2.5
从力做的功到向量的数量积
整体设计
教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢 如果能,运算结果应该是什么呢 另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.
图1
我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
三维目标
1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,
其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).
故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.
思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？
③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a
2+2A.b+b2,(a+b)(a-b)=a
2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).
其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a.方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2
在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;
(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
(4)当0≤θ＜时，cosθ＞0,从而a·b＞0;当＜θ≤π时,cosθ＜0,从而a·b＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
①a·b=b·a(交换律);
②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.
(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.
图3
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.
讨论结果①是数量,叫数量积.
②数量积满足a·b=b·a.(交换律);
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
(a.+b)·c=a·c+b·c(分配律).
③1°(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·a+a.·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;
2°(a.+b)·(a.-b)=a.·a.-a.·b+b·a.-b·b=a.2-b2.
提出问题
①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？
②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？
活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.
图4
定义:|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:
1°投影也是一个数量,不是向量;
2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.
教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|Cosθ的乘积.
让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1°e·a=a·e=|a|cosθ.
2°a⊥ba·b=0.
3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地a·a=|a|2或|a|=.
4°cosθ=.
5°|a·b|≤|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果:①略(见活动).
②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
应用示例
思路1
例1
已知|a.|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,求a·b.
活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念.
解:a·b=|a||b|cosθ=3×4×cos150°=12×(-)=-6.
点评:直接利用向量数量积的定义.
例2
已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=3,求·+·+·的值.
活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.
解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,
从而sin∠A.BC=,sin∠BAC=
∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.
∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.
故·+·+·
=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.
点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.
变式训练
已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a.·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2
=62-6×4×cos60°-6×42
=-72.
例3
已知|a|=3,|b|=4,且a.与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0.
∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.
∴k=±
也就是说,当k=±时,a+kb与a.-kb互相垂直.
点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.
变式训练
(007海南三亚)设a、b、c是非零向量,下列命题正确的是(
)
A.(a.·b)·c=a.·(b·c)
B.|a.-b|2=|a.|2-2|a.||b|+|b|2
C.若|a.|=|b|=|a.+b|,则a与b的夹角为60°
D.若|a|=|b|=|a.-b|,则a.与b的夹角为60°
解析:设θ是a.和b的夹角,∵|a|=|b|,
∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2
=2|a|2-2a·b=|a|2.
∴cosθ=.
又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案:D
例4
在△A.BC中,设边BC,CA.,A.B的长度分别为a,b,c.
证明a2=b2+c2-2bcCosA.,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2acosC.
图5
证明:如右图,设=c,=a,=b,则a2=|a|2=||2=·
=(-)·(-)
=(b-c)·(b-c)
=b·b+c·c-2b·c
=|b|2+|c|2-2|b||c|cosA.
=b2+c2-2bccosA.
同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.
思路2
例1
已知在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a.,试问四边形ABCD的形状如何？
解:∵+++=0,
即a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
由上可得(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.
同理可得a2+d2=b2+c2.
由上两式可得a2=c2,且b2=d2,
即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即A.B=CD,且BC=DA.,
∴四边形A.BCD是平行四边形.
故=-,即a=-c.
又a·b=b·c=-a.·b,
即a·b=０,∴a⊥b,即⊥.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.
例2
已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.
活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的A.BCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与a-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a.-b〉=作为切入点,进行求解.
解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b2=(a+b)2.
∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.
∴a·b=-|b|2.
而b·(a-b)=b·a-b2=-|b|2-|b|2=-|b|2,①
由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×(-)|b|2+|b|2=3|b|2,
而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,
∴|a-b|=3|b|.②
∵cos〈b,a.-b〉=,
代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.
又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,∴〈b,a-b〉=.
点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练
设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a.⊥c,b·c=-4,且b与c的夹角为120°,求m,n的值.
解:∵a⊥c,∴a·c=0.
又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,
即|c|2=ma·c+nb·c∴|c|2=nb·c.
由已知|c|2=16,b·c=-4,
∴16=-4n.∴n=-4.
从而c=ma-4b.
∵b·c=|b||c|cos120°=-4,
∴|b|·4·(-)=-4.∴|b|=2.
由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,
∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①
再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2
∴ma·b-16=-4,即ma·b=12.②
联立①②，得2m2=12,即m2=6.
∴m=±.故m=±,n=-4.
例3
证明菱形的两条对角线互相垂直.
图6
证明:菱形ABCD中,=(如图6),
由于=+,=-,
可得·=(+)·(-)
=()2-()2
=||2-||2
=0,
所以⊥，
即菱形的两条对角线互相垂直.
例4
已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.
解:由单位向量e1、e2的夹角为60°,得e1·e2=cos60°=,
所以a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)
=-2e1·e1-e1·e2+e2·e2
=-2-+1
=-.①
又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1·e2+|e2|2=3,
|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1·e2+|e2|2=3,
所以|a|=|b|=.②
由①②可得cosθ=又0＜θ＜π,所以θ=120°.
知能训练
课本本节练习1—5.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.
2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.
作业
课本习题2—53、5.
设计感想
本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.
备课资料
一、向量的向量积
在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:
两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:
(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;
(2)c垂直于平行四边形所在的平面;
(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.
图8
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则
a×b=0.
向量的向量积服从以下运算律:
(1)a×b=-b×a;
(2)a×(b+c)=a×b+a×c;
(3)(ma)×b=m(a×b).
二、备用习题
1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为(
)
①|a·b|=|a||b|a∥b②a与b反向a·b=-|a||b|
③a⊥b|a+b|=|a-b|
④|a|=|b||a·c|=|b·c|
A..1
B.2
C.3
D.4
2.有下列四个命题:
①在△ABC中,若·＞0,则△ABC是锐角三角形;
②在△ABC中,若·＞0,则△ABC为钝角三角形;
③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;
④△ABC为斜三角形的充要条件是·≠0.
其中为真命题的是(
)
A..①
B.②
C.③
D.④
3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为(
)
A..4
B.4
C.4
D.8+
4.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:
①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;
③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
5.在△A.BC中,设=b,=c,则等于(
)
A..0
B.S△ABC
C.S△ABC
D.2S△ABC
6.设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,如果(a+b)⊥(a-b),则实数m=_____________.
7.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=________________.
8.设|a|=3,|b|=4,a.与b的夹角为150°,求:
(1)(a-3b)·(2a+b);
(2)|3a-4b|.
9.已知|a|=,|b|=3,a与b的夹角为45°,且向量λa+b与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
10.解：已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,求向量m=2a+b与n=a-4b的夹角的余弦值.
解答:
1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.-2
7.-13
8.(1)-30+30;(2).
9.{λ|λ＜}.
10.解：由向量的数量积的定义,得a·b=2×1×cos=1.
∵m=2a+b,∴m2=4a.2+b2+4a.·b=4×4+1+4×1=21.∴|m|=.
又∵n=a-4b,∴n2=a.2+16b2-8a.·b=4+16-8=12.
∴|n|=2.
设m与n的夹角为θ,则m·n=|m||n|cosθ.①
又m·n=2a2-7a·b-4b2=2×4-7-4=-3.
把m·n=-3,|m|=,|n|=2代入①式,得-3=×2cosθ,
∴cosθ=-,即向量m与向量n的夹角的余弦值为-.1.2.2
两角和与差的正、余弦函数
整体设计
教学分析
本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.
通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.
三维目标
1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.
2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.
重点难点
教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.
教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用.
思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若sinα=,α∈(0,),cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式Cα-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式Cα-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式Cα-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式
②观察Cα+β的结构有何特征,并与公式Cα-β进行比较,你有哪些发现
③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)= sin(α-β)= 并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？
活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:
cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式Cα-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α+cos2α=1来互化,此法让学生在课下试一试),因此有:
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.
在上述公式中β用-β代之,则有:
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
根据以上探究,我们得到以下公式:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.
讨论结果:①—③略.
应用示例
思路1
例1
已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-,β∈(π,),
求cos(α+β),cos(α-β)的值.
活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cosα的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨.
解:由已知sinα=,α∈(,π),得cosα==-.
又由已知cosβ=-,β∈(π,),得sinβ==-.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×(-)+×(-)=-;
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-×(-)=.
点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.
变式训练
1.已知sinα=-,α是第四象限角,求sin(-α),cos(+α)的值.
解:由sinα=-,α是第四象限角,得
cosα===
于是有sin(-α)=sincosα-cossinα
=×-×(-)=;
cos(+α)=coscosα-sinsinα=×-×(-)=.
2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于(
).
A.
B.
C.
D.4
答案:A
例2
在△ABC中,sinA=(0°＜A＜45°),cosB=(45°＜B＜90°),求sinC与cosC的值.
活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.
解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).
又∵sinA=且0°＜A＜45°,∴cosA=.
又∵cosB=且45°＜B＜90°,∴sinB=.
∴sinC=sin［180°-(A+B)］
=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=×+×=,
cosC=cos［180°-(A+B)］
=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
=×-×=.
点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.
变式训练
在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是(
).
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形
答案:C
思路2
1.若sin(+α)=,cos(-β)=,且0＜α＜＜β＜,求cos(α+β)的值.
活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.
解:∵0＜α＜＜β＜,
∴＜+α＜π,-＜-β＜0.
又已知sin(+α)=,cos(-β)=,∴cos(+α)=-,sin(-β)=-
∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］
=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)
=×-(-)×(-)=-.
变式训练
已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,求cos(α+)的值.
解:∵α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,
∴＜α+β＜2π,＜β-＜.
∴cos(α+β)=,cos(β-)=-,
∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］
=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)
=(-)×+(-)×=-.
例2
化简.
活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.
解:原式=
=
==0.
点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练
化简:.
解:原式=
=tan(β-α).
知能训练
课本练习3、4、5.
课堂小结
1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？
2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.
作业
已知0＜β＜,＜α＜,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解:∵＜α＜,
∴-＜-α＜0.
∴sin(-α)==-.
又0＜β＜,
∴＜+β＜π,cos(+β)==-.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-(-)×-×(-)=.
设计感想
1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.
2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.
备课资料
一、备用习题
1.计算的值.
2.利用和差角公式计算下列各式的值.
(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.
(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.
(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
3.化简cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.
4.已知＜β＜α＜,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos2β的值.
5.求证:cosα+3sinα=2sin(+α).
参考答案:
1.解:原式=
==tan15°=tan(45°-30°)
=.
2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=.
(2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
(3)原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
3.解:原式=cos［(α+β)-β］=cosα.
4.解:∵＜β＜α＜,
∴0＜α-β＜,π＜α+β＜.
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=-.
∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=-×+(-)×=-.
5.证明:方法一:右边=2(sincosα+cossinα)
=2(cosα+sinα)=cosα+3sinα=左边.
方法二:左边=2(cosα+sinα)
=2(sincosα+cossinα)=2sin(+α)=右边.
本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式Sα+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式Sα+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.
本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了与,即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,从而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
二、三角函数知识歌诀
三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.
同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.
诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.
三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.
将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.
计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.
换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.
单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.
三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.2.2.1
向量的加法
整体设计
教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.
三维目标
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
2.在探究活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
3.通过本节内容的学习,使学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与其他知识的交汇特点.
重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么 怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置 由此导入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么 与数的运算法则有什么不同
图1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.在大型生产车间里,一重物被天车从A处般运到B处,它的实际位移,可以看作水平运动的分位移与竖直向上运动的分位移的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成.由物理学知识我们知道,位移合成遵循平行四边形法则,即AB是以AC,AD为邻边的ACBD的对角线.
数的加法启发我们,从运算的角度看,可以认为是与的和,即位移、力的合成看作向量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图2,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
图2
求两个向量和的运算,叫作向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
已知向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量叫作向量a与b的和,这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量,如图2.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量,即+…+.
2°向量加法的平行四边形法则
图3
如图3,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律 引导学生画图进行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当a,b不共线时,|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|a|-|b|(或|b|-|a|)，其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b
图4
④如图4,作=a,=b以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.
因为=+=a+b,=+=
b+a,所以a+b=b+a.
图5
如图5,因为=+=(+)+=(a+b)+c,
=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
应用示例
思路1
例1
如图6,已知向量a、b,求作向量a+b.
活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.
图6
图7
图8
解:作法一:在平面内任取一点O(如图7),作=a,=b,则=a+b.
作法二:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b.以OA、OB为邻边作OACB,连结OC,则=a+b.
变式训练
化简:(1)+;(2);(3)+
活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.
解:(1)+=+=.
(2)=(=0.
(3)++++=++++
=+++=++=+=0.
点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.
例2
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图9所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
图9
图10
活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.
解:如图10所示,表示船速,表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,|=2,||=5,
所以||=≈5.4.
因为tan∠CAB=,由计算器得∠CAB=70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.
点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.
变式训练
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图11
活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.
证明:如图11,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=,.AC与BD互相平分,=,=,
∴=,
因此AB∥CD且||=||,
即四边形ABCD是平行四边形.
点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.
例3
轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40n
mile
(海里)到达B处,再由B处沿正北方向行驶40n
mile到达C处,求此时轮船与A港的相对位置.
图12
解:如图12，设、分别表示轮船的两次位移,则表示轮船的合位移,=+.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,||=40n
mile,
所以||=20n
mile,||=20n
mile.
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,||=60n
mile,
所以||=n
mile
因为||=2||,所以∠CAD=60°.
答:轮船此时位于A港东偏北60°,且距A港40n
mile的C处.
思路2
例1
如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1);(2);(3).
活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.
图13
解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,
故=.
(2)因,
故与方向相同,长度为的长度的2倍,
故=.
(3)因,
故=0.
点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面作文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2
在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1=3.46km/h,河水流动的速度为v2=2.0
km/h,试求小船过河实际航行速度的大小和方向.
图14
解:如图14,设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,以OA、OB为邻边作OACB,则就是小船实际航行的速度.
在Rt△OBC中,||=v1=3.46km/h,||=v2=2.0km/h,
所以||=≈4.0(km/h).
因为tan∠BOC==1.73,所以∠BOC≈60°.
答:小船实际航行速度的大小约为4.0km/h,方向与水流方向约成60°角.
变式训练
已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则四边形ABCD是怎样的四边形 点O是四边形的什么点
图15
活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.
解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形.
设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形.
设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.
∵=0,,,
∴+=0,即与的长度相等,方向相反.
∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.
同理,点O也在AB与DC的中点连线上.
∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.
例3
两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.
图16
解:如图16,表示F1,表示F2,以OA、OB为邻边作OACB,则表示合力F.
在Rt△OAC中,||=F1=40N,||=||=F2=30N.
由勾股定理,得F=||==50(N).
设合力F与力F1的夹角为θ，则
tanθ==0.75.
所以θ≈37°.
答：合力大小为50N，方向为东偏北37°.
知能训练
课本本节练习1—4.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
作业
如图17所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.
图17
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=,=.
于是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.
点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:
(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.
设计感想
1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.
2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.
备课资料
备用习题
1.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=c,=b,则|a+b+c|为(
)
A.0
B.3
C.
D.2
2.设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则下列结论中正确的为(
)
①a∥b②a+b=a③a+b=b④|a+b|＜|a|+|b|⑤|a+b|=|a|+|b|
A①②
B.①③
C.①③⑤
D.③④⑤
3.设向量a,b都不是零向量:
(1)若向量a与b同向,则a+b与a的方向_________,且|a+b|_________|a|+|b|;
(2)若向量a与b反向,且|a|＞|b|,则a+b与a的方向_________,且|a|+|b|_________|a|-|b|.
4.如图18所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1,
设=a,=b,=c,则=_________.(用a、b、c表示)
图18
5.某人在静水中游泳,速度为4km/h,如果他径直游向对岸,水流速度为4km/h,则他实际以多大的速度沿何方向游
6.在中心为O的正八边形A1A2…A8中,a0=,ai=(i=1,2,…,7),
bj=(j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
7.已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC于D,
求证:||2=|+|2+|+|2.
参考答案:
1.D
2.C
3.(1)相同
=
(2)相同
=
4.a+b+c
5.解:如图19所示,设此人在静水中的游泳速度为,
水流速度为,则=+为此人的实际速度,
易求得||=8km/h,∠COA=60°.
图19
答:此人沿与河岸的夹角为60°顺着水流的方向前进,速度大小为8km/h.
6.解:如图20所示,∵=0,
∴a2+a5+b2+b5+b7=
=b5
图20
图21
7.证明:如图21所示,以DB、DA为邻边作ADBE,于是+=.
∵||=||,
∴|+|=||.
同理可得|+|=||.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
||2=|+|2+|+|2.2.2.2向量的减法
整体设计
教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
三维目标
1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.
2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.
重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢 引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
推进新课
新知探究
提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义
引导学生思考,相反向量有哪些性质
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即
a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么
a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
(2)三角形法则
图2
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫作a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢
讨论结果:①=b-a.
②略.
应用示例
思路1
例1
如图3,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
解:在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b.
再作=c,并以BA、BC为邻边作BADC,
则=+=a-b+c(如图4).
图4
变式训练
(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是(
)
A.=
B.+=
C.-=
D.+=0
解析:A显然正确,由平行四边形法则,可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.
答案:C
2.如图5,ABCD中,=a,=b,你能用a、b表示向量、吗
图5
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟)
已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向
量等于(
)
图6
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析:如图6,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图7
解析:如图7,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b,=-=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与B-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
思路2
例1
判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则+=,与是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定;
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|＞|a-b|,异向则有|a+b|＜|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例2
若||=8,||=5,则||的取值范围是(
)
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:=-.
(1)当、同向时,||=8-5=3;
(2)当、反向时,||=8+5=13;
(3)当、不共线时,3＜||＜13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知0≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,
另一方面a+b=+=.
由于与是一对相反向量,
∴有+=0,故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.
∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
图8
例3
已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
解:如图8,设=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=a+b,=a-b.
因为|a+b|=|a-b|,所以||=||.
又四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形.故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,||=6,||=8,由勾股定理,得||==10.所以|a+b|=|a-b|=10.
知能训练
课本本节练习1、2.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
作业
课本习题2—2A组4、5.
设计感想
1.向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.
2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
3.关于向量减法,在向量代数中常有两种定义方法,第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算,也就是说,如果b+x=a,则x叫作a与b的差,记作a-b.这样作a-b时,可先在平面内任取一点O,再作=a,=b,则就是a-b.这种定义向量减法,学生较难理解定义本身,但很容易作a-b.
第二种方法是在相反向量的基础上,通过向量加法定义,即定义a-b=a+(-b).
用这种方法定义,通过类比有理数的减法,学生容易接受a-b=a+(-b),但作图较繁.
实际上这两种定义方法没有本质的区别,为了便于学生接受,降低理论要求,教科书先定义了相反向量,然后将a+(-b)定义为a-b,并探究了在此定义下作两个向量差的方法以及向量减法的运算.
作两个向量差时,教师应提醒学生注意向量的方向,也就是箭头不要搞错了,a-b的箭头要指向向量a,如果指向向量b,则表示b-a.
备课资料
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.
只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:
例1
化简:-+-.
解:原式=+-=-=0.
例2
化简:+++.
解:原式=(+)+(+)=(-)+0=.
二、备用习题
1.下列等式中,正确的个数是
(
)
①a+b=b+a
②a-b=b-a
③0-a=-a
④-(-a)=a
⑤a+(-a)=0
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如图12,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则-等于(
)
图12
A.
B.
C.
D.
3.下列式子中不能化简为的是(
)
A.(+)+
B.(+)+(+)
C.+-
D.-+
4.已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内一点,若++=0,则O是△ABC的(
)
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
5.已知两向量a和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直.
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.A
5.证明:(1)充分性:
设=a,=b,使⊥,以、为邻边作矩形OBCA,则|a+b|=||,|a-b|=||.
∵四边形OBCA为矩形,
∴||=||,故|a+b|=|a-b|.
(2)必要性:
设=a,=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,
则|a+b|=||,|a-b|=||.∵|a+b|=|a-b|,∴|||=||.∴OBCA为矩形.
∴a的方向与b的方向垂直.1.2.1
两角差的余弦函数
整体设计
教学分析
本节教材的安排是从复习向量引入,直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式,并单独作为一节.这样安排的用意是想突出两角差的余弦函数,从逻辑关系上来看,本章的其他所有公式都是以两角差的余弦为基础变化而来的,这对学生来说,学习本章就有一个清晰的逻辑关系.同时也突出体现了向量这一工具的强大威力,使第二章的向量有了用武之地.
