选修2-1第5讲抛物线 专题训练
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第5讲 抛物线
A组
一、选择题
1．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2）
【答案】B
【解析】由抛物线定义点到焦点的距离为点到抛物线准线的距离，可知，当过点作直线垂直于抛物线的准线时，此时抛物线上点到的距离与它到焦点的距离之和最小，且点横坐标为，代入抛物线方程可得.21*cnjy*com
2．如图，已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )准线上的射影分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则k 的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
设，直线过定点在抛物线的上，则由得，所以，解得，．故选C．
3．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，
所以，到原点的距离为，选B．
4．点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为：，由题意可求得点代入渐近线得 ， ，，，，故选C.
5．抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )有相同的焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点A是两曲线的交点，且AF ( http: / / www.21cnjy.com )x轴，则双曲线的离心率为
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴，∵p=2c，，
∴，∴，∵，∴∴，
6．设抛物线 的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )7．若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】设，抛物线准线，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为，由抛物线的定义得，利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号，所以，故选D．
二、填空题
8．已知抛物线，过其焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，，则_____.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )9．已知抛物线：，过点和的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】显然，直线方程为，即，由，消去得，由题意，解得．
10．已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为,在轴和准线上的投影分别为点， ，则直线的斜率为 ．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】设，则 ，由，所以 ，又焦点 ，所以直线的斜率为．应填.
11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足,则的最小值为 ．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )12．已知抛物线的焦点为,过点作倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于 两点,则的值等于 ．
【答案】
【解析】
设直线与联立可得,设,则,故,所以,即,解之得或（舍）,所以,应填.
13．已知抛物线的焦点为为坐标原点, 点在抛物线上, 且,则 ．
【答案】
【解析】
易知|OF|=1, ,则.
三、解答题
14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【解析】
（1）依题意可设直线，
将直线与抛物线联立
设，
由韦达定理得
∵，
，∴斜率为或.
（2）
当时，四边形的面积最小，最小值为4.
15．在直角坐标系中，曲线与直线交于两点．
（1）当时，分别求在点处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )16．已知抛物线 的焦点为，准线为,经过上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、.21·世纪*教育网
（1）求证：以为直径的圆经过点；
（2）比较与 的大小 .
( http: / / www.21cnjy.com )（2）根据已知得
又由（1）知：.
17．已知已知点是直线上的动点，过作直线，，点，线段的垂直平分线与交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）依题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．
曲线的方程为．
（Ⅱ）设点，点，点，
直线方程为：，
化简，得．
的内切圆方程为，
圆心到直线的距离为，即．
故．
易知，上式化简得，．
同理，有
，是关于的方程的两根．
，．
．
，，
．
直线的斜率，则．
．
函数在上单调递增，
．．
．
．
18．已知边长为的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆与x轴交于两点，设，求的最大值.
【解析】
（1）由题意，正三角形的另外两个顶点坐标为，代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为；
（2）设圆M的圆心坐标为，则①
圆M的半径为
圆M的方程为
令，则
整理得②
由①②解得，
不妨设，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
综上可知，当时，所求最大值为.
B组
一、选择题
1．已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.
2．、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在抛物线中焦参数为，因此，，所以，即．故选A．
3．已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上且不与点重合，若抛物线上的点满足，且这样的点只有两个，则满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知,又,则,点在以为直径的圆上,设圆上任一点为,可得圆方程,,根据圆与抛物线的对称性与有两横坐标相同的交点,将两方程联立,消去,可得,由方程有一解, 据可得.故本题答案选A.【版权所有：21教育】
4．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）21教育名师原创作品
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】设,则,由题设可得,即,所以,应选A。
5．抛物线的焦点为，抛物线的弦经过点，并且以为直径的圆与直线相切于点，则线段的长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】D
【解析】因是抛物线的准线，故。即抛物线方程为。又线段的中点纵坐标为6。并且。设直线的方程为，则。，。从而求得,故应选D。
6．已知为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
设，则，因此重心的纵坐标为，选C.
7．已知抛物线,若等边三角形中,在上,在的准线上,为的焦点, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设,则,由可得,故,即,所以，故应选B.
8．已知函数的图象恒过定点A，设抛物线上任意一点M到准线l的距离为d，则的最小值为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
时，，故，设抛物线焦点为，根据抛物线的定义可知，的最小值为.
9．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
10．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果的倾斜角为，则 .21cnjy.com
【答案】
【解析】
∵抛物线方程为，∴焦点，准线方程为，∵直线的倾斜角为，直线的方程为，由可得点坐标为∵，为垂足，∴点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，∴,故答案为.21·cn·jy·com
11．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m 的值为__________.
【答案】8
【解析】
抛物线的准线为：，
圆心（-1，0）到准线的距离，
∴，化为：，m≠0，解得m=8
12．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，作垂直抛物线的准线于，为坐标原点，则下列结论正确的是 （填写序号）.
