1.1
周期现象
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.月球围绕着地球转,月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗?
解析:由月球的运动规律,可知是周期性变化.
2.走路时,我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动,那么,手臂的周期摆动满足什么规律呢?
解:如图所示,以ON代表手臂的垂直位置,当手臂摆动到OP位置,设θ=∠PON为摆动的幅角,而y为P点离开直线ON的水平距离,r为手臂的长度,根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
3.列举自然界中存在的周期性现象.
答案:自然界中存在的周期现象有:太阳的东升西落;月亮的圆缺;春、夏、秋、冬的变化等.
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是(
)
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解:①f(x+T)=x+T≠x,T≠0;②f(x+T)=2x+T≠2x=f(x);③f(x+T)=1=f(x);④设T是任意一个有理数,那么当x是有理数时,x+T也是有理数;当x为无理数时,x+T也是无理数,就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0,因此在两种情况下,都有f(x+T)=f(x).
答案:C
2.今天是星期一,158天后的那一天是星期几
解:∵158=7×22+4,而今天是星期一,
∴158天后的那一天是星期五.
3.我们选定风车轮边缘上一点A,点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗?
答案:是周期性的.
4.已知f(x)是奇函数,且满足f(x+1)=,若f(-1)=1,(1)求证:f(x+4)=f(x);(2)求f(-3).
(1)证明:∵f(x+2)=,
∴f(x+4)==f(x).
(2)解:∵f(x)是奇函数,
∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.
解:由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1).
又f(x+3)=f(x),故f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.下列现象是周期现象的有(
)
①太阳的东升西落
②月亮的圆缺
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:D
2.有以下现象:①鸟类的迁徙;②单摆的简谐振动;③交流电的电压变化规律;④化学元素的性质.其中是周期现象的有____________.
答案:①②③④
3.已知f(x+1)=-f(x),求证:f(x+2)=f(x).
证明:f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x).
4.已知f(x+2)=,求证:f(x+4)=f(x).
证明:f(x+4)=f[(x+2)+2]==f(x).
5.求证:若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于x=a对称,且关于x=b对称,则f[x+2(b-a)]=f(x).
证明:设x是任意一个实数,因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,故f(a+x)=f(a-x).同理,f(b+x)=f(b-x).
于是f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)]=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),即f[x+2(b-a)]=f(x).
6.设f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2+4,求x∈[1,2]时,f(x)的解析式.
解:令x∈[-3,-2],则-x∈[2,3],从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].
令x∈[1,2],则x-4∈[-3,-2],有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.
即当x∈[1,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4.
7.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=1对称,对任意的x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
(1)设f(1)=2,求;
(2)证明f(x+2)=f(x).
(1)解:由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1],
故f(1)=f(+)=f()·f()=?[f()]2=2.
∴.
f()=f(+)=[f()]2=,即f()=.
(2)证明:由y=f(x)关于直线x=1对称,得
f(x)=f(1+1-x),f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x),故f(-x)=f(2-x),即f(x)=f(2+x).
8.我们选定自行车车轮边缘上一点A,车轮的中心记为O,OA与竖直方向的夹角记为α,当自行车沿直线做匀速运动时,变量α随时间t的变化是周期性的吗?
解:由其运动规律可知是周期性的.1.1
周期现象与周期函数
自主广场
我夯基
我达标
1.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是(
)
A.80°
B.-80°
C.960°
D.-960°
思路解析:分针转过的角是负角.
答案:D
2.给出下列四个命题:①-15°是第四象限的角;②185°是第三象限的角;③475°是第二象限的角;④-350°是第一象限的角,其中正确命题的个数是(
)
A.1B.2C.3D.4
思路解析:将题中的角化成α+k·360°(k∈Z),α在0°—360°之间的形式,并结合图形即可判断出来.
答案:D
3.与-457°角终边相同的角的集合是(
)
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
思路解析:可用特殊值法去研究,也可用定义去分析解决,还可用排除法.
方法一:∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
方法二:因为-457°角与-97°角终边相同,又-97°角与263°角终边相同,所以-457°角应与k·360°+263°角终边相同,故应选C.
方法三:由于-457°角与-97°角终边相同,易知应排除A、B、D,故选C.
答案:C
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于(
)
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
思路解析:在集合A中,令k取不同的整数,找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2,验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案:C
5.如果α与x+45°具有相同的终边,角β与x-45°具有相同的终边,那么α与β间的关系是(
)
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
思路解析:利用终边相同的角的关系,分别写出α、β,找出它们的关系即可.由题意知,α=k·360°+x+45°,k∈Z,β=n·360°+x-45°,n∈Z,则α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)
∈Z.
答案:D
6.(2005全国高考卷Ⅲ,理1)已知α为第三象限角,则所在的象限是(
)
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
思路解析:利用不等式法和八卦图法均可解决.
答案:D
7.已知-180°<α<180°,7α的终边又与α的终边重合,求满足条件的角α的集合.
思路分析:7α与α相差360°的整数倍,由此确定符合条件的角的集合.
解:由题意得7α=α+k·360°,得α=k·60°,k∈Z.
令-180°<k·60°<180°,∴-3<k<3.
∴α=-120°,-60°,0°,60°,120°,
∴满足条件的角α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°}.
8.今天是星期一,158天后的那一天是星期几
思路分析:每个星期,从星期一、星期二,一直到星期日共是7天,呈现出周期性,故求158被7除的余数即可.∵158=7×22+4,而今天是星期一,∴158天后的那一天是星期五.
答案:星期五.
我综合
我发展
9.若α是第一象限的角,则180°-α是第____________象限的角.
思路解析:利用不等式法判断.
∵α是第一象限的角,
∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z.
∴-k·360°+90°<180°-α<-k·360°+180°,k∈Z,画图知,180°-α是第二象限的角.
答案:二
10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z},N={α|α=k·180°-45°,k∈Z},试求M、N之间的关系.
思路分析:由于集合M、N中的角都与k·180°有关,故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来,再求解.
解:集合M、N所表示的角的终边分别如图1-(1,2)-6甲和图乙所示:
图1-(1,2)-6
由图可知NM.
11.若θ角的终边与168°角的终边相同,求在[0°,360°)内终边与角的终边相同的角.
思路分析:先写出与168°角终边相同的角,再找在[0°,360°)内的角.
解:θ=k·360°+168°(k∈Z),
∴=k·120°+56°(k∈Z).
令0°≤k·120°+56°<360°(k∈Z),则k=0,1,2,
∴在[0°,360°)内与终边相同的角有56°,176°,296°.终边相同角的妙用
所有与角终边相同的角,连同角本身组成一个集合,记为,利用它可以解决许多与终边相同角有关的问题。
1.判断角所在的象限
例1
已知角的终边与角终边相同,则和分别是第几象限角?
