec＞Eb，φa＞φb＞φc
解析　空腔球形导体在正电荷A的电场中感应的结果如图所示，从电场线的疏密可确定a点场强大于c点场强，而b点场强为零，故Ea＞Ec＞Eb，而沿着电场线电势降低，故φa＞φb＞φc，D选项正确．
答案　D
二、尖端放电和静电屏蔽
1．所带电荷与导体尖端的电荷符号相反的粒子，由于被吸引而奔向尖端，与尖端上的电荷中和，这相当于导体从尖端失去电荷．这个现象叫做尖端放电．
2．把一个电学仪器放在封闭的金属壳(网)里，即使壳(网)外有电场，由于壳(网)内场强保持为零，外电场对壳(网)内的仪器也不会产生影响的现象叫静电屏蔽．
3．尖端放电和静电屏蔽的应用、防止：
(1)尖端放电：
①应用：避雷针是利用尖端放电避免雷击的一种设施．
②防止：高压设备中导体的表面尽量光滑会减少电能的损失．
(2)静电屏蔽的应用：电学仪器外面有金属壳、野外高压线上方还有两条导线与大地相连．
例3　如图3所示，把原来不带电的金属壳B的外表面接地，将一带正电的小球A从小孔中放入球壳内，但不与B发生接触，达到静电平衡状态后，则(　　)
图3
A．B的空腔内电场强度为零
B．B不带电
C．B的外表面带正电
D．B的内表面带负电
解析　因为金属壳的外表面接地，所以外表面无感应电荷，只有内表面有感应电荷分布，且由于A带正电，则B的内表面带负电，D对，B、C错；B的空腔内有带正电的小球A产生的电场和金属壳内表面感应电荷产生的电场，由电场叠加知，电场线的方向由A指向B，所以空腔内电场强度不为零，A错．
答案　D
静电屏蔽的两种情况
屏蔽外电场
屏蔽内电场
图示
实现过程
因场源电荷产生的电场与导体球壳表面上感应电荷在空腔内的合场强为零，达到静电平衡状态，起到屏蔽外电场的作用
当空腔外部接地时，外表面的感应电荷因接地将传给地球，外部电场消失，起到屏蔽内电场的作用
最终结论
导体内空腔不受外界电荷影响
接地导体空腔外部不受内部电荷影响
本质
静电感应与静电平衡
1．(静电平衡状态下导体的电场)如图4所示，一个带负电的金属球放在绝缘的支架上，处于静电平衡状态，金属球内部的场强大小为E1，若减少金属球的带电荷量，再次处于静电平衡状态后，金属球内部的场强大小为E2，则(　　)
图4
A．E2＜E1
B．E2＞E1
C．E2＝E1
D．无法确定
答案　C
解析　处于静电平衡状态的导体内部的场强处处为零，选项C正确．
2．(静电平衡状态下导体的电场和电荷的分布)(多选)如图5所示，接地的金属板右侧有固定的点电荷＋Q，a、b是金属板右侧表面附近的两点，其中a到＋Q的距离较小，下列说法正确的是(　　)
图5
A．由于静电感应，金属板右侧表面带负电，左侧表面带正电
B．由于静电感应，金属板右侧表面带负电，左侧表面不带电
C．整个金属板是一个等势体，且电势等于零
D．a、b两点的电场强度不为零，且a、b两点的场强方向相同，但a点的场强比b点的场强要大一些
答案　BCD
解析　金属板若不接地，右侧表面将感应出负电荷，左侧表面将感应出等量正电荷．金属板接地，大地上的自由电子通过接地导线上移与正电荷中和，达到静电平衡时左侧表面不带电，整个金属板的电势与大地相同，都为零．所以选项A错误，选项B、C正确．金属板接地时，右侧表面上仍有感应负电荷，因a距Q较近，场强要大些；整个金属板是等势体，表面是等势面，电场线与等势面垂直，故a、b两点的场强方向都垂直指向右侧面，方向相同，选项D正确．
3．(静电防护和静电屏蔽的应用)电工穿的高压作业服是用铜丝编织的，下列说法正确的是(　　)
A．铜丝编织的衣服不易拉破
B．电工被铜丝衣服所包裹，使体内电势为零
C．电工被铜丝衣服所包裹，使体内电场强度为零
D．铜线电阻小，能对人体起到保护作用
答案　C
解析　高压线路的检修人员在进行高压作业时，要穿上用金属丝网制成的高压作业服，相当于把人体用金属网罩起来．这样，外部电场就不会影响到人体，从而避免了感应电场对人体的伤害．故选项C正确.
