选修2-1第4讲双曲线 专题训练
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第4讲 双曲线
A组
一、选择题
1．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，选A.
2．焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D.
3．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
4．若双曲线（）的左、右焦点分别为，且线段被抛物线的焦点分成的两段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右焦点和的连线与的一条渐近线相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】：由题意得，所以，选D．
6．如图, 是双曲线与椭圆的公共焦点, 点是在第一象限的公共点, 若,则的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
由题意得，，因为，所以，所以，因为，所以的离心率是，故选B.
7．已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.
8．若双曲线上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线（a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
由已知可得圆心到直线的距离 ，故选D.
10．设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使得,其中为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
设,则,由题设,又因,故,即,联立可得,所以,代入可得,即,也即,应选D.
11．是双曲线的右焦点，过点向一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
12．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
13．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题画图，可知P为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：，所以，又，即，所以，，双曲线离心率，所以。
二、填空题
14．如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．
【答案】
【解析】
因为，所以为正三角形，设,则，其中B为PQ的中点，所以
15．已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上, 且满足,则 ．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．
【答案】
【解析】
由双曲线定义得，因为，所以，
再利用余弦定理得，化简得
17．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．
【答案】
【解析】
为的中点，所以，因此解得
18．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.
三、解答题
19．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，双曲线的离心率
（1）若椭圆的焦点和双曲线的顶点重合，求实数的值；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
【解析】
（1）由，得；
（2）据题意有，与同时为真，
若真，则，解得，
若真时，则，解得，
当真、真时，，
∴实数的取值范围是．
20．已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率,虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线 过定点, 并求出定点的坐标.
【解析】
21．已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；
（3）设（2）中直线与双曲线交于、两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
【解析】
（1）由题知，有
解得
因此，所求双曲线的方程是．
（2）∵直线过点且斜率为，
∴直线：．
联立方程组得．
又直线与双曲线有两个不同交点，
∴
解得．
（3）设交点为，由（2）可得
又以线段为直径的圆经过坐标原点，
因此，为坐标原点）．
于是，即，，
，解得．
又满足，且，
所以，所求实数．
B组
1．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
易知，所以轴，，，
又，所以周长为．
2．已知双曲线：（）的上焦点为（），是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐进线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设下焦点为，圆的圆心为，易知圆的半径为，易知，又，所以，且，又，所以，则，设，由得，代入得，化简得，解得，即，，所以渐近线方程为，即．故选D．
3．已知双曲线的左支上一点到右焦点的距离为，是线段的中点，是坐标原点，则等于（ ）
A． B. C． D．
【答案】A
【解析】
由于M是双曲线的右支上的一点，为左焦点，且
所以
∵N是线段的中点，O为坐标原点，
∴
4．已知直线与双曲线（，）的渐近线交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程可表示为，由得，设，则，所以原点和线段中点的直线的斜率为，故选B．
5．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
由题意，得，抛物线的准线方程为，所以．设，则由抛物线的定义，知，所以，即．又，所以，，所以，故选B．
6．若实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为实数满足，所以，设，则有由，设，则有，所以就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，对曲线求导：与平行平行的切线斜率，解得或（舍去），把代入，解得，即切点，则切点到直线的距离为，所以，即的最小值为，故选D．
7．在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为方程表示离心率小于的双曲线，.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为：,故选B.
8．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
画出图象如下图所示，依题意可知四边形为菱形，所以,设，则，且，解得,则.
二、填空题
9．已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】
根据条件，可得点的轨迹方程，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到，再由，得出离心率，又双曲线离心率，所以，所以答案应填：．
10．双曲线（，）的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该焦点到渐进线的距离为4，那么双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
抛物线的焦点坐标为，双曲线的一条渐近线的方程为抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，，即所以双曲线的离心率为，故答案为.
11．在双曲线中，若过双曲线左顶点斜率为的直线交右支于点,点在
轴上的射影恰为双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
12．已知双曲线的一条渐近线的方程为是上一点, 且的最小值等于,则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】
由题设可知,故,所以其标准方程为.
三、解答题
13．已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.
（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
【解析】
（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得，
解得
（i）
，
故得对任意的恒成立，
∴当时，
当直线的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当时，.
（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，
， M点到直线PQ的距离为，则
∴
令，则，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知，故的最小值为9.
14．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，为双曲线的两个焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上有一点，满足，求的面积．
【解析】
（1）∵ ∴
又 ∴
∴ ∴双曲线的方程为
（2）由双曲线方程可知
由双曲线定义有
两边平方得 ①
由余弦定理，有
②
由①②可得
15．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．点在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：；
（3）求的面积．
【解析】
，
＝．
即的面积为6．
16．已知经过点的双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线右支交于P，Q两点．
（1）求的取值范围；
（2）若，且曲线C上存在点，满足，求点坐标
【解析】
（1）曲线的方程为
设，联立 ，得，
则依题意，有，解得，
的取值范围是
（2）∵
，解得∴或，又
∴，直线的方程为．
设，由，得，
∴，又，
，．
将点的坐标代入曲线的方程，得，解得
∴点
17．已知双曲线, 若双曲线的渐近线过点, 且双曲线过点
（1）求双曲线的方程;
（2）若双曲线的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,求直线斜率的取值范围．
【解析】
（1）由题意, ,则,故双曲线．
（2）设点,由题意,,
,
故 又,则
18．已知直线l：与双曲线C：（）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．
（2）由（1），得C的方程为，，，
，，故不妨设，，
，
，
又，所以，
解得或（舍去）．
所以，，．
，，
，
所以，即是为直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第4讲 双曲线
A组
一、选择题
1．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，选A.