解析:利用终边相同角的表示方法将角表示出来,然后求出和,在将他们化归到的形式,根据其所在的象限判断。
因为角的终边与角终边相同,则有。
所以是第二象限角,则是第二象限角。
又,
当时,则有是第一象限角,则是第一象限角;
当时,则有是第二象限角,则是第二象限角;
当时,则有是第三象限角,则是第三象限角。
2.判断多角终边相同
例2
下列各组角中,终边相同的是(
)
(A)
与
(B)
-与
(C)
与-
(D)
与-
解析:终边相同的角相差的倍。只有B中的。故选B。
3.判断集合间的关系
例3
若集合
,则(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:从集合中元素的形式入手,结合终边相同角的形式分析,找到解题突破口。
M中角的形式是,因此可分成两类:一类是,这一类角终边落在直线上,另一类是
,这一类角终边落在直线上,这样集合M是终边落在直线上的角的集合。
N中角的形式是,因此可分成两类:一类是,这一类角终边落在直线上,另一类是,这一类角终边落在直线上。经过以上的分析知。故选C。
PAGE终边相同的角的表达式的应用
对于角的终边相同的角的表达式要注意以下几点:①研究终边相同的角的前提条件是,角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合;②表达式的特点:k为整数,α为任意角;③k·360与之间有“+”连结;④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;⑤终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍.下面就终边相同的角应用举例说明.
一﹑确定角的位置
例1已知=-800,试确定解所在象限.
解:由-800=-1080+280=-3×360+280,
∴-800与280的终边相同,而280在第四象限,
∴在第四象限.
例2角=45+k·180,k∈Z的终边落在(
)
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
解:当k=2n,n∈Z时,=45+n·360,∴与45的终边相同,∴的终边落在第一象限;
当当k=2n+1,n∈Z时,=225+n·360,∴与225的终边相同,∴的终边落在第三象限.
综上知终边落在第一或第三象限,故选A.
二、求角
例3设0<<360,问5与角终边相同,求角.
解:由已知5=k·360+,kZ,有=k·90,
∵0<<360,∴k=1时,=90;k=2时,=180;k=3时,=270.
∴所求角的值为90或180或270.
例4在-720到720之间与-1050终边相同的角是____________.
解:与-1050终边相同的所有角可表示为k·360+(-1050),k∈Z,
依题意,得-720<k·360+(-1050)<720,
解得<k<4,∴k=1,2,3,4,
所求的角为:1×360+(-1050)=-690,2×360+(-1050)=-330,
3×360+(-1050)=30,4×360+(-1050)=390,
所以应填-690,-330,30,390.
三﹑确定两角的关系
例5若角α的终边与β的终边关于原点对称,试确定α与β的关系.
解:设角θ与角α的终边相同,则角θ+180与角β的终边相同,
∴α=m·360+θ,(m∈Z)
①,β=n·360+θ+180,(n∈Z)
②,
由②-①,得β-α=(n-m)·360+180=[2(n-m)+1]·180,
即β-α=(2k+1)·180(k∈Z),亦即β=(2k+1)·180+α,(k∈Z).
例6在直角坐标系中,若α与β的终边互相垂直,试确定α与β的关系.
解:设θ与α的终边相同,则θ±90与β的终边相同,
∴α=m·360+θ,(m∈Z)
①,β=n·360+θ±90,(n∈Z)
②,
由②-①,得β-α=(n-m)·360±90,(m∈Z,n∈Z),
即β-α=k·360±90,(k∈Z),亦即β=k·360±α,(k∈Z).
四、表示象限角与区域角
例7写出终边在第三象限内的角的集合.
解:在0 ~360 间,终边在x轴正半轴的角是180 ,终边在y轴负半轴的角是270 ,
∴终边在x轴上的所有角的表达式为k·360 +180 ,(k∈Z),
终边在y轴负半轴的所有角的表达式为k·360 +270 ,(k∈Z),
终边在第三象限内的角的集合是{|k·360+280<|<k·360+270,k∈Z}.
例8已知角的终边在图示的阴影部分,用角度制表示角的取值集合.
解:由图可知,与OA终边相同的角的表达式为k·360+225,(k∈Z),
与OB终边相同的角的表达式为k·360+330,(k∈Z),
∴的取值集合是:{|k·360+225<|<k·360+330,k∈Z}.
也可以表示为:{|k·360-135<|<k·360-30,k∈Z}.周期现象与周期函数
课后导练
基础达标
1.今天是星期五,九天后的那一天是星期几…
(
)
A.五
B.六
C.日
D.一
解析:每个星期有7天,9÷7=1……2,故为星期日.
答案:C
2.下列函数是周期函数的是(
)
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解析:①f(x+T)=x+T≠x,∴f(x)不是周期函数,①错误.只能从B、C中选,所以只需判断④即可,f(x+T)=是周期函数,故④正确.
答案:C
3.下列命题正确的是(
)
A.周期函数必有最小正周期
B.只有y=sinx才是周期函数
C.y=1的最小正周期为1
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析:由周期函数的定义知A、B、C均错误.
答案:D
4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数,且f(1)=4,则f(5)等于(
)
A.3
B.2
C.1
D.4
解析:∵y=f(x)中T=2,
∴f(5)=f(2×2+1)=f(1)=4.
答案:D
5.下列四个函数为周期函数的是(
)
A.y=1
B.y=3x0
C.y=x2
D.y=x
解析:由周期函数定义知y=1是周期函数,对于y=3x0,不存在常数T,使f(0+T)=f(0).
答案:A
6.设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(1)=-1,则f(11)的值是(
)
A.-1
B.1
C.2
D.-2
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-3×4)=f(-1)=1.
答案:B
7.若f(x)是以为周期的函数,且f()=1,则f(-)=_______.
解析:f(-)=f(-2×)=f()=1
答案:1
8.今天是星期一,158天后的那一天是星期几?
解析:∵158=7×22+4,而今天是星期一,
∴158天后的那一天是星期五.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(-x)(x∈R),证明f(x)为周期函数.
证明:由f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[-(x+1)]=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得,f(x)是周期函数,周期为2.
10.求证:若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a对称,且关于x=b对称,则f(x)为周期函数,且2(b-a)是它的一个周期.
证明:设x是任意一个实数,
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,
故f(a+x)=f(a-x),
同理,f(b+x)=f(b-x).
于是f[x+2(b-a)]
=f[b+(b+x-2a)]
=f[b-(b+x-2a)]
=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x).
所以,f(x)是周期函数,且2(b-a)是它的一个周期.
综合运用
11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当2≤x≤3时,f(x)=x,则当-1≤x≤0时,f(x)等于(
)
A.4+x
B.2+|x+1|
C.-2+x
D.3-|x+1|
解析:当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],-x+2∈[2,3],f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x,
∴f(x)=3-|x+1|.
答案:D
12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数,f(1)>1,f(2)=a,则(
)
A.a>2
B.a<-2
C.a>1
D.a<-1
解析:f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,
∴f(1)=-a>1,
∴a<-1.
答案:D
13.函数f(x)的最小正周期为8,且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立,则f(x)是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶
D.非奇非偶
解析:∵T=8,且f(4+x)=f(4-x),
∴f(x)=f(x+8)=f[4+(4+x)]
=f[4-(4+x)]=f(-x),
∴f(x)为偶函数.
答案:B
14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数,且f(x)为偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2-4,求x∈[1,2]时,f(x)的解析式.
解析:令x∈[-3,-2],则-x∈[3,2],
从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].
令x∈[1,2],则x-4∈[-3,-2],
有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4,
即x∈[1,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4.
