选修2-1第9讲空间向量在立体几何中的综合应用 专题训练

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第九讲空间向量在立体几何中的综合应用
1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】: 设，则，，则，故选A
2我们定义“经过点P(x0，y0，z0)，法向量为=(A，B，C)的平面的方程是：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0”.现在我们给出平面α的方程是x-y+z=1，平面β的方程是，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：由已知得平面α，β的法向量分别为=(1，-1，1)，=(1，-2，-1)，故所求锐二面角的余弦值为|cos< >|==.故选A.
3已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
【答案】
【解析】：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
4在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值为
【答案】
【解析】：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
设，
则 ，，，
∴ ， ， ，，
∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，
∴ 平面ABD， ∴ ，解得 ．
∴ ， ，
∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量．
由
∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为．
5已知空间图形O－ABC中，OA=1，OB=1，OC=2， OA 、OB、 OC 两两互相垂直，如何找出一点D，使BD∥AC ，DＣ∥AB ？
【解析】：如图１所示，建立空间直角坐标系，则
Ａ(1,0,0) ，Ｂ(0,1,0) ，Ｃ(0,0,2) ，设所求点为
则=(–,1-,–) ,=( –1,0,2) , =(–,-,2–)
=(–1,1,0)
∵BD∥AC DC∥AB ∴∥ ∥
由共线向量定理得
即　解得　　此时，Ｄ点坐标为(-1,1,2).
6已知是正三棱锥柱，D为AC的中点，求证：∥平面.
【解析】：以棱BC的中点O为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC=2a,CC1=b,则OA=.易知.
7.正方体中，求证：平面∥平面
【解析】:如图３,分别以三边所在直线为轴, 轴,轴,建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为１，则(1,0,0) ,(1,1,0), C (0,1,1) ,
D(0,0,1),则=（-1，0，1），=（-1，0，1）
∴∥ 即直线∥
∴∥平面
同理可证：∥平面
∴平面∥平面.
.8已知直三棱柱中，，，，，是的中点，求证：.
【解析】：
.
所以，即.
9．在棱长为的正方体中，Ｅ，Ｆ分别为棱AB，BC上的动点,且AE=BF,　求证：．
【解析】：如图4，以Ｏ为原点，分别以OA ，OC，为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
设，
则,.
所以,.
则·，
所以.
10．已知正方体ABCD-ABCD，P为底面对角线BD上一点且BP=3PD，Q为棱DD的中点，试证PQ⊥面AQC.
证明：建立如图5所示的空间直角坐标系D-xyz,设AA=1，则A(1,0,1),C(0,1,1,),Q(0,0,),P(,，0).
所以=(-1,1,0),=(-1,0,-),=(-,-,).
从而·=(-)×(-1)+(-)×1+×0=0,
·=(-)×(-1)+(-)×0+×(-)=0,
所以⊥,⊥.
所以⊥面AQC,即PQ⊥面AQC.
11．已知正四面体的棱长为，分别为的中点，设所成的角为，求.
【解析】：如图7，
.
又 ，
所以，从而cos.
12．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2，求异面直线PA与BC所成角的余弦值。
【解析】：建立如图8所示的空间直角坐标系D—xyz，∵∠D=∠DAB=
90°，AB=4，CD=1，AD=2，∴A(2，0，0)、C(0，1，0)、B(2，4，0)，
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD=60°，由AD=2得PD=2，即P(0，0，2) , 则 = (2，0，－2)，=(－2，－3，0)，则||=4，||=，·=-4，∴cos< ，>= -, ∴PA与BC所成角的的余弦值为。
13．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点. 求与平面所成角的余弦值.
【解析】：建立坐标系如图9，则、，，，，，，，，
，，.
，可得为平面的法向量，
∵，
∴与平面所成的角的余弦值为.
14．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且. 求二面角的大小.
【解析】：取的中点，连，由题意平面平面，，∴平面，以为原点，建立如图10所示的空间直角坐标系，则 ，，，，
∴，，，
由题意平面，∴为平面的法向量.
设平面的法向量为，
则， ∴ ， ∴ ，
即. 取，
由，
得. 故所求二面角的大小为.
15．如图，空间四边形的对棱、成的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．
（Ⅰ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅱ）在的何处时截面的面积最大？最大面积是多少？
【解析】
（Ⅰ）证明：∵BC∥平面EFGH，BC平面ABC，
平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF．同理BC∥GH，
∴EF∥GH，同理EH∥FG，
四边形EGFH为平行四边形．
16．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．
（2）易知平面的一个法向量．
设，代入，得，
解得，即，所以，
设平面的法向量，则，
消去，得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，解得或，因为，所以．
E
z
x
D1
y
A
C1
B1
A1
B
D
C
O
C
B
A
图1
图2
D
A
B
C
A1
B1
C1
D1
图３
图4
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
图5
z
y
x
Q
P
A
B
C
D
M
N
图7
图8
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
x
y
z
图9
图10
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