2．焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D.
3．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
4．若双曲线（）的左、右焦点分别为，且线段被抛物线的焦点分成的两段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右焦点和的连线与的一条渐近线相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】：由题意得，所以，选D．
6．如图, 是双曲线与椭圆的公共焦点, 点是在第一象限的公共点, 若,则的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
由题意得，，因为，所以，所以，因为，所以的离心率是，故选B.
7．已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.
8．若双曲线上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线（a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
由已知可得圆心到直线的距离 ，故选D.
10．设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使得,其中为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
设,则,由题设,又因,故,即,联立可得,所以,代入可得,即,也即,应选D.
11．是双曲线的右焦点，过点向一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
12．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
13．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题画图，可知P为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：，所以，又，即，所以，，双曲线离心率，所以。
二、填空题
14．如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．
【答案】
【解析】
因为，所以为正三角形，设,则，其中B为PQ的中点，所以
15．已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上, 且满足,则 ．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．
【答案】
【解析】
由双曲线定义得，因为，所以，
再利用余弦定理得，化简得
17．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．
【答案】
【解析】
为的中点，所以，因此解得
18．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.
三、解答题
19．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，双曲线的离心率
（1）若椭圆的焦点和双曲线的顶点重合，求实数的值；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
【解析】
（1）由，得；
（2）据题意有，与同时为真，
若真，则，解得，
若真时，则，解得，
当真、真时，，
∴实数的取值范围是．
20．已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率,虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线 过定点, 并求出定点的坐标.
【解析】
21．已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；
（3）设（2）中直线与双曲线交于、两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
【解析】
（1）由题知，有
解得
因此，所求双曲线的方程是．
（2）∵直线过点且斜率为，
∴直线：．
联立方程组得．
又直线与双曲线有两个不同交点，
∴
解得．
（3）设交点为，由（2）可得
又以线段为直径的圆经过坐标原点，
因此，为坐标原点）．
于是，即，，
，解得．
又满足，且，
所以，所求实数．
B组
1．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
易知，所以轴，，，
又，所以周长为．
2．已知双曲线：（）的上焦点为（），是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐进线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设下焦点为，圆的圆心为，易知圆的半径为，易知，又，所以，且，又，所以，则，设，由得，代入得，化简得，解得，即，，所以渐近线方程为，即．故选D．
3．已知双曲线的左支上一点到右焦点的距离为，是线段的中点，是坐标原点，则等于（ ）
A． B. C． D．
【答案】A
【解析】
由于M是双曲线的右支上的一点，为左焦点，且
所以
∵N是线段的中点，O为坐标原点，
∴
4．已知直线与双曲线（，）的渐近线交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程可表示为，由得，设，则，所以原点和线段中点的直线的斜率为，故选B．
5．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
由题意，得，抛物线的准线方程为，所以．设，则由抛物线的定义，知，所以，即．又，所以，，所以，故选B．
6．若实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为实数满足，所以，设，则有由，设，则有，所以就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，对曲线求导：与平行平行的切线斜率，解得或（舍去），把代入，解得，即切点，则切点到直线的距离为，所以，即的最小值为，故选D．
7．在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为方程表示离心率小于的双曲线，.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为：,故选B.
8．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
画出图象如下图所示，依题意可知四边形为菱形，所以,设，则，且，解得,则.
二、填空题
9．已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】
根据条件，可得点的轨迹方程，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到，再由，得出离心率，又双曲线离心率，所以，所以答案应填：．
10．双曲线（，）的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该焦点到渐进线的距离为4，那么双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
抛物线的焦点坐标为，双曲线的一条渐近线的方程为抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，，即所以双曲线的离心率为，故答案为.
11．在双曲线中，若过双曲线左顶点斜率为的直线交右支于点,点在
轴上的射影恰为双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
12．已知双曲线的一条渐近线的方程为是上一点, 且的最小值等于,则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】
由题设可知,故,所以其标准方程为.
三、解答题
13．已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.
（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
【解析】
（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得，
解得
（i）
，
故得对任意的恒成立，
∴当时，
当直线的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当时，.
（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，
， M点到直线PQ的距离为，则
∴
令，则，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知，故的最小值为9.
14．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，为双曲线的两个焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上有一点，满足，求的面积．
【解析】
（1）∵ ∴
又 ∴
∴ ∴双曲线的方程为
（2）由双曲线方程可知
由双曲线定义有
两边平方得 ①
由余弦定理，有
②
由①②可得
15．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．点在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：；
（3）求的面积．
【解析】
，
＝．
即的面积为6．
16．已知经过点的双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线右支交于P，Q两点．
（1）求的取值范围；
（2）若，且曲线C上存在点，满足，求点坐标
【解析】
（1）曲线的方程为
设，联立 ，得，
则依题意，有，解得，
的取值范围是
（2）∵
，解得∴或，又
∴，直线的方程为．
设，由，得，
∴，又，
，．
将点的坐标代入曲线的方程，得，解得
∴点
17．已知双曲线, 若双曲线的渐近线过点, 且双曲线过点
（1）求双曲线的方程;
（2）若双曲线的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,求直线斜率的取值范围．
【解析】
（1）由题意, ,则,故双曲线．
（2）设点,由题意,,
,
故 又,则
18．已知直线l：与双曲线C：（）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．
（2）由（1），得C的方程为，，，
，，故不妨设，，
，
，
又，所以，
解得或（舍去）．
所以，，．
，，
，
所以，即是为直角三角形．
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