15.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,对任意的x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
(1)设f(1)=2,求f(),f();
(2)证明f(x)是周期函数.
(1)解析:由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,]知
f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1],
故f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2.因此f(12)=2,
又f(1)=2,
故f()=f(+)=[f()]2=2.
即f()=2.
(2)证明:由y=f(x)关于直线x=1对称,得
f(x)=f(1+1-x),f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x),故f(-x)=f(2-x),
∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.
拓展探究
16.函数满足f(x+2)=f(x-2),且f(4+x)=f(4-x).若2≤x≤6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.
解析:由已知f(4+x)=f(4-x),x∈R,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.
又∵2≤x≤6,f(x)=x2-2bx+c,
∴x=4是f(x)=x2-2bx+c,x∈[2,6]的对称轴,即=4,
∴b=4.
又∵f(x+2)=f(x-2),
∴f(x)=f[(x+2)-2]=f[(x+2)+2]
=f(x+4).
∴f(x)是周期函数,周期为T=4.
∵f(-4)=-14,
而f(-4)=f(-4+4×2)=f(4),
∴f(4)=-14.
∵4∈[2,6],
∴42-2×4×4+c=-14,
∴c=2.
∴当x∈[2,6]时,f(x)=x2-8x+2.
∴f(x)在x∈[2,4]上是减函数,
∴f(2)>f(4),即f(c)>f(b).
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1(共27张PPT)
第一章 三角函数
1.1 周期现象
【知识提炼】
周期现象
(1)概念:相同间隔_____出现的现象.
(2)特点:
①有一定的_____;
②不断_____出现.
重复
规律
重复
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)重复出现的现象一定是周期现象吗
提示:不一定.重复出现,还要有规律.
(2)有规律的现象一定是周期现象吗
提示:不一定.有规律,还要重复出现.
2.下列现象不是周期现象的是 ( )
A.四季交替现象
B.暴风雪的发生
C.每年春节联欢晚会
D.物理中的简谐振动
【解析】选B.A,C,D中的现象都符合周期现象的特征,而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
3.下列现象不是周期现象的是__________(填序号).
①海水的潮汐现象;
②游乐场中摩天轮的运行;
③抛一枚硬币,正面向上;
④每四年出现1个闰年.
【解析】①②④都有规律可循,而抛一枚硬币,向上的可能是正面,也可能是反面,无规律可循.故③不是周期现象.
答案:③
4.观察“2,0,1,5,2,0,1,5,2,0,1,5,…”寻找规律,则第25个数字是__________.
【解析】观察这一列数发现每4个一组,25=4×6+1.
答案:2
5.有一个秋千,从最低处被推到最高处共移动了3米,再从最高处开始,第二次经过最低点时,经过的路程为________米.
【解析】由题意知,秋千从最高处开始运动,第二次经过最低点时所走过的路程为3+3+3=9(米).
答案:9
【知识探究】
知识点
周期现象
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:图中的单摆与钟表具有周期现象吗
问题2:通过什么方法判断一个自然现象为周期现象
【总结提升】
关于周期现象
周期现象是按照一定的规律不断重复出现的现象,研究周期现象时要仔细审题,判断其是否具有不断重复出现的规律,必要时可以采集足够的数据,画出其图像,通过图像的变化观察是否具有周期现象.
【题型探究】
类型一
周期现象的判断
【典例】1.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.判断下列现象是否是周期现象.
(1)钟表的秒针的运动.
(2)地球的自转.
(3)地球上一年四季的变化.
(4)物理学中的单摆运动.
【解题探究】周期现象有什么特点
提示:周期现象按照一定规律不断重复出现.
【解析】1.选B.月亮东升西落、昼夜变化是周期现象,气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.
2.(1)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动作,因而是周期现象.
(2)地球的自转每24小时转一圈,并且每一个24小时总是重复前一个24小时的动作,因而是周期现象.
(3)地球上一年四季,每一年都是如此,具有重复性,因而是周期现象.
(4)物理学中单摆的运动,完成一个来回之后,以后的运动都只重复这一动作,因而是周期现象.
所以(1)(2)(3)(4)都是周期现象.
【方法技巧】判定周期现象的两个“条件”和一个“必备”
【变式训练】下列哪个不是周期现象 ( )
A.挂在弹簧下方上下振动的小球
B.月亮的“圆、缺”现象
C.每七天出现一个星期一
D.抛一枚骰子,向上的数字是奇数
【解析】选D.A、B、C所述的都是周期现象,而D中“抛一枚骰子,向上的数字是奇数”不是周期现象.
类型二
周期现象的应用
【典例】一根长为l的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,如图.已知小球从M点放下,经过0.5秒第一次到达平衡位置O,求小球第三次经过平衡位置O的时间.
【解题探究】小球从平衡位置O到最高点N的时间是多少
提示:小球从平衡位置O到最高点N的时间与小球从M点到平衡位置O的时间相同,都是0.5秒.
【解析】设小球从点M处放下,经过平衡位置O到达最高点N,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5秒,因此由M点第一次到达N点的时间为1秒,由N处摆动到平衡位置是第二次到达平衡位置,用时0.5秒,到达M点用时0.5秒,从点M再次达到平衡位置O,即第三次到达平衡位置又用时0.5秒.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5=2.5(秒).
【延伸探究】
1.(改变问法)求小球运动的周期.
【解析】自点M处放下到达点N,再回到点M恰好是一个周期,故周期为4×0.5=2(秒).
2.(改变问法)经过7.2秒,小球是在平衡位置的右边还是左边
【解析】由于7.2=3×2+1.2,故7.2秒时小球的位置与1.2秒时小球的位置相同,由于由M到N用时1秒,由N到O用时0.5秒,1.2<1.5,故7.2秒时,小球在平衡位置的左边.
【方法技巧】应用周期现象解决实际问题的两个要点
【补偿训练】如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,
经过
周期后,甲点和乙点的位置将分别移到________点和________
点.
【解析】绳波向右传播,因为甲与丁之间相差了
个周期,所以经过
周期后,甲点移到了丁点,同理乙点移到了戊点.
答案:丁 戊
易错案例
应用周期现象解决实际问题
【典例】(2015·合肥高一检测)十字路口红绿灯亮灭的情况如下:70
秒亮红灯;接着5秒亮黄灯;再接着60秒亮绿灯;5秒亮黄灯;70秒亮红
灯;5秒亮黄灯,…,则某人在开始亮绿灯时过路口,8分钟后又到此路
口,此时应该是_____灯.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:出错的根本原因是由于一个周期内亮两次黄灯,计算周期错误.
【自我矫正】由题意知140秒是一个周期,480=140×3+60.所以是黄灯.
答案:黄
【防范措施】应用周期现象时的注意点
1.准确计算周期
计算周期现象的周期时,通过列举2-3个周期内数据,分清周期现象中最基本的“重复单位”,即周期.
2.细致分析数据
数据的收集与分析是数学研究的重要手段,也能养成仔细审题,细心计算的习惯.,你的终边在哪里?
