2.6
平面向量数量积的坐标表示
知识梳理
1.向量数量积的坐标表示
已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.两个向量垂直的坐标表示
已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b
(a1,a2)∥(-b2,b1).
3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）
(1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则|a|=.
(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则||=.
(3)夹角公式：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉=.
知识导学
1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.
2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.
疑难突破
1.为什么向量的数量积能用坐标表示？
剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，
则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.
∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,
即a·b=x1x2+y1y2.
用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.
2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？
剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.
方法一：举反例.
如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=，〈,
〉=，则〈,〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈b，c〉=3.
∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显c=3a不成立，
图2-6-1
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),
则(a·b)c=
［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),
a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-38)(1,2)=(-38,-72).
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.
由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.
则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.
由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).
则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.
∴(a·b)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，
a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).
假设(a·b)c=a(b·c)成立,
则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.
∴y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.
∴y2(y1x3-x1y3)=0，x2（x1y3-x3y1）=0.
∵b是任意向量，
∴x2和y2是任意实数.
∴y1x3-x1y3=0.
∴a∥c.
这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.
∴假设不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.2.5
从力做的功到向量的数量积
知识梳理
1.两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图2-5-1所示，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
图2-5-1
(2)范围：［0,π］，〈a，b〉=〈b，a〉.
(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.
2.向量的射影
图2-5-2
已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b,过点B作的垂线，垂足为B1，则1的数量|b|cosθ
叫做向量b在向量a方向上的正射影（简称射影）.
3.向量的数量积（内积）
（1）定义：|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.
（3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积，或看作是b的长度｜b｜与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.
4.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
（1）e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉.
（2）a·ba·b=0.
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；特别地：a·a=|a|2或|a|=.
（4）cos〈a，b〉=.
（5）|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律
交换律：a·b=b·a；结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）(λ∈R)；
分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.
知识导学
1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.
2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.
疑难突破
1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？
剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.
①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.
②从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.
③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则a=0或b=0.
在向量的数量积中：a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a－c)〉=；在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.
在向量的数量积中：(a·b)c≠a·（b·c)；在向量的数乘中，（λｍ）a=λ(ｍa)（λ∈R,m∈R）；在实数的乘法中，有(a·b）c=a·（b·c).
④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.
2.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？
剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.
例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.
图2-5-3
解：设=a，=b.
则|a|=3，|b|=1，〈a,b〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=.
又∵=a+b,=a-b，
∴||=，
||=，
∴AC=,DB=.
由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：
①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度；
②应用公式|a|=，通过向量运算求出向量的长度；
③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.2.2
从位移的合成到向量的加法
知识梳理
1.向量的加法
（1）向量加法法则
①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使向量b的起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.
②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2-2-1），作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
图2-2-1
③多边形法则：ｎ个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这ｎ个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.
(2)几何意义
向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
(3)运算律
交换律：a＋b=b＋a；结合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）.
2.向量的减法
(1)向量的减法是向量加法的逆运算.求两个向量的差，必须把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
（2）利用相反向量的定义，一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.
（3）向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.
知识导学
学好本节有必要复习物理学中三角形法则和平行四边形法则；善于应用+=和-=解决向量问题.
疑难突破
1.向量加法与实数加法的联系.
剖析：讨论两种运算的联系，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析.
（1）运算法则：向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是两个实数的和的绝对值等于这两个实数中较大数的绝对值减去较小数的绝对值，和的符号与较大绝对值加数的符号相同.
（2）运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数.
(3)运算律：向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证.
图2-2-2
如图2-2-2，作=a，=b，=c，连结、、，
则=a+b，=b+c.
∵=+=a+(b+c)，
=+=(a+b)+c，
∴(a+b)+c=a+(b+c).
（4）运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小,是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行.
2.在化简时，为什么总是错误地得出=？
剖析：根据解题经验，的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把结果通过向量加法的三角形法则验证.假设=，则有=+，由于表示、、的有向线段正好构成三角形即△OAB，如图2-2-3所示.