本节作为全章的重要课时,对于如何推导两角差的余弦公式可做多方面的设计探讨,因为凭直觉得出cos(α-β)=cosα-cosβ是学生经常出现的错误.因此在教学中,也可引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假,这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出推导证明“两角差的余弦公式”的方案.这对发展学生的思维有一定的好处.由此可得两种推导思路:一是引导学生利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索,联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.但学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难,教师要作恰当地引导.二是引导学生充分利用向量数量积探究两角差的余弦公式,但要抓住三个要点:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,注意联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.
本节主要是对数学公式的发现探究的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的来龙去脉;②使学生认识公式的结构特征加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明过程;④通过应用举例使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题,也为推导其他和差公式作准备.
三维目标
1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.
2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.
重点难点
教学重点:探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角差的公式进行简单的化简、求值等.
教学难点:两角差的余弦公式的探索与证明.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(问题导入)我们在初中时就知道cos45°=,cos30°=,由此我们猜想:能否得到cos15°=cos(45°-30°)= 这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢 cos(α-β)= 这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,由此展开新课:我们是利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具——向量呢？
思路2.(单刀直入)直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题,如长度、夹角的问题.教师让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.
推进新课
新知探究
提出问题
(实际教学可按一种思路即可,这里按两种思路设计)
①让学生猜想cos(α-β)= 你认为cos(α-β)=cosα-cosβ对吗？举例验证.
②回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？
③回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是α-β吗？
④得到cos(α-β)公式后,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？
⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？
思路一:提出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要让学生充分发挥想象能力,自主探究.学生很容易想到cos(α-β)=cosα-cosβ？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:α=60°、β=30°,则cos(α-β)=cos30°=,而cosα-cosβ=,这一反例足以说明了cos(α-β)≠cosα-cosβ(当然它也不是对任意角α、β都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备.
图1
既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,即α-β这个角的余弦问题,学生会迁移前面学过的知识与方法,很自然地联想到利用单位圆上的三角函数线来探究(如图1).设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β,过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
以上等式还需说明角的任意性问题,因此教师适时地引导学生进一步思考:在以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较烦琐,可由同学们课后动手试一试.由此我们得到两角差的余弦公式,即对任意角α、β,以下等式恒成立:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
思路二:在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角函数关系提供了一种非常重要的思想方法.
图2
在直角坐标系中(如图2).以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,又以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α、β,且α>β.?我们首先研究α、β均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),即=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠P1OP2=
α-β,这样,我们就得到两个单位向量,由于这两个向量的夹角为α-β,所以我们可以得到:
·=||||cos(α-β)=cos(α-β).①
另一方面,向量数量积可以用坐标表示,因此我们又可以得到:
·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ.②
由①②两式,我们就可得到一个非常重要的三角函数公式:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
通过以上利用向量数量积的推导,我们发现,运用向量工具进行探索,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确.由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就需探究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β?是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π］,使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则·=cosθ=cos(α-β),若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
由此可知,对于任意角α、β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
推导完两角差的余弦公式后,教师要留给学生一定的时间进行回顾反思,以理顺并领悟探究过程与思想方法.如两种思路都让学生探究了,要对这两种方法进行比较反思,教师不要怕在这里浪费时间.然后再引导学生细心观察公式Cα-β的结构特征,与学生一起归纳发现:公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.结合推导过程及公式特征进行记忆.对于公式的正用是比较容易的,有时要用到“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧,可在练习运用中得以掌握提高.如:cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=,cosα=cos［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ等.
讨论结果:①—⑤略.
应用示例
例1
利用差角余弦公式求cos15°的值.
活动:先让学生自己探究,教师可对有困难的学生点拨指导,思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如:15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接应用公式Cα-β计算求值.教师不要包办替代学生的探究活动,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构.公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.
解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=
方法二:cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
=.
点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,但是仍需要学生对这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式作进一步探究,提高学生灵活运用公式求值的能力.
变式训练
1.不查表求sin75°,sin15°的值.
解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=.
sin15°=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45sin30°
=.
点评:本题是例题的变式,学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.
2.不查表求值:cos110°cos20°+sin110°sin20°.
解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.
点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式Cα-β的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°)的值.这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性\,发散性.
例2
计算:(1)cos(-15°);
(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°;
(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y).
活动:教师完全可以放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°等,当然也可以先变形,即cos(-15°)=cos15°,然后应用公式再求值.
解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=.
(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.
(3)原式=cos［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.
点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养了学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础.
例3
已知cosα=,cos(α+β)=,且α,β∈(0,),求cosβ的值.
活动:先让学生自己探究观察已知条件的角及所求的角,寻找已知条件中的角与所求角的关系,适时点拨学生如何用α,α+β表示β,学生不难观察到:β=(α+β)-α的关系式,但应提醒学生注意由α,β的取值范围求出α+β的取值范围,从而判断sin(α+β)的符号,三角函数符号是学生易忽视的薄弱地带.
解:∵α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π).
又∵cosα=,cos(α+β)=,
∴sinα==,
sin(α+β)==.
又∵β=(α+β)-α,
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=()×+×=
点评:本题相对于例1难度有所提高,但通过学生的探究,再加教师的适当引导,则不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.应特别提醒学生注意的是α+β取值范围的确定,这是本题第二个关键所在,也是我们以后解题当中需特别留心的问题.
变式训练
1.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值.
解:∵(sinα+sinβ)2=()2,(cosα+cosβ)2=()2,
以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=-.
点评:本题又是公式Cα-β的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式Cα-β中cosαcosβ和sinαsinβ的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.
2.已知锐角α,β满足cosα=,tan(α-β)=-,求cosβ.
解:∵α为锐角,且cosα=,
∴sinα=.又∵0＜α＜,0＜β＜,∴-＜α-β＜.
又∵tan(α-β)=-＜0,
∴cos(α-β)=.
从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=-.
∴cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=.
知能训练
课本练习1、2.
课堂小结
1.先由学生自己回顾本节课公式的探究过程与方法,然后教师引导学生进一步整合:
①怎么联系有关知识进行探索的？在探索方法方面有什么启示？
②在利用差角余弦公式方面:对公式结构和作用的认识,三角式变形的特点及变形过程的感悟.
2.教师画龙点睛:本节课我们探究了两角差的余弦公式,要求正确灵活地运用公式进行解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.尽可能地一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达优化解题过程\,规范解题步骤\,领悟变形思路\,强化数学思想方法之目的.
作业
课本习题3—1
A组1、2(1)(2)(3)(4).
设计感想
1.本节教案设计思想主要体现“教为主导,学为主体,以人为本”的理念,因此本节课的设计流程是“背景设计→猜想→探索推导→反思→应用”.这符合课标要求,目的是让学生在探究公式的过程中,逐步学会分析问题、解决问题,培养学生学会合作交流的能力.特别是使学生经历了探究、发现、猜想、论证的数学探索过程,增强学生的应用意识.
2.纵观本教案的设计,学生探究出公式后就是应用,同时加强了公式的正用、逆用、变形用,为后面学习其他公式打下了坚实的基础,这个目标可说是很容易达到的.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.因为学生所学的知识可能会很快忘掉,但所学到的解决问题的方法却会使学生受益终生.
3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题,猜想探索公式,验证特殊情形,推导公式,学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律,探索推导,获取新知的途径.让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体,体会到数学的内在美、统一美、简洁美,会产生一种成功感.
备课资料
备用习题
1.(2006上海八校联考试题)若-＜α＜β＜,则α-β一定不属于的区间是(
).
A.(-π,π)
B.(-,)
C.(-π,0)
D.(0,π)
2.不查表求值:
(1)sin80°cos55°+cos80°cos35°;
(2)cos80°cos20°+sin100°sin380°.
3.已知sinθ=,θ∈(,π),求cos(θ-)的值.
4.已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-,β∈(π,),求cos(α-β)的值.
5.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,
求证:cos(α-γ)=-.
参考答案:
1.D
2.(1)原式=sin80°sin35°+cos80°cos35°=cos(80°-35°)=cos45°=.
(2)原式=cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=.
3.解:∵sinθ=,θ∈(,π),
∴cosθ=-.
∴cos(θ-)=cosθcos+sinθsin
=-.
4.解:∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=-.
∵cosβ=-,β∈(π,),
∴sinβ=-,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-.
5.证明:∵sinα+sinβ+sinγ=0,∴sinα+sinγ=-sinβ.①
∵cosα+cosβ+cosγ=0,∴cosα+cosγ=-cosβ.②
①2+②2,得
sin2α+cos2α+sin2γ+cos2γ+2cosαcosγ+2sinαsinγ=sin2β+cos2β.
∴2(cosαcosγ+sinαsinγ)=-1,
即cos(α-γ)=-.3.1
同角三角函数的基本关系
整体设计
教学分析
与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.
同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin24π+cos24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+,k∈Z.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.
三维目标
1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.
2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.
重点难点
教学重点:课本的三个公式的推导及应用.
教学难点:课本的三个公式的推导及应用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;(3);(4).
思路2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢 可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角 若不能,角α应受什么影响
图1
如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.
由勾股定理有OM2+MP2=1.
因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).
显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.
根据三角函数的定义,当α≠kπ+,k∈Z时,有=tanα(等式2).
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.
②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.
活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.
问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.
讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+,k∈Z.
②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.
同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.
应用示例
例1
已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=1-()2=.
又因为α是第二象限角,所以cosα＜0.于是cosα==-,
从而tanα=.
点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tanα=-中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果.
变式训练
(2006上海,6)如果cosα=,且α是第四象限角,那么cos(α+)=__________________.
解析:∵cosα=,且α是第四象限的角,
∴sinα==-.
∴cos(α+)=-sinα=.
答案:
例2
已知cosα=-,求sinα,tanα的值.
活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.
启发学生思考仅有cosα＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).
解:因为cosα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sinα=
==,tanα=,
如果α是第三象限角,那么sinα=-,tanα=-.
点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.
变式训练
已知cosα=,求sinα和tanα.
解:因为cosα=＞0,且cosα≠1,所以α是第一或第四象限的角.
当α是第一象限角时,sinα＞0.
sinα=.tana=.
当α是第四象限角时,sinα＜0.
sinα=
例3
已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.
活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α.
又因为tanα=
于是
由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而
cosα=
sinα=cosαtanα=
点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.
变式训练
已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.
解:本题仿照上题可以比较顺利完成.
sinα=
tanα=
知能训练
课本本节练习1
1、2、3、4.
课堂小结
1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.
2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式.
3.注意公式的变形式的应用,如sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosα·tanα,cosα=等.
作业
课本习题1—8
1-4.
设计感想
1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.
2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.
3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.
第2课时
导入新课
思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.
思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢 下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题.
推进新课
应用示例
例1
求证:.
活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始.
证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是
左边==右边.
所以原式成立.
证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,
且1-sinx≠0,cosx≠0,所以.
教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.
证法三:因为
==0,所以.
点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.
变式训练
求证:.
分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.
证明:右边===左边.
分析二:由1+2sinx·cosx立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.
证明:左边=
==右边.
例2
化简.
活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办 教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于＞0,因此=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.
解:原式===cos80°.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.
变式训练
化简:.
答案:cos40°-sin40°.
点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.
3.化简:.
活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化.
解:因为cosθ≠0,
所以,原式=
=(k∈Z).
点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简.
知能训练
课本本节练习2
1、2
课堂小结
由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).
“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值.
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.
作业
1.化简(1+tan2α)cos2α.
2.已知tanα=2,求的值.
答案:1.1
2.3
设计感想
本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的
值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;
(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.
本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.
证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.
备课资料
备用习题
1.已知sinα=,且＜α＜π,则tanα的值等于(
)
A.-
B.-
C.
D.
2.若sinθ-cosθ=,则sinθ·cosθ=_______,tanθ+=______________,
sin3θ-cos3θ=_______________,sin4θ+cos4θ=_____________.
3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.
4.已知tanα=,求下列各式的值:
(1);
(2)2sin2α+sinα·cosα-3cos2α.
5.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β+1=2sin2α.
参考答案:
1.A
2.-
-2
3.a
4.解:(1)原式=.
(2)原式=
5.证明:由已知有1+tan2α=2tan2β+2=2(1+tan2β),
∴1+).
∴2cos2α=cos2β.∴2(1-sin2α)=1-sin2β.∴sin2β+1=2sin2α.1.2
角的概念的推广
整体设计
教学分析
教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.
学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.
三维目标
1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.
2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.
3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.
重点难点
教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.
教学难点:用集合来表示终边相同的角.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.
如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢 还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释 在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.
图1
思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的 所学的角的范围是什么 用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象 由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.
推进新课
知识探究
提出问题
①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确 假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确 当时间调整准确后,分针转过了多少度角
②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度
③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度
活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.
图2
我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.
讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.
②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.
③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1
260°……
提出问题
①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.
②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思 0°角又是什么意思
活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢 并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.
今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
讨论结果:①能.如图3.
图3
②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:
210°角是第三象限角;
-45°角是第四象限角;
-150°角是第三象限角.
特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.
可以借此进一步设问:
锐角是第几象限角 钝角是第几象限角 直角是第几象限角 反之如何
将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一 如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系
提出问题
①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现 它们有怎样的数量关系 328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的 终边相同的角有什么关系
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来
活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.
为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角 是多少度角 学生对后者的回答是多种多样的.
至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.
讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.
设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
教师适时引导学生认识:
①k∈Z;
②α是任意角;
③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
应用示例
例1
判定下列各角是第几象限角:
(1)-60°;
(2)585°;
(3)-950°12′.
解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.
(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.
(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.
变式训练
在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.
点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.
例2
在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)
活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.
学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.
让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.
解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90°和270°角,如图4.
图4
因此,所有与90°的终边相同的角构成集合
S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.
而所有与270°角的终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是,终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.
变式训练
写出终边在坐标轴上的角的集合.
答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.
3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.
解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素是:
60°-1×360°=-300°,
60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.
变式训练
写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.
解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合
图5
S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素是:
45°-2×180°=-315°,
45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,
45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,
45°+3×180°=585°.
点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.
例4
写出在下列象限的角的集合:
①第一象限;
②第二象限;
③第三象限;
④第四象限.
活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢 进而引导学生写出所有终边相同的角.
解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.
②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.
③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.
④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.
点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗 充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.
知能训练
课本习题1—2
1、2.
课堂小结
提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.
让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识 你是怎样获得这些新知识的 你从本节课上都学到了哪些数学方法 让学生自己得到以下结论:
本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.
作业
①习题1—2
3.
②预习下一节:弧度制.
设计感想
1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.
2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.
3.几点说明:
(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.
(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.
(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.
习题详解
习题1—2
1.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.
2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.
②395°8′=1×360°+35°8′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.
③-1
190°30′=-4×360°+249°30′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.
④1
563°=4×360°+123°,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.
点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.
3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},
当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°
②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.
③｛β|β=k·360°+1
303°18′,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-136°42′,223°18′,-496°42′.
④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-225°,-585°,135°.
点拨:利用终边相同的角的定义写出β的集合,再取k的值,求出符合条件的角.
备课资料
备用习题
1.若角α与β终边相同,则一定有(
)
A.α+β=180°
B.α+β=0°
C.α-β=k·360°(k∈Z)
D.α+β=k·360°(k∈Z)
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于(
)
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是(
)
A.β=α+90°
B.β=α±90°
C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)
D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)
4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是(
)
A.ZY
B.ZY
C.Z=Y
D.Z与Y之间的关系不确定
5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与角的终边相同的角是_____________________.
6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z},集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+
405°,k∈Z},求A∩B.
7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.
参考答案:
1.C
2.C
3.答案:D
点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后,知α±90°与角β的终边重合.
4.答案:C
点拨:先分别将n和k赋以不同的整数值,找出角x的终边,然后再比较.
5.答案:56°,176°,296°
点拨:根据已知条件有θ=k·360°+168°,k∈Z,=k·120°+56°,k∈Z.又0≤k·120°+56°
＜360°,满足条件的k为0,1,2.
6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z}.
采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B,可以求得
A∩B={x|30°+k·360°＜x＜45°+k·360°,k∈Z}.
7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为
{β|β=n·90°-45°,n∈Z}.1.3
二倍角的三角函数
整体设计
教学分析
“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律.通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理.
三维目标
1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.
重点难点
教学重点：二倍角公式推导及其应用.
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.
推进新课
新知探究
提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)
②你写的这三个公式中角α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？
④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin(
)=2sin(
)cos(
)，cos(
)=cos2(
)-sin2(
).
⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α?还有哪些变形？
⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα吗？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化.教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα（S2α）;
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α);
tan(α+β)=(T2α).
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”.教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.
这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.
问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；?(Ⅲ)二倍?角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠+和α≠kπ+(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.
问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍，-α是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.
例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.
问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=sin6α，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，2tanα=tan2α(1-tan2α)等等.
问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.
若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).
若cos2α=2cosα,则2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).
若tan2α=2tanα,则2tanα,∴tanα=0.结合tanα≠±1,∴α=kπ(k∈Z).
解答：①—⑧（略）.
应用示例
思路1
例1
已知tanα=,求tan2α的值.
解:tan2α=.
例2
设α是第二象限角,已知cosα=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值.
解:因为α是第二象限角,所以sinα＞0,tanα＜0.
由于cosα=-0.6,故sinα==0.8.
可得sin2α=2sinα·cosα=-0.96,
cos2α=2cos2α-1=2×(-0.6)2-1=-0.28,
tan2α=.
例3
在△ABC中,已知AB=AC=2BC(如图1),求角A的正弦值.
图1
解:作AD⊥BC于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ.
因为BD=BC=AB,
所以sinθ==.
因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜,
于是cosθ=,
故sinA=sin2θ=.
4.要把半径为R的半圆形木料截成长方形(如图2),应怎样截取,才能使长方形面积最大
图2
解:如图2,设圆心为O,长方形面积为S,∠AOB=α,则
AB=Rsinα,OB=Rcosα,
S=(Rsinα)·2(Rcosα)
=2R2sinα·cosα
=R2sin2α.
当sin2α取最大值,即sin2α=1时,截面面积最大.不难推出α=时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于R2.
例5
已知sin2α=,＜α＜,求sin4α,cos4α,tan4α的值.
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.
解:由＜α＜,得＜2α＜π.
又∵sin2α=,
∴cos2α=-=-=-.
于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××(-)=-;
cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;
tan4α==(-)×=-.
点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
变式训练
1.不查表,求值:sin15°+cos15°.
解:原式=.
点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.
2.(2007高考海南,宁夏卷,9)若,则cosα+sinα的值为(
)
A.-
B.-
C.
D.
答案:C
3.(2007高考重庆卷,6)下列各式中,值为的是(
)
A.2sin15°-cos15°
B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1
D.sin215°+cos215°
答案:B
例6
证明=tanθ.
活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨,鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.
证明:方法一:
左边=
=
=tanθ=右边,
所以,原式成立.
方法二:
左边=
==右边.
所以，原式成立.
方法三:
左边=
=
=
=tanθ=右边.
所以，原式成立.
点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.
思路2
例1
求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式,并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.
解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°
=.
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.
例2
在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0＜A＜π,0＜B＜π,0＜C＜π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C的值.
解：方法一:在△ABC中,由cosA=,0＜A＜π,得
sinA=.
所以tanA=,
tanA=,
又tanB=2,
所以tan2B=.
于是tan(2A+2B)=.
方法二:在△ABC中,由cosA=,0＜A＜π,得
sinA=.
所以tanA=.又tanB=2,
所以tan(A+B)=.
于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]
=.
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.
变式训练
1.(2007广东东莞)设向量a=(cosα,)的模为,则cos2α等于…(
)
A.-
B.-
C.
D.
解析:由|a|==,得cos2α+=,cos2α=,
∴cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.
答案:B
2.化简：.
解：原式＝
=cot2α.
知能训练
(2007四川卷,17)已知cosα=,cos(α-β)=,且0＜β＜α＜,
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
解:(1)由cosα=,0＜α＜,得sinα=.
∴tanα=.于是tan2α=
(2)由0＜β＜α＜,得0＜α-β＜.
又∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
由β=α-(β-α),得
cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×.
∴β=.
点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式,三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.
作业
课本习题3—2
A组1—4.
课题小结
1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.
设计感想
1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.
2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.
3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.
第2课时
导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.
思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①α与有什么关系
②如何建立cosα与sin2之间的关系？
③sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,将公式中的α用代替,解出sin2即可.
教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2,
所以sin2=①
在倍角公式cos2α=2cos2?α-1中,以α代替2α,以代替α,即得
cosα=2cos2-1,
所以cos2=.②
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得
tan2=③
又根据正切函数的定义,得到
tan;④
tan.⑤
这样我们就得到另外两个公式:
tan;tan.