已知所在的象限,求终边所在的位置问题,有常规方法和单位圆法。我们不妨通过一个例题来讲解。
引例:已知为第一象限角,试确定终边所在的象限。
解法一:(常规方法)
因为第一象限角,所以,则。
当时,,为第一象限角;
当时,,为第三象限角;
综上所述,为第一、三象限角;
解法二:(单位圆法)
将单位圆平均分成2×4=8份(如图1),从轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四;得到的“一”所在的阴影部分所示的象限,就是所在的象限,即为第一、三象限角;
规律小结:
已知所在的象限,求终边所在的位置问题,有常规方法和单位圆法。利用
(一)常规方法(范围限定法)
将的范围用式子表示出来,然后求出、、、、等角的范围,根据此范围进行判断,需要进行分类。
(二)单位圆法(图示法)
将直角坐标系中的各个象限依次进行二等份、三等份、四等份……从轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四;……是第几象限就找数字几,其对应的位置就是、、、、……所在的象限;
如果是,将直角坐标系中的各个象限依次进行二等份、三等份、四等份……从轴右下方开始按顺时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四;……是第几象限就找数字几,其对应的位置就是、、、、……所在的象限;
深化例题:
例题:已知为第二象限角,试确定和终边所在的象限。
解法一:(常规方法)
因为第二象限角,所以,则。
然后分:①当;②当;③当;④当;()四种情况讨论,从而求得终边所在的象限;同理可求得终边所在的象限,只不过要分:①当;②当;③当;()三种情况讨论。(由读者自己完成并验证下面的单位圆法)
解法二:(单位圆法)
将单位圆平均分成4×4=16份(如图2),从轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四……;得到的“二”所在的阴影部分所示的象限,就是所在的象限,即为第一、二、三、四象限角;
将单位圆平均分成3×4=12份(如图3),从轴右下方开始按顺时针将各区域依次标上一、二、三、四;一、二、三、四……;得到的“二”所在的阴影部分所示的象限,就是所在的象限,即为第一、三、四象限角;角的终边所在位置的判定方法
确定角的终边所在的象限属于三角函数概念的内容,而此内容是进一步研究三角函数的基础,是学好三角内容的基石,考查题型主要以选择题和填空题为主,为此,要引起重视.下面介绍几种判定切实可行的方法.
一、利用终边相同的角的表示法定位置
例1
确定角所在的象限(1)-1770
(2)
解:(1)∵-1770=-5×360+30,∴-1770与30的终边相同,∴
-1770在第一象限.
(2)∵=68+,∴与的终边相同,∴在第二象限.
评注:判定一个角的终边所在的位置,可先将此角化为k·360+或2k+α(0≤<360,kZ)的形式,找出与此角终边相同的角,再由角的象限来判断此角的位置.
二、确定角的范围定位置
例2
已知α是第二象限的角,则角所在象限为(
)
A.第一、三象限
B.第一、四象限
C.第二、三象限
D.第三、四象限角
解:∵α是第二象限的角,则k·360°+90°<α∴k·180°+45°<当k=2n(n∈Z)时,n·360°+45°<当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+225°<∴为第一或第三象限的角,故选A.
评注:利用上面的判定方法可得,当α是第一、二象限的角时,为第一或第三象限的角;当α是第三、四象限的角时,为第二或第四象限的角.
三、利用旋与对称转定位置
例3
若角θ是第四象限的角,则π﹣θ是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解:∵角θ是第四象限的角,且﹣θ与θ关于x轴对称,∴﹣θ是第一象限的角,
此时,π﹣θ可以看成是角﹣θ按逆时针方向旋转π弧度所成的角,即为第三象限的角,故选C.
评注:注意旋转方向与“±”号的关系:“+”号表示按照逆时针方向旋转;“-”号表示按照顺时针方向旋转.反之也然.
四、利用三角函数的符号定位置
例4
已知cos·cot>0,则角所在象限.
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第三、四象限角
解:由cos·cot>0,知cos与cot同号,
当cos>0,cot>0时,在第一象限;当cos<0,cot<0时,在第二象限.
故在第一、二象限,故选A.
评注:必须要理解并熟记每种三角函数在各个象限的符号,它们可用口诀:“全正,s正,t正,c正”来帮助记忆.
五、利用构成三角形的条件定位置
例5
能使sin+cos>1成立的角所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限角
解:在单位圆中,当所在的象限是第一象限角时,sin>0,cos>0,根据构成三角形的条件知,两边之和大于第三边,正弦线与余弦线的和大于半径1,即sin+cos>1,故满足条件,选A.
评注:本题在利用构成三角形的条件的同时,还利用了单位圆中的三角函数线,因此要求我们在解三角的基础题时,不要忘记三角函数线的作用.
六、分类讨论定位置
例4
确定满足条件+++=﹣2的角x所在的位置.
解:令y=+++,
由等式易知,角的终边不可能落在坐标轴上,因此,
当x在第一象限时,y=4,不满足条件;
当x在第二象限时,y=-2,满足条件;
当x在第三象限时,y=0,不满足条件;
当x在第四象限时,y=-2,满足条件.
综上所述,角x的所在的象限为第二、四象限.
评注:分类讨论主要从角的终边落在四个象限及坐标轴上进行考虑.
七、利用三角函数的定义定角的位置
例8
已知tan>0,且sin+csc>0,则角所在象限为(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限角
解:设P(x,y)是角终边上异于原点的任一点,且|OP|=r(r>0),且x≠0,否则tan无意义,则
由已知sin+csc>0,得+>0,∴x+y>0
①
又由已知tan>0,>0
②
由①②知
x>0,,y>0,所以是第一象限的角,故选A.
评注:利用三角函数的定义,就是把所涉及的三角式转化为关于x、y的代数式,判断出x,y的符号,进而确定角所在的位置.
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11.1
周期现象
整体设计
教学分析
本节是三角函数内容的开篇第一节,主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象,为了研究周期现象中蕴含的数学规律,我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,有着广泛的实践意义和理论价值,是高考的重点考查内容,它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等,对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.
怎样研究现实中的周期现象呢?本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为:观察图片,感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例,在教学中要体现三个层次,第一个层次是感知,在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片,使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考,在活动中发现水深和时间的函数,并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图,从图中可以看出,每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值,因此水深是周期性变化的.
在教材处理上让学生多举生活中的实例,数学来源于生活,又指导生活.大千世界有很多的周期现象,让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象,目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法,感受身边存在的大量周期现象的实例.
三维目标
通过阅读教材,联想生活中的一些实例,如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象.通过本节的学习,使学生对周期现象有一个初步的认识,感受到生活中处处有数学,从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.
重点难点
教学重点:感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象.
教学难点:周期现象的深刻理解以及简单的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例,在生活中处处有数学的氛围感受,从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律,由此自然地展开?新课.
思路2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作,并请学生观察时针、分针和秒针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出,这种现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本,进而展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①什么是周期现象?每人各自举出3个以上周期现象的实例.
②周期现象与函数的概念有什么联系?
③如何画出“散点图”?
④如何理解“散点图”?图1中横坐标和纵坐标分别表示什么?
活动:引导学生自主学习本节的相关内容,并思考理解周期现象的数学含义,理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.
课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据),教师引导学生观察表格中的数据,并发现规律,比如重复出现的几个数据.
指导学生根据散点图中点的位置排列,进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表示的量.当潮汐发生时,水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律,我们可以构造一个函数.例如,确定一个位置,考察该处水深H和时间t的关系,那么H就是t的函数.
