(共37张PPT)
1.9
三角函数的简单应用
【知识提炼】
解三角函数应用问题的基本步骤
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)钟摆、潮汐等具有周期现象,可以建立什么样的数学模型解决
提示:钟摆、潮汐等具有周期现象,可以建立三角函数模型解决.
(2)在建模过程中,散点图的作用是什么
提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误.
2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过
周期后,乙点的位置将传播至 ( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选D.由图像知乙为最低点,丁为相邻最高点,两者之间的距离
恰好为
个周期,故经过
周期后乙点的位置将传播至丁.
3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=
其中f(t)的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水的高度
是________m.
【解析】当t=12时,
答案:1
4.若A(x,y)在单位圆上,从
出发,沿逆时针方向做匀速
圆周运动,每经过12秒运动一周,则经过t秒后,y关于t的解析式为______________.
【解析】由题意∠xOA0=
,A每秒旋转
经过t秒旋转
所以
答案:
【知识探究】
知识点
三角函数模型的简单应用
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:利用三角函数模型解决实际问题的一般方法是什么
【总结提升】
三角函数模型的简单应用的模式及注意事项
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.
(2)给定呈周期变化的图像,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题.
(3)整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图像,求出可以近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模型来解决问题.
(4)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解问题.
【题型探究】
类型一
三角函数模型在物理中的应用
【典例】1.(2015·长春高一检测)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin
那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2πs
B.πs
C.0.5
s D.1
s
2.已知交流电的电流I(安培)与时间t(秒)满足函数关系式I=
Asin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,0≤φ<2π.如图所示是一个周期内的函数图像.
(1)试写出I=Asin(ωt+φ)的解析式.
(2)如果在任意一段
秒的时间内电
流I能同时取得最大值A和最小值-A,那
么正整数ω的最小值是多少
【解题探究】1.求单摆来回摆动一次所需的时间实质是求什么
提示:实质是求函数的周期.
2.“在任意一段
秒的时间内电流I能同时取得最大值A和最小值
-A”的意义是什么
提示:函数的周期小于
.
【解析】1.选D.因为T=
=1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.
2.(1)由图知函数的最大值为300,
所以A=300,最小正周期为
又T=
,所以ω=150π.
当t=
时,I=0,所以150π×
+φ=π,
解得φ=
,所以
(2)据题意知
所以ω≥300π,所以ωmin=943.
【方法技巧】三角函数模型在物理中的应用
(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐振动、电流,机械波等具有周期现象的方面.
(2)解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要注意将条件中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等.
(3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据揭示其物理意义,以解决实际问题.
【变式训练】已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,
|φ|<
)的振
幅是
,图像上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点
则该
简谐运动的频率和初相是 ( )
【解析】选B.由题意可知,
则
由
因为
因此频率是
,初相为
类型二
三角函数模型在实际生活中的应用
【典例】(2015·南平高一检测)青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔,拥有长580米,宽40余米的沙滩,是亚洲较大的海水浴场.已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图像.
(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式.
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间,哪段时间可对冲浪爱好者开放
【解题探究】1.应怎么样处理题目中记录的浪高数据
提示:应画出散点图辅助观察、分析.
2.应怎样求对冲浪爱好者开放的时间
提示:可令y>1,求出相应的时间段.
【解析】(1)由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;
由t=3,y=1.0,得b=1.0,所以A=0.5,b=1,
所以振幅为
,最小正周期T=12,
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放,
所以
即12k-3因为0≤t≤24,故可令①中的k分别为0,1,2.
得0≤t<3,9所以在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午3:00.
【延伸探究】
1.(改变问法)若典例条件不变,则凌晨2点的浪高是多少
【解析】因为
则当t=2时,
即凌晨2点的浪高是
米.
2.(变换条件)典例若增加条件,比赛只能在白天进行,浪高不小于1.25米,则适合比赛的时间段是什么
【解析】由题意,令
则
解得-2+12k≤t≤2+12k,k∈Z,
当k=1时,10≤t≤14.