以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式.
在这些公式中,根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果所在象限无法确定,则应保留根号前面的正,负两个符号.
教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin=±,cos=±,tan=±,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定.
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.
讨论结果：①α是的二倍角.
②sin2=.
③④略(见活动）.
应用示例
思路1
例1
已知cosα=,求sin,cos,tan的值.
活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
解:sin=±,
cos=±,
tan=.
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
(2005北京东城)已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为(
)
A.
B.
C.±
D.±
解析:∵sin(π-θ)=∴sinθ=.
又θ为第二象限角,
∴cosθ=-,cosθ=2cos2-1,
而在第一,三象限,
∴cos=±.
答案:C
例2
已知sin2α=-,π＜2α＜,求tanα.
解:因为π＜2α＜,故＜α＜,α是2α的一半,运用半角公式,有
cos2α=-,
所以tanα=.
例3
已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴a3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中.
解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,
即1-2sinxcosx=,
∴sinxcosx=.
∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007高考浙江卷,12)
已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是___________.
答案:-
例4
已知=1,求证:=1.
活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a2+b2=1的形式,可利用三角代换.
证法一:∵=1,
∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos2B.
∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,
即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.
∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.
∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.
∴=cos2B+sin2B=1.
证法二:令=cosα,=sinα,
则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.
∴=cos2B+sin2B=1.
点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.
变式训练
在锐角△ABC中,A,B,C是它的三个内角,记S=,求证:S＜1.
证明:∵S=
又A+B＞90°,∴90°＞A＞90°-B＞0°.
∴tanA＞tan(90°-B)=cotB＞0.
∴tanA·tanB＞1.∴S＜1.
思路2
例1
已知sin2
010°=-,求sin1
005°,cos1
005°,tan1
005°的值.
解:因为2
010°=5×360°+210°是第三象限的角,
所以cos2
010°=-.
又1
005°=2×360°+285°是第四象限的角,
所以sin1
005°=-,
cos1
005°=,
tan1
005°=.
例2
证明=tan().
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan()=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得
.
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练
已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.
解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,①
3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,②
①2+②2,得9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,
∴sin2α=
∵α∈(0,),∴sinα=.
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1.
∵α,β∈(0,),
∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,
3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,
两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).
∵α∈(0,),∴tanα＞0.∴tan(-2β)＞0.
又∵β∈(0,),∴-＜-2β＜.
结合tan(-2β)＞0,得0＜-2β＜.
∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.
例3
求证:.
活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明:证法一:左边=
=1-=右边.∴原式成立.
证法二:右边=1-
==左边.∴原式成立.
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.
变式训练
求证:.
分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右边就是tan2θ.
证明:原等式等价于=tan2θ.
而上式左边=
==tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.
知能训练
1.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为(
)
A.5
B.-5
C.
D.-
2.设5π＜θ＜6π,cos=α,则sin等于(
)
A.
B.
C.-
D.-
3.已知sinθ=-,3π＜θ＜,则tan=__________________.
答案:
1.A
2.D
3.-3
课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.
作业
课本习题3—2
A组5—11,B组1—5.
设计感想
1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.
2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.
备课资料
备用习题
1.已知cosα=(＜α＜2π),则tan等于(
)
A.
B.
C.-
D.-
2.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,则cos等于(
)
A.7
B.-7
C.-
D.
3.(2005江苏,10)若sin(-α)=,则cos(+2α)等于(
)
A.-
B.-
C.
D.
4.(2006北京崇文)已知θ是第二象限角,sinθ=,则tan(-)的值为(
)
A.7
B.-
C.
D.-
参考答案:
1.D
由＜α＜2π可知,角α是第四象限的角,
∴sinα=-.
∴tan.
2.D
由已知,得cosα=-,cosβ=.
于是cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
=-.
∵α为钝角,β为锐角,∴为锐角.
∴cos=.
3.A
cos(+2α)=cos［π-2(+α)］=-cos［2(+α)］=2sin2(-α)-1=-.
4.C
由已知sinθ=,cosθ=-,∴tan(-)=tan(θ-)=.2.4.1
平面向量的坐标表示
2.4.2
平面向量线性运算的坐示表示
2.4.3
向量平行的坐标表示
整体设计
教学分析
1.前面学面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.
3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a.=λb,那么a.与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
三维目标
1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.
2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
3.在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
重点难点
教学重点:平面向量的坐标运算.
教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程A.x+By+C=0(A.、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？
思路2.对于平面内的任意向量A.,过定点O作向量=a.,则点A.的位置被向量a.的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A.的位置可通过其坐标来反映,从而向量a.也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①如何用坐标表示平面内的每一个向量 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的
②我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a.=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a.+b,a.-b,λa.的坐标表示吗
③如图2,已知A.(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗 标出点P后,你能总结出什么结论
图1
图2
活动:在平面直角坐标系中,如图1,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a.,由平面向量基本定理，可知有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj.
因此a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a.的坐标,记作a=(x,y).
式是向量a.的坐标表示.
显然,其中(x,y)就是点P的坐标.
由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.向量的正交分解十分重要,它有广泛的应用.
教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,
即a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a-b=(x1-x2,y1-y2).
又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).
教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.
由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:
||=||=.
教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.
讨论结果:①略.
②能.
③=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图2)
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么=是向量a.、b共线的什么条件
活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a.=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a.、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ后,得x1y2-x2y1=0.
这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a.、b(b≠0)共线.
又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与=是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但=均无意义.因此=是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.
讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a.、b(b≠0)共线.
②充分不必要条件.
提出问题
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a.=λb,
那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,
由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2),消去λ,得x1y2-x2y1=0.
讨论结果:a.∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.
教师应向学生特别提醒感悟:
1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°充要条件不能写成=(∵x1、x2有可能为0).
3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a.∥b(b≠0)
应用示例
思路1
例1
已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.
解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);
a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.
变式训练
(2007海南高考,4)已知平面向量A.=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于(
)
A.(-2,-1)
B.(-2,1)
C.(-1,0)
D.(-1,2)
答案:D
例2
如图3,已知A.BCD的三个顶点A.、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
图3
活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.
解:方法一:如图3,设顶点D的坐标为(x,y).
∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).
由=,得(1,2)=(3-x,4-y).
∴
∴
∴顶点D的坐标为(2,2).
方法二:如图3,由向量加法的平行四边形法则,可知
=+=+=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.
变式训练
如图4,已知平面上三点的坐标分别为A.(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
图4
解:当平行四边形为A.BCD时,仿例2得:D1=(2,2);
当平行四边形为A.CDB时,仿例2得:D2=(4,6);
当平行四边形为DA.CB时,仿上得:D3=(-6,0).
例3
已知A.(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A.、B、C三点之间的位置关系.
活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图像领悟先猜后证的思维方式.
解:在平面直角坐标系中作出A.、B、C三点,观察图形,我们猜想A.、B、C三点共线.下面给出证明.
∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
又2×6-3×4=0,∴∥,且直线A.B、直线A.C有公共点A.,
∴A.、B、C三点共线.
点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
变式训练
已知a.=(4,2),b=(6,y),且a.∥b,求y.
解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.
∴y=3.
例4
是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线
解:依题意,得=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
A.、B、C三点共线的充要条件是,共线,依向量共线的充要条件可得(4-k)(k-5)-6×(-7)=0,
解得k=-2或k=11,
所以,当k=-2或k=11时,A.、B、C三点共线.
思路2
例1
A.BC中,已知点A.(3,7)、B(-2,5).若线段A.C、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
解:(1)若A.C的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,
设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,
∴x=-3,y=-5,
即C点坐标为(-3,-5).
(2)若A.C的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).
综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
例2
点A.(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.
解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).
若点P在第二象限,则
故t的取值范围是(-,-).
点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.
变式训练
已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.
解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)
=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ),
∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2
=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2
=2+2(sinθ-cosθ)2=2+2(1-2sinθcosθ)
=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.
∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.
从而-1≤sin2θ≤1.
∴4-2sin2θ∈［2,6］.
故||的取值范围是［,］.
例3
已知a=(3,4),b=(-1,4),求a+b,a-b，2a-3b的坐标.
解:a+b=(3,4)+(-1,4)=(2,8),
a-b=(3,4)-(-1,4)=(4,0),
2a-3b=2(3,4)-3(-1,4)=(6,8)-(-3,12)=(9,-4)
例4
已知点A.(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求A.BCD的顶点D的坐标(如图5).
图5
解:设D点的坐标为(x,y),由右图所示,=,得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
所以
即D点的坐标为(0,-4).
变式训练
(2007宁夏银川)已知A.(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段A.B交于点C,且=2,则a等于(
)
A.2
B.
C.1
D.
解析:由=2,A.(7,1),B(1,4),设C(m,n),则由向量的坐标运算求得C(3,3),代入直线方程y=ax,求得A.=2.
答案:A.
知能训练
课本本节练习1—6.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.
作业
课本习题2—4A.组5、6、7.
设计感想
1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.
2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.
3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
备课资料
一、求点P分有向线段所成的比的几种求法
(1)定义法:根据已知条件直接找到使=λ的实数λ的值.
例1
已知点A.(-2,-3),点B(4,1),延长A.B到P,使||=3||,求点P的坐标.
解：因为点在A.B的延长线上,P为的外分点,所以=λ,λ＜0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3).
(2)公式法:依据定比分点坐标公式.
x=,y=,结合已知条件求解λ.
2.已知两点P1(3,2),P2
(-8,3),求点P(,y)分所成的比λ及y的值.
解：由线段的定比分点坐标公式,得解得
二、备用习题
1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a.-2b等于(
)
A.(7,1)
B.(-7,-1)
C.(-7,1)
D.(7,-1)
2.已知A.(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D点的坐标是(
)
A.(-2,0)
B.(2,2)
C.(2,0)
D.(-2,-2)
3.若点A.(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为(
)
A.1
B.-2
C.0
D.2
4.设a=(,sinα),b=(cosα,),且a.∥b,则α的值是(
)
A.α=2kπ+(k∈Z)
B.α=2kπ-(k∈Z)
C.α=kπ+(k∈Z)
D.α=kπ-(k∈Z)
5.已知A.、B、C三点共线,且A.(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为(
)
A.-2
B.9
C.-9
D.13
6.若A.(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=___________,y=________________.
7.已知ABCD中,=(3,7),=(-2,1),则的坐标(O为对角线的交点)为__________.
8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线
9.已知点A.(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问:当λ为何值时,点P在第一与第三象限的角平分线上 当λ在什么范围内取值时,点P在第三象限内
10.如图7所示,已知△A.OB中,A.(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,A.D与BC相交于点M,求点M的坐标.
图7
11.已知四边形A.BCD是正方形,BE∥A.C,A.C=CE,EC的延长线交BA.的延长线于点F,求证:A.F=A.E.
参考答案:
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.4
7.(-,-4)
8.解：∵=(k,12),=(4,5),=(10,k)，
∴=-=(4-k,-7),=-=(6,k-5).
∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.
∴k2-9k-22=0.
解得k=11或k=-2.
9.解：∵=(3,1),=(5,7),
∴+λ=(3+5λ,1+7λ).而=+λ(已知),
∴=+=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).
(1)若点P在第一与第三象限的角平分线上,则5+5
(2)若点P在第三象限内,则
10.解：∵==(0,5)=(0,),∴C(0,).
∵==(4,3)=(2,),∴D(2,).
设M(x,y),则=(x,y-5),=(2-0,-5)=(2,-).
∵∥,∴-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又=(x,y-),=(4,),
∵∥,∴x-4(y-)=0,即7x-16y=-20.②
联立①②,解得x=,y=2，故点M的坐标为(,2).
11.证明:建立如图8所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形A.BCD的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y＞0,于是=(1,1),=(x-1,y).
图8
∵∥,∴1×y-(x-1)×1=0y=x-1.①
∵A.C=OC=CE(已知),∴CE2=OC2(x-1)2+(y-1)2=2.②
由y＞0,联立①②,解得x=
即E().
A.E=OE==+1.
设F(t,0),则=(1-t,1),=.
∵F、C、E三点共线,∴∥.
∴(1-t)××1=0,即t=-1-.
∴AF=OF=1+.
∴AF=AE函数y=Asin(ωx+φ)的图像
整体设计
教学分析
本节通过图像变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.
如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图像呢 通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在.
由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系上,对A、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.
三维目标
1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.
2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.
重点难点
教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的简图的作法.
教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像.
思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系 从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系 接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.
推进新课
新知探究
提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响？
②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图像,看看与y＝sinx的图像是否有类似的关系？
③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+φ)的图像.
④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).
⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+)的图像之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？
活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图像上点的坐标和y=sinx的图像上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响,然后再整合.
图1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图像,并探究它与y=sinx的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx的图像上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图像向左平移使之与y=sin(x+)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取φ=-,用同样的方法可以得到y=sinx的图像向右平移后与y=sin(x-)的图像重合.
如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2.
图2
问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图像与y=sin(x+)的图像作比较,取点A、B观察.发现规律:
图3
如图3,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图像上对应点横坐标的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.
(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图像与y=sin(x+)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图像.
当取ω为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+)的图像的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图像与y=sin(x+φ)的图像之间的关系,得出结论:
函数y=sin(ωx+φ)的图像可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.如图4.
图4
问题⑤,教师点拨学生,探索A对图像的影响的过程,与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图像和y=sin(2x+)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图像上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图像,可以看作是把y=sin(2x+)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:
图5
函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是\[-A,A\],最大值是A,最小值是-A.如图6.
图6
由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图像.
⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
讨论结果:①把从函数y=sinx的图像到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略.
③图像左右平移,φ影响的是图像与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图像的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图像的形状.
⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
y=sinx的图像
得y=Asinx的图像横
得y=Asin(ωx)的图像
得y=Asin(ωx+φ)的图像.
规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图像
得y=sin(x+φ)的图像
得y=sin(ωx+φ)的图像得y=Asin(ωx+φ)的图像.
先伸缩后平移的步骤程序(见上).
应用示例
例1
画出函数y=2sin(x-)的简图.
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ＝-,ω＝,A＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图像的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图像,如图7所示.
图7
(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.
(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为
y=sinx
方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为
y=sinxy=2siny=
方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图像)
令X=x-,则x=3(X+).列表:
X
0
π
2π
x
2π
5π
y
0
2
0
-2
0
描点画图,如图8所示.
图8
点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X取0,
,π,,2π来确定对应的x值.
变式训练
1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需将函数y=sinx的图像(
)
A.向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
答案:C
2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-)的图像,只需将函数y＝2sin3x的图像(
)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
答案:D
2.将y=sinx的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图像
活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的.由y=sin2x的图像向左平移个单位长度得到的函数图像的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+),把y=sin(x+)的图像的横坐标缩小到原来的,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+),而不是y=sin2(x+).
解:方法一:①把y=sinx的图像沿x轴向左平移个单位长度,得y=sin(x+)的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的,得y=sin(2x+)的图像；③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+)的图像；④最后把所得图像沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图像.
方法二:①把y=sinx的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的,得y=2sin2x的图像；③将所得图像沿x轴向左平移个单位长度,得y=2sin2(x+)的图像；④最后把图像沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图像.
点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
变式训练
1.将y=sin2x的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图像
解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).
在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根据题意,有2x-2a-=2x-,得a=-.
所以将y=sin2x的图像向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图像.
2.如何由函数y=3sin(2x+)的图像得到函数y=sinx的图像？
解法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)y=sin(x+)
y=sinx.
解法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2xy=sin2x
y=sinx.
3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像(
)
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
答案:A
知能训练
课本本节练习1
1、2、3.
课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图像,并分别观察参数φ、ω、A对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换.
作业
1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图像画出函数y=-sin(-2x)的图像.
2.要得到函数y=cos(2x-)的图像,只需将函数y=sin2x的图像通过怎样的变换得到
3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.
解答:1.∵y=-sin(-2x)=sin2x,作图过程:
y=sinx
2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+),
∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.
3.∵y=cos2x+1,
∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.
设计感想
1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A对函y=Asin(ωx+φ)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.
2.对于函数y=sinx的图像与函数y=Asin(ωx+φ)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.
3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0,φ≠0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课.
思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？
②(1)把函数y＝sin2x的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图像；(2)把函数y＝sin3x的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图像；(3)如何由函数y＝sinx的图像通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图像？
③将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图像,试求函数y=f(x)的解析式.
对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自
解法)
甲生:所给问题即是将y=sinx的图像先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=-cos2x的图像,∴f(x)=-cos2x.
乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,
即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=-cos2x.
丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(sinx,
∴A=,=1,+φ=0.
解得A=,ω=2,φ=-,
∴f(x)=sin(2x-)=-cos2x.
活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.
问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.
问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.
三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.
讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,,π,,2π.
②(1)右,；(2)左,；(3)先y＝sinx的图像左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).
③略.
提出问题
①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？
②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.
活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A＞0,ω＞0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;
x=0时的相位φ称为初相.
讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A＞0,ω＞0.
②略.
应用示例
例1
图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动 如从A点算起呢
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
图1
活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.
解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2
cm;周期为0.8
s;频率为.
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),
那么A=2;由=0.8,得ω=;由图像知初相φ=0.
于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).
点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练
函数y=6sin(x-)的振幅是__________,周期是__________,频率是__________,初相是__________,图像最高点的坐标是__________.
解:6
8π
-
(8kπ+,6)(k∈Z)
例2
若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.
活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)的图像向上(B＞0)或向下(B＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.
解:由已知条件,知ymax=3,ymin=-5,
则A=(ymax-ymin)=4,B=(ymax+ymin)=-1,=-=.
∴T=π,得ω=2.
故有y=4sin(2x+φ)-1.
由于点(,3)在函数的图像上,
故有3=4sin(2×+φ)-1,
即sin(+φ)=1.
一般要求|φ|＜,故取+φ=.
∴φ=.
故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.
点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图像可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.
变式训练
例1
已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0)一个周期的图像如图2所示,求函数的解析式.
图2
解:根据“五点法”的作图规律,认清图像中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωxi+φ=0,,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.
方法一:由图知A=2,T=3π,
由=3π,得ω=,
∴y=2sin(x+φ).
由“五点法”知,第一个零点为(,0),
∴·+φ=0φ=-,
故y=2sin(x-).
方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.
由图像并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.
∴·+φ=πφ=-.
∴y=2sin(x-).
点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.
2.(2007海南高考,3)函数y=sin(2x-)在区间［-,π］上的简图是(
)
图3
答案:A
知能训练
课本本节练习2
1、2、3.
课堂小结
1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.
2.三角函数图像变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图像,这种题目的解题的思路是:如果函数同名,则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图像确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(-,0)作为突破口,一定要从图像的升降情况找准第一零点的位置.
作业
把函数y=cos(3x+)的图像适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图像,这种变动可以是(
)
A.向右平移
B.向左平移
C.向右平移
D.向左平移
解析:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-)],
∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y=sin(-3x)的图像.
答案:D
点评:本题需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的-3x需写成-3(x-),这样才能确保平移变换的正确性.
设计感想
1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学生层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一.
2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于把问题抛给学生,激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生的综合能力.
第3课时
思路1.(直接引入)上面我们学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图像可由y=sinx图像通过平移变换、周期变换、振幅变换的顺序而得到,本节我们进一步学习巩固有关三角函数图像与性质问题,以加深对图像变换的深刻理解.
思路2.(复习引入)由于上节课学习的图像与性质的应用其难度较大,本节课又是总括前面所学进行回顾总结的阶段课时,在学生回忆起有关基础知识后再探究其他问题较好;因此先让学生回忆:正弦函数、余弦函数的图像与性质各有哪些？其中最大值、最小值各在什么时候取得？单调区间怎样确定？由此而进入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
先让学生完成以下练习题目:
1.将函数y=sin4x的图像向左平移个单位,得到y=sin(4x+φ)的图像,则φ等于(
)
A.-
B.-
C.
D.
2.使y=sinωx(ω＞0)在区间［0,1］至少出现2次最大值,则ω的最小值为…(
)
A.
B.
C.π
D.
3.把函数y=cos(x+)的图像向左平移m个单位(m＞0),所得图像关于y轴对称,则m的最小值是__________________.
4.y=2sin(-2x)的单调增区间为_______________.
解答:
1.C
解析:函数y=sin4x的图像向左平移个单位,得到y=sin4(x+)的图像,故φ=.
2.A
解析:要使y=sinωx(ω＞0)在区间［0,1］至少出现2次最大值,只需要最小正周期·≤1,故ω≥.