下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表,通过表中数据,我们来研究H(t)这个函数.
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
1:00
5.0
9:00
2.5
17:00
6.2
2:00
6.2
10:00
2.7
18:00
5.3
3:00
7.5
11:00
3.5
19:00
4.1
4:00
7.3
12:00
4.4
20:00
3.1
5:00
6.2
13:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.3
14:00
6.2
22:00
2.7
7:00
4.1
15:00
7.5
23:00
3.5
8:00
3.1
16:00
7.3
24:00
4.4
根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图(如图1).
图1
教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升华周期现象,丰富学生对周期现象的感知.例如:
实例1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片),并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河,它位于浙江省北部,全长605千米,河域面积五万平方千米,占全省面积的百分之四十三,是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件,让学生看看潮水,听听潮声,感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的?师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现,这是一种周期现象.
实例2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知,海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律,在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头,卸货后,在落潮时返回海洋,这是人们充分利用周期规律的典型例子.
实例3.我们平时所说的年、月、日,实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日;月亮由圆到缺,又由缺到圆,这就是一月,即周期为一月;冬去春来,循环往复,这就是一年,即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程.
实例4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡,大多呈近似椭圆形,在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑,但实际上它们的温度高达4
000
℃左右.倘若能把黑子单独取出,一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的,这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象,平均活动周期为11.2年.
实例5.在医学上,心脏收缩和舒张有规律的交替进行,称为心动周期.心房与心室每收缩和舒张一次,即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为:首先两心房收缩,一般占0.1秒(以每分钟心跳75次计算);继而心房舒张,持续0.7秒.当心房收缩时,心室处于舒张状态,持续0.5秒;心房进入舒张后不久,心室开始收缩,持续0.3秒,随即又进入舒张状态.在正常情况下,左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面,无论心房或心室,收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关,心率过快,心动周期时间就过短,心房和心室的舒张时间也过少,这样就会影响心脏内血液充盈程度,降低每次心搏的输出量.
实例6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行一次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮.只有这样,虫体才能得以继续充分生长发育.显然,蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约2个月完整地脱落1次.
实例7.自出生之日起,人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计,人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日,这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期,后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),根据自己的出生日期,就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线,并总结出自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼,在什么时候应当保持体力,以便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例.
实例8.化学元素的性质取决于核外电子的分布,而核外电子的分布是周期性地重复着类似的排列,于是,元素的性质也就出现了周期性的变化,根据这些变化科学家制定了元素周期表,以揭示元素周期性变化规律,最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性运动变化规律更是大量存在,如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等.
根据以上实例,教师与学生一起归纳提高:在我们生活的周围存在着大量的周期规律,充分认识这些规律,就能更好地造福于人类、造福于社会,而本章三角函数正是刻画周期现象的一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论,感知周期现象的存在,并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见,数学来源于生活,又指导生活,学好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言,也是宇宙语言”的道理.
讨论结果:①-④略.
应用示例
1.地球围绕着太阳转(图2),地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗?
图2
活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识,结合函数的概念进行思考分析.
解:根据物理学知识,我们知道在任何一个确定的时刻,地球与太阳的距离y是唯一确定的,每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起,经过一年时间,地球又回到原来的位置,所以,地球与太阳的距离是周期变化的.
点评:理解周期现象及相关知识.
2.图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y,钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识,y与θ都随时间的变化而周期性变化.
图3
3.图4是水车的示意图.水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈,那么y的值每经过5min就会重复出现,因此,距离y随时间t的变化规律也具有周期性.
图4
点评:抓住周期现象与函数的内在联系,从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量,其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅速抓住本质的能力.
变式训练
走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动,那么手臂的摆动满足什么规律呢?
解:如图5,以ON代表手臂的垂直位置,当手臂摆动到OP位置时,设θ=∠PON为摆动的幅角,y为P点离开直线ON的水平距离,r为手臂的
长度,根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
图5
知能训练
课本习题1—1
1、2.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法,怎样从杂乱无章的现象中探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体会整章的风貌,让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀.
作业
1.课本习题1—1
3.
2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子.
设计感想
本课时作为全章第一节开头,有仰望全章、激发探究、投石问路之意,因此在教案设计上应对教法、学法有一定设计,并对全章略做提点,也算抛砖引玉,以解学生之疑.本节通过创设一定的教学情境,让学生感知周期现象,并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象,目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法,感受身边存在的大量的周期现象的实例,以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来寻找规律.
引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要,一开始不可要求学生机械地套用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素,每个学生都有着自己独特的体验,有了探索规律的过程,学生在面对新的现象或问题时,才能主动应用相关的策略,找到解决问题的方法.所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象,让学生放弃了自主探索、合作交流的机会,那才真是捡了芝麻丢了西瓜.
习题详解
习题1—1
1.解:由题意知钟摆的周期为T=1.8秒.
∵1分钟=1.8×33+0.6秒,又T=0.45,
∴钟摆在铅垂线的左边.
点拨:根据钟摆的周期,可知在第一、四个T钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个T钟摆在铅垂线的右边.
2.解:由题意,知钟摆的周期为T,则T=5,所以T=.
所以第三次经过M点需要-2=秒.
点拨:根据题意,求出质点的运动周期即可.
3.点拨:由摩天轮的转动周期,得8小时内转动24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐24×8×4=768人.
备课资料
一、周期现象
1.植物开花有早有晚,并随光照时间的长短而变化,这是周期现象吗?请解释这一现象.
地球上不同纬度地区,在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同,对植物的开花结实具有明显的影响,这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同,可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花,光照时间越长,开花越早.短日照植物,每天光照时数在12小时以下才能开花,在一定范围内黑暗期越长,开花越早.中间性植物,对光照长短没有严格要求,只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中,花期的控制以及引种工作中,研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象,在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类,很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化,所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日,如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化,食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.
2.流星雨是周期性的现象吗
流星雨是周期性的现象,每年都有,有三大流星雨最为著名.
英仙座流星雨,英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现,它不仅数量多,而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过,其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母,1992年该彗星通过近日点前后,英仙座流星雨大放异彩,流星数目达到每小时400颗以上.
天龙座流星雨,天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现,极大日是10月8日,该流星雨是全年三大周期性流星雨之一,最高时流量可以达到每小时120颗,其极大日一般接近新月,月光影响小,为观测者提供了很好的观测条件,
Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.
天琴座流星雨,天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日,通常22日是极大日,该流星雨是我国最早记录的流星雨,在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨,该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.
二、如何理解周期现象与三角函数的关系
我们是生活在周期变化的世界中,大到地球、月亮,小到原子、电子都在周期地运动,时间在年复一年,月复一月,日复一日地变化,所有的生物都会生老病死,等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念,简单地说经过一定数量重复原来的变化,即f(x+k)=f(x)时,函数y=f(x)是一个周期函数.
在实际教学中,教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中,有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性,对于理解相应学科的内容很有帮助,例如,交流电的变化等等.
三角函数本身是最基本的周期函数,三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要,很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.
传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系,反映“静态的关系”,传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中,解三角形是属于三角学的内容,三角学与三角函数的定位不同,三角函数是动态的,研究周期变化的,是“分析学”的主要内容.(共28张PPT)
第一章
三角函数
1.1
周期现象
实例1:日出日落、月缺月圆、寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象,这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象.