题组一　静电的防止与应用
1．(多选)下列措施中，属于防止静电危害的是(　　)
A．油罐车后有一条拖在地上的铁链条
B．小汽车上有一根露在车面上的小天线
C．在印染厂中保持适当的湿度
D．在地毯上夹杂0.05～0.07mm的不锈钢丝导电纤维
答案　ACD
解析　B选项属于防止静电屏蔽．
2．某农村小塑料加工厂的高频热合机(焊缝用)产生的电磁波频率和电视信号频率接近，由于该村尚未通有线电视信号，空中的信号常常受到干扰，在电视荧屏上出现网状条纹，影响正常收看．为了使电视机不受干扰，可采取的办法是(　　)
A．将电视机用一金属笼子罩起来
B．将电视机用一金属笼子罩起来，并将金属笼接地
C．将高频热合机用一金属笼子罩起来
D．将高频热合机用一金属笼子罩起来，并将金属笼接地
答案　D
解析　为了使电视机能接收电磁波信号，但又不接收高频热合机产生的电磁波，应将高频热合机产生的电磁波信号屏蔽，而将金属笼子接地具有屏蔽金属笼内电场的作用，故选项D正确．
3．下列与静电屏蔽无关的是(　　)
A．避雷针的顶端做的很尖细
B．用几万伏的高压电电击关在金属笼里的鸟，而鸟安然无恙
C．超高压带电作业的工作人员穿戴的工作服用包含金属丝的织物制成
D．电视闭路线芯外常包有一层金属网
答案　A
解析　避雷针是应用尖端放电的原理，其余三项均是利用了金属对内部的静电屏蔽作用．
题组二　静电平衡的理解
4．处于静电平衡状态的导体，内部场强处处为零的原因是(　　)
A．导体内部无任何电场
B．外电场不能进入导体内部
C．所有感应电荷在导体内部产生的合场强为零
D．外电场和所有感应电荷的电场在导体内部叠加的合场强为零
答案　D
5.如图1所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开(　　)
图1
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A电势低，B电势高
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案　C
解析　由于静电感应可知，A左端带负电，B右端带正电，A、B的电势相等，选项A、B错误；若移去C，则两端的感应电荷消失，则贴在A、B下部的金属箔都闭合，选项C正确；先把A和B分开，然后移去C，则A、B带的电荷仍然存在，故贴在A、B下部的金属箔仍张开，选项D错误．
6．(多选)如图2所示，在真空中把一绝缘导体向带负电的小球P缓缓靠近(不相碰)，下列说法中正确的是(　　)
图2
A．M端的感应电荷越来越多
B．导体内场强越来越大
C．导体的感应电荷在M点产生的场强大于在N点产生的场强
D．导体的感应电荷在M、N两点产生的场强相等
答案　AC
解析　离的越近，导体上的电子与负电荷排斥力越大，越会向左排斥，故N端带负电荷越多，M端带的正电荷也越多，故A正确；导体处于静电平衡状态，内部场强处处为零，即感应电荷的场强和带电小球的场强等大、反向、共线，由于带电小球在M点产生的场强大，故感应电荷在M点产生的场强也大，故C正确，B、D错误．故选A、C.