① ( http: / / www.21cnjy.com )；
②存在 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )成立；
③ ( http: / / www.21cnjy.com )；
④准线 ( http: / / www.21cnjy.com )上任意点 ( http: / / www.21cnjy.com )，都使得 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )13．设为坐标原点，抛物线：的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直线与相交与，则 .www.21-cn-jy.com
【答案】
【解析】过且斜率为的直线方程为，与抛物线：联立解得，则直线方程为与的交点，因此2·1·c·n·j·y
14．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于 .
【答案】
【解析】
由条件得A 、B 两点连线的斜率，
而 ①，得 ②，且在直线上，
即，即 ③
又因为A、B两点在抛物线上，
所以有，：即 ④，
把①②代入④整理得2m=3，解得
15．抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，其准线与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，若 ( http: / / www.21cnjy.com )为等边三角形，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．www-2-1-cnjy-com
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
抛物线的准线方程为,设两点的纵坐标为,由双曲线方程可知,焦点到准线的距离为.由等边三角形的特征可知,即,可得.故答案应填.2-1-c-n-j-y
来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于的方程.
三、解答题
16．动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，设.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点,过点的直线交轨迹于（不同于点）两点，设直线的斜率分别为，求的取值范围.
( http: / / www.21cnjy.com )17．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，当直线的斜率为-1时，点恰为的中点
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【出处：21教育名师】
【解析】
（1）当直线的斜率为-1时，直线的方程为，即，代入得，，所以抛物线的方程为
（2）设直线的方程为，代入得，
设点则，
假设存在点总是在以弦为直径的圆上，则
当或时，等式显然成立；
当或时，则有，即
解得，所以存在点满足题意
18．过抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线交抛物线于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )两点分别作抛物线的切线，设其交点为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）证明：为定值；
（2）设 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值.
【解析】
（1）焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )，设直线： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).联立
( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com ).
抛物线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求导得 ( http: / / www.21cnjy.com )则过抛物线上两点的切线方程分别是
( http: / / www.21cnjy.com )
即 ( http: / / www.21cnjy.com )
解出两条切线的交点的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，，即 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )19．已知抛物线上的一点的横坐标为3，焦点为，且，直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是轴上一点，且的面积等于9，求点的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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第5讲 抛物线
A组
一、选择题
1．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1) D．（－1，2）
【答案】B
【解析】由抛物线定义点到焦点的距离为点到抛物线准线的距离，可知，当过点作直线垂直于抛物线的准线时，此时抛物线上点到的距离与它到焦点的距离之和最小，且点横坐标为，代入抛物线方程可得.21*cnjy*com
2．如图，已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )准线上的射影分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则k 的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】
设，直线过定点在抛物线的上，则由得，所以，解得，．故选C．
3．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，
所以，到原点的距离为，选B．
4．点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为：，由题意可求得点代入渐近线得 ， ，，，，故选C.
5．抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )有相同的焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点A是两曲线的交点，且AF ( http: / / www.21cnjy.com )x轴，则双曲线的离心率为
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴，∵p=2c，，
∴，∴，∵，∴∴，
6．设抛物线 的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )7．若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】设，抛物线准线，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为，由抛物线的定义得，利用两边之和大于第三边且当三点共线时取等号，所以，故选D．
二、填空题
8．已知抛物线，过其焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，，则_____.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )9．已知抛物线：，过点和的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】显然，直线方程为，即，由，消去得，由题意，解得．
10．已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为,在轴和准线上的投影分别为点， ，则直线的斜率为 ．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】设，则 ，由，所以 ，又焦点 ，所以直线的斜率为．应填.
11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足,则的最小值为 ．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )12．已知抛物线的焦点为,过点作倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于 两点,则的值等于 ．
【答案】
【解析】
设直线与联立可得,设,则,故,所以,即,解之得或（舍）,所以,应填.
13．已知抛物线的焦点为为坐标原点, 点在抛物线上, 且,则 ．
【答案】
【解析】
易知|OF|=1, ,则.
三、解答题
14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
【解析】
（1）依题意可设直线，
将直线与抛物线联立
设，
由韦达定理得
∵，
，∴斜率为或.
（2）
当时，四边形的面积最小，最小值为4.
15．在直角坐标系中，曲线与直线交于两点．
（1）当时，分别求在点处的切线方程；
（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )16．已知抛物线 的焦点为，准线为,经过上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、.21·世纪*教育网
（1）求证：以为直径的圆经过点；
（2）比较与 的大小 .
( http: / / www.21cnjy.com )（2）根据已知得
又由（1）知：.