周期现象就是描述具有“周而复始”规律的现象.
思考:多长时间
重复出现一次
实例2:同学们,你们有没有见过大海,观看过潮涨潮落 相信大家见过的不多,那今天就来看看著名的钱塘江潮.
思考:潮汐是周期现象吗?
众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,因此潮汐是周期现象.
另外,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象.
那么,我们这节课要研究的主要内容就是周期现象.
了解周期现象在现实中的广泛存在;(重点)
经历数据分析及观察散点图特征,感受周期现象对实际工作的意义;(重点)
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期.(难点)
探究点1
对周期现象的理解
当潮汐发生时,水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律,我们可以构造一个函数.例如,确定一个位置,考察该处水深H和时间t的关系,那么H就是t的函数.下表1-1是某港口在某一天水深与时间的对应关系表,通过表中数据,我们来研究H(t)这个函数.
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
1:00
5.0
9:00
2.5
17:00
6.2
2:00
6.2
10:00
2.7
18:00
5.3
3:00
7.5
11:00
3.5
19:00
4.1
4:00
7.3
12:00
4.4
20:00
3.1
5:00
6.2
13:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.3
14:00
6.2
22:00
2.7
7:00
4.1
15:00
7.5
23:00
3.5
8:00
3.1
16:00
7.3
24:00
4.4
表1-1
根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图如下:
思考:上述现象是周期现象吗?
提示:从散点图可以看出,每经过相同的时间间隔T(12h),水深度就重复出现相同的数值,因此,水深是周期性变化的.
问题1:你能否举出生活中的几个周期现象
提示:钟摆的摆动、地球公转、交通路口的红绿灯
变化、城市里霓虹灯的闪烁变幻等.
问题2:判断周期现象能不能只判定该现象只要重复出现就可以
提示:不可以,因为周期现象必须是间隔相同的时间重复出现.
【即时训练】
下列现象不是周期现象的是(
)
A.四季交替现象
B.暴风雪的发生
C.每年春节联欢晚会
D.物理中的简谐振动
【解析】A,C,D中的现象都符合周期现象的特征,
而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
B
【总结提升】
周期现象以及周期现象的判断
1.周期现象指的是每间隔相同时间会重复出现的现象.
2.判断周期现象时要把握好两点:
(1)会重复出现.
(2)要间隔的时间相同.这两点缺一不可.
探究点2
周期现象的实际举例
例1.地球围绕着太阳转(如图),地球到太阳的距离y随时间的变化是周期现象吗?
解:
根据物理学知识,我们知道在任何一个确定的时刻,地球与太阳的距离y是唯一确定的,每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起,经过一年时间,地球又回到原来的位置,所以,地球与太阳的距离是周期变化的.
如下图是一个点的运动轨迹,该点的运动具有周期性吗?
是一个周期现象吗
4
8
12
16
0
t
y
【变式练习】
【解析】该点的运动具有周期性,该点每隔t=4会重复出现,
因此,这是一个周期现象.
例2.如图是钟摆的示意图,摆心A到铅垂线MN的距离记为y,钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ,根据物理知识,y与θ都随时间的变化而周期性变化.
M
A
y
N
θ
【解析】如图,以ON代表手臂的垂直位置,当手臂摆动到OP位置时,设θ=∠PON为摆动的幅角,y为P点离开直线ON的水平距离,r为手臂的长度,根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
【变式练习】
走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动,那么手臂的摆动满足什么规律呢?
例3.
如图是水车的示意图.水车上点P到水面的距离为y.假设水车5
min转一圈,那么y的值每经过5
min就会重复出现,因此,距离y随时间的变化规律也具有周期性.
1.
由上面的例子,我们可以看到在自然界中存在着丰富的周期现象.
【总结提升】
2.当我们用周期性描述周期现象时,会出现不同的自变量,有一些例子以时间为自变量,有一些例子以角度为自变量.
1.每天晚上的新闻联播是周期现象?
2.连续抛一枚硬币,面值朝上我们记为
0
,面值朝下我们记为
1
,数字
0
和
1
是否会周期性地重复出现?
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗?
是
否
是
判一判
一、选择题
1.下列现象不是周期现象的是 ( )
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.“哈雷彗星”的运行时间
D.某同学每天上数学课的时间
【解析】选D.某同学每天上数学课的时间不确定,不是周期现象.
D
2.
2014索契冬奥会是第22届,则第24届冬奥会是( )年
A.2018
B.2022
C.2026
D.2030
【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年举办一次.
【解析】选B.2014+8=2022.
B
3.某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动 ( )
A.10周
B.5周
C.15周
D.20周
D
【解题关键】齿轮转动的周数与
齿轮的齿数成反比
【解析】选D.大齿轮齿数是小齿轮齿数的2倍,故大齿轮转动
一周小齿轮转动2周,所以大齿轮转动10周时,小齿轮转动20周.
二、填空题
4.某单摆每经过6秒钟就回到竖直状态,则每经过
秒钟就回到最右边.
【解析】单摆回到竖直状态的时间为6秒,只有半个周期,而回到最右边的间隔时间为整个周期,所以是12秒.
12
5.公元2015年是羊年,那么公元1907年是 年;
公元3015年是 年.
【解题关键】十二生肖的排列顺序是:子鼠、丑牛、寅
虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、
戌狗、亥猪.
【解析】因为2015-1907=108=12×9,所以1907年也是
羊年;3015-2015=1000=12×83+4,所以公元3015年是
猪年.
羊
猪
三、解答题
6.如图所示,观察下列图像回答:
y随x变化的现象是周期现象吗 周期是多少
【解析】从函数的图像来看y的值随着x的变化而呈现重复性变化,
所以y随x的变化的现象是周期现象,且周期为4.
回顾本节课的收获
周期现象
对周期现象的理解
周期现象的实际举例
惟有埋头,才能出头,急于出人头地,除了自寻苦恼之外,不会真正得到什么.
——莎翁(共43张PPT)
第一章
三
角
函
数
1.1
周
期
现
象
问题
引航
1.什么是周期现象?周期现象有哪些特征?
2.如何借助周期现象处理生活中的问题?
周期现象
(1)定义:相同间隔_____出现的现象.
(2)特征:①有一定规律.②不断重复出现.
重复
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)每天晚上的新闻联播是周期现象.(
)
(2)中国社会福利彩票中奖是周期现象.(
)
(3)某中学每天上第一节课的时间是周期现象.(
)
【解析】(1)正确.每天晚上的新闻联播都是19:00播出.
(2)错误.中国社会福利彩票中奖无规律可循,故不是周期现象.
(3)正确.每天上第一节课的时间是固定的.
答案:(1)√
(2)×
(3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)观察“2,0,1,5,2,0,1,5,2,0,1,5,…”寻找规律,则第25个数字是________.
(2)今天是星期一,那么再过100天是_______.
(3)我们知道2012年伦敦奥运会是第30届,那么第36届奥运会是______年.
【解析】(1)观察这一列数发现每4个一组,25=4×6+1.
答案:2
(2)因为100=7×14+2,所以再过100天是星期三.