题组三　静电平衡中电场线及电荷分布
7．在点电荷－Q的电场中，一金属圆盘处于静电平衡状态，若圆平面与点电荷在同一平面内，则盘上感应电荷在盘中A点所激发的附加场强E′的方向在下图中正确的是(　　)
答案　A
解析　感应电荷在盘中A点激发的附加场强E′应与－Q在A点产生的场强等大反向，故A正确．
8．(多选)一个不带电的空心金属球，在它的球内放一个正电荷如图所示，其电场分布正确的是(　　)
答案　CD
解析　空心金属球内放一正电荷，由于静电感应使金属球外表面带正电，球壳上达到静电平衡，内部场强为零，当金属球外表面接地时，对外具有屏蔽作用，故选项C、D正确．
9．(多选)如图3所示，原来不带电的金属球壳内壁接地，将一带正电的小球放入其中，但不与球壳接触，则(　　)
图3
A．球壳内壁带负电
B．球壳外壁带正电
C．球壳外壁不带电
D．若将接地线去掉再移去正电荷，球壳外壁带负电
答案　ACD
解析　球壳内正电荷产生电场，使球壳处于静电平衡状态，在球壳的内表面出现等量异种电荷，球壳的外表面出现等量同种电荷，当球壳接地时，不论内表面接地还是外表面接地，待稳定后球壳的电势必定为零．球壳的外表面无感应电荷，球壳外也没有静电场，这就是接地导体壳的静电屏蔽作用，故A、C选项正确．若将接地线去掉再移去球壳内正电荷时，球壳内表面的负电荷就会分布到球壳的外表面上，内壁不再带电．故D选项正确．
10．(多选)如图4所示，在绝缘板上放有一个不带电的金箔验电器A和一个带正电荷的空腔导体B.下列实验方法中能使验电器箔片张开的是(　　)
图4
A．取电棒C(带绝缘柄的导体棒)先跟B的内壁接触一下后再跟A接触
B．取电棒C先跟B的外壁接触一下后再跟A接触
C．用绝缘导线把验电器A跟取电棒C的导体部分相连，再把取电棒C与B的内壁接触
D．使验电器A靠近B
答案　BCD
解析　A项中取电棒C先和B的内壁接触后，由于B的内壁本身没有电荷，所以再接触A时验电器箔片不张开；B项中可以使C球带电，从而使A带电；C项中用绝缘导线实际上是将验电器A和B连成了一个导体，A因接触而带电；D项中是感应起电．所以B、C、D项正确．
11．(多选)如图，四组静电实验中，能使左边的验电器的金箔张开的是(　　)
答案　AC
解析　处于静电平衡状态下的导体所带的电荷都分布在导体的外表面，导体内表面没有电荷，用导线连接之后，左边的金箔也是外表面，故A、C均正确，B错误．D选项中由于静电屏蔽的作用，验电器不受外电场的影响，故金箔片是闭合的．
12．如图5所示，在两个带等量异种电荷的绝缘导体球之间，对称地放着两个相同的导体ab、cd，则：
图5
(1)当用导线将a、b连接起来时，导线中有无电流通过？若有，方向如何？
(2)当用导线将a、c连接起来时，导线中有无电流通过？若有，方向如何？
答案　(1)无　(2)有　由a→c
解析　导体ab、cd处于静电场中，已达到静电平衡状态，ab、cd均各自为一个等势体，但因ab靠近正电荷，cd靠近负电荷，所以导体ab的电势要高于cd的电势，我们也可在正、负电荷之间画一条由左向右的电场线，也易判断导体ab的电势比导体cd的电势高．当用导线将a、c连接起来时，将会有电流从a流到c.当用导线将a、b连接起来时，无电流通过．电势差与电场强度的关系
[目标定位]　1.理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：UAB＝Ed，并了解其适用条件.2.会用UAB＝Ed或E＝解决有关问题．
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed.
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积．
3．适用条件：匀强电场．
深度思考
如图1所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B之间的距离为L，若A、B两点连线与场强方向成α角，则A、B两点间的电势差U为多少？
图1
答案　U＝ELcosα.
例1　如图2所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
图2
A．UOP＝－10sinθ(V)
B．UOP＝10sinθ(V)
C．UOP＝－10cosθ(V)
D．UOP＝10cosθ(V)
解析　在匀强电场中，UOP＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，故A对．
答案　A
UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场方向的距离．
例2　如图3所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50V，φc＝20V，则a、c连线中点b的电势φb为(　　)
图3
A．等于35V
B．大于35V
C．小于35V
D．等于15V
解析　从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35V.
答案　C
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.
1 如图3中电场线分布可知，ab段上任一点的场强都大于bc段上任一点的场强，由U＝Ed知，Uab＞Ubc.
2 在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小 等势面越密 ，场强E＝就越大.
