选修2-1第6讲与离心率相关的综合问题 专题训练

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第6讲与离心率相关的综合问题
A组
一、选择题
1．分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设，因为，所以，
，所以，解得，所以，，在中，由余弦定理得
，化为，
所以，化简得，
所以，故选A．
2．已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．已知椭圆C1： 与双曲线C2：的焦点重合，，分别为C1，C2的离心率，则
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【解析】由题意知，即，由于，可得，
又= ，故．故选A．
4．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在轴上方，则依题意，点的坐标为．因为等腰直角三角形，所以，即，两边除以得，解得，故选D．
5．三等分，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由椭圆方程知椭圆的长轴长为，因为椭圆的长轴被半径为的圆与轴的两个交战三等分，所以，即，所以椭圆的离心率，故选D．
6．设椭圆+=1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为，点满足，设直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的方程为
A．+ B．+ C． D．+
【答案】C
【解析】由题意可得由得，两边平方并整理得，所以，所以椭圆方程可写成，点的坐标为，直线的方程为：，代入椭圆方程得：，解之得或，所以可得，所以，所以，，所以椭圆方程，故选C.
7．设 是椭圆E：=1（＞＞0）的左、右焦点，为直线上一点，1是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E的离心率为
A． B． C． D．
8．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：
∵椭圆上存在点P使得是钝角，∴中，＞90°，
∴中，
＞45°，所以，∴∵，
∴
9．已知椭圆E： 的右焦点为，过点的直线交于两点．若的中点坐标为，则椭圆的离心率为( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由点差法得,即，选A.
10．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切线AC的方程为，
则，消去y得
由，得，同理∴，∵直线AC与BD的斜率之积为，
∴，∴，，∴
11．已知直线与双曲线有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线与与双曲线有两个不同的交点，根据双曲线的几何性质，直线的斜率小于渐近线斜率的绝对值，即，故选D.
12．已知分别是双曲线的左、右焦点, 点在双曲线右支上, 且为坐标原点), 若,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知点在双曲线的右支上，分别为双曲线的左、右焦点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以，选D.
14．设双曲线右焦点为，点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因,渐近线,故,即,也即,所以离心率.故应选C.
二、填空题
15．椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】
设双曲线的一条渐近线为，代入椭圆方程，可得，即有，由可得，，即为，，，，，．
16．已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为 ．
【答案】
【解析】
由题意知，设，则，所以，故，易求得，代入椭圆方程得，解得，所以．
17．已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为______________.
18．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于
两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】由题设可得，则双曲线的离心率,故应填.
三、解答题
19．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.
求证：为定值.
【解析】
（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
20．已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点，且当线段的中点在轴上时，．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
【解析】
（Ⅰ）当线段的中点在轴上时，垂直于轴，为直角三角形．
因为,所以,易知,由椭圆的定义．
．
21．给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的离心率为，且经过点.
（１）求实数的值；
（２）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且被椭圆的伴随圆所截得的弦长为，求实数的值.
【解析】
（1）记椭圆的半焦距为，由题意得，
解得
22．已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.
【解析】
：（1）因为椭圆离心率为，可设方程为，过点，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设
联立得
①
(“=” 当且仅当)
此时满足①，所以.
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，,求的取值范围.
【解析】
(1）由题意得，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值
此时所以因为所以，
所以椭圆方程为
（2）由（1）得椭圆方程为，则的坐标为
因为，所以
①当直线与中有一条直线斜率不存在时，易得
②当直线斜率存在且，则其方程为，设，
则点、的坐标是方程组的两组解
所以
所以
所以
此时直线的方程为
同理由可得
令，则，
因为，所以所以
B组
选择题
1．设分别是双曲线的左右焦点，点，，则双曲线的离心率为（ ）
（A）4 （B） （C） （D）2
【答案】D
【解析】由题意知,直线的斜率为，即有，，平方化简得，，.故选D.
2．已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由椭圆方程可得焦点为，离心率为，所以双曲线的离心率为，设双曲线中，可得，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，故选A．
3．已知点是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于，所以三角形为直角三角形，且.设，依题意有，，，化简得，即有.
4．已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
如下图所示，设，∴，，∴，
，又∵，∴，
∴，∴，故选C.
5．设分别为椭圆（）与双曲线（）的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为坐标原点，双曲线上有一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为，若平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知分别为双曲线的左右顶点，不同两点在双曲线上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题知，所以，设,设，则可知在上分别是减函数与增函函数，所以时取最小值，而时取等号，从而当且仅当时取等号，由此可得当取最小值时，双曲线的离心率为，故选B.
8．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
,椭圆的方程为, 的离心率为：, 双曲线的方程为, 的离心率为：,与的离心率之积为,,
,的渐近线方程为：,即,故选A.
9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为圆方程为，所以圆心到渐近线的距离为，可设一条渐近线方程为，则，选C.
10．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，上下虚轴端点分别为，若交于，且则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，如下图.所以的方程为的方程为，联立方程组可得，即，所以由可得，即，整理可得，即，故选A.
11．已知双曲线的两个焦点分别为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，则，解得,在中，，即，所以，又因为当三点一线时，，此时，所以双曲线离心率的范围是，故选C.
填空题
12．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
由题意得，因为，所以
13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率是 .
【答案】
【解析】
对于双曲线，点坐标为，对于抛物线，点坐标为，所以有，，，，.
14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________
【答案】
【解析】
由题得，双曲线的焦点坐标为且双曲线的离心率为，双曲线的方程为．
解答题
15．已知椭圆经过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点能否作出直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）由已知，即，所以，椭圆方程为，将代入得：，解得，可知，所以，椭圆的方程为．
16．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【解析】
(I )椭圆的长轴长为，故，又与椭圆有相同的离心率,故所以椭圆M的方程为
(II)若的斜率存在，设因与C相切，故，
即.①
又将直线方程代入椭圆M的方程得
设
由韦达定理得+=，
由得到
+++=0
化简得，②
联立①②得。
综上所述，存在圆.
由得
=
当时，，
又当k不存在时，故为所求.
17．已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率,虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线 过定点, 并求出定点的坐标.
,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时, 的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.
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