3.
解析:把函数y=cos(x+)的图像向左平移m个单位(m＞0),得到图像y=cos(x++m),而此图像关于y轴对称,故m的最小值是.
4.解:∵y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),
∴要求单调增区间就是解+2kπ≤2x-≤+2kπ,
∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
通过以上题目练习,学生熟悉了正弦函数、余弦函数的图像与性质,充分唤起了学生已有的知识方法.下面我们进一步探究一些与正弦函数、余弦函数的图像和性质有关的问题.
应用示例
1.求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、最小值时x值的集合.
(1)y=sinx-2;
(2)y=sinx;
(3)y=cos(3x+).
活动:教师引导学生回顾正弦函数、余弦函数的图像,点拨学生不要死记硬背三角函数的图像与性质.要结合图像灵活掌握,要学会具体问题具体分析.从某种意义上说三角函数图像也是三角函数性质.
解:(1)当x=2kπ+(k∈Z)时,sinx取最大值1,此时函数y=sinx-2取最大值-1;
当x=2kπ+(k∈Z)时,sinx取最小值-1,此时函数y=sinx-2取最小值-3.
(2)设u=x.
当u=2kπ+(k∈Z)时,即x=4kπ+π(k∈Z)时,sinx取最大值1,此时函数y=sinx取最大值;
当u=2kπ+(k∈Z)时,即x=4kπ+3π(k∈Z)时,sinx取最小值-1,此时函数y=sinx取最小值-.
(3)设u=3x+.
当u=2kπ(k∈Z)时,即x=kπ-(k∈Z)时,cos(3x+)取最大值1,此时函数y=cos(3x+)取最大值;
当u=2kπ+π(k∈Z)时,即x=kπ+(k∈Z)时,cos(3x+)取最小值-1,此时函数y=cos(3x+)取最小值-.
点评:本题重在训练对三角函数性质的掌握情况,属于基本题型.强化学生重视实践,学会动手操作.
变式训练
(2006郑州)已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)上的一个最高点的坐标为(,),由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(,0),若φ∈(-,).
(1)试求这条曲线的函数表达式;
(2)写出函数(1)的单调区间;
(3)画出一个周期内的函数图像.
解:(1)由题意知,A=,T=4×(-)=4π,
∵T==4π,ω＞0,∴ω=.
∴y=sin(x+φ).
又曲线上的最高点为(,),
∴sin(·+φ)=1.又∵-＜φ＜,∴φ=.
∴y=sin(x+).
(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z.
∴4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为［4kπ-,4kπ+］(k∈Z).
同理,函数f(x)的单调递减区间为［4kπ+,4kπ+］(k∈Z).
(3)图像略.
例2
(1)求函数y=2sin(x-)的递增区间;
(2)求函数y=cos(4x+)的递减区间.
活动:这是课本上的第2个例题,仅是单纯求单调区间,难度不大.可由学生自己独立完成.注意换元思想的应用,掌握这种化繁为简的解题方法.
解:(1)设u=x-.
因为函数sinu的递增区间是［2kπ-,2kπ+］(k∈Z),
由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),
所以,函数y=2sin(x-)的递增区间是
［4kπ-,4kπ+］(k∈Z).
(2)设u=4x+.
因为函数y=cosu的递减区间是［2kπ,2kπ+π］(k∈Z),
由2kπ≤4x+≤2kπ+π(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以,函数y=cos(4x+)的递减区间是
［kπ-,kπ+］(k∈Z).
点评:写三角函数单调区间答案不唯一,应提醒学生注意选择一个恰当的、便利的单调区间,本例中使用的是换元思想、化归思想,即利用正弦函数、余弦函数的单调性,得出一个关于x的不等式,然后通过解不等式得到所求的单调区间.
变式训练
1.求函数y=sin(-x),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.
解:令z=-x,由z是x的减函数,即x增加时z减小,要使x增加时y也增加,则z减小时y要增加,于是函数y=sinz的减区间就是原函数的增区间.
∵函数y=sinz的单调递减区间是［+2kπ,+2kπ］,
由+2kπ≤-x≤+2kπ,
得--4kπ≤x≤--4kπ,k∈Z.
取k=-1,得≤x≤;取k=0,得-≤x≤-,由于x∈［-2π,2π］,所以应取-2π≤x≤-,≤x≤2π.
因此,函数y=sin(-x),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-2π,-］和［,2π］.
点评:本例主要是为了使学生对求复合函数单调区间的问题有一个完整的认识.实际上,无论x的系数是正还是负,其求解的思路是一致的.本题也可先变形为y=-sin(x-),然后再求解.
2.(2005全国)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间;
(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像.
解:(1)∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
∴sin(2×+φ)=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z,
∵-π＜φ＜0,∴φ=-.
(2)由(1)知φ=-,因此y=sin(2x-).
由题意,得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数y=sin(2x-)的单调增区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.
(3)由y=sin(2x-)知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像如图1.
图1
知能训练
P53练习1、2、3、4.
作业
课本P55习题1—7
A组4、5、6.
课堂小结
1.由学生归纳总结本节课都学习到了哪些知识、方法 用到了哪些数学思想 有什么独到的领悟及心得
2.教师集中点明,要掌握好数学知识的来源,理解所学知识的独到作用,就像我们现在学的三角函数的图像与性质,其中周期性是三角函数的独特性质,它是造成三角问题复杂化的根源,当然也是用以处理三角问题的工具,只有抓住三角函数的周期性,才能更深刻地理解和把握解决三角问题的关键和方法.
设计感想
本教案设计指导思想是突出学生的主体作用,由于本节课具有习题课的性质,因此设计时让学生自主探究,教师仅是点拨、引导,组织学生从一个高度逐渐攀登另一个高度.重在使学生身心愉快地进行探究体验.
本教案设计思路采用问题设疑,步步深入,层层引发,引导联想,类比归纳的探究式思维训练模式.旨在使学生在教师的适时点拨下,通过积极主动的探索、发现,培养学生的创新意识和创新精神,培养学生的灵活思维能力.
本教案设计还突出比较的方法.由于正弦函数的图像和性质与余弦函数的图像和性质是分开学习的,因而在本节中注意两种函数的对比.比较是最好的学习方法,许多含混不清的疑点在比较中就一目了然了.
备课资料
备用习题
1.已知函数f(x)=sin2x的图像沿x轴向左平移φ个单位(0＜φ＜)后的图像的一个对称中心是(,0),则φ等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.若f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a,b］上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在［a,b］上(
)
A.是增函数
B.是减函数
C.可以取得最大值M
D.可以取得最小值-M
3.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),下列命题中是真命题的是(
)
A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍
B.y=f(x)的表达式可改写为y=-4cos(2x-)
C.y=f(x)的图像关于点(-,0)对称
D.y=f(x)的图像关于直线x=-对称
4.已知函数f(x)=sinπx的图像的一部分如图(1)所示,有以下四个函数解析式:①y=f(2-x);②y=f(x+1);③y=f(x-);④y=f(-x+1).
(1)
(2)
图6
其中,与图(2)所对应的函数解析式可以是______________.
(写出所有正确的函数解析式的序号)
5.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,-＜φ＜),给出下列四个论断:
①它的周期为π;②它的图像关于直线x=对称;③它的图像关于点(,0)对称;④在区间(-,0)上是增函数.
请以其中两个论断为条件,另两个论断为结论,写出一个你认为正确的命题:_________(用序号表示).
6.(2005辽宁,16).ω是正实数,设Sω={θ|f(x)=cos［ω(x+θ)］是奇函数},若对每个实数a,Sω∩(a,a+1)的元素不超过2个,且有a使Sω∩(a,a+1)含有2个元素,则ω的取值范围是_____________.
参考答案:
1.B
2.C
3.C
4.①②
5.①②③④或③①④②
6.(π,2π］
解析:使函数f(x)为奇函数的θ为(k∈Z),∴Sω=(k∈Z).
由题意知≤＜1,又ω＞0,故π＜ω≤2π.1.7.1
正切函数的定义
1.7.2
正切函数的图像和性质
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图像与性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.
对正切函数,我们也遵循这一原则,先定义正切函数,再利用单位圆找出正切线,然后类比画正弦函数图像的方式,利用正切线画出正切函数的图像.通过图像来研究它的主要性质.这样处理学生驾轻就熟,易于理解和掌握.
通过多媒体教学,让学生通过对图像的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象,以提高学生的学习兴趣,提高课堂教学质量.以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图像的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.
三维目标
1.通过对正切函数的图像与性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图像与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3.通过正切函数图像的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
重点难点
教学重点:掌握正切函数的定义,正切函数的图像与性质的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图像和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图像与性质？由此展开新课.
思路2.先由图像开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图像.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
推进新课
新知探究
提出问题
①什么是正切函数 什么是正切线
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？
③我们知道作周期函数的图像一般是先作出长度为一个周期的区间上的图像,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图像.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
⑤你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？你能类比归纳出正切函数的主要性质吗
活动:教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习.阅读课本第33页,明确正弦函数的定义.我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图像.那么有没有线段可以表示正切线呢
如图1,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于T点.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为角α的正切线.
问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后根据作出的正切函数图像,类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质,教师指导学生充分利用正切曲线的直观性.
问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.
图1
问题③,正切函数图像选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图像,改为先作出［0,π］内的图像,再进行图像的平移,得到整个定义域内函数的图像,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图像既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-,)的图像为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图像,如图2.
图2
根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图像,我们称正切曲线,如图3.
图3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=-,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.
讨论结果:①略.
②正切线是AT.
③略.
④能.
⑤“三点两线”法.
性质如下:
(1)周期性
由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z,
可知,正切函数是周期函数,周期是π.
这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图像作出以后,还可从图像上观察正切函数的这一周期性.
(2)奇偶性
由诱导公式
tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z,
可知,正切函数是奇函数,所以它的图像关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图像还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0),k∈Z.
(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.
(4)定义域
根据正切函数的定义tanα=,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.
(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-且无限接近-时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(-,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集R.
提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图像特征,由形及数从正切函数的图像讨论它的性质.
②设问:每个区间都是增区间,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.
活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反映了它的哪一性质——定义域；并且函数图像在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图像都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(-+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图像是关于原点对称的,得到哪一性质——是奇函数.通过图像我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.
问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.
讨论结果:①略.
②略.
应用示例
1.比较大小.
(1)tan138°与tan143°；(2)tan(-)与tan(-).
活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.
解:(1)∵y=tanx在90°＜x＜180°上为增函数,
∴由138°＜143°,得tan138°＜tan143°.
(2)∵tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan,
tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan.
又0＜＜＜,
而y=tanx在(0,)上是增函数,
∴tan＜tan.∴-tan＞-tan,即tan(-)＞tan(-).
点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图像或正切线即可.
2.用图像求函数y=的定义域.
活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图像应用的重要性.
图4
图5
解:由tanx-≥0,得tanx≥,
利用图4知,所求定义域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).
点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.
变式训练
根据正切函数的图像,写出使下列不等式成立的x的集合.
(1)1+tanx≥0;(2)tanx+＜0.
解:(1)tanx≥-1,
∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;
(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.
3.求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.
活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.
解:函数的自变量x应满足x+≠kπ+,k∈Z,
即x≠2k+,k∈Z.
所以函数的定义域是{x|x≠2k+,k∈Z}.
由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan(x+2)+]=f(x+2),
因此,函数的周期为2.
由-+kπ＜x+＜+kπ,k∈Z,解得-+2k＜x＜+2k,k∈Z.
因此,函数的单调递增区间是(-+2k,+2k),k∈Z.
点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)
(ω＞0)的周期T=.
变式训练
求函数y=tan(x+)的定义域,值域,单调区间,周期性.
解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.
值域为R.
由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.
周期是π,也可看作由y=tanx的图像向左平移个单位得到,其周期仍然是π.
4.把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.
活动:教师引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有:
错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1＜2＜3＜4,∴tan1＜tan2＜tan3＜tan4.
错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.
又∵函数y=tanx是增函数,且2＜3,1＜4,∴tan2＜tan3＜tan1＜tan4.
教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.
图6
解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递增函数,
且tan1=tan(π+1),又＜2＜3＜4＜π+1＜,
∴tan2＜tan3＜tan4＜tan1.
解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,
∴tan2＜tan3＜tan4＜tan1.
点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.
知能训练
课本本节习题1—6
A组1-5.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图像与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图像和性质有什么不同 研究正、余弦函数,是由图像得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图像,最后用图像又验证了函数的性质.
2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？
作业
课本习题1—6
A组6.
设计感想
1.本教案的设计背景是刚刚学完的正弦函数、余弦函数的图像与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.
2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步地发散思考→探索提高.
备课资料
函数f(x)±g(x)最小正周期的求法
若f(x)和g(x)是三角函数,求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现介绍几种方法:
(一)定义法
例1
求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
解:∵y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+)|+|sin(x+)|
=|sin(x+)|+|cos(x+)|,
对定义域内的每一个x,当x增加到x+时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是.
(二)公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T=,正、余切函数T=.
例2
求函数y=-tanx的最小正周期.
解:y=-tanx==2·
∴T=
(三)最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数=
例3
求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.
解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=,T2=,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T==2π.
例4
求y=sin3x+tanx的最小正周期.
解:∵sin3x与tanx的最小正周期是与,其最小公倍数是=10π,
∴y=sin3x+tanx的最小正周期是10π.
(四)图像法
例5
求y=|cosx|的最小正周期.
解:由y=|cosx|的图像，可知y=|cosx|的周期T=π.
图72.6
平面向量数量积的坐标表示
整体设计
教学分析
平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.
前面我们学面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
三维目标
1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.
2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的坐标表示.
教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示
②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢
③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:
∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,
∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.
又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:
1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,
即a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a.·b=x1x2+y1y2.
2°向量模的坐标表示
若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么
a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
3°两向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a⊥bx1x2+y1y2=0.
4°两向量夹角的坐标表示
设a.、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得
cosθ=
讨论结果:略.
应用示例
思路1
例1
已知A.(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A.BC的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A.(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A.BC是直角三角形.下面给出证明.
∵=(2-1,3-2)=(1,1),
=(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0.
∴⊥.
∴△ABC是直角三角形.
点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.
变式训练
在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△A.BC的一个内角为直角,求k的值.
解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.
若∠A=90°,则⊥,所以·=0.
于是2×1+3k=0.故k=-.
同理可求,若∠B=90°时,k的值为;
若∠C=90°时,k的值为.
故所求k的值为-.
例2
已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值.
解:设向量a与b的夹角为θ,
则Cosθ=,
即向量A与b夹角的余弦值为.
例3
求以点C(a.,b)为圆心,r为半径的圆的方程(如图1).
图1
解:设M(x,y)是圆C上一点,则||=r,即·=r2.
因为=(x-a.,y-b),
所以(x-a.)2+(y-b)2=r2,即为圆的标准方程.
如果圆心在坐标原点上,这时a.=0,b=0,那么圆的标准方程就是x2+y2=r2.
例4
(1)已知三点A.(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BA.C的余弦值;
(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3),=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),
∴·=3×(-1)+3×6=15.
又∵||=,||=,
∴cos∠BAC=.
(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=5.
设a与b的夹角为θ,则Cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.
点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.
变式训练
已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-b与a垂直,则实数k等于_______________.
解析:由题意，知(ka-b)·a=(k-2,k+3)·(1,1)=0,
解得k=-
答案:-
思路2
例1
已知|a.|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:
(1)若a.⊥b,求a;
(2)若a∥b,求a.
活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.
解:(1)设a=(x,y),由|a.|=3且a⊥b,
得
解得
∴a=(a=
(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得
解得
∴aa
点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图像(直线l1)与一次函数y=-x的图像(直线l2)互相垂直.
证明:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A.(1,-1),B(2,1).
同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是
=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),
=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,
∴⊥,即l1⊥l2.
例2
已知圆C:(x-a.)2+(y-b)2=r2,求与圆C相切于点P0(x0,y0)的切线方程(如图2).
图2
解:设P(x,y)为所求直线l上一点.
根据圆的切线性质,有⊥l,即·=0.
因为=(x0-a.,y0-b),=(x-x0,y-y0),
所以(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0.
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2,与它相切于P0(x0,y0)的切线方程为x0(x-x0)+y0(y-y0)=0,
由于x02+y02=r2,故此方程可化为x0x+y0y=r2.
由解析几何,知给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
例3
已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0,求直线l1和l2的夹角.
解:任取直线l1和l2的方向向量m=(1,-)和n=(1,-7).
设向量m与n的夹角为θ,因为m·n=|m||n|cosθ,
从而cosθ=
所以θ=45°,即直线l1和l2的夹角为45°.
知能训练
课本本节练习1、2.
课堂小结
1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.
2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.
作业
课本习题2—6A.组2、4、6.
设计感想
由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.
平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.
备课资料
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2+y1y2≤≤(x12+y12)(x22+y22).
不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):
(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn).
例1
(1)已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是__________;
(2)已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,则2x-y的最大值是__________.
解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).
∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤,
即2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8.
(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.
由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤=,即|t+4|≤.
解得-4-≤t≤-4.故所求的最大值是-4.
答案:(1)8
(2)-4
例2
已知a.,b∈R,θ∈(0,),试比较的大小.
解:构造向量m=(),n=(cosθ,sinθ),由|m·n|≤|m||n|,得
()2≤()(cos2θ+sin2θ),
∴(a+b)2≤.
同类变式:已知a.,b∈R,m,n∈R,且mn≠0,m2n2＞a2m2+b2n2,令M=,N=a+b,比较M、N的大小.
解:构造向量p=(),q=(n,m),由|p·q|≤|p||q|,得
()2≤()(m2+n2)=(m2+n2)＜m2+n2,
∴M＞N.
例3
设a.,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2
≤144}是直角坐标平面xOy内的点集,讨论是否存在a和b,使得A∩B=与(a,b)∈C能同时成立.
解:此问题等价于探求a、b是否存在的问题,它满足
设存在a和b满足①②两式,构造向量m=(a.,b),n=(n,1).
由|m·n|2≤|m|2|n|2,得(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2),
∴(3n2+15)2≤144(n2+1)n4-6n2+9≤0.
解得n=±,这与n∈Z矛盾,故不存在a.和b满足条件.
二、备用习题
1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,则x等于(
)
A.3
B.
C.-
D.-3
2.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是(
)
A.m＞
B.m＜
C.m＞-
D.m＜-
3.若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则(
)
A.a⊥b
B.a∥b
C.(a+b)⊥(a.-b)
D.(a+b)∥(a-b)
4.与a=(u,v)垂直的单位向量是(
)
A.()
B.()
C.()
D.()或()
5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=B+tb(t∈R),求u的模的最小值.
6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
7.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC的面积.
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.D
5.解：|a|==1,同理|b|=1.
又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°
=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=,
∴|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.
当t=-时,|u|min=.
6.解：由已知(a+3b)⊥(7a.-5b)(a+3b）(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0.①
又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a.-2b)=07a2-30a·b+8b2=0.②
①-②，得46a·b=23b2,即a·b=.③
将③代入①,可得7|a.|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,
∴若记a与b的夹角为θ,则cosθ=.
又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a与b的夹角为60°.
7.分析:S△A.BC=sin∠BAC,而||,||易求,要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5,
∴cos∠BAC===∴sin∠BAC=.
∴S△ABC=||||sin∠BAC=×2×5×=4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;
探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;
大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;
学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化;
学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化;
教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.2.7.2
向量的应用举例
整体设计
教学分析
向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.
三维目标
1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
重点难点
教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.
思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量 比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗 你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.
推进新课
应用示例
例1
在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗
图1
活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中,F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.
在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.
用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
cos.
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,由0°到90°逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.
变式训练
某人骑摩托车以20
km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40
km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.
图2
解:如图2所示.设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.
令=-v1,=-2v1,实际风速为v.
∵+=,
∴=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.
∵+=,
∴=v-2v1,
这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感受到的风速.
由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.
∴DA=DC=BC=20.
∴|v|=20
km/h.
答:实际的风速v的大小是20km/h,方向是东南方向.
例2
如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.
图3
解:设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v|=(M+m)|v0|.①
由于机械能守恒,所以(M+m)v02=(M+m)gh.②
联立①②解得|v|=.
又因为m相对于M很小,
所以|v|≈,
即子弹的速度大小约为.
例3
一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°,并且A,C两地相距2
000
km,求飞机从B地到C地的位移.
图4
解:如图4,设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意,的方向是北偏西60°,｜｜=1
000
km;的方向是南偏西60°,｜｜=2
000
km,所以∠BAC=60°.