二、从电势差的角度理解电场强度
1．公式：E＝.
2．(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的比值．
(2)适用条件：匀强电场．
(3)单位：伏特每米，符号V/m.
深度思考
V/m和N/C都是电场强度的单位，它们之间如何换算呢？
答案　1V/m＝＝＝1N/C
例3　如图4所示，A、B是匀强电场中相距4cm的两点，其连线与电场方向成60°角，两点间的电势差为200V，则电场强度大小为(　　)
图4
A．8V/m
B．50V/m
C．5×103V/m
D．1×104V/m
解析　由电势差和电场强度的关系U＝Ed，得E＝＝＝1×104V/m，D正确．
答案　D
关于场强E的几个表达式的比较
1 E＝是电场强度的定义式，适用于任意电场.
2 E＝是真空中点电荷电场强度的决定式，只适用于真空中的点电荷.
3 E＝是匀强电场中电场强度与电势差间的关系式，只适用于匀强电场.
三、等分法确定等势点
例4　如图5所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12V，φB＝6V，φC＝－6V，试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线.
图5
解析　要画电场线，先找等势面(线)．
因为UAC＝18V、UAB＝6V，＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6V，φF＝0V，故B、H等电势．连接BH即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示．
答案　见解析图
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图6甲AB＝BC，则UAB＝UBC.
(2)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等．如图乙AB綊CD，则UAB＝UCD.
　　　
图6
(3)确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)．
1．(公式UAB＝Ed和E＝的理解与应用)对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是A、B两个等势面间的垂直距离
答案　D
解析　公式E＝只适用于匀强电场，A错，公式中的d是A、B两个等势面间的垂直距离，A点和B点间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B、C错，D正确．
2．(公式UAB＝Ed和E＝的理解与应用)平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图7所示，两板间距离是5cm，两板间的电压是60V.
图7
(1)两板间的场强是________；
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5cm，P2点离B板也是0.5cm，P1和P2两点间的电势差U12＝________.
答案　(1)1.2×103V/m　(2)48V
解析　(1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强E＝＝＝1.2×103V/m.
(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4cm.
所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2V＝48V.
3．(应用UAB＝Ed或E＝定性分析非匀强电场)如图8所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10V和φC＝2V，则B点的电势是(　　)
图8
A．一定等于6V
B．一定低于6V
C．一定高于6V
D．无法确定
答案　B
解析　从等势面的疏密可以看出EA＞EB＞EC，又AB＝BC由公式UAB＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6
V.
4．(用等分法画电场线)如图9所示，A、B、C是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V，φB＝3V，φC＝－3V，试确定场强的方向，并画出电场线．
图9
答案　见解析
解析　根据A、B、C三点电势的特点，在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图所示，
尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等，由UAB＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝V＝6V．由此可知，φN＝3V，φM＝9V，B、N两点等电势，BN的连线即为等势线，那么电场线与BN垂直．电场强度的方向为电势降低最快的方向.
题组一　公式UAB＝Ed和E＝的理解与应用
1．(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是(　　)
A．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等
C．电势降低最快的方向必是场强方向
D．在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大
答案　BC
解析　UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场方向的距离，选项A、D错误；由UAB＝Ed可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B、C正确．
2．如图1所示，A、B两点相距10cm，E＝100V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，求A、B两点间的电势差为(　　)
图1
A．5V　　　
B．－5V
C．10V　　　
D．－10V
答案　B
解析　A、B两点在场强方向上的距离d＝·cos
(180°－120°)＝10×cm＝5cm.由于φA＜φB，则根据UAB＝Ed得UAB＝－Ed＝－100×5×10－2V＝－5V.
3．在水深超过200m的深海，光线极少，能见度极小，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出生物电，获取食物、威胁敌害、保护自己．该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104N/C时可击昏敌害．身长50cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达________V.
答案　5000
解析　根据UAB＝Ed可得U＝104N/C×0.5m＝5000V.