即适合比赛的时间段是上午10点到下午2点.
【方法技巧】
1.对三角函数应用的理解
三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力.
2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图
【补偿训练】如图,某大风车的半径为2m,每12s逆时针旋转一周,它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动ts后与地面的距离为f(t).
(1)求函数f(t)的关系式.
(2)经过多长时间A点离地面的距离为1.5m
【解析】(1)以O1为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以O1x为始边,O1A为终边的角为
故点A的坐标为
则
(2)令
所以
即t=2+12k或10+12k,k∈Z.
规范解答
综合利用函数y=Asin(ωx+φ)+b的性质解决实际问题
【典例】(12分)(2015·榆林高一检测)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况:
现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0,-π
<φ<π),②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系.
(1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式.
(2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损
【审题指导】
1.要求①函数模型的解析式,可以借助散点图,利用三角函数的性质;要求②函数模型的解析式,可以采用待定系数法,通过解方程组求解.
2.要判断养殖户是否亏损,应计算相应月份的生猪价格与养殖成本,通过比较来判断.
【规范解答】
【题后悟道】
1.利用三角函数的周期性研究实际问题
在实际生活中许多的事物呈现一定周期性,如商品的价格、股票指数等等,因此要利用所学的三角函数知识解决上述具有一定周期性的实际问题.如本题选择①函数模型拟合生猪的价格.
2.增强在实际问题中应用数学知识的能力
数学来源于生活实际,又需要利用数学知识解决生活中遇到的具体问题,这正体现了数学作为工具学科的重要性.如本题中判断养殖户是否亏损就是利用数学知识的例子.(共27张PPT)
1.9
三角函数的简单应用
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.
正弦型函数
简谐运动
星体的运动
日常生活现象
涨潮与退潮
股票变化
…………
心理、生理现象
情绪的波动
智力变化状况
体力变化状况
地理情景
气温变化规律
月圆与月缺
物理情景
1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（重点）
2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（难点）
例水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一
个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距
水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是
min.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m).
(1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.
(2)
讨论如果雨季河水上涨或旱季河流
水量减少时，所求得的函数解析式中的参
数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减
慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的
影响？
水车问题
解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期函数的关系.
故可列表、描点，画出函数在区间[11.8,91.8]上的简图：
t
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
1.2
2.7
1.2
-0.3
1.2
面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.
解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型.
【变式练习】
【特别提醒】
将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:
理解题意
建立三角函数模型
求解
还原解答
B
C
D
4.
一半径为3m的水轮如图所
示，水轮圆心O距离水面2m，已
知水轮每分钟转动4圈，如果当
水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.
(2)点P第一次达到最高点大约要多长时间？
O
P
P0
2
3
O
P
P0
2
3
x
y
φ
解:(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋
转,如图所示,建立平面直角坐标系.
设角
(
<
<0)是以Ox为
始边，OP0为终边的角.
由OP在ts内所转过的角为
，
可知以Ox为始边，
OP为终边的角为
,
则
当t=0时，z
=0，可得
因为
，所以
≈-0.73，
故所求函数关系式为
故P点纵坐标为3sin(
)，
(2)令
得
解得t≈5.5.
答:点P第一次达到最高点大约需要5.5s.
【特别提醒】
解决实际问题的步骤:
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学建模
推理
演算
数学模型的解
还原说明
实际问题的解
读懂概念丶字母
读出相关制约.
在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系.
审题
关键
把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则而断事是书生的怪癖.
——培根 三角函数的简单应用
整体设计
教学分析
我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的?应用.?
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决?问题.?
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？?它到?底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,?来探?究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的 又是怎样解决实际问题的
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么
③上述的数学模型是怎样建立的 解决实际问题的一般程序是什么
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模?型→求?解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下
的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法.