过点B作东西基线的垂线,交AC于D,则△ABD为正三角形.
所以BD=CD=1
000
km,
∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.
所以∠ABC=90°,
BC=ACsin60°=2
000×=1
000(km),
｜｜=1
000
km.
答:飞机从B地到C地的位移大小是1
000km,方向是南偏西30°.
例4
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50
N,一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少 (g=10
m/s2)
图5
解:如图5,设木块的位移为s,则
F·s=｜F｜｜s｜cos30°=50×20×=500(J).
将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为
｜F1｜=｜F｜sin30°=50×=25(N),
所以,摩擦力f的大小为
｜f｜=｜μ(G-F1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).
因此f·s=｜f｜｜s｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
答:F和f所做的功分别是500J和-22
J.
知能训练
1.一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2
km/h,则经过3小时,该船实际航程为(
)
A.2
km
B.6
km
C.km
D.8
km
2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为
N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=____________.
图6
3.一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.
解答:
1.B
点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2.
(5,4)
3.解:如图7所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5
km/h.
图7
因为四边形OACB为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=5≈8.66
km/h,
||==10
km/h.
答:水流速度为8.66
km/h,船的实际速度为10
km/h.
点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;
③动量mv是数乘向量,冲量ΔtF也是数乘向量;
④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.
作业
1.课本习题2—7
A组4,B组2.
2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.
设计感想
1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.
2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.
3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.
备课资料
一、向量与重心问题
假如有两个质点M1,M2,它们的质量分别是m1,m2,由物理学知识,这两个质点的重心M在线段M1M2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即
或m1
现设点M1、M2、M,对应的向量分别是r1、r2、r,则上式可以写成
m1(r-r1)=m2(r2-r).所以r=,点M处的质量为m1+m2.
现求三个质点的重心问题.
三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3,所对应的向量分别是r1、r2、r3,
我们可设M1,M2的重心在点D处,该处对应的向量为rD=,该点的质量为m1+m2,然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r,易得
r=.
二、备用习题
1.作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|=5,|F2|=3,夹角为60°，则F1+F2的大小为_________.
2.一条渔船距对岸为4
km,现正以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8
km,求河水的流速.
3.在半径为15
cm的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8
cm,圆洞的半径是5
cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.
4.如图13所示,重力为G的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.
图13
参考答案:
1.7
2.如图14所示,设表示船垂直于对岸的速度,则+=,
图14
知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),
所以在Rt△ABC中,||=2
km/h,||=8÷2=4
km/h,则||=km/h.
答:河水的流速为km/h.
3.如图15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(8,0),圆O2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O3.
图15
根据物理学知识,知O3在直线O1O2上,即可设O3(x3,0),且满足,其中λ=.由定比分点坐标公式,知0=,解得x3=-1,即O3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.
4.对小球的受力分析如图13所示,重力为G,斜面弹力为N2(垂直于斜面向上),木板弹力N1(垂直于木板),其中N1与N2的合力的大小恒为|G′|,方向向上,N2的方向始终不变,随着木板的转动,N1的方向始终垂直于木板,N1的大小在变化,且满足,
又|G′|=|G|,∴|N1|=.
∴当sinθ取最大值1时,|N1|min=|G|sinα,此时θ=.2.7.1
点到直线的距离公式
整体设计
教学分析
1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.
2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
三维目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.
3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
重点难点
教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.
推进新课
新知探究
提出问题
图1
①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗
②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法
④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？
活动:①教师引导学生画出直线,点.
如图2所示,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量.
设n=(a,b),因为n·v=(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,
所以n⊥v,故称n为直线l的法向量,与n同向的单位向量为
n0=.
于是,点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量在n0方向上射影的长度:
d=｜·n0｜=｜(x0-x,y0-y)·(.
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(ax+by).
②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.
证明:方法一:如图3.
图3
作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.
∴AD=BC,AF=BE由于
AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.
BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2
=AB2-2AB·AF+AF2+DF2
=AB2-2AB·AF+AD2
=AB2-2AB·BE+BC2.
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
方法二:如图4.
图4
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.
方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.
∴||2=·=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②
观察①②两式的特点,我们发现,①+②得
||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以
上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
这个“三步曲”用流程图表示为:
讨论结果:①能.
②能想出至少三种证明方法.
③略.
应用示例
例1
求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.
活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成.
解:由点到直线的距离公式,得d=,
所以点P(1,2)到直线l的距离为5.
点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路.
变式训练
(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为(
)
A.y=f(x+1)-2
B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x-1)+2
D.y=f(x+1)+2
解析:由已知,得
平移公式为
即代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1),
即y′=f(x′-1)+2.
∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2.
答案:C
例2
如图5,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗
图5
活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断,与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
解:如图5,设=a,=b,=r,则=a+b.
由于与共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.
又因为=-=（a-b),与共线,
所以我们设=m=m(a-b).
因为=+,所以r=b+m(a-b),
因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.
由于向量a,b不共线,要使上式为0,必须.
解得n=m=.
所以=.同理,=.
于是=.所以AR=RT=TC.
点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.
变式训练
如图6,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.
图6
证明:设BE、CF相交于点H,并设=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
因为⊥,⊥,
所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,
即(h-b)·c=(h-c)·b.
化简,得h·(c-b)=0.
所以⊥.
所以AH与AD共线,即AD、BE、CF相交于一点H.
例3
如图7,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.
图7
活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.
解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
因为BB′、CC′都是中线,所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=().
同理,=(-).
因为BB′⊥CC′,所以-=0,a2=9c2.
所以cosA=.
点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效.
变式训练
(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.
图8
解:方法一,如图8.
∵⊥,∴·=0.
∵=-,=-,=-,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·=-a2+·(-)
=-a2+·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.
方法二:如图9.
图9
以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为(x,y),
则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=,
∴cx-by=a2cosθ.
∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.
知能训练
1.如图10,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证:∠ABC=90°.
图10
证明:如图10.
设=a,=b,
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
因为·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此,得∠ABC=90°.
点评:充分利用圆的特性,设出向量.
2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.
图11
证明:如图11.
建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).
在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().
当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),
故对任一t1∈[0,1],△DEF的重心不变.
点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.
课堂小结
1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.
2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.
作业
课本习题2—7
A组1,2.
设计感想
1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.
2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.
3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
备课资料
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.
1.简化向量运算
例1
如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.
图12
证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,
且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.
从而=.
又=-=+,得=+=+,
即=++.
2.证明线线平行
例2
如图13,在梯形ABCD中,E,F分别为腰AB,CD的中点.求证:EF∥BC,且||=(||+||).
图13
证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0),
又E,F是中点,∴+=0,
且=(+).
而+=+++
=+=(1+λ),
∴=.EF与BC无公共点,
∴EF∥BC.又λ＞0,
∴||=(||+|λ|)=(||+||).
3.证明线线垂直
例3
如图14,在△ABC中,由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.
图14
证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC,
有·=0,·=0.
又=+,=+,
故有(+)·=0,且(+)·=0,
两式相减,得·(-)=0,即·=0,∴⊥.
4.证明线共点或点共线
例4
求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的.
图15
解:已知:△ABC的三边中点分别为D,E,F(如图15).
求证:AE,BF,CD共点,且=.
证明:设AE,BF相交于点G,=λ1,
由定比分点的向量式有=+,
又F是AC的中点,=(+),
设=λ2,
则+=+,∴
∴
又=,
∴C,G,D共线,且.
二、备用习题
1.有一边长为1的正方形ABCD,设=a,=b,=c,则|a-b+c|=___________.
2.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,则使λb-a与a垂直的λ=____________.
3.在等边△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=__________.
4.已知三个向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,则k=__________.
5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点,过点E作MN交AD于点M,交BC于点N,试运用向量知识证明AM=CN.
图16
6.已知四边形ABCD满足||2+||2=||2+||2,M为对角线AC的中点.求证:||=||.
7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.
参考答案:
1.2
2.2
3.-
4.-2或11
5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E().
图17
又设M(x2,b),N(x1,0),则
=(x2,0),=(x1-a,0).
∵∥,=(-x2,-),=(x1-,-),
∴(-x2)×(-)-(x1-)×(-)=0.
∴x2=a-x1.
∴||==|x2|=|a-x1|=|x1-a|.
而||==|x1-a|,
∴||=||,
即AM=CN.
6.证明:设=a,=b,=c,=d,
∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·d.①
∵||2+||2=||2+||2,
∴a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2.②
由①②,得a·b=c·d.
图18
∵M是AC的中点,如图18所示,
则=(d-c),=(b-a).
∴||2=2=(b2+a2-2a·b),
||2=2=(d2+c2-2c·d).
∴||2=||2.
∴||=||.
7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.
求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.
证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′,
∴=λ(λ∈R,λ≠0),=μ(μ∈R,μ≠0).
∴cos∠AOB=,
cos∠A′O′B′=
当与,与均同向或反向时,取正号,
即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.
∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=∠A′O′B′.
当与,与只有一个反向时,取负号,
即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′).
∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=π-∠A′O′B′.
∴∠AOB+∠A′O′B′=π.
∴命题成立.1.6
余弦函数的图像与性质
整体设计
教学分析
1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用.
2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.
3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.
三维目标
1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.
2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.
3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.
重点难点
教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.
教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.
思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值) 然后逐一进行探究.
推进新课
新知探究
提出问题
①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？
②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［0,2π］的性质吗？
③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？
活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.
由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin［-(-x)］=sin(+x)可知,y=cosx的图像就是函数y=sin(+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到(如图1所示).
图1
也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线.
图2
教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y＝cosx,x∈R具有以下主要性质:
(1)定义域
余弦函数的定义域是R.
(2)值域
余弦函数的值域是［-1,1］.
(3)周期性
余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.
由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上.
(4)最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数取得最大值1;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.
(5)单调性
我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x由-π增大到0时,cosx的值由-1增大到1,当x由0增大到π时,cosx的值由1减小到-1.
因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减.
由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是递增的,在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间.
(6)奇偶性
余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.
这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:
图3
x
-π
…
-
…
0
…
…
π
cosx
-1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
-1
类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.
探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响.
讨论结果:①—③略.
应用示例
例1
画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.
活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
cosx-1
0
-1
-2
-1
0
图4
不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).
函数
y=cosx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2
点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.
例2
利用三角函数的单调性,比较cos(-)与cos(-)的大小.
活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.
解:cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos()=cos.因为0＜＜＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos＞cos,即cos(-)＜cos(-).
点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos＞0,cos＜0,显然大小立判.
例3
求函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.
活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把x-看成z,问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法.
解:令z=x-.函数y=cosz的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］.
由-π+2kπ≤x-≤2kπ,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
取k=0,得-≤x≤,而［-,］［-2π,2π］,
因此,函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-,］.
点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
4.求函数y＝的定义域.
活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.
解:由cosx≥0得-＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z).
∴原函数的定义域为［-＋2kπ,＋2kπ］(k∈Z).
点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变式训练
函数y＝1+cosx的图像(
)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x＝对称
答案:B
例5
(2007山东临沂一模,17(1))在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=cos(2x+)在区间［0,π］上的图像.
图5
解:列表取点如下:
x
0
π
π
2π
f(x)
1
0
-
0
1
描点连线作出函数f(x)＝cos(2x+)在区间［0,π］上的图像如图6.
图6
点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节.
知能训练
课本练习1-4.
课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？
这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.
作业
课本习题1—5
3、4、5、6.
设计感想
1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.
3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cosα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.
备课资料
备用习题
1.函数y=cosx,x∈［-,］的值域是
(
)
A.［0,1］
B.［-1,1］
C.［0,］
D.［-,1］
2.(2007山东临沂)对于函数y=f(x)=下列命题中正确的是(
)
A.该函数的值域是［-1,1］
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.该函数是以π为最小正周期的周期函数
D.当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z)时,f(x)＜0
3.(2005山东潍坊)已知-≤x＜,cosx=,则m的取值范围是(
)
A.m＜-1
B.3＜m≤7+4
C.m＞3
D.3＜m＜7+4或m＜-1
4.(2004天津,12)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,］时,f(x)=sinx,则f()的值为(
)
A.-
B.
C.-
D.
5.(2006广东珠海)已知函数y=2cosx(0≤x≤1
000π)的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________________.
6.(2005上海,10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是______________.
7.根据余弦函数的图像,求满足cos2x≥的x的集合.
参考答案:
1.A
画出y=cosx,x∈［-,］的图像,从而得出y∈［0,1］,故选A.
2.D
画图像可知,值域为［-,1］,x=2kπ或x=2kπ+时取最大值,T=2π,故选D.
3.C
由-≤x＜,＜cosx≤1,∴＜≤1.∴m＞3.故选C.
4.D
由f(x)的周期为π知,f()=f()=f(-).
由f(x)是偶函数知f(-)=f().
又当x∈［0,］时,f(x)=sinx,
∴f()=sin=.
故选D.
5.2
000π
由图像知y=2cosx在［0,2π］上与直线y=2围成封闭图形的面积是2π×2=4π
∵1
000π÷2π=500,∴在0≤x≤1
000π上所围成的封闭图形的面积S=4π×500=2
000π.
6.1＜k＜3f(x)=sinx+2|sinx|=则k的取值范围是1＜k＜3.
7.解:由余弦函数的图像与性质知
-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴满足函数cos2x≥的x的集合是{x|-+kπ≤x≤+kπ}(k∈Z).1.2.3
两角和与差的正切函数
整体设计
教学分析
教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.
在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.
三维目标
1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.
2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.
重点难点
教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.
教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.
思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似 如何推导呢 由此展开新课,揭示课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？
②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)= tan(α+β)=
③分析观察公式Tα-β、Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？
活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cosαcosβ讨论如下:
当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=.
若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得
tan(α+β)=.
根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有
tan(α-β)=.
由此推得两角和与差的正切公式,简记为“Tα-β、Tα+β”.
tan(α+β)=;(Tα+β)
tan(α-β)=.(Tα-β)
我们把公式Tα+β,Tα-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠+kπ(k∈Z),β≠+kπ(k∈Z),α±β≠+kπ(k∈Z),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.
教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:
tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么 (提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明.
至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式Sα+β,Cα+β,Tα+β都叫作和角公式,而把公式Sα-β,Cα-β,Tα-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),?在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用Tα±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(-β),因为tan的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(-β)=来处理.
讨论结果:①—④略.
应用示例
例1
已知tanα=2,tanβ=-,其中0＜α＜,＜β＜π.
(1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.
活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.
解:(1)因为已知tanα=2,tanβ=-,
所以tan(α-β)==7.
(2)因为tan(α+β)===1,
又因为0＜α＜,＜β＜π,所以＜α+β＜.
在与之间,只有的正切值等于1,所以α+β=.
例2
计算的值.
活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与Tα-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为,再逆用公式Tα-β即可解得.
解:因为tan45°=1,
所以==tan(45°-15°)=tan30°=.
点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.
变式训练
1.不查表求tan105°的值.
解:tan105°=tan(60°+45°)
=.
2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°.
解:(1)原式=tan(22°+23°)·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°
=tan45°·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°
=1.
(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)
=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)
=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)
=1.
例3
若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值.
活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破.
解:因为α+=(α+β)-(β-),
所以tan(α+)=tan［(α+β)-(β-)］
=.
点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-,β∈(π,).
求tan(α+β).
解:由cosβ=-,β∈(π,),sinα=,α∈(,π),
∴sinβ=-=-=-,
cosα=-
∴tanβ=,tanα=-.
∴tan(α+β)=.
4．(1)已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值.
(2)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求.
活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求,若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值有一定的困难,但细心观察公式Sα+β、Sα-β发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ,而化切为弦正是,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.
解:(1)∵α+β=45°,
∴tan(α+β)=tan45°=1.
又∵tan(α+β)=,
∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),
即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
(2)∵sin(α+β)=,sin(α-β)=,
∴sinαcosβ+cosαsinβ=.①
sinαcosβ-cosαsinβ=.②
①+②,得sinαcosβ=,
①-②,得cosαsinβ=,
∴=5.
点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.
变式训练
1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.
解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)?(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.
2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.
解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.
知能训练
课本练习1、2、3、4.
课堂小结
本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.
作业
1.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的值.
解:由韦达定理,得tanα+tanβ=-,tanαtanβ=,
∴tan(α+β)=.
2.课本习题3—1
A组6,7.
设计感想
1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.
2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.
备课资料
备用习题
1.已知A、B、C是斜△ABC的三个内角,求证:
(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
(2)tantan+tantan+tantan=1.
2.设关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tanα与tanβ,求tan(α+β)的取值范围.
3.求tan70°+tan50°-tan50°tan70°的值.
4.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.
5.化简-2cos(A+B).
6.已知5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα.
参考答案:
1.解:(1)∵A、B、C是斜△ABC的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.
由题意可知,A、B、C都不为,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC.
∴=-tanC,去分母,移项,整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
(2)∵++=,∴+=-.
∴tan(+)=tan(-).
∴.去分母,移项,整理可得
tantan+tantan+tantan=1.
2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0.①
由①解得m∈(-∞,0)∪(0,］.
根据韦达定理可得
则tan(α+β)==2m-1.
∵m∈(-∞,0)∪(0,］,∴2m-1≤2×-1=-,且2m-1≠-1.
∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-］.
3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-tan50°tan70°
=-(1-tan70°tan50°)-tan50°tan70°
=-+3tan70°tan50°-tan50°tan70°
=-.
∴原式的值为-.
4.证明:由sinβ=ｍsin(2α+β)
sin［(α+β)-α］=ｍsin［(α+β)+α］
sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=ｍ［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］
(1-ｍ)·sin(α+β)cosα
=(1+ｍ)·cos(α+β)sinα
tan(α+β)=tanα.
点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β?可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.
5.解:原式=
点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.
6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,
即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.
∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.
点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.1.5.2
正弦函数的性质
整体设计
教学分析
对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.
三维目标
1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展?运用.
2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.
重点难点
教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.
教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.
思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值) 然后逐一进行探究.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;
②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么
③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么 由值域又能得到什么
④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点
⑤观察正弦曲线,它有哪些对称
图1
活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.
在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.
对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势.
对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R〔或(-∞,
+∞)〕.
对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.
∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,
∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.
也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),
1°当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
2°当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.
对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢 如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-,］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.
图2
图3
这个变化情况也可从下表中显示出来:
x
-
0
π
sinx
-1
↗
0
↗
1↘
0
↘
-1
就是说,函数y=sinx,x∈［-,］.
当x∈［-,］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;
当x∈［,］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.
结合正弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O对称.在R上,y=sinx为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢
由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx,
∴y=sinx为奇函数.
至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.
讨论结果:①略.
②定义域为R.
③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1.
④单调性(略).
⑤奇偶性(略).
应用示例
思路1
1.函数y=-3sin2x,x∈R有最大值、最小值吗 如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是{z|z=-+2kπ,k∈Z},
由2x=z=-+2kπ,得x=-+kπ.
因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.
同理,使函数y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.
函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.
点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.
2.利用三角函数的单调性,比较sin(-)与sin(-)的大小.
解:因为-＜-＜-＜0,正弦函数y=sinx在区间［-,0］上是增函数,
所以sin(-)＞sin(-).
点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.
3.求函数y=sin(x+),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.
活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向:
把x+看成z,这样问题就转化为求y=sinz的单调区间问题,而这就简单多了.
解:令z=x+.函数y=sinz的单调递增区间是［-+2kπ,+2kπ］.
由-+2kπ≤x+≤+2kπ,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤-+4kπ且+4kπ≤2π,于是-≤k≤,由于k∈Z,所以k=0,即-≤x≤,而［-,］［-2π,2π］,
因此,函数y=sin(+),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-,］.
点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质.
解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).
x
0
2π
Sinx
0
1
0
-1
0
y=sinx-1
-1
0
图4
观察图像得出y=sinx-1的性质(如下表所示).
函数
y=sinx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
非奇非偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)时,函数是递增的;当x∈［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ+(k∈Z)时,最大值为0;当x=2kπ+(k∈Z)时,最小值为-2
思路2
例1
求函数y=的定义域.
活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等.
解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).
∴原函数的定义域为{x|x≠+2kπ,k∈Z}.
点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.
2.在下列区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是(
)
A.［,π］
B.［0,］
C.［-π,0］
D.［,］
活动:函数?y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin［φ(x)］,φ(x)=x+,欲求y=sin(x+)的单调增区间,因φ(x)=x+在实数集上恒递增,故应求使y随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+看成一个整体,其道理是一样的.