图2-2-3
由向量加法的三角形法则知=+.所以=是错误的，应该是=.
为了防止出现类似错误，通常画图利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证.设=m，则=+m，由于m等于和中的一个向量，+≠，仅有+=，所以=.2.7
向量应用举例
知识梳理
1.向量在平面几何中的应用
（1）证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的长度；
（2）证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；
（3）证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；
（4）几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
（5）对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过代数（坐标）运算解决平面几何问题.
2.向量在解析几何中的应用
（1）若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=（m，n）平行于l，则k=tanα=；
反之，若直线的斜率k=，则向量（m，n）一定与该直线平行；
（2）向量（1，k）与直线l：y=kx+b平行；
（3）与a=（m，n）平行且过点P(x0,y0)的直线方程为
n(x-x0)-m(y-y0)=0;
(4)过点P(x0,y0)且与向量a=（m，n）垂直的直线方程为：m(x-x0)+n(y-y0)=0.
3.力向量与速度向量
（1）力是具有大小、方向和作用点的向量，它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，它们就不相等.但是在不计作用点的情况下，可用平行四边形法则计算两个力的合力.
（2）速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形和平行四边形法则，求两个速度的合速度.
知识导学
这部分内容是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用，是本章的重点，又是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.
疑难突破
1.用向量处理问题时，如何选择平面向量基底？
剖析：难点是在已知图形中有很多不共线的向量，到底选择哪两个向量为基向量？其突破口是明确向量基底的含义和选择向量基底的原则.
平面内任意不共线的两个向量构成了平面向量基底，因此要在图形中选择不共线的两个向量即可.但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量，要选择适当的向量基底，这样会减少计算量.选择基向量的基本原则是：
①不共线；
②基向量的长度最好已经确定；
③基向量的夹角最好已经明确（直角最合适）；
④尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
要会选择适当的平面向量基底，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.
2.用向量处理问题时，如何建立平面直角坐标系？
剖析：难点是建立平面直角坐标系时，到底选择哪两条直线为坐标轴，哪个点为原点？选择不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.其突破口是明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则.
具有公共原点的两条数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：
①尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；
②尽量选择已知图形中某一特殊点为原点；
③尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好；
与选择向量基底类似，要学会选择适当的平面直角坐标系，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.2.4
平面向量的坐标
知识梳理
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
2.向量的坐标
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任意向量a都可以由x,y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
3.线性运算的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2),y1-y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
λa=(λx1,λy1)，实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4.平面向量共线的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），则
x1y2-x2y1=0a∥b.
知识导学
学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同.
疑难突破
1.向量的坐标.
剖析：难点是既然能用坐标表示向量，那么如何理解向量的坐标.其突破方法是分析向量坐标的规定.
可以从以下几个方面来理解：
（1）i=(1,0),j=(0,1),0=(0，0).
（2）在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.
(3)设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.
(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.例：点A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6)，向量==(3,3).两向量的坐标相同，但起点、终点坐标不同.
2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？
剖析：很多同学对向量有两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法.
总起来看向量有两种表示方法,一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字即坐标表示，称为代数法.那么相应的向量的运算也就分为图形上的几何运算和坐标下的代数运算.这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.
例如：已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
解法一（基向量法）：
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
解法二：设向量e1=(x1,y1)，e2=(x2,y2)，
∴ke1+e2=(kx1+x2,ky1+y2)，e1+ke2=(x1+kx2,y1+ky2).
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴(kx1+x2)(y1+ky2)-(x1+kx2)(ky1+y2)=0.
∴(k2-1)(x1y2-x2y1)=0.
∵向量e1和e2不共线，
∴x1y2-x2y1≠0.
∴k2-1=0.