17．已知已知点是直线上的动点，过作直线，，点，线段的垂直平分线与交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）依题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．
曲线的方程为．
（Ⅱ）设点，点，点，
直线方程为：，
化简，得．
的内切圆方程为，
圆心到直线的距离为，即．
故．
易知，上式化简得，．
同理，有
，是关于的方程的两根．
，．
．
，，
．
直线的斜率，则．
．
函数在上单调递增，
．．
．
．
18．已知边长为的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆与x轴交于两点，设，求的最大值.
【解析】
（1）由题意，正三角形的另外两个顶点坐标为，代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为；
（2）设圆M的圆心坐标为，则①
圆M的半径为
圆M的方程为
令，则
整理得②
由①②解得，
不妨设，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
综上可知，当时，所求最大值为.
B组
一、选择题
1．已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.
2．、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在抛物线中焦参数为，因此，，所以，即．故选A．
3．已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上且不与点重合，若抛物线上的点满足，且这样的点只有两个，则满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知,又,则,点在以为直径的圆上,设圆上任一点为,可得圆方程,,根据圆与抛物线的对称性与有两横坐标相同的交点,将两方程联立,消去,可得,由方程有一解, 据可得.故本题答案选A.【版权所有：21教育】
4．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）21教育名师原创作品
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】设,则,由题设可得,即,所以,应选A。
5．抛物线的焦点为，抛物线的弦经过点，并且以为直径的圆与直线相切于点，则线段的长为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】D
【解析】因是抛物线的准线，故。即抛物线方程为。又线段的中点纵坐标为6。并且。设直线的方程为，则。，。从而求得,故应选D。
6．已知为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
设，则，因此重心的纵坐标为，选C.
7．已知抛物线,若等边三角形中,在上,在的准线上,为的焦点, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设,则,由可得,故,即,所以，故应选B.
8．已知函数的图象恒过定点A，设抛物线上任意一点M到准线l的距离为d，则的最小值为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
时，，故，设抛物线焦点为，根据抛物线的定义可知，的最小值为.
9．抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
10．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果的倾斜角为，则 .21cnjy.com
【答案】
【解析】
∵抛物线方程为，∴焦点，准线方程为，∵直线的倾斜角为，直线的方程为，由可得点坐标为∵，为垂足，∴点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，∴,故答案为.21·cn·jy·com
11．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m 的值为__________.
【答案】8
【解析】
抛物线的准线为：，
圆心（-1，0）到准线的距离，
∴，化为：，m≠0，解得m=8
12．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，作垂直抛物线的准线于，为坐标原点，则下列结论正确的是 （填写序号）.
① ( http: / / www.21cnjy.com )；
②存在 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )成立；
③ ( http: / / www.21cnjy.com )；
④准线 ( http: / / www.21cnjy.com )上任意点 ( http: / / www.21cnjy.com )，都使得 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )13．设为坐标原点，抛物线：的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直线与相交与，则 .www.21-cn-jy.com
【答案】
【解析】过且斜率为的直线方程为，与抛物线：联立解得，则直线方程为与的交点，因此2·1·c·n·j·y
14．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于 .
【答案】
【解析】
由条件得A 、B 两点连线的斜率，
而 ①，得 ②，且在直线上，
即，即 ③
又因为A、B两点在抛物线上，
所以有，：即 ④，
把①②代入④整理得2m=3，解得
15．抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，其准线与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，若 ( http: / / www.21cnjy.com )为等边三角形，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．www-2-1-cnjy-com
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
抛物线的准线方程为,设两点的纵坐标为,由双曲线方程可知,焦点到准线的距离为.由等边三角形的特征可知,即,可得.故答案应填.2-1-c-n-j-y
来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于的方程.
三、解答题
16．动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，设.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点,过点的直线交轨迹于（不同于点）两点，设直线的斜率分别为，求的取值范围.
( http: / / www.21cnjy.com )17．已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，当直线的斜率为-1时，点恰为的中点
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【出处：21教育名师】
【解析】
（1）当直线的斜率为-1时，直线的方程为，即，代入得，，所以抛物线的方程为
（2）设直线的方程为，代入得，
设点则，
假设存在点总是在以弦为直径的圆上，则
当或时，等式显然成立；
当或时，则有，即
解得，所以存在点满足题意
18．过抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线交抛物线于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )两点分别作抛物线的切线，设其交点为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）证明：为定值；
（2）设 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，试求 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值.
【解析】
（1）焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )，设直线： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).联立
( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com ).
抛物线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求导得 ( http: / / www.21cnjy.com )则过抛物线上两点的切线方程分别是
( http: / / www.21cnjy.com )
即 ( http: / / www.21cnjy.com )
解出两条切线的交点的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，，即 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )19．已知抛物线上的一点的横坐标为3，焦点为，且，直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是轴上一点，且的面积等于9，求点的坐标.
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