解:∵φ(x)=x+在实数集上恒递增,又y=sinx在［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)上是递增的,故令2kπ-
≤x+≤2kπ+.∴2kπ-≤x≤2kπ+.∴y=sin(x+)的递增区间是［2kπ-,2kπ+］.
取k=-1、0、1分别得［-,］、［-,］、［,］.
答案:B
点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出.
解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:
(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的范围;(5)得到x的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.
结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练
1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么(
)
A.T=2,θ=
B.T=1,θ=π
C.T=2,θ=π
D.T=1,θ=
解:T==2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=
答案:A
2.求函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间.
解:y=sin(-)=-sin(-).由2kπ-≤-≤2kπ+,可得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+,可得3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-,3kπ+］(k∈Z);原函数的单调增区间为［3kπ+,3kπ+］(k∈Z).
知能训练
课本本节练习2
1、2、3.
课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.
作业
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=.
解答:(1)函数的定义域为R,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x)
=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.
(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ+,k∈Z}.
∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
设计感想
1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.
3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.
备课资料
一、近几年三角函数知识的变动情况
三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.
我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢 又该怎样教 立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.
1.是“三角”还是“函数”
应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.
从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的?观点.
2.是“图像”还是“变换”
现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.
3.国外的观点及启示
下面来看一下美国和德国的观点:
美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.
德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.
从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:
第一,突出强调三角函数的图像和性质;
第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍;
第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算;
第四,注意三角函数和其他知识的联系.
这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨 在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整 在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故.
二、备用习题
1.函数y=sin(-2x)的单调减区间是(
)
A.［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)
B.［4kπ-,4kπ+］(k∈Z)
C.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
D.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
2.满足sin(x-)≥的x的集合是(
)
A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
B.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
C.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
D.{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}∪{x|2kπ+≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
3.求函数y=lgsinx的定义域和值域.
4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,］,求函数f()的定义域.
参考答案:
1.D
2.A
3.解:由题意得sinx＞0,∴2kπ＜x＜(2k+1)π,k∈Z.又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0.
故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z，值域为(-∞,0］.
4.解:由题意得0≤≤,∴-≤sinx≤-或≤sinx≤
∴x∈［kπ+,kπ+］∪［kπ+,kπ+］,k∈Z.2.3.1数乘向量
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着密切的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.
2.实数与向量积的运算律.
3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗 怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同
④怎样理解向量共线定理
活动:教师引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
图1
对问题①,学生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
=++=(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1),可知λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗 其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③略.
④定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
定理若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
⑤向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路1
1.设a,b为向量,计算下列各式:
(1)-×3a;
(2)2(a-b)-(a+b);
(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-×3)a=-a;
(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b;
(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)
=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb
=ma-nb.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:∵3m+2n=a,①m-3n=b.②3×②,得3m-9n=3b.③①-③,得11n=a-3b.
∴n=a-b.④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2
如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
图2
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
图3
解:如图3,分别作向量、、,过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的独特新颖.
例3
如图4,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示、、和吗
图4
活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴=-==-(a+b)=-a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
=-=-=-a+b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1
凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图5
解:方法一:过点C在平面内作=,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EFDG
∴=.
而=+=+,
∴=(+).
图6
方法二:如图6,连接EB、EC,则有=+,=+,
又∵E是AD的中点,
∴有+=0,
即有+=+.
以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴==(+)=(+).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
变式训练
如图7,已知=4,=4,试判断与是否共线.
图7
解:因为=+=4+4
=4(+)=4,
所以与共线.
例2
已知和是不共线向量,=t(t∈R),试用、表示.
活动:教师引导学生思考,由=t(t∈R)，知A、B、P三点共线,而=+,然后以表示,进而建立,的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考,7)
若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则(
)
A.|2a|＞|2a+b|
B.|2a|＜|2a+b|
C.|2b|＞|a+2b|
D.|2b|＜|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考,5)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于(
)
A.
B.
C.-
D.-
答案:A
3.如图8,A,B,C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,求证：存在实数λ,使得=λ+(1-λ)
图8
证明:如图8,因为向量与向量共线,根据向量共线定理，可知=λ.
即-=λ(-),=λ+-λ,
=λ+(1-λ).
点评:本例给出了判断三点共线的一个方法.
知能训练
本节练习1、2、3、4、5.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,类比是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题2—31、2.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ＞0时,λa与a方向相同,当λ＜0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.
备课资料
一、向量的数乘运算律的证明
设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有
(1)λ(μa)=(λμ)a;①
(2)(λ+μ)a=λa+μa;②
(3)λ(a+b)=λa+λb.③
证明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立.
如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有
|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,
|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.
所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.
如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.
因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.
(2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.
如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况:
当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以
|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.
由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.
综上所述,②式成立.
如果λ、μ异号,当λ＞μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ＜μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.
还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.
(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.
图9
图10
当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时,可分如下两种情况:
当λ＞0且λ≠1时如图9,在平面内任取一点O作=a,=b,=λa,=λb,则=a+b,=λa+λb.
由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.
所以=λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.
因此O、B、B1在同一条直线上,||=|λ|,与λ的方向也相同.
所以λ(a+b)=λa+λb.
当λ＜0时,由图10可类似证明λ(a+b)=λa+λb.
所以③式也成立.
二、备用习题
1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（
）
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为(
)
A.1
B.-1
C.±1
D.0
3.若向量方程2x-3(x-2a.)=0,则向量x等于(
)
A.a
B.-6a.
C.6a
D.-a.
4.在△A.BC中,=,EF∥BC,EF交A.C于F,设=a.,=b,则用a.、b表示的形式是=________________.
5.在△A.BC中,M、N、P分别是A.B、BC、CA.边上的靠近A.、B、C的三等分点,O是△A.BC平面上的任意一点,若++=e1-e2,则++=_________.
6.已知△A.BC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,
求证:=(a+b+c).
7.对判断向量a.=-2e与b=2e是否共线 有如下解法:
解:∵a.=-2e,b=2e,∴b=-a..∴a.与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.
参考答案:
1.B
2.C
3.C
4.-a.+b
5.e1-e2
6.证明：连接A.G并延长,设A.G交BC于M.
∵=b-a.,=c-a.,=c-b,
∴=+=(b-a.)+(c-b)=(c+b-2a.).
∴==(c+b-2a.).
∴=+=a+(c+b-2a.)=(a.+b+c).
7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a.=0,b=0,此时,a.不符合定理中的条件,且使b=λa.成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λA.成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.
综上分析,此题应解答如下:
解:(1)当e=0时,则a.=-2e=0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a.与b共线.
(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0,
∴b=-a.〔这时满足定理中的a.≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa.成立〕.
∴a与b共线.
综合(1)(2),可知a.与b共线.1.3
弧度制
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的 家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位又是怎样换算的 度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制 它们是怎样换算的
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.我们知道,半径不同时,同样的圆心角所对的弧长是不相等的,但通过度量和计算发现,当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,这个常数我们称为该角的弧度数.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师引导学生进一步探究,对任意一个0°—360°的角,我们以它的顶点为圆心,画单位圆就能得到它的弧度数.不难看出,不同的角,其弧度数一定不相同,而且角越大,它的弧度数越大.因此,我们可以用角的弧度数来度量角的大小.我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,?1弧度记作1
rad.如图1中,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
图1
讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系
问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少 既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.
②α=;将角度化为弧度:360°=2πrad,1°=rad≈0.01745rad,将弧度化为角度:2πrad=360°,1rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=()°,n°=n(rad).
提出问题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示
②:填写下列的表格,并找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
2πr
逆时针方向
r
1
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先点明教科书上为什么设置这个“探究” 其意图是先根据所给图像对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示.
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ
(k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
图2
讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ
(k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=R.
②
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
r
逆时针方向
1
57.3°
2r
顺时针方向
-2
-114.6°
πr
顺时针方向
-π
-180°
0
未施转
0
0°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
应用示例
思路1
例1
下列各命题中,是真命题的是(
)
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是(
)
A.半圆所对的圆心角是πrad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D
例2
把45°化成弧度.
解:45°=×45rad=rad.
例3
把rad化成度.
解:rad=×180°=108°.
例4
将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,并指出它们所在的象限:①-;②;③-20;④-2.
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β|β=kπ,k∈Z},{β|β=+kπ,k∈Z}.?第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β|2kπ＜β＜2kπ+,k∈Z},
{β|2kπ+＜β＜2kπ+π,k∈Z},
{β|2kπ+π＜β＜2kπ+,k∈Z},
{β|2kπ+＜β＜2kπ+2π,k∈Z}.
解:①-=-4π+,是第一象限角.
②=10π+,是第二象限角.
③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.
④-2≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与,π,比较大小,估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把-1
480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.
解:(1)∵-1
480°=-=-10π+,0≤＜2π,
∴-1
480°=2(-5)π+.
(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.
又∵β∈［-4π,0),∴β1=-,β2=-.
思路2
1.已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同,求θ.
活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=.
又∵0＜θ＜2π,∴0＜＜2π.
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=、、π、、
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,然后在约束条件下确定k的值,进而求适合条件的角.
例2
已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.
活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.
解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.
∴S=l·r=
(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.
∵r＞0,l=a-2r＞0,∴0＜r＜.
∴当r=时,=此时,l=a-2·=,∴α==2.
故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值
点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×=,
∴扇形的弧长为r,由已知,r+2r=+4,∴r=2,∴S=,r2=
故扇形的面积为
点评:求解扇形问题的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
知能训练
习题1—3
1、2、3、4、5.
课堂小结
由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=πrad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.
重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.
作业
习题1—3
6、8.
设计感想
本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.
根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.
备课资料
一、密位制度量角
度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为360°=6
000密位,所以1°=≈16.7密位,
1密位==0.06°=3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如7密位写成0—07,读作“零,零七”,478密位写成4—78,读作“四,七八”.
二、备用习题
1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是(
)
A.
B.
C.1
D.π
2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则(
)
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
3.下列表示的为终边相同的角的是(
)
A.kπ+与2kπ+(k∈Z)
B.与kπ+(k∈Z)
C.kπ-与kπ+(k∈Z)
D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z)
4.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形的中心角的弧度数.
5.若α∈(-,0),β∈(0,),求α+β,α-β的范围,并指出它们各自所在的象限.
6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图3所示).
图3
7.(1)角α,β的终边关于直线y=x对称,写出α与β的关系式;
(2)角α,β的终边关于直线y=-x对称,写出α与β的关系式.
参考答案:1.A
2.B
3.C
4.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为α,依题意有αR+2R=6,且αR2=2,
∴R=1,α=4或R=2,α=1.
∴α=4或1.
5.解:-＜α+β＜,
∴α+β在第一象限或第四象限,或α+β的终边在x轴的非负半轴上.-π＜α-β＜0,
∴α-β在第三象限或第四象限,或α-β的终边在y轴的非正半轴上.
6.解:(1){θ|2kπ-＜θ＜2kπ+,k∈Z};
(2){θ|2kπ-＜θ＜2kπ+,k∈Z};
(3){θ|2kπ+＜θ＜2kπ+,k∈Z}∪{θ|2kπ+＜θ＜2kπ+,k∈Z}
={θ|nπ+＜θ＜π+,n∈Z}.
7.解:(1)β=-α+2kπ,k∈Z;
(2)β=+α+2kπ,k∈Z.
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角2π
(rad),(rad),(rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.
例题
在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)
甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x弧度,则分针转过了2π+x弧度,而时针走1弧度相当于经过h=min,分针走1弧度相当于经过min,故有x=(2π+x),得x=,
∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是++2π=(rad).
乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为α,则α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的12倍),得α=,
∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是(rad).
点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α-2π与时针所转过的弧度数相等,利用弧度数之间的关系列出方程求解.1.1
周期现象
整体设计
教学分析
本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.
怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为：观察图片，感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的.
在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例.
三维目标
通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物.
重点难点
教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象.
教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例，在生活中处处有数学的氛围感受，从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律，由此自然地展开?新课.
思路2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作，并请学生观察时针、分针和秒针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出，这种现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本，进而展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①什么是周期现象？每人各自举出3个以上周期现象的实例.
②周期现象与函数的概念有什么联系？
③如何画出“散点图”？
④如何理解“散点图”？图1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
活动:引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.
课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据)，教师引导学生观察表格中的数据,并发现规律，比如重复出现的几个数据.
指导学生根据散点图中点的位置排列，进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表示的量.当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数.
下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据，我们来研究H(t)这个函数.
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
1:00
5.0
9:00
2.5
17:00
6.2
2:00
6.2
10:00
2.7
18:00
5.3
3:00
7.5
11:00
3.5
19:00
4.1
4:00
7.3
12:00
4.4
20:00
3.1
5:00
6.2
13:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.3
14:00
6.2
22:00
2.7
7:00
4.1
15:00
7.5
23:00
3.5
8:00
3.1
16:00
7.3
24:00
4.4
根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图(如图1).
图1
教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升华周期现象，丰富学生对周期现象的感知.例如：
实例1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它位于浙江省北部，全长605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现，这是一种周期现象.
实例2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后,在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子.
实例3.我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程.
实例4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡，大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达4
000
℃左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象，平均活动周期为11.2年.
实例5.在医学上，心脏收缩和舒张有规律的交替进行，称为心动周期.心房与心室每收缩和舒张一次，即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为：首先两心房收缩，一般占0.1秒(以每分钟心跳75次计算)；继而心房舒张，持续0.7秒.当心房收缩时，心室处于舒张状态，持续0.5秒；心房进入舒张后不久，心室开始收缩，持续0.3秒，随即又进入舒张状态.在正常情况下，左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面，无论心房或心室，收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关，心率过快，心动周期时间就过短，心房和心室的舒张时间也过少，这样就会影响心脏内血液充盈程度，降低每次心搏的输出量.
实例6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行一次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮.只有这样，虫体才能得以继续充分生长发育.显然，蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约2个月完整地脱落1次.
实例7.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置)，根据自己的出生日期，就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线，并总结出自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力，以便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例.
实例8.化学元素的性质取决于核外电子的分布，而核外电子的分布是周期性地重复着类似的排列，于是,元素的性质也就出现了周期性的变化，根据这些变化科学家制定了元素周期表,以揭示元素周期性变化规律，最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性运动变化规律更是大量存在，如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等.
根据以上实例，教师与学生一起归纳提高：在我们生活的周围存在着大量的周期规律，充分认识这些规律，就能更好地造福于人类、造福于社会，而本章三角函数正是刻画周期现象的一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在，并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见，数学来源于生活，又指导生活，学好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言，也是宇宙语言”的道理.
讨论结果:①-④略.
应用示例
1.地球围绕着太阳转(图2)，地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗？
图2
活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析.
解:根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.
点评:理解周期现象及相关知识.
2.图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.
图3
3.图4是水车的示意图.水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，距离y随时间t的变化规律也具有周期性.
图4
点评:抓住周期现象与函数的内在联系，从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量，其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅速抓住本质的能力.
变式训练
走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么手臂的摆动满足什么规律呢？
解:如图5，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置时，设θ＝∠PON为摆动的幅角，y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的
长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
图5
知能训练
课本习题1—1
1、2.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法，怎样从杂乱无章的现象中探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体会整章的风貌，让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀.
作业
1.课本习题1—1
3.
2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子.
设计感想
本课时作为全章第一节开头，有仰望全章、激发探究、投石问路之意，因此在教案设计上应对教法、学法有一定设计，并对全章略做提点，也算抛砖引玉，以解学生之疑.本节通过创设一定的教学情境，让学生感知周期现象，并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量的周期现象的实例，以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来寻找规律.
引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要，一开始不可要求学生机械地套用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素，每个学生都有着自己独特的体验，有了探索规律的过程，学生在面对新的现象或问题时，才能主动应用相关的策略，找到解决问题的方法.所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象，让学生放弃了自主探索、合作交流的机会，那才真是捡了芝麻丢了西瓜.
习题详解
习题1—1
1.解:由题意知钟摆的周期为T=1.8秒.
∵1分钟=1.8×33+0.6秒,又T=0.45,
∴钟摆在铅垂线的左边.
点拨:根据钟摆的周期,可知在第一、四个T钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个T钟摆在铅垂线的右边.
2.解:由题意,知钟摆的周期为T,则T=5,所以T=.
所以第三次经过M点需要-2=秒.
点拨:根据题意,求出质点的运动周期即可.
3.点拨:由摩天轮的转动周期,得8小时内转动24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐24×8×4=768人.
备课资料
一、周期现象
1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象.
地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在12小时以下才能开花，在一定范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类，很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.
2.流星雨是周期性的现象吗
流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名.
英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现，它不仅数量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母，1992年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩，流星数目达到每小时400颗以上.
天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现，极大日是10月8日，该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时120颗，其极大日一般接近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件，
Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.
天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日，通常22日是极大日，该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.
二、如何理解周期现象与三角函数的关系
我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化，即f(x+k)=f(x)时，函数y=f(x)是一个周期函数.
在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等.
三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.
传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.1.4.3
单位圆与诱导公式
整体设计
教学分析
本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.
诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.
在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.
本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.
三维目标
1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.
3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.
重点难点
教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.
思路2.在单位圆中，216°角的终边OP在第三象限内，将OP反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP，sin36°=M′P′，而MP与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课.
或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果：
sin＝sin＝，cos＝-cos＝-；
sin＝sin＝，cos＝-cos＝-,等等.
教师由此发问:观察角与角的关系会得到什么结论？把角、放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？
②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？
③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？
④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？
活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角、，思考分析它们的关系.
图1
教师与学生一起观察图1，∠MOP=,∠MOP′=,在直角坐标系的单位圆中，点P与点P′关于y轴对称，它们的坐标分别为(，)、(-，)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.
sin＝＝sin，cos＝-＝-cos.
这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b)和
点P′(-a,b)关于y轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即
sin(π-α)=sinα,
cos（π-α)=-cosα.
图2
有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即
sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα,
cos(-α)=cosα,cos(2π-α)=cosα.
图3
图4
同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即
sin(π+α)=-sinα,
cos（π+α)=-cosα.
图5
图6
通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性.
讨论结果:略.
应用示例
例1
求下列各角的三角函数值：
(1)sin(-);
(2)cos;
(3)cos(-).
活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.
解:(1)sin(-)=-sin=-sin(2π-)=-(-sin)=sin=
(2)cos=cos（π-)=-cos=-
（3)cos(-)=cos=cos（4π+π+)=cos（π+)=-cos=-.
点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：
sin(-)=sin(-2π+)=sin=.
变式训练
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos(-510°15′);
(2)sin(-).
解:(1)cos(-510°15′)=
cos510°15′=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868
2.
(2)sin(-)=sin(-3×2π)=sin=
例2
化简
活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n或奇数n或整数(此时需要分类讨论)n；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.
解:sin(-α-180°)=sin［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα,
cos(-180°-α)=cos［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα,
cos(180°+α)=-cosα,
sin(360°+α)=sinα.
所以，原式==1.
点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁.
变式训练
化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)
=cos(-45°)--sin45°+cos120°
=cos45°--+cos(180°-60°)
=---cos60°=-1.
3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2
003)=-1，求f(2
004)的值.
活动:解决本题的关键是寻求f(2
003)=-1与f(2
004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨.
解:f(2
003)=asin(2
003π+α)+bcos(2
003π+β)
=asin(2
002π+π+α)+bcos(2
002π+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asinα-bcosβ
=-(asinα+bcosβ),
∵f(2
003)=-1,∴asinα+bcosβ=1.
∴f(2
004)=asin(2
004π+α)+bcos(2
004π+β)
=asinα+bcosβ=1.
点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+bcosβ=1，它是联系已知和未知的纽带.
知能训练
课本练习1、2.
课堂小结
由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.
作业
课本习题1—4
4、5、6.
设计感想
本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题.
本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.
第2课时
导入新课
思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与+α或-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题.
思路2.通过计算猜想引入，让学生计算，，，的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.
sin=,cos=-,这里＝+,sin=,cos,这里＝+.
sin=,cos=,这里＝+，sin=,cos=,这里＝+.
猜想：sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
以下按两种思路来探究α与+α或-α的关系.
思路1.先得出α与-α的关系.
①先计算sin、cos、sin、cos的值(、、,)，你有什么猜想结论？
②怎样验证探究α与-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x对称的角，观察它们有什么样的位置关系？
③如何由α与-α的关系，得到α与+α的关系？
图7
活动:学生很容易得到如下猜想：cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角-α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，由于角α的终边与角-α的终边关于直线y=x对称，角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y,x)，于是，我们有
sinα=y,
cosα=x,
cos（-α)=y,
sin(-α)=x.