∴k=±1.2.3
从速度的倍数到数乘向量
知识梳理
1.向量数乘
（1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
λa的长度与方向规定如下：|λa|=|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）向量数乘的运算律
设λ、μ是实数，则有λ(μa)=(λμ)a；(λ+μ)a=λa+μ
a；λ(a+b)=λa+λb.
（3）向量数乘的几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小|λ|倍.
2.向量的线性运算
（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.
（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.
3.向量共线的判定定理和性质定理
判定定理：如果a=λb，则a∥b；
性质定理：如果a∥b（b≠0），则一定存在一个实数λ，使得a=λb.
4.平面向量基本定理
如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=a1e1＋a2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式.
5.直线的向量参数方程式
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数ｔ，使=(1-t)+t,这个等式又称为直线l的向量参数方程式.
知识导学
1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.
2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.
3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用.
疑难突破
1.向量共线定理有何应用？
剖析：学行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.
（1）判定定理的结论是a∥b，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线.
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：∥.
证明：由题意得=b-a，=-=（b+a）-b=（a-b），
∴=-.
∴∥.
由此可见，证明向量a∥b，只需找到满足a=λb的实数λ的一个值即可.
（2）判定定理的结论是a∥b，则有当=a，=b时，有O、A、B三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线.
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：A、B、C三点共线.
证明：由题意得=b-a.
=-=（a+b）-b=（a-b）,
∴=.∴∥.
∴A、B、C三点共线.
由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.
（3）判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.
例如：如图2-3-1，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜x＜1.
图2-3-1
求证：DE∥BC且DE=xBC.
证明：∵AD=xAB，AE=xAC，
∴=x，=x.
∴=-=x(-)=x.
∴∥.
∴DE∥BC且DE=xBC.
由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.
（4）性质定理的结论是a=λb，则有|a|=|λ|·|b|，当=a，=b时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.
例如：如图2-3-2，平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.
图2-3-2
求证：BE=BA.
证明：设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA.
设=a，=b，则=a，=b+a.
∵=-b，E′A=a-，3=E′A,
∴3(-b)=a-.
∴=
(a+3b)=
(b+a).
∴=.
∴O、E′、D三点共线，即E，E′重合.
∴BE=BA.
由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.
2.如何正确认识平面向量基本定理？
剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.
平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2（基底）的唯一线性组合形式λ1e1＋λ2e2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.
例如：（经典回放）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（
）
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+BC),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-BC),λ∈(0,
)
思路解析：如图2-3-3所示，
图2-3-3
由向量的运算法则得：+=，
又点P在对角线AC上，则∥,且||＜||.
∴存在实数λ使=λ,λ∈(0,1).
答案：A2.1
从位移、速度、力到向量
知识梳理
1.概念
（1）向量、数量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，物理学中常称为矢量.
只有大小没有方向的量叫做数量，物理学中常称为标量.
（2）向量与数量的区别
向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.
数量只有一个要素：大小，数量没有方向，可以比较大小.
2.平面向量的表示
（1）有向线段
一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三要素：起点、方向、长度.
（2）向量的表示
几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.
字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭头的小写字母表示如、…；还可用两个大写英文字母表示.
3.相等向量与共线向量
（1）向量的长度
向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.
长度为零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，是任意的.
长度为单位1的向量叫做单位向量.
（2）共线向量(平行向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量是平行向量，记作0∥a.
任一向量与它本身都是平行向量，记作a∥a.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
知识导学
学好本节一定要弄清概念，要用类比的方法学习向量的概念，还要注意向量与数量的区别.
疑难突破
1.为什么两个向量不能比较大小
剖析：疑点是向量的模有大小，两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.
向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由A向西北逃窜，如果猫由A向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向.
2.向量和数量有什么区别和联系？
剖析：难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析.
从定义上看，向量是规定了大小和方向的量，向量不同于数量，数量只有大小，而向量不仅有大小而且还有方向；数量是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向，而方向不能比较大小，因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.