③解决实际问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
提出问题
在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢 周期函数的类型是否发生了改变 比如:两个正弦电流i1=3sin(100πt+),i2=4sin(100πt-)合成后是否仍是正弦电流呢 类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的
活动:函数y=A1sin(ω1x+θ),y=A2sin(ω2x+φ)叠加后,即函数y=A1sin(ω1x+θ)+A2sin(ω2x+φ)是否仍是正弦型函数呢 若不是,需满足怎样的条件
讨论结果:一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如:y=sinx+cosx,y=sin2x+cosx,y=sinx+cosx,y=3sinx+4cosx,y=sinx+cos3x,观察这些函数的图像,得出y=asinω1x+bcosω2x仍是正弦型函数的条件.
二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数y=asinx+bcosx与化简后的正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,初相与a,b的联系.
三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如:先依据你猜测的函数类型,借助图形计算器或软件中测量等工具猜测出函数y=sinx+cosx解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它是否与y=sinx+cosx的图像完全吻合.
四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与y=asinx+bcosx中a,b的关系,得出三角式asinx+bcosx的化简公式,这个公式在正弦电流,声波和光波的合成中经常用到.
五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系.
六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相.
应用示例
例1
如图1,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目已经给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)?小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6)?,通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20
℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的?图像,?
∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.
∵·=14-6,
∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
点评:本例中所给出的一段图像实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例2
(2007全国高考)函数y=|sinx|的一个单调增区间是(
)
A.(-,)
B.(,)
C.(π,)
D.(,2π)
答案:C
例3
水车问题.
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图2是一个水车工作的示意图,它的直径为3
m,其中心(即圆心)O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是min.在水车轮边缘上取一点P,点P距水面的高度为h(m).
图2
(1)求h与时间t的函数解析式,并作出这个函数的简图.
(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响
活动与解答:不妨设水面的高度为0,当P点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.显然,h与t的函数关系是周期函数的关系.
如图2,设水车的半径为R,R=1.5
m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2
m;∠QOP为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=(min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω,ω==rad/s.
为了方便,不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时(t=0),在t时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP=α=ωt=t(rad).
过P点向水面作垂线,交水面于M点,PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线,交PM于N点,∠QON为φ.
从图中不难看出:
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①
这是一个由三角函数确定的数学模型.
从图中可以看出:sinφ=,所以φ≈53.1°≈0.295π
rad.
把前面已经确定了的参数α,φ,R和b代入①式,我们就可以得到
h=1.5
sin(t-0.295π)+1.2(m).②
这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.
因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),
此时t=≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图3):
t
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2
1.2
2.7
1.2
-0.3
1.2
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.
点评:面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.
知能训练
1.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,Ia=Isinωt,Ib=Isin(ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°).则Ia+Ib+Ic=___________.
答案:0
2.图4是一个单摆的振动图像,据图像回答下列问题:
图4
(1)单摆振幅多大;
(2)振动频率多高;
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(5)若当g=9.86
m/s2,求摆线长.
解:结合函数模型和图像:
(1)单摆振幅是1
cm;
(2)单摆的振动频率为1.25
Hz;
(3)单摆在0.6
s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值;
(4)单摆在0.4
s时在正向最大位移处,首次具有加速度的最大负值;
(5)由单摆振动的周期公式T=2π,可得L==0.16
m.
点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图像建立解析式,根据解析式作出图像,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
作业
图5表示的是电流I与时间t的函数关系I=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)在一个周期内的图像.
图5
(1)根据图像写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),
∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.
解得ω=100π,φ=.∴I=300sin(100πt+).
(2)依题意有T≤,即≤,
∴ω≥200π.故ωmin=629.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起学生相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.
备课资料
一、备用习题
1.图8是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可写成(
)
图8
A.sin(1+x)
B.sin(－1－x)
C.sin(x－1)
D.sin(1－x)
2.函数y＝x+sin|x|,x∈[－π,π]的大致图像是图9中的(
)
图9
3.一束光线与玻璃成45°角,穿过折射率为1.5,厚度为1
cm的一块玻璃,那么光线在玻璃内的行程是多少 (折射率=,其中α为入射角,β为折射角)
参考答案:
1.D
2.C
3.解:如图10所示,α=45°,
∴1.5=,得sinβ=,cosβ=0.881
9.