从而得到我们的猜想，也就是如下公式：
sin(-α)=cosα,cos（-α)=sinα.
教师进一步引导学生，因为+α可以转化为π-(-α).所以求+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得
sin(+α)=cosα,cos（+α)=-sinα.
讨论结果:①—③略.
思路2.先得出α与+α的关系.
图8
教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角+α的终边与单位圆交于点P1.由平面几何知识,可知Rt△OPM≌Rt△P1OM1，不难证明，点P1的坐标为(-b，a)，且a=cosα,
b=sinα.所以点P的横坐标cosα与点P1的纵坐标sin(+α)相等，即sin(+α)＝cosα.点P的纵坐标sinα与点P1的横坐标cos（+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式
sin(+α)=cosα,cos（+α)=-sinα.
教师进一步引导学生，因为-α=π-(+α)，所以求-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得
sin(-α)=cosα,cos（-α)=sinα.
至此，我们得到了任意角α的三角函数公式
sin(k·2π+α)=sinα，cos（k·2π+α)=cosα.
sin(-α)=-sinα，cos（-α)=cosα.
sin(π-α)=sinα，cos（π-α)=-cosα.
sin(π+α)=-sinα，cos（π+α)=-cosα.
sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα
sin(-α)=cosα,cos（-α)=sinα.
以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k∈Z)，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.
教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得角α的同名函数值；当k为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便.
应用示例
1.求下列函数值：
(1)sin(+);(2)sin(-);(3)sincos（-)+sincos.
活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.
解:(1)sin(+)＝sin(+)=cos=.
(2)sin(-)=-sin=-sin(8π+)＝-sin
=-sin(π+)=sin=
(3)sincos（-)+sincos=sin(π)cos+sin(2π-)cos(π+)
=sincos+(-sin)(-cos)
=×+×＝.
点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-)=sin(-10π+).以此活化学生的思路.
例2
化简：
活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的.
解:原式＝
=
==1.
点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.
变式训练
1.求sin(-870°)的值.
解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-.
解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-
点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：
sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-
2.已知cos(-α)=m(|m|≤1),求sin(-α)的值.
解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).
∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.
点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.
3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;
(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx
(1)证明:f(sinx)=f［cos(-x)］=cos［17(-x)］=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,
即f(sinx)=sin17x.
(2)解:f(cosx)=f［sin(-x)］=sin［n(-x)］=sin(-nx)
=
故所求的整数n=4k+1(k∈Z).
点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
知能训练
课本练习2
1—4.
课堂小结
先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”.
作业
1.课本习题1—4
A组7、8.
2.B组1、2、3.
设计感想
根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展.
首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行问题类比、方法迁移，猜想任意角α与±α的数量关系，进而借助单位圆探求出严格的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次.
备课资料
一、备用习题
1.sin(-)的值等于(
)
A.
B-
C.
D.-
2.已知sin(π+α)=，α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是(
)
A.
B-
C±
D.
3.cos(-660°)+sin(-330°)的值是
(
)
A.1
B.-1
C.0
D.
4.已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30°)的值为____________.
5.若α是三角形的一个内角，且cos(+α)=，则α=____________.
6.化简(1)(k∈Z);
(2)sin［］+cos［-α］(n∈Z).
7.若函数f(n)=sin(n∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=___________.
8.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，且α为第三象限角，
求的值.
参考答案:
1.A
2.A
3.C
4.-1
5.30°或150°
6.解:(1)当k为偶数时，原式==-1；当k为奇数时,同理可得，原式=-1，故当k∈Z时，原式=-1.
(2)原式=sin［nπ-(+α)］+cos［nπ+(-α)］.
①当n为奇数时，设n=2k+1(k∈Z)，
则原式=sin［2kπ+π-(+α)］+cos［2kπ+π+(-α)］
=sin(+α)-cos(-α)=cos(-α)-cos(-α)=0.
②当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，同理可得原式=0.
7.解析:∵sin=sin(+2π)=sin,
∴f(n)=f(n+12),
从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)
=2［f(1)+f(2)+f(3)］
=2+.
答案:2+
8.解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x=-,
∵-1≤x≤1,∴sinα=-,
又∵α为第三象限角，∴cosα=-=-.∴tanα=.
∴原式=
点评:综合运用相关知识解决综合问题.
二、关于数学公式的变形与数学公式的记忆
1.数学公式变形
学习数学，很多同学都对数学公式感到头痛，一是公式繁多，二是有些公式容易混杂，三是有的公式带有限制条件.要解决这些问题,最根本的一条，就是要通过对公式形式上形象化解读和公式内在含义的理解，从中发现记忆的规律，从而达到记忆的熟练和持续程度.对于数学公式,除简单加以应用之外,还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形.数学公式变形是中学数学教学的重要组成部分,是不可缺少的内容.数学公式变形应做到三有：即:变之有用,变之有规,变之有益.
公式变形的目的最终应体现在其实用的价值,一个公式的等价变形往往有多种,教学中应择其有用的变形,以提高应用公式的效能.数学公式变形的方法多种多样,揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意义的式子,因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理,或代换,或迭代,或取特殊值等等.公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽,而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点,充分体现数学公式的转化和简化功能,使学生深刻理解数学公式的本质.数学公式的学习方法是：书写公式，记住公式中字母间的关系；懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程；用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式；将公式中的字母想象成抽象的框架，达到自如地应用公式.
2.数学公式的记忆
确切的说应该是数学的记忆，数学记忆方法及相应的记忆能力应该是制约学习成功的重要因素之一.掌握科学而有效的数学记忆方法，尽快提升自己的数学记忆方法及相应能力已经成为众多学子们梦寐以求的理想及目标.譬如：本册的《三角函数》，内容多且易混淆，记忆负担重，学完新课之后，可以借助表格形式，将正、余弦及正切等函数的主要性质,如定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性、图像等整理成条理分明的图式，进而形成了一个明晰的三角公式的记忆系统.实践证明这种方法特别有效，同时节省了大量的学习时间，可以说，对于高中数学每章内容均可采用这种方法加以复习及记忆——这叫分类归纳，系统记忆法——这是指大的方面——数学记忆.
关于数学公式的记忆，可采用以下几种方法进行记忆：①串联记忆法.把一系列内容相关、相近的公式串联在一起进行记忆.②类比记忆法.如等差数列和等比数列中有许多公式，只要记住等差数列的一组，搞清等差等比的异同点，另一组也就容易记住了.③图形记忆法.如三角函数定义等.④形象记忆法.⑤歌诀记忆法.如本节的三角函数的诱导公式有好几组，学生很容易混淆.这些公式就可以用一句口诀来概括：“奇变偶不变，符号看象限.”在这句口诀中，有个前提必须牢记：将α视为锐角.1.5.1
正弦函数的图像
整体设计
教学分析
研究函数的性质常常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.
由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.
三维目标
1.通过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像.
3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.
重点难点
教学重点:正弦函数的图像.
教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是怎样的呢 回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么 是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线) 进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.
思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
有了上述实验,你对正弦函数的图像是否有了一个直观的印象 画函数的图像,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值 怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢 简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢
问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图像
活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x轴上标横坐标 为什么将单位圆分成12份 学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R时的图像了.
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细,画出的图像越精确.”),再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.
图1
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的图像与函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.
于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)
图2
讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图像.
②左、右平移,每次2π个长度单位即可.
提出问题
问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法.你认为哪些点是关键性的点
活动:对此问题,教师可引导学生从图像的整体入手观察正弦函数的图像,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.这五点如下:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.
讨论结果:略.
应用示例
例1
用五点法画出下列函数在区间［0,2π］上的简图:
(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.
活动:本例的目的是让学生会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图像的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=-sinx
0
-1
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3).
图3
(2)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).
图4
点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.
如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.
例2
画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.
活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图像并思考|sinx|的意义,发现只要将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图像.让学生尝试寻找在［0,π］上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.
解:按三个关键点列表:
x
0
π
sinx
0
1
0
y=|sinx|
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).
图5
点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.
变式训练
1.方程sinx=的根的个数为
(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=的图像与y=sinx的图像的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图像.如图6,从图中可看出,两个图像有7个交点.
图6
答案:A
2.用五点法作函数y=2sin2x的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是(
)
A.0,,π,,2π
B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,,,,
答案:B
知能训练
课本本节练习1.
课堂小结
以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.
1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图像上点坐标的
2.为什么将单位圆圆周12等分 有什么好处
3.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的
这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法之外,“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
课本习题1—5
A组1、2.
设计感想
1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图像的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地突破难点.
2.本节课所画的图像较多,能迅速准确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要准确地找到,然后迅速画出图像.
3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题.
备课资料
一、备用习题
1.用“五点法”画出下列函数的图像:
(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;
(2)y=+sinx,x∈［0,2π］.
2.如图7中的曲线对应的函数解析式是(
)
图7
A.y=|sinx|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sinx|
参考答案:
1.解:按五个关键点列表如下:
x
0
π
2π
y=2-sinx
2
1
2
3
2
y=+sinx
-
在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.
(1)如图8.
(2)如图9.
图8
图9
2.C
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.
由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
D
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),
观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数d=5+2.5sint,t∈［0,24)来近似地描
述这个港口这一天的水深d与时间t的关系,并画出简图(如图10).
图10
由此图或利用科学计算器,可以得到t取其他整数时d的近似值,从而把上表细化.
(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4
m,安全条例规定至少要有1.5
m的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3
m/h的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.
不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.正切函数的诱导公式
整体设计
教学分析
正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.
我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函数的诱导公式.
教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学生的内在潜能得以挖掘;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦.
三维目标
通过观察正切函数的图像,掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能,养成善于用数形结合的思想理解和处理问题;通过绘图,观察,类比推理,探索知识,能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式.
会用联系的观点看问题,激发学生的学习积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神,以及尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉,从而发现数学美,体验成功后的喜悦.
重点难点
教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.
教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和证明,提高解决综合问题的能力.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.
思路2.设置情景,先让学生计算tan,tan(-),tan,tan,tan,tan(它们分别是,-,-,,-,)的值.观察数值并猜想结论,然后通过正切函数图像进一步来验证,这种思路比较符合学生的思维特点,也是一种不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①计算:tan,tan(-),tan,tan,tan,tan(它们分别是,-,-,,-,),类比正弦、余弦函数的诱导公式,猜想角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.
②画出正切函数图像,如图1,类比正弦、余弦函数的诱导公式,观察归纳角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.
③角α与角±α有怎样的关系？
④类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？
⑤学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题？
活动:学生完成问题①的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像,以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数y＝tanx与y=tan(2π+x),y=tanx与y=tan(-x),y=tanx与y=tan(2π-x),y=tanx与y=tan(π-x),y=tanx与y=tan(π+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归纳得出正切函数以下的诱导公式:
图1
tan(2π+α)＝tanα;tan(-α)=-tanα;
tan(2π-α)＝-tanα;tan(π-α)＝-tanα;
tan(π+α)＝tanα.
我们可以验证,无论角α是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式:
tan(+α)=cotα;tan(-α)=cotα.
以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示:
要求学生熟记2π±α,-α,π±α,±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.
我们最熟悉的三角函数值是角在0°到90°之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,对于任一0°到360°的角β,有四种可能(其中α为不大于90°的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.
β=
应用示例
例1
若tanα=,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值.
活动:三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函数定义中点P的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯;然后由学生自己独立完成,必要时教师给予点拨.
解:∵tanα＝＞0,∴α是第一象限或第三象限的角.
(1)如果α是第一象限的角,则由tanα＝可知,角α终边上必有一点P(3,2).
所以x＝3,y＝2.
∵r＝|OP|＝,∴sinα＝＝,cosα＝＝.
(2)如果α是第三象限角,同理可得sinα＝＝-,cosα＝＝-.
点评:解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三角函数内容中显得尤为重要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法.
变式训练
(2007北京)已知cosθ·tanθ＜0,那么角θ是
(
)
Ａ.第一或第二象限角
Ｂ.第二或第三象限角
Ｃ.第三或第四象限角
Ｄ.第一或第四象限角
答案:C
例2
化简:.
活动:本例是应用正切函数诱导公式的基础题,解答此题时学生可能需要查看诱导公式,思考题中各个式子该用所学的哪个公式进行化简,教师提醒学生注意:对于诱导公式应当在理解的基础上记忆它,不要死记硬背公式,要让学生学会利用单位圆或图像来帮助记忆,待熟悉各个公式的作用后,选择最佳适用公式,迅速解题.
解:原式＝.
点评:化简三角函数式是三角函数中很重要的一种题型,其要求是:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数中不含三角函数;⑥次数尽量低.
3.求证:.
活动:本节作为三角函数诱导公式的最后一节课,应有巩固、总结、提高的成分,而且三角函数诱导公式的主要应用在于对三角函数式进行求值、化简与证明;对于利用诱导公式证明三角函数式,一般的思路是化简较繁的一边,使之等于另一边,当然也可以两边都化简,还有分析法等,教师提醒学生不要套用固定模式,要具体问题具体分析,灵活解题.本例还需用到正弦、余弦的诱导公式,可让学生自己探究解决.
证明:左边
=右边.所以,原式成立.
点评:解完此题后,教师与学生一起总结规律,证明三角函数恒等式,类型较多方法也较多,这里仅就常规通法略做练习,目的是熟练掌握三角函数的诱导公式,不必加大训练难度或加大题量.
变式训练
1.设tan(α+)=a,求:的值.
解法一:∵tan(α+)=tan［π+(α+)］=tan(α+)=a,
∴原式=
==
解法二:原式=
==.
2.已知tan(π-α)=a2,|cos(π-α)|=-cosα,求的值.
解:由tanα=-a2≤0,|cos(π-α)|=-cosα≥0即cosα≤0,可知角α的终边在第二象限或x轴的非正半轴上.若角α的终边在第二象限,即cosα＜0时,=;若角α的终边在x轴的非正半轴上,即a=0时,=-=1.
综合上述两种情况可得=.
点评:一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角α的终边在x轴的非正半轴上的情形.而由于tanα存在,这就决定了角α的终边不在y轴上,即cosα不为零.本题很容易得到以下错解:
∵tan(π-α)=a2,∴tanα=-a2＜0.
∵|cos(π-α)|=-cosα＞0,∴cosα＜0.∴α是第二象限角.
又cos(π+α)=-cosα==,
∴=.
知能训练
课本本节练习1-4.
课堂小结
让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式.要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式.
作业
课本习题1—6
A组8、10.
设计感想
本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念.
本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.
备课资料
备用习题
1.若tan(π+α)＝-2,则tan(3π-α)的值为(
)
A.2
B.±2
C.0
D.-2
2.sin600°+tan240°的值是(
)
A.
B.-
C.
D.-
3.若tan(-α)=-5,则tan(+α)的值是
(
)
A.5
B.-5
C.±5
D.不确定
4.化简.
5.化简(n∈Z)所得的结果是(
)
A.tannα
B.-tannα
C.tanα
D.-tanα
6.已知f(α)=.
(1)求f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos(α-)=,求f(α)的值;
(3)若α=-1
860°,求f(α)的值.
参考答案:
1.A
2.C
3.A
4.解:∵cot(-α-180°)=cot［-(180°+α)］=-cot(180°+α)=-cotα,
sin(-180°-α)=sin［-(180°+α)］=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα,
∴原式==sinα.
5.C
6.解:(1)f(α)==-sinα;
(2)由题意知sinα=-,由(1)的结果,所以f(α)=;
(3)根据(1)的结果知,
f(-1
860°)=f(-6×360°+300°)=-sin(-6×360°+300°)=-sin300°=sin60°=.2.3.2平面向量基本定理
整体设计
教学分析
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.
三维目标
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
重点难点
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a.是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢？
思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？
推进新课
新知探究
提出问题
①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢
图1
②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.
活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a..过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA.交于点M;过点C作平行于直线OA.的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.由于=+,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a.都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.
由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.
由此可得:平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a.=λ1e1+λ2e2.
定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不唯一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a.在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式唯一.
讨论结果:①可以.
②a=λ1e1+λ2e2.
提出问题
①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:
图2
已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a.与b的夹角.
显然,当θ=0°时,a.与b同向;当θ=180°时,a.与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.
如果a与b的夹角是90°,我们说a.与b垂直,记作a.⊥b.
由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a.,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.
在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.
讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间\[0°,180°\]内;向量与直线的夹角不一样.
②可以.
应用示例
思路1
例1
如图3,ABCD中,=a.,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a.,b为基底分解向量与
图3
活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.
解:由H、M、F所在位置,有
=+=+=+=b+a..
=-=+-=+-
=+-
=a-b
点评:以a.、b为基底分解向量与,实为用a.与b表示向量与.
变式训练
已知向量e1、e2(如图4),求作向量-2.5e1+3e2.
图4
作法:(1)如图,任取一点O,作
=-2.5e1,=3e2.
(2)作OACB.
故就是求作的向量.
例2
如图5,质量为10kg的物体a.沿倾角θ=30°的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力和支持力.(g=10m/s2)
图5
解:物体受到三个力:重力,斜面支持力,滑动摩擦力.把重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力.因为物体做匀速运动,所以=-,=-.
因为||=10(kg)×10(m/s2)=100(N),
||=||·sin30°=100×=50(N)，
||=||·cos30°=100×=50(N),
所以||=||=50N,||=||=50N.
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N,方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50N,方向与斜面垂直向上.
例3
下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(
)
A..①②
B.②③
C.①③
D.①②③
活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.
解析:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案:B
点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.
变式训练
(2007上海春季高考,13)
如图6,平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若=a.+b,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a.、b满足.(
)
图6
A.a.＞0,b＞0
B.a.＞0,b＜0
C.a.＜0,b＞0
D.a.＜0,b＜0
解析:∵点P落在第Ⅲ部分,
∴在直线上的分向量与同向,在直线上的分向量与反向.∴a.＞0,b＜0.
答案:B
思路2
例1
如图7,M是△A.BC内一点,且满足条件+2+3=0,延长CM交A.B于N,令=a.,试用a.表示.
图7
活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:
推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a.1,a.2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则
解:∵=+,=+,
∴由+2+3=0,得(+)+2(+)+3=0.
∴+3+2+3=0.又∵A.、N、B三点共线,C、M、N三点共线,
由平行向量基本定理,设=λ,=μ,
∴λ+3+2+3μ=0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.
由于和不共线,∴.∴
∴=-=.∴=+=2=2a.
点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.
变式训练
设e1与e2是两个不共线向量,a.=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.
解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.
又λa+μb=5e1-e2.
由平面向量基本定理,知
解之,得λ=1,μ=-1.
例2
如图8,△A.BC中,A.D为△A.BC边上的中线且A.E=2EC,求及的值.
图8
活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.
解:设=λ,=μ.
∵=,即-=-,
∴=(+).
又∵=λ=λ(-),
∴==+.①
又∵=μ,即-=μ(-),
∴(1+μ)=+μ,=+.
又=,∴=+.②
比较①②,∵、不共线,
∴解之,得
点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.
变式训练
过△OA.B的重心G的直线与边OA.、OB分别交于P、Q,设=h,=k,试证:=3.
证明:设=a.,=b,OG交A.B于D,则=(+)=(a.+b)(图略).
∴==(a+b),=-=(a.+b)-kb=a+b=-=ha-kb.
∵P、G、Q三点共线,∴=λ.
∴a+b=λha.-λkb∴
两式相除,得k+h=3hk,
∴=3.
知能训练
已知G为△A.BC的重心,设=a.,=b,试用a.、b表示向量.
图9
解答:如图9,=,
而=+=+=a+(b-a)=a+b,
∴==(a+b)=a.+b.
点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.
作业
课本习题2—35、6.
设计感想
1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.
2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
备课资料
一、三角形三条中线共点的证明
如图13所示,已知在△A.BC中,D、E、L分别是BC、CA.、A.B的中点,设中线A.D、BE相交于点P.
图13
求证:A.D、BE、CL三线共点.
分析:欲证三条中线共点,只需证明C、P、L三点共线.
证明:设=a.,=b,则=b,=-=-a+b.
设=m,则+=m(+),
=(-1+m)+m=(-1+m)a.+m[(b-a)]=(-1+m)a+mb.①
又设=n,则-=n(+),
∴=(1-n)+n=-(1-n)a+n(b-a.)=(--n)a+nb.②
由①②，得解之,得
∴=-a+b=(-a.+b)=
∴C、P、L三点共线.∴A.D、BE、CL三线共点.