答案:星期三
(3)奥运会每4年举办一次,2012年是第30届,所以第36届奥运会是2012+4×6=2036(年).
答案:2036
【要点探究】
知识点
周期现象
对周期现象的两点认识
(1)重复性:周期现象是按照一定的规律不断重复出现的现象.
(2)规律性:研究周期问题时,要仔细审题,判断其不断重复出现的规律.
【微思考】
(1)重复出现的现象是周期现象吗?
提示:不一定,重复出现,还要有规律.
(2)有规律可循的现象是周期现象吗?
提示:不一定,有规律可循,还要重复出现.
【即时练】
下列现象不是周期现象的是_________(填序号).
①挂在弹簧下方上下震动的小球;
②游乐场中摩天轮的运行;
③抛一枚骰子,向上的数字是奇数;
④每四年出现1个闰年.
【解析】①②④都有规律可循,而抛一枚骰子,向上的数字可能是奇数,也可能是偶数,无规律可循.故③不是周期现象.
答案:③
【题型示范】
类型一
周期现象的判断
【典例1】
(1)下列变化中是周期现象的是(
)
A.月球到太阳的距离y与时间t的函数关系
B.某同学每天上学的时间
C.某交通路口每次绿灯通过的车辆数
D.某同学每天打电话的时间
(2)判断下列现象是否是周期现象.
①太阳每天东升西落.
②某教师每天上课的时间.
③抛掷硬币正反面交替变化.
④一年二十四节气的变化.
【解题探究】1.题(1)中月球到太阳的距离是固定不变的吗?
2.题(2)中教师每天上课的时间是固定的吗?
【探究提示】1.因为太阳与月球都是在不停地运动,所以月球到太阳的距离不是固定不变的,但是在某个时间点,月球到太阳的距离是确定不变的.
2.教师每天上课的时间不是固定的,如数学教师今天是上午第一节课,明天可能是下午第一节课.
【自主解答】(1)选A.根据周期现象的概念可知月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻是确定的,并且每经过一定的时间,月球又回到原来的位置,因此是周期现象.B,C,D都不是周期现象.
(2)①是周期现象;
②不是,无规律性;
③不是,无规律性;
④是周期现象.
【方法技巧】判定周期现象的两个“条件”和一个“必备”
【变式训练】下列现象
①地球自转.
②某中学历年来高一(二)班的学生人数.
③下列一组数101,1
001,10
001,100
001,……
④十字路口的红绿灯的闪烁.
其中是周期现象的有________.
【解析】地球每24小时自转一周.①为周期现象.某中学历年来高一(二)班的学生数是不固定的,且无规律.②不是周期现象.③中的数虽有规律,但不重复出现,故不是周期现象.十字路口的红绿灯的闪烁是有规律地重复出现的,④是周期现象.
答案:①④
【误区警示】对于③,容易误认为数字是有规律的,所以是周期现象,这是错误的.
【补偿训练】下列是周期现象的是(
)
A.十二生肖的轮回
B.沙尘暴的发生
C.地震的发生
D.六月份的降雨量
【解析】选A.十二生肖每十二年循环一次,它是有规律地重复出现的,是周期现象,其余的均为随机现象.
类型二
周期现象的应用
【典例2】
(1)(2014·西安高一检测)如果现在是早上9点钟,则36小时后是次日_______点钟.
(2)水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升?
【解题探究】1.每一天时间的循环周期是多少?
2.水车转一圈最多能盛水多少升?
【探究提示】1.每一天时间的循环周期是24小时.
2.因为水车上有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,
所以水车转一圈最多能盛水16×10=160(升).
【自主解答】(1)因为每一天时间的循环周期是24小时,所以36小时后,时间是9+12=21(点).
答案:21
(2)因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12=1
920(升).
【延伸探究】题(2)中的水车盛800升的水至少需要多少时间?
【解题指南】解答本题可以先表示出x分钟后盛水的升数,然
后列不等式求出x的取值范围.
【解析】设x分钟后盛水y升,由题(2)知每转一圈,水车最多
盛水16×10=160(升),所以y=
·160=32x,为使水车盛800
升的水,则有32x≥800,所以x≥25,即水车盛800升的水至少
需要25分钟.
【方法技巧】应用周期现象解决实际问题的两个要点
【变式训练】今天是星期五,则168天后是_______,170天后是_______.
【解题指南】一星期是7天,一个循环.
【解析】因为168=7×24,,170=7×24+2,所以168天后仍是星期五,170天后是星期天.
答案:星期五
星期天
【补偿训练】某广场从左向右依次挂着一排小彩灯,自左向右依次为蓝灯、红灯、黄灯、绿灯,然后依次重复出现,那么第100盏灯是(
)
A.红灯
B.蓝灯
C.黄灯
D.绿灯
【解析】选D.将这一排彩灯自左向右按4个一小组,则第100盏灯是第25组中的第4个,故应为绿灯.
类型三
散点图及应用
【典例3】
(1)如图所示,某一实际问题中有变量y和x,其关系画成散点图如图:
则y随x变化现象的周期是_________.
(2)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
依据规定,当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放,依据上表可以判断,一天内的8:00至20:00时之间,有多少时间可以供冲浪者运动?
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
【解题探究】1.从图像观察,函数值有没有重复出现?
2.对题(2)中的数据如何提取有效信息?
【探究提示】1.有,当x分别在[0,2],[3,5],[6,8]取值时,对应的y值会重复出现.
2.将实际问题中的数据转化为散点图,利用散点图解决实际问题.
【自主解答】(1)从散点图来看y的值随着x的变化而呈现重复性变化,所以y随x变化现象的周期为3.
答案:3
(2)由数据表画出散点图如下:
由图可知,在规定时间8:00至20:00之间,有6个小时时间可供运动,时间为9:00至15:00.
【方法技巧】通过散点图解决周期现象问题的步骤
(1)仔细审题,分析给定的数据.
(2)建立适当的坐标系,将给定的数据以点的形式在坐标系中标出,形成散点图.
(3)观察画出的散点图的特征,解决有关问题.
【变式练习】我们的心跳都是有节奏、有规律的,心脏跳动时,血压在增加或减少.下表是某人在1分钟内血压P与时间t的对应关系表,通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
P/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
t/s
35
40
45
50
55
60
P/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
(1)请根据上表提供的数据,在坐标系中作出血压P与时间t的对应关系的散点图.
(2)血压随时间的变化的现象是周期现象吗?
【解题指南】通过散点图的变化趋势研究周期现象.
【解析】(1)作出血压P与时间t的散点图.如下:
(2)由散点图可以看出,每经过15
s,血压就重复出现相同的数值,因此血压随时间的变化的现象是周期现象.
【补偿训练】下表是某港口某一天水深y与时间t的对应关系表:
(1)根据上表提供的数据在坐标系中作出水深y与时间t的关系的散点图.
(2)水深随时间的变化现象是否是周期现象?变化周期是多少?
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
10
7.0
10.0
13.0
10.0
7.0
10.0
【解析】(1)散点图如下:
(2)由散点图可以看出水深每12小时就会有规律地重复变化一次,故水深随时间的变化现象是周期现象,其变化周期为12小时.