而cosβ=,
∴AB=1.134(cm),
即光线在玻璃中的行程为1.134
cm.
图10
二、驾驭着波峰的数学
如果你是冲浪运动员,你知道有时难以预料何时浪会升起.有时浪在岸边完整地出现,但是当你进入水中时,它已经消失了,因此你就得等待完整波的到来,有时似乎要好几小时.在另外一些时候,完整波一个接一个地来到,可有许多个供你选择.不用说,波理论和波活动性是一个复杂的系统,许多因素影响着和创造着海浪.风、地震、船的尾波,当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力,都扰动着海洋,使海浪在水面上行动.当有多重的扰动或因素互相作用时,这些波动形式多少有点随机性.19世纪初,对海浪在数学上开展了很多研究.在海上和受控制的实验室中所作的观测,帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克,弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论.在他的观测中,他记录着波中水粒是如何做圆周运动的.位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同,位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反.在水面上,每一水粒都沿着圆形轨道运动,然后回到原位.圆的直径被发现等于波的高度.水的整个深度中水粒都在生成圆,但水粒愈深,它的圆愈小.事实上,人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的的深度,圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半.
因为波浪与这些圆周运动的水粒有关,并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关,这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了.但是人们发现,波浪既不是严格的正弦曲线,也不是任何别的纯粹的数学曲线.水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已.今天研究波浪时,用到了概率,统计学这些数学工具.人们考察了大量小波,并依据所收集到的数据提出预测.三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的，原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．
三角测量在我国出现的很早．据《史记·夏本记》记载，早在公元前二千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地势的测量．《周髀算经》讲得更详细．后来《九章算术》勾股章，专列了八个测量问题，详细介绍了利用直角三角形相似原理，进行测量的方法．以及后来的《海岛算经》等都是进行三角测量的史料记载．可见我国对三角学研究开始的很早．
三角学的六个基本函数中，最早开始独立研究的是正弦函数．正弦概念的形成是从造弦表开始的．公元前二世纪古希腊天文学家希帕克，为了天文观察的需要，着手造表工作．这些成果是从托勒密的遗著《天文集》中得到的．托勒密第一个采用了巴比伦人的60进位制，把圆周分为360等份，但他并没给出“度”、“分”、“秒”的名词，而是用“第一小分”、“第二小分”等字样进行描述．在1570年曲卡拉木起用了“°”的符号来表示“度”，以及“分”、“秒”等名称．书中又给出了“托勒密定理”来推算弦、弧及圆心角的关系及公式．
第一张正弦表由印度的数学家阿耶波多（约476－550年）造出来的．虽然他直接接触了正弦，但他并没有给出名称．他称连接圆弧两端的直线为“弓弦”，后来印度著作被译成阿拉伯文．十二世纪，当阿拉伯文被译成拉丁文时，这个字被译成sinus，这就是“正弦”这一术语的来历．1631年邓玉函与汤若望等人编《大测》一书，将sinus译成“正半弦”，简称为正弦，这是我国“正弦”这一术语的由来．
早期人们把与已知角相加成90°角的正弦，叫做的附加正弦，它的拉丁文简写为sinusco或cosinus，后来便缩写成cos．
公元八世纪阿拉伯的天文学家和数学家阿尔·巴坦尼，为了测量太阳的仰角，分别在地上和墙上各置一直立与水平的杆子，求阴影长b，以测定太阳的仰角．阴影长b的拉丁文译文名叫“直阴影”，水平插在墙上的杆的影长叫做“反阴影”，“直阴影”后来变成余切，“反阴影”叫做正切．
大约半个世纪后，另一位中亚天文学家、数学家阿布尔·威发计算了每隔10°的正弦和正切表，并首次引进了正割与余割．