4．如图2所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是(　　)
图2
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差等于O、M两点间的电势差
答案　A
解析　根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确．负电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．由U＝Ed进行定性分析可知，C、D错误．
5．(多选)如图3所示，A、B两板间电压为600V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是(　　)
图3
A．E＝2000V/m，φC＝200V
B．E＝5000V/m，φC＝－200V
C．电子在C点具有的电势能为－200eV
D．电子在C点具有的电势能为200eV
答案　BD
解析　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600V，则B板电势为－600V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝＝50V/cm＝5
000
V/m，φC＝E×dC＝50V/cm×(－4cm)＝－200V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200eV.C错误，D正确．
题组二　找等势点，定电场方向
6．如图4所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm，由此可确定电场强度的方向及大小为(　　)
图4
A．竖直向下，E＝0.4V/m
B．水平向右，E＝0.4V/m
C．水平向左，E＝40V/m
D．水平向右，E＝40V/m
答案　D
解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝＝V/m＝40
V/m，故D项正确．
7．如图5所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20cm，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3J，则该匀强电场的电场强度大小和方向为(　　)
图5
A．865V/m，垂直AC向左
B．865V/m，垂直AC向右
C．1000V/m，垂直AB斜向上
D．1000V/m，垂直AB斜向下
答案　D
解析　把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB即为等势线，电场强度方向垂直于等势面，可见，选项A、B错误；UBC＝＝V＝－173V，B点电势比C点低173V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝＝＝V/m≈1
000
V/m，因此选项D正确，C错误．
8．下列图中，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
答案　D
解析　直线ab的中点的电势为6V，与c点等电势．电场的方向则由电势高处指向电势低处．故D图正确．
9．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为4V，如图6所示．由此可知c点的电势为(　　)
图6
A．4VB．8VC．12VD．24V
答案　B
解析　方法一：连接bd，因Ubd＝20
V，可将bd等分为5份，找到4个等分点e、f、g、h，由图可知φe＝20
V，则a、e等电势，由对称关系可知h点与c点电势相等，即φc＝8
V.
方法二：因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb－φc＝φa－φd，解得φc＝8
V.
题组三　综合应用
10．电子的电荷量的绝对值为e，质量为m，以速度v0沿电场线方向射入场强为E的匀强电场中，如图7所示．电子从A点射入，到B点速度变为零．问：
图7
(1)A、B两点间的电势差是多大？
(2)A、B两点间的距离是多大？
答案　(1)　(2)
解析　(1)由题意可知全过程只有电场力做功，则有eUAB＝mv，
解得UAB＝
(2)由UAB＝Ed，可得d＝＝.
11．如图8所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2cm，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1J．问：
图8
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
答案　(1)－0.1J　(2)5000V　(3)5×105V/m
解析　(1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1J的功．
(2)由WAB＝qUAB，得UAB＝＝V＝5000V.
(3)由UAB＝Ed，得E＝＝＝5×105V/m.
12．如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102V/m，极板间距离d＝5cm，电场中C和D点分别到A、B两板的距离均为0.5cm，B板接地，求：
图9
(1)C和D两点的电势、两点间电势差各为多少？
(2)将点电荷q＝2×10－2C从C点匀速移到D点时外力做多少功？
答案　(1)－5.4V　－0.6V　－4.8V
(2)9.6×10－2J
解析　(1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，则UBD、UBC均大于零，由UAB＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2V＝0.6V，
即φD＝－0.6V.
由于dCB＝5cm－0.5cm＝4.5cm＝4.5×10－2m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2V
＝－5.4V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4V－(－0.6V)＝－4.8V.
(2)因为点电荷匀速移动，外力所做的功等于点电荷克服电场力所做的功，W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8J＝9.6×10－2J.
13．把一个带正电荷q的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O点，小球质量m＝2g，悬线长L＝6cm，两板间距离d＝8cm，当两板间加上U＝2×103V的电压时，小球自悬线水平的A点由静止开始向下运动到达O点正下方的B点时的速度刚好为零，如图10所示，以后小球一直在A、B之间来回摆动．取g＝10m/s2，求小球所带的电荷量．
图10
答案　8×10－7C
解析　取小球为研究对象，重力mg竖直向下，电场力Eq水平向左，绳的拉力为FT，在小球由A向B运动的过程中，重力mg对小球做正功，电场力Eq对小球做负功，拉力FT不做功，根据动能定理mgL－qEL＝0，
又因为E＝，
由以上两式可得：q＝8×10－7C.