【误区警示】本题第(2)问很容易误认为水深变化的周期为24小时.
【易错误区】算错周期从而导致结果错误
【典例】(2014·合肥高一检测)十字路口红绿灯亮灭的情况如下:70秒亮红灯;接着5秒亮黄灯;再接着60秒亮绿灯;5秒亮黄灯;70秒亮红灯;5秒亮黄灯……,则某人在开始亮绿灯时过路口,5分钟后又到此路口,此时应该是________灯.
【解析】由题意知140秒是一个周期,300=140×2+20.所以是绿灯.
答案:绿
【常见误区】
错解
错
因
剖
析
黄或红
在一个周期内,黄灯亮两次,易忽略此处,算错周期,从而导致错误
【防范措施】
1.算准周期
计算周期现象中的“周期”时,要抓住周期现象中最基本的“重复单位”,若“周期”计算错误,则给后面的判断带来误差或错误.
2.养成细心的习惯
数学是一门非常严谨的科目,在解题时一定要养成仔细审题、细心计算的习惯.
【类题试解】(2014·汉中高一检测)一个居民小区进行绿化,沿着小区外墙栽树,按照1棵杨树、2棵芙蓉树、1棵槐树这样的顺序栽了66棵树,最后1棵是______树.
【解析】由题意知,4棵树一循环,66=4×16+2,所以最后一棵树应该是芙蓉树.
答案:芙蓉终边相同角的七点注意及应用
课本中指出:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S={|=+k 360°,k∈Z}.即任一与角终边相同的角,都表示成角与整数个周角的和.下面对此段文字进行解读,即为七点注意.
一、七点注意
学习时需注意以下七点:
⑴是任意角,如{|=k 360°+400°,k∈Z}是正确的.
⑵
k是整数,这一点在解题中(特别填空题)最容易忽视.
⑶
k 360°与之间是“+”号.如有k 360°-20°(k∈Z)的形式应视为k 360°+(-20°)(k∈Z),即与-20°角终边相同;
⑷
终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同;
⑸
终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍;
⑹
单位要统一,即只能用角度制或弧度制的一种,绝对不能混用,如=2k+75°(k∈Z)是错误的.
⑺
若用弧度制表示终边相同的角,前的整数须是偶数.
二、应用举例
其应用主要有三个方面:①判断所给的角的象限;②写终边相同角的集合;③求与终边相关的角.
例1
找出与下列各角终边相同的角的一般形式,指出它们是哪个象限的角,并找出终边相同的角中绝对值最小的角:
(1);
(2);
(3)
解:⑴
∵,∴终边相同的角为.
它们是第四象限角,其中绝对值最小的角为(当).
⑵
∵∴终边相同的角为.
它们是第一象限角,其中绝对值最小的角为(当).
⑶∵,∴终边相同的角是.
它们是第二象限角,其中绝对值最小的角为(当).
评析:判断一个角是第几象限角,常把它写成的形式,其中.有时也可以写成的形式,其中.
例2
⑴
在直角坐标系中,若与的终边互为反向延长线,则与之间的关系一定是(
)
(A)
=++2k(k∈Z)
(B)
=-2k(k∈Z)
(C)=-
(D)
=+
⑵
已知钝角,它的五倍角的终边与自身终边关于y轴对称,求.
解:⑴角与的终边互为反向延长线,即角与+的终边相同,故=++2k(k∈Z),故选(A).
⑵
由与5终边关于y轴对称,所以5与-的终边相同,即
5=(-)+2k(k∈Z),
从而=(k∈Z),又∈(,),故可得=.
评注:本题主要涉及到角与对称问题:①关于原点对称(即互为反向延长线),则=++2k(k∈Z),②关于y轴对称,则=(-)+2k(k∈Z),③关于x轴对称,则=-+2k(k∈Z).判定终边所在的象限三法
角所在的象限的确定,是三角函数求值问题的关键环节,为此,要利用题中的条件准确地对角所在的象限进行判断.下面就判断角所在象限常用三种方法介绍如下.
一、转化法
即利用终边相同的角来确定,转化成[0,2)来判断.
例1 判断下列角所在的象限
(1); (2)
分析:利用终边相同的角来确定,可转化成[0,2)来判断.
解:(1)∵,
∴与15°的终边相同.
∴的终边在第一象限;
(2)∵,
∴与终边相同,
∴的终边在第三象限.
评注:判断一个角的终边所在的位置,可先将此角化为或的形式,找出与此角终边相同的角,再由角所在的象限来判断此角的位置.
二、定义法
例2
若是第二象限角,则是第几象限角?
解:∵是第二象限角,.
∴;
若,,则,是第一象限角;
若,,则,是第三象限角;
∴是第一或第三象限角.
评注:已知一个角所在的象限,判定一个与之相关的角所在的象限,可分种情况进行分类讨论.
三、对称(或旋转)法
例3 若角是第四象限的角,则角是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解:角是第四象限的角,且与关于轴对称,是第一象限的角,此时,可以看成是角按逆时针方向旋转弧度所成的角,即为第二象限的角,故选(B).
评注:注意旋转与“±”号的关系:“+”号表示按照逆时针方向旋转;“-”号表示按照顺时针方向旋转.反之也亦然.论是第几象限角,都有(1)与的终边关于x轴对称;(2)与的终边关于y轴对称;(3)与的终边关于原点对称.1.1
周期现象与周期函数
一、周期现象
1.植物开花有早有晚,并随光照时间的长短而变化,这是周期现象吗?请解释这一现象.
地球上不同纬度地区,在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同,对植物的开花结实具有明显的影响,这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同,可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花,光照时间越长,开花越早.短日照植物,每天光照时数在12小时以下才能开花,在一定范围内黑暗期越长,开花越早.中间性植物,对光照长短没有严格要求,只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中,花期的控制以及引种工作中,研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象,在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类,很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化,所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日,如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化,食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.
2.流星雨是周期性的现象吗
流星雨是周期性的现象,每年都有,有三大流星雨最为著名.
英仙座流星雨,英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现,它不仅数量多,而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过,其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母,1992年该彗星通过近日点前后,英仙座流星雨大放异彩,流星数目达到每小时400颗以上.
天龙座流星雨,天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现,极大日是10月8日,该流星雨是全年三大周期性流星雨之一,最高时流量可以达到每小时120颗,其极大日一般接近新月,月光影响小,为观测者提供了很好的观测条件,
Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.
天琴座流星雨,天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日,通常22日是极大日,该流星雨是我国最早记录的流星雨,在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨,该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.
二、如何理解周期现象与三角函数的关系
我们是生活在周期变化的世界中,大到地球、月亮,小到原子、电子都在周期地运动,时间在年复一年,月复一月,日复一日地变化,所有的生物都会生老病死,等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念,简单地说经过一定数量重复原来的变化,即f(x+k)=f(x)时,函数y=f(x)是一个周期函数.
在实际教学中,教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中,有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性,对于理解相应学科的内容很有帮助,例如,交流电的变化等等.
三角函数本身是最基本的周期函数,三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要,很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.
传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系,反映“静态的关系”,传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中,解三角形是属于三角学的内容,三角学与三角函数的定位不同,三角函数是动态的,研究周期变化的,是“分析学”的主要内容.