二、备用习题
1.如图14所示,已知=,=,用、表示,则等于(
)
图14
A..+
B.-+
C.--
D.-
2.已知e1,e2是两非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若c=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则|c|的最大值为(
)
A..λ1m+λ2n
B.λ1n+λ2m
C.|λ1|m+|λ2|n
D.|λ1|n+|λ2|m
3.已知G1、G2分别为△A.1B1C1与△A.2B2C2的重心,且=e1,=e2,=e3,则等于(
)
A..(e1+e2+e3)
B.(e1+e2+e3)
C.(e1+e2+e3)
D.-(e1+e2+e3)
4.O是平面上一定点,A.、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(),λ∈［0,+∞),则P的轨迹一定通过△A.BC的(
)
A..外心
B.内心
C.重心
D.垂心
5.已知向量a.、b且=a.+2b,=-5a.+6b,=7a.-2b,则一定共线的三点是(
)
A..A.、B、D
B.A.、B、C
C.C、B、D
D.A.、C、D
6.(2007浙江高考,15)如图15,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=23,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为__________________.
图15
参考答案:1.B
2.C
3.B
4.B
5.A.
6.62.1
从位移、速度、力到向量
整体设计
教学分析
1.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗 速度、加速度是向量吗 ”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢 一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.
3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢 由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.
4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.
三维目标
1.通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.
重点难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
图1
思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1) 学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究.
思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.
②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么
③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里
活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移；实例（2）反映的也是物理量——位移：假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家2
000
m，从家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向移动了2
000
m；实例（3）反映的是物理量——速度：飞机向东北方向飞行了150
km，飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h，方向是东北；实例（4）反映的也是物理量——速度：某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35m/s；最后两个实例反映的是物理量——力：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起；汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引力大小为F(N)，方向倾斜向上，与水平方向成θ角.
我们身边这样的实例很多，可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质.例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.
教师与学生一起归纳总结以上实例：位移、速度和力等这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”．只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题，矢量与标量是完全不同的两个量.
铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量.在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量.
讨论结果：①—③略.
提出问题
①在数学中，怎样表示向量呢
②什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么
③怎样定义零向量？怎样定义单位向量
④满足什么条件的两个向量叫作相等向量
⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系
⑦什么是向量的模？
活动：教师指导学生阅读教材，并思考讨论以上问题，特别是有向线段，这是学习向量的关键.我们知道，在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小.
图2
这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”.一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段（如图2)，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范：印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面,即是说的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
图3
如图3，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向，由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小，像a＞b就没有意义,而|a|＞|b|就有意义.
理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可.
讨论结果：①用字母a,b,c,…表示向量（印刷用粗黑体表示），手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,.
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
图4
③长度为0的向量叫零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
⑤关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行，记作a∥b∥c.如图4.
图5
又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦||〔或|a|表示向量(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.
应用示例
例1
如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB,
BC,
AC的中点．在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,
图6
(1）找出与向量相等的向量;
(2）找出与向量共线的向量.
活动：教材安排本例的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决.
解：由初中所学三角形中位线定理不难得到:
(1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量相等的向量有：和;
(2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有：.
变式训练
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
图7
(1)ABCD中,与是共线向量;
(2)单位向量都相等.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评：本题考查基本概念,对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB∥CD,所以，∥.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
例2
一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
图8
活动:本例是一个简单的实际问题,让学生画出有向线段表示位移.本例目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解：根据题意画出示意图,如图8所示.
||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.∴||=100m,即此人从C点返回A点所走的路程为100m.
∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
点评：位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图8,由A点确定B点、C点的位置.
例3
如图9,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与相等的量.
图9
活动：本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解:
==;=;.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.
变式训练
(演示课件)
1.本例变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
本例变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
本例变式三：与向量共线的向量还有哪些？（）
2.对命题“a∥b∥c推出a∥c”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下:甲生判断是真命题.理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反,由b∥c可知c与b的方向相同或相反,从而有a与c的方向相同或相反,故a∥c,即原命题为真命题；乙生判断是假命题.理由是：当两个非零向量a,c不平行,而b=0时,显然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此时结论不成立,即原命题为假命题.究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析.
解:乙的判断正确.
由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论,所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在.甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况,故甲生的判断是错误的;乙生的判断完全正确.这说明向量平行的传递性若要成立,则“过渡”向量b需不为零向量,即在b≠0时有:
(1)当a≠0,b≠0时,由a∥b,b∥c可推出a∥c;
(2)若a与c中有一个为0,则另一个向量无论是否为0,均可推出a∥c.
4(1)下列命题正确的是(
)
?A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
?B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点
?C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
?D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以只有C正确.
答案:C
点评：对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可.要启发学生注意正反这两方面的结合.
变式训练
1.判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
2.把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个点
D.一个圆
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一个点
B.两个点
C.一个圆
D.一条线段
答案：1.略
2.D
3.B
知能训练
课本本节练习1、2、3
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
2.再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3.点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益.
作业
如图10,在梯形ABCD中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O是AC与BD的交点,
求证:.
图10
证明：如图10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.
又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,
∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.
同理,OF∥DC,∴E,O,F在同一直线上.
∴.∴EO=OF,
即||=||.
又与方向相同,∴=.
设计感想
1.本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点.本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识,学生有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的.
2.本教案设计充分利用向量的物理背景.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机.通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础.
3.本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念,设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材.
备课资料
一、向量中有关概念的辨析
1.数量、向量、有向线段
对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题.数量只有大小,没有方向,其大小可以用实数来表示,它是一个代数量,数量之间可以比较大小;向量既有大小又有方向,向量之间不可以比较大小;有向线段是向量的直观性表示,不能说向量就是有向线段.
2.平行向量、共线向量、相等向量
平行向量也叫共线向量,故平行向量与共线向量没有区别,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件.
二、备用习题
1.若正多边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,…an,则这n个向量(
)
图16
A.都相等
B.都共线
C.都不共线
D.模都相等
2.如图16所示,在△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有…(
)
A.一组
B.二组
C.三组
D.四组
3.若命题p为a=b,命题q为|a|=|b|,则p是q的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不必要又不充分条件
4.如图17所示,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量相等的是(
)
图17
A.与
B.与
C.与
D.与
5.已知a,b是任意两个向量,有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为__________.(把你认为正确的命题序号全都填上)
6.如图18所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
图18
(1)写出与相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
7.判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等;②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为?(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
参考答案:1.D
2.C
3.A
4.D
5.②③④
6.解:(1)与相等的向量有和,因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,故AB=ED=DC;
(2)向量的模||=6.
7.C
因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题.三角函数的简单应用
整体设计
教学分析
我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的?应用.?
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决?问题.?
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？?它到?底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,?来探?究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的 又是怎样解决实际问题的
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么
③上述的数学模型是怎样建立的 解决实际问题的一般程序是什么
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模?型→求?解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下
的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法.
③解决实际问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
提出问题
在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢 周期函数的类型是否发生了改变 比如:两个正弦电流i1=3sin(100πt+),i2=4sin(100πt-)合成后是否仍是正弦电流呢 类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的
活动:函数y=A1sin(ω1x+θ),y=A2sin(ω2x+φ)叠加后,即函数y=A1sin(ω1x+θ)+A2sin(ω2x+φ)是否仍是正弦型函数呢 若不是,需满足怎样的条件
讨论结果:一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如:y=sinx+cosx,y=sin2x+cosx,y=sinx+cosx,y=3sinx+4cosx,y=sinx+cos3x,观察这些函数的图像,得出y=asinω1x+bcosω2x仍是正弦型函数的条件.
二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数y=asinx+bcosx与化简后的正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,初相与a,b的联系.
三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如:先依据你猜测的函数类型,借助图形计算器或软件中测量等工具猜测出函数y=sinx+cosx解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它是否与y=sinx+cosx的图像完全吻合.
四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与y=asinx+bcosx中a,b的关系,得出三角式asinx+bcosx的化简公式,这个公式在正弦电流,声波和光波的合成中经常用到.
五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系.
六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相.
应用示例
例1
如图1,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目已经给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)?小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6)?,通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20
℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的?图像,?
∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.
∵·=14-6,
∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
点评:本例中所给出的一段图像实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例2
(2007全国高考)函数y=|sinx|的一个单调增区间是(
)
A.(-,)
B.(,)
C.(π,)
D.(,2π)
答案:C
例3
水车问题.
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图2是一个水车工作的示意图,它的直径为3
m,其中心(即圆心)O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是min.在水车轮边缘上取一点P,点P距水面的高度为h(m).
图2
(1)求h与时间t的函数解析式,并作出这个函数的简图.
(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响
活动与解答:不妨设水面的高度为0,当P点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.显然,h与t的函数关系是周期函数的关系.
如图2,设水车的半径为R,R=1.5
m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2
m;∠QOP为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=(min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω,ω==rad/s.
为了方便,不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时(t=0),在t时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP=α=ωt=t(rad).
过P点向水面作垂线,交水面于M点,PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线,交PM于N点,∠QON为φ.
从图中不难看出:
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①
这是一个由三角函数确定的数学模型.
从图中可以看出:sinφ=,所以φ≈53.1°≈0.295π
rad.
把前面已经确定了的参数α,φ,R和b代入①式,我们就可以得到
h=1.5
sin(t-0.295π)+1.2(m).②
这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.
因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),
此时t=≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图3):
t
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2
1.2
2.7
1.2
-0.3
1.2
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.
点评:面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.
知能训练
1.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,Ia=Isinωt,Ib=Isin(ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°).则Ia+Ib+Ic=___________.
答案:0
2.图4是一个单摆的振动图像,据图像回答下列问题:
图4
(1)单摆振幅多大;
(2)振动频率多高;
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(5)若当g=9.86
m/s2,求摆线长.
解:结合函数模型和图像:
(1)单摆振幅是1
cm;
(2)单摆的振动频率为1.25
Hz;
(3)单摆在0.6
s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值;
(4)单摆在0.4
s时在正向最大位移处,首次具有加速度的最大负值;
(5)由单摆振动的周期公式T=2π,可得L==0.16
m.
点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图像建立解析式,根据解析式作出图像,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
作业
图5表示的是电流I与时间t的函数关系I=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)在一个周期内的图像.
图5
(1)根据图像写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),
∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.
解得ω=100π,φ=.∴I=300sin(100πt+).
(2)依题意有T≤,即≤,
∴ω≥200π.故ωmin=629.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起学生相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.
备课资料
一、备用习题
1.图8是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可写成(
)
图8
A.sin(1+x)
B.sin(－1－x)
C.sin(x－1)
D.sin(1－x)
2.函数y＝x+sin|x|,x∈[－π,π]的大致图像是图9中的(
)
图9
3.一束光线与玻璃成45°角,穿过折射率为1.5,厚度为1
cm的一块玻璃,那么光线在玻璃内的行程是多少 (折射率=,其中α为入射角,β为折射角)
参考答案:
1.D
2.C
3.解:如图10所示,α=45°,
∴1.5=,得sinβ=,cosβ=0.881
9.
而cosβ=,
∴AB=1.134(cm),
即光线在玻璃中的行程为1.134
cm.
图10
二、驾驭着波峰的数学
如果你是冲浪运动员,你知道有时难以预料何时浪会升起.有时浪在岸边完整地出现,但是当你进入水中时,它已经消失了,因此你就得等待完整波的到来,有时似乎要好几小时.在另外一些时候,完整波一个接一个地来到,可有许多个供你选择.不用说,波理论和波活动性是一个复杂的系统,许多因素影响着和创造着海浪.风、地震、船的尾波,当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力,都扰动着海洋,使海浪在水面上行动.当有多重的扰动或因素互相作用时,这些波动形式多少有点随机性.19世纪初,对海浪在数学上开展了很多研究.在海上和受控制的实验室中所作的观测,帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克,弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论.在他的观测中,他记录着波中水粒是如何做圆周运动的.位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同,位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反.在水面上,每一水粒都沿着圆形轨道运动,然后回到原位.圆的直径被发现等于波的高度.水的整个深度中水粒都在生成圆,但水粒愈深,它的圆愈小.事实上,人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的的深度,圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半.
因为波浪与这些圆周运动的水粒有关,并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关,这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了.但是人们发现,波浪既不是严格的正弦曲线,也不是任何别的纯粹的数学曲线.水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已.今天研究波浪时,用到了概率,统计学这些数学工具.人们考察了大量小波,并依据所收集到的数据提出预测.1.4.1
任意角的正弦、余弦函数
1.4.2
单位圆与周期性
整体设计
教学分析
从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的变革.要使这次认知结构的变革在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系.因此,准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的.
在初中，学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.
本节教材的安排是以锐角三角函数为引子.由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆.利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.在三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.
关于单位圆与周期性，教材上是根据在单位圆中，任意角的正弦、余弦函数定义得到周期函数的特征，然后通过分析两个等式直接下了定义.这样定义对学生来说来得有些突然，且没有应用例子.这样的效果使学生仅仅知道了周期函数及最小正周期的定义而不会应用，而定义的应用在好多的代数试题中有所涉及.因此，本教案设计时加了一个例题和两个变式训练，难度不大，算是抛砖引玉.同时,周期性作为函数的重要性质之一，在备课资料中做了扩展，以供学生课余时间进一步探究时查询，为学生的进一步探究提供一个跳板.以上内容在设计时都遵循了由易到难，由特殊到一般，由具体到抽象的认知规律，以便于学生接受并培养学生灵活运用知识的能力.
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,教学时尽可能的利用信息技术，帮助学生更好地理解正弦、余弦函数的本质，激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学效果.
三维目标
1.通过回忆初中锐角的正弦函数定义，理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义，熟练记忆正弦、余弦函数值在各象限的符号；掌握周期函数的概念及最小正周期的意义.
2.通过本节课的学习，使学生对正弦、余弦函数的概念有一个全新的认识，对本章第一节的周期现象有了具体的定量的分析；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学生的学习积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力.
重点难点
教学重点：任意角的正弦、余弦函数定义及正弦、余弦函数值在各象限的符号；周期函数、最小正周期.
教学难点：对任意角的正弦、余弦函数定义的深刻理解及周期函数的概念.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.教科书在定义任意角的正弦、余弦函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数，引入弧度的概念后的三角函数的写法.因此教师可先让学生看教科书上的三角函数初中定义，回忆锐角三角函数概念，借助于直角三角形表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的正弦、余弦奠定基础并引入单位圆，由此展开新课.
思路2.设疑引入，我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①复习初中锐角三角函数定义(多媒体投影)可问:sinα=________,cosα=____________
②阅读课本，理解什么是单位圆.
③将锐角α放到直角坐标系中，其正弦、余弦函数又是怎样的呢？
④类比初中三角函数的定义，利用单位圆可否把锐角三角函数推广到任意角的三角函数呢？
⑤当角α的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角α的正弦、余弦函数值的正负号分别是什么？
活动:我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数.教师与学生一起探究，在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值:sinα＝.然后设问：把角放到平面直角坐标系中，我们来看看会是什么情况呢？如图1在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆.给定一个锐角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则点P的纵坐标v是角α的正弦函数值，横坐标u是角α的余弦函数值,即sinα＝v,cosα＝u.
图1
由图1可知，当α＝0时,sin0=v=0,cos0=u=1；
当α＝时，sin=v=1,cos=u=0.
这样就得到定义在［0,］上的角α的正弦函数v=sinα和余弦函数u＝cosα.
以上显然不能包含所有的角，但是，我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数
一般地，如图2所示，在直角坐标系中,给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数,记作v=sinα；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数,记作u=cosα
图2
通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值.这样,我们就定义了任意角的三角函数y=sinx和y=cosx.它们的定义域为全体实数，值域为［-1,1］.
利用课件出示图3，教师引导学生观察，当角α的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角α的正弦、余弦函数值的正负号的情况.教师要让学生自己思考探究，确切理解正弦、余弦函数值在各象限的符号情况，并指导学生记忆自己的探究所得.
图3
正弦、余弦函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号,取决于u,v的符号.当点P在第一、二象限时,纵坐标y＞0;点P在第三、四象限时,纵坐标y＜0.所以,正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示).同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的,即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
教师指导学生将自己的思考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用.
象限函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα
cosα
在指导学生思考探究过程中，教师应点拨学生注意一些问题：尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数，但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到，用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数，不仅简单、方便，而且反映本质，这也是数形结合的充分体现，思考时注意领悟.
教师还可以引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么 特别注意α既表示一个角,又表示一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.特别指出的是：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，因此sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“cos”是没有意义的.利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域,对于正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域是R.
讨论结果:略.
提出问题
①观察图4，根据以上知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？
②怎样定义周期函数？
③怎样确定最小正周期？
图4
活动:教师引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点:我们知道,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系呢 点拨学生从角的终边的关系到角之间的关系,再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z；
终边相同的角的余弦函数值相等，即cos
(2kπ+x)=cosx,k∈Z.
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.生活中有许多周期性变化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化也呈周期性变化.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ
(k∈Z)为正弦函数、余弦函数的周期.例如，-4π,-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦、余弦函数正周期中最小的一个(可以证明)，称为最小正周期.
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内地任意一个x值，都有
f(x+T)=f(x)
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.
特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期.
讨论结果:①—③略.
应用示例
思路1
例1
在直角坐标系的单位圆中，α＝-，
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(3)求出角α的正弦、余弦函数值.
图5
活动:教师引导学生画出单位圆，充分利用任意角的定义.教师要留给学生一定的时间,让学生自己独立思考解决，可适时点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意角α的任意性.
解:(1)如图5，以原点为角的顶点，以x轴正半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P,α=∠MOP=-，即为所求作的角.
(2)由于α=-，点P在第四象限，所以点P的坐标为(,-).
(3)根据任意角的三角函数定义,易得sin(-)=-,(-)=.
点评:本例的目的是让学生熟悉角与单位圆的关系，巩固并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数形结合的思想解题.
变式训练
求的正弦、余弦值.
图6
解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图6.
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-).
所以sin=-,cos=.
例2
已知角α的终边在直线y＝-3x上，求10sinα+的值.
活动:教师可让学生独立思考这一题目，本题虽然看似简单，但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要指出其思路的不正确性,并适时的点拨学生应该怎样组织步骤.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=|k|.
(1)当k＞0时，r=k,α是第四象限角，
sinα===-,
===,
∴10sinα+=10×(-)+3=-3+3=0;
(2)当k＜0时，r=-k,α为第二象限角，
sinα===,===-,
∴10sinα+=10×+3×(-)=3-3=0.
综合以上两种情况均有10sinα+=0.
点评:本题的解题关键是要清楚当k＞0时，P(k,-3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k＜0时，P(k,-3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限，这与角α的终边在y=-3x上是一致的.
思路2
1.求证:当且仅当不等式组成立时,角θ为第三象限角.
活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道：任意角的正弦、余弦函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y＞0,点P在第三、四象限时,纵坐标y＜0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的.
证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
因为①sinθ＜0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上.
又因为②式cosθ＜0成立,所以θ角的终边可能位于第二或第三象限或x轴的负半轴上.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.
于是角θ为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.
例2
求下列三角函数值：
(1)sin390°;(2)cos.
活动:教师引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点:我们知道,终边相同的角相差2π的整数倍,这些角的同一三角函数值是相等的.教师可引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.
解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=
(2)cos=cos(2π+)=cos=-.
点评:本题主要是巩固任意角的正弦、余弦函数的意义，让学生体会三角函数值的符号只与角的终边所在象限有关，与角的大小没有关系.
例3
已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8).
活动:教师引导学生充分利用f(x＋3)＝f(x)，这个等式说明3即是函数f(x)的周期，同时引导学生回顾奇函数的定义.本例可由学生独立解决，教师适时地点拨.
解:由题意,知3是函数f(x)的周期，且f(-x)＝-f(x),
所以f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(-1＋3)＝f(-1)＝-f(1)＝-2.
点评:巩固周期函数的定义，体会周期的初步应用.
变式训练
设f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.
解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0,
f(4)=sin=-,f(5)=sin=-,f(6)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,
∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.
同理,f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.
知能训练
课本练习1、2、3、4.
课堂小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域.任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°—360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.
作业
课本习题1—4
A组1-5.
设计感想
1.关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为如此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握.
2.教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.
备课资料
备用习题
1.角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0),则cosα的值是(
)
A.
B.
C.±
D.±
2.已知f(x)为奇函数，且f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时，f(x)=2x,则f(23)的值为__________.
3.(2006山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
4.已知函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(-1)=a,则f(7)=________________.
参考答案:
1.D
2.-
3.B